О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференцируя (1), получим соотношение

а т ч г'(х)о'(г)п т , < л,

—Ьпа; х) = ( ¿п((* - х)/; х). (4)

ах хд(г)

По теореме Лагранжа имеет место представление д(г)п =

= Е£=о(да) ак,п, откуда следует, что

¿п(1; х) = 1. (5)

Из (4) следует, что

а т (л г'(х)д'(г)п , .

ах хд(г)

и с учетом (5) имеем

Ьп(Ь — х; х) = 0 £п(£; х) = хЬп(1; х) = х. (6)

Аналогично находится, что

т ( 2 \ 2 х д(^)

; х) = х + ч ч . (7)

п г' (х)д' (г)

Из соотношений (5), (6) и (7) следует, что Ьп удовлетворяет теореме Коров-кина [2] и, значит, Ьп(/; х) ^ /(х), непрерывной на [х(0); х(а)].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №07-0100167).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа: В 2 т. М., 1962. Т. 1.

2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

УДК 517.518.82 + 519.853.3

С.И. Дудов

О ДВУХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФАКТАХ

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Известно, что методы выпуклого анализа могут успешно применяться для исследования задач приближения функций и многозначных отображений [1,2]. В данной статье приведем обобщение одного вспомогательного факта из [1], которое может быть использовано при исследовании задач полиномиальной аппроксимации сегментных функций (например, задач, рассматриваемых в [3,4] с помощью средств выпуклого анализа.

Пусть Т - некоторое множество на действительной оси К, на котором определено многозначное отображение £(•) : Т ^ 2К, образами которого являются некоторые подмножества £(¿) из К для £ Е Т. Далее понимаем под соВ и тШ соответственно выпуклую оболочку и внутренность множества В, 0п+1 = (0,0,0) Е Кп+1.

Теорема 1.Для того чтобы

0п+1 Е со{£(*)(1,М2,...,*п) : I Е Т} (1)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

1. существует точка ¿0 Е Т такая, что 0 Е со£(¿о),

2. существует селектор /(¿) Е £(£),£ Е Т и набор упорядоченных чисел

И, =0,п+1 С Т : ¿0 < ¿1 < ... < ¿п+1 таких, что /(¿¿) =0 и sgп/(¿¿) = — sgn/(¿,+1),г = 0,п + 1.

Доказательство придерживается схемы доказательства леммы 8.1 из [1, с. 292], обобщением которой данная теорема является.

Необходимость. Пусть выполняется соотношение (1) и при этом при всех £ Е Т 0 = со£(¿). Очевидно, без потери общности можно считать, что все образы £(¿) - выпуклы. Из (1), по теореме Каратеодори [2, с. 9], следует, что элемент 0п+1 представим в виде выпуклой комбинации п + 2 элементов из множества {£(£)(1,£, ..,£п) : £ Е Т}. Ввиду выпуклости образов можно считать, что эти элементы соответствуют различным значениям £ Е Т. Таким образом, найдется упорядоченный набор точек {¿¿},=0 п+1 С Т, соответствующий набор значений /(¿,) Е £(¿,) и чисел

п+1

{а}=оп+т: а > = 1

¿=0

таких, что

п+1

¿а/(¿¿)(1, ¿п) = 0п+1. (2)

¿=0

Покажем, что все а, > 0,2 = 0,п + 1. Действительно, предположим без потери общности, что ап+1 = 0. Тогда соотношение (2) можно переписать в виде

п+1

¿о/)*к = 0, к = 0,п.

¿=0

Отсюда вытекает, что для любого полинома Рп(А, ¿) = а0 + + .. + ап£п с набором коэффициентов А = (а0,а15 ..,ап) выполняется

п

¿=0

/ (¿¿)Рп (А, ¿¿) = 0. (3)

В частности, равенство (3) будет выполняться и для полинома Рп(А0,^), однозначно определяемого системой

Рп(А0,^) = а,//(¿¿), г = 0,п. (4)

Подставляя значения полинома (4) в (3), получим

п

2

5>2 = 0.

¿=0

Это противоречит равенству

= 1.

¿=0

Итак, все а^ > 0, г = 0, п + 1.

Соотношение (2) можно переписать в виде

п

(£г)(Мг, ..,^п) = —ап+1/(^п+1)(1,^п+1, ..,^п+1).

