Конструкции линейных положительных операторов и их аппроксимативные свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Голубь A.B., Хромов А.П. Теорема равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с инволюцией, допускающей разрывы // Изв. Сарат, ун-та, 2007, Т. 7, вып. 2, С, 5-10,

УДК 517.51

Е.В. Гудошникова

КОНСТРУКЦИИ ЛИНЕИНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА

Рассмотрим функции g(z) и ), удовлетворяющие следующим услови-

ям:

(А) g(z) и ^(z) аналитические в круге |z| < а и принимают положительные значения на [0; а];

(В) на [0; а] хф'(х) < ф(х);

(С) числа ao,n = g(0)n и ак,и =

1 d

k-i

k!dzk-1

g(z)n *ß(z)f

k = 1, oo

неотрицательны. В работе [1] было показано, что в этом случае функция

z=0

x(z) =

z^(z) g/(z)

z) - z^/(z) g(z)

монотонно возрастает, следовательно, существует обратная ей функция г(ж) и /(ж) > 0.

По теореме Лагранжа [2] имеет место представление

o

g(x) = g(0) +

k=l

х

ф(х)

ak,i,

xg(x)

откуда легко видеть, что ) > 0. Обозначим -и(ж) = —-—— .

У(ж)о'(ж)

Для / : К ^ К рассмотрим последовательность операторов:

оо

Ln(/;х) =

g(z (x))n

k=0

k

n

«k,

z(x)

^(z (x))

Отметим, что частными случаями этой последовательности являются операторы Бернштейна, Баскакова, Саса-Миракьяна, Каталина и многие другие.

k

k

1

n

Теорема. Для / е С[0; х(а)] |£„(/; х) - /(х)| < 2ы | /; < (х)

п

Длл / е С'[0; х(а)] |£„(/; х) - /(х)| < 2^^ • ы^^

Для / е С ''[0; х(а)] |£„(/; х) - / (х) - ^ | < 3 ^ • ы ( /''; ^

2п п п

Доказательство. Используя свойства модуля непрерывности, легко получить следующее утверждение:

(1) Для У5 > 0 |/(*) - /(х)| < (1 + Ы) • ы(/; 5) < (1 + ^) • ы(/; 5).

В работе [1] было показано, что

(2) ¿„(1; х) = 1;

(3) ¿п(£; ж) = х, следовательно, ¿„(£ - х; х) = 0;

(4) ¿„(£2; х) = х2 + ^^^ следовательно, ¿„((£ - х)2; х) =

пп

Непосредственным вычислением находится, что

(5) ьп(и - х)2; х) = 3^!М + ^(хК2(х) + (хК(х)

' п2 п3 '

С учетом (1) и (4) получаем

|£п(/; х) - /(х)| < ¿„ ((1 + ) • ы(I; 5); х ^ = ы(/; 5)((1 + ^),

откуда следует первое утверждение теоремы.

Применяя формулу Лагранжа, получим, что для некоторого^, лежащего между х и

|£„(/; х) - /(х)| <Щ/'(х)(* - х); х) | + Ц|/'(£) - /'(х)| • - х|; х) <

< ¿п( (1 + - х|ы (/'; 5); х) < ы(/'; 5) ^ Ц(* - х)2; х) +

г>(х) 5п

= ц ^Сх). 4/'Г Мх)

пп

и второе утверждение теоремы так же доказано.

Применяя формулу Тейлора, получим, что для некоторого^, лежащего

между ж и

М/; ж) - /(ж) - ^ 1<

и доказано третье утверждение теоремы, из которого, в частности, следует, что порядок приближения рассмотренной последовательностью операторов не выше, чем 1/п2.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-

1, Гудошникова Е.В. Конструкция линейных положителных операторов // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 20-22,

2.Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анлиза, М.. 1962, Т.1

Рассматривается задача наилучшего равномерного на отрезке приближения в метрике