Конструкция линейных положительных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Лемма 9.Если /(х) Е Ь[0,1], то

Нш

Т—>оо

J [Н(х, АИх А) - Но(х)Я1Х(И-1т(х))] <А

\\\=Т

где е Е (0, и ш(х, А) — решение задачи (4), т(х) — из (2).

Используя метод контурного интегрирования Коши - Пуанкаре резольвенты по расширяющимся контурам А-плоскости, на основании приведенных фактов получен следующий основной результат.

Теорема.Пусть А-1 существует. Тогда для любой /(х) Е Ь[0,1] и любого е Е (0,1) имеют место соотношения

Нш ||5Т(/,х) - ^т(/,х)||[£,2-£] = 0,

Т—1 2 J

Ит ||5т(/, х) - ^т (д,х - || [2 +е>1-£] = 0,

где д(х) = / (2 + х), х Е [0, 2], Бг(/, х) — частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора А для тех характе-

ристичеких чисел, для которых |Ак| < г, аТ(д,х) - частичная сумма ряда

{л ж

е4ктх| функции д(х) на отрезке х Е [0,1] для

тех к, для которых |4кп| < г.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, вып. 11. С. 115-142.

УДК 518.9

Е.В. Гудошникова

КОНСТРУКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В статье указывается общая конструкция линейных положительных операторов, позволяющая, во-первых, строить новые последовательности операторов, сходящиеся к тождественному, и, во-вторых, сформулировать и доказать теоремы об аппроксимации сразу для целого класса, а не для каждой из последовательностей хорошо известных операторов, которые являются частным случаем указанной конструкции.

Теорема. Пусть функции д(х) и ф(х) аналитичны в круге |г| < а и принимают действительные значения на [0; а). Для п, к £ N обозначим

ао ,п = д(0)пак,п =

1 А

■к-1

к!Ахк-1

д(г)п ф(г)к

г=0

Если ак,п > 0 (к = 0,1, 2,...), на [0; а) д(г) > 0, ф(г) > 0, гф'(г) < ф(г), то функция

) = гф(г) д'(г)

(г) - гф'(г) д(г)

возрастает на [0; а) и последовательность операторов Ьп:

Ы/; х) =

д(г (х))г

Е/

к=о

к

п

ак,

г(х)

ф(г (х))

(1)

где г(х) — функция, обратная к х(г), сходится к /(х), непрерывной на х £ [х(0); х(а)].

(Перечисленным выше условиям удовлетворяют многие хорошо известные операторы, например, операторы Саса-Миракьяна, Баскакова, Катала-на. Кроме того, несложно указать пары функций д и ф с требуемыми свойствами и получить новые последовательности операторов.)

Доказательство. Непосредственным вычислением проверяется, что

5 =

ьф(ьг)

д

ф(Ьг) — Ьгф'(Ьг) дь

ьф(ьг)

д

ф(Ьг) - Ьгф'(Ьг) дь

Ф (Ьг)

д(Ьг)

¿=1

к

1

п

ь

гфх+1(г)д(г) Ах (2)

(г) — гф'(г) Аг

С другой стороны, применяя теорему Лагранжа [1], в силу которой имеет место представление

^ Ьг к

д(Ьг) = д(0) + ^ (фЬУ ак,11

получаем, что

к=1 ф(ьг)

те к

5 = х2ф(г)хд(0) + ф(г)х ^ (-(-) (к — х)2ам > 0. (3)

к=1 ф(г)

Сравнивая полученные результаты (2) и (3), заключаем, что — > 0, следовательно, х(г) возрастает и имеет обратную функцию г(х).

Дифференцируя (1), получим соотношение

А т ч г'(х)д'(г )п Г „ , _ , —Ьп(/; х) = ( Ьп((Ь — х)/; х). (4)

Ах хд(г)

По теореме Лагранжа имеет место представление д(г)п =

= Еь=о(да) ак,п, откуда следует, что

Ьп(1; х) = 1. (5)

Из (4) следует, что

А т (л г'(х)д'(г)п , .

Ах хд(г)

и с учетом (5) имеем

Ьп(Ь — х; х) = 0 Ьп(Ь; х) = х£п(1; х) = х. (6)

Аналогично находится, что

2 2 х д(г)

Ьп(Ь ; х) = х Н ч ч . (7)

п г' (х)д' (г)

Из соотношений (5), (6) и (7) следует, что Ьп удовлетворяет теореме Коров-кина [2] и, значит, Ьп(/; х) ^ /(х), непрерывной на [х(0); х(а)].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №07-0100167).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа: В 2 т. М., 1962. Т. 1.

2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

УДК 517.518.82 + 519.853.3

С.И. Дудов

О ДВУХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФАКТАХ

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Известно, что методы выпуклого анализа могут успешно применяться для исследования задач приближения функций и многозначных отображений [1,2]. В данной статье приведем обобщение одного вспомогательного факта из [1], которое может быть использовано при исследовании задач полиномиальной аппроксимации сегментных функций (например, задач, рассматриваемых в [3,4] с помощью средств выпуклого анализа.