¿=0

Отсюда, по формуле Крамера имеем

, ¿п+1, ¿¿+1, ..¿п )

а*/ = —ап+1/(^п+1)-ТТТТ--,

у (¿0, .., ¿п)

где У(¿0, ..,£п) - определитель Вандермонда. Учитывая, что

у(¿0,..,¿¿—1,¿п+1, ¿¿+1,..,¿п) = (—1)п ¿у(^0,..,¿¿—1,¿¿+1,.., ¿п+1),

получаем

«„/(гг) = —(—1)п—• «„+1/(¿„+1)у 1,*.+1,-.,*п+1). (5)

У ^ ¿п)

Поскольку числа ¿„ упорядочены по возрастанию, то определители в (5) являются положительными [1, с. 16].

Теперь, учитывая положительность всех а^ г = 0, п + 1, из (5) заключаем

^п/(¿¿) = — ^п/^^ г = 0,п.

Достаточность. Пусть набору упорядоченных точек {¿¿}«=0 п+1 соответствуют знакоочередные значения ](£«) £ £(¿¿)«=0 п+1- Известно [1, с. 299], что данному набору точек можно сопоставить набор чисел

п+1

{а*}*=о;п+т : а > а = 1

¿=0

таких, что для любого полинома Рп(А,£) выполняется

п+1

¿(—1)«а Рп(А,^г) = 0. (6)

¿=о

Отсюда, придавая соответствующие значения набору коэффициентов А, получаем

п+1

^(-1)гаг(1,^г,..,^П+1) = 0п+1. (7)

¿=о

Учитывая знакоочередность значений f (£«), соотношение (7) можно переписать в виде

п+1

^А/(Ъ )(1,^г,..,^п+1) = 0п+1, (8)

¿=о

где в = а«/ |/(¿¿)| > 0, г = 0,п + 1. Из (8), очевидно, вытекает (1). Теорема доказана.

Учитывая знакоочередность значений {/(£«)}, г = 0,п + 1, нетрудно видеть, что система (8) с добавлением условия нормировки в0+А + •• + вп+1 = 1 будет иметь единственное решение относительно {в«}«=0 п+1 и при этом в« > 0, г = 0,п + 1. Это означает, что справедлива

Теорема 2. Если функция /(£) принимает на упорядоченном наборе точек: £0 < < • • • < ¿п+1 знакоочередные значения: sgn/(¿¿) = = —sgn/(¿¿+1), г = 0,п, то

0п+1 £ гп^со {/(^)(1, • • •, ^П) : г = 0,п + 1}

Замечание. Получение необходимых и достаточных условий решения в задаче П.Л. Чебышева о наилучшем приближении непрерывной функции полиномом [1,2] или в задачах об оценке или приближению сегментной функции полиномиальной полосой, рассматриваемых в [3] и [4], можно свести к использованию теоремы 1, где множества Т и £ (£) принимают конкретный вид. Теорема 2 в этих случаях помогает получать условия единственности решения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

2. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

3. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении непрерывного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 13-15.

4. Сорина Е.В. Критерий решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины // Математика. Механика: Сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 127-130.

УДК 519.853.3

А.С. Дудова

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СИЛЬНО КВАЗИВЫПУКЛОЙ НОРМЫ

Пусть функция n(x) удовлетворяет на конечномерном пространстве Rp аксиомам нормы.

Определение 1. Будем говорить, что норма n(x) является r-сильно квазивыпуклой, если ее шар единичного радиуса является r-сильно выпуклым множеством, то есть представимым в виде пересечения евклидовых шаров радиуса r [1, с. 289].

В силу положительной однородности любая норма не может быть строго или тем более сильно выпуклой функцией на любом выпуклом телесном множестве. Цель данной статьи - показать, что на некоторых отрезках сильно квазивыпуклая норма может вести себя как сильно выпуклая функция.

Далее используются обозначения:

||x|| - евклидова норма элемента x Е Rp; 0p = (0,0,.., 0) Е Rp;

B(x, r) = {y Е Rp : ||x — y|| < r}, Bn(x, r) = {y Е Rp : n(x — y) < r} -шары в евклидовой норме и норме n(x) соответсвенно с центром в точке x и радиуса r;

str cor A - r-сильно выпуклая оболочка множества A, то есть наименьшее по включению r-сильно выпуклое множество, содержащее A [1, с. 297].

Напомним, что все нормы в конечномерном пространстве являются экви-валентыми. Поэтому для нашей конкретной нормы найдется положительная константа C такая, что

C||x|| < n(x), Vx Е Rp. (1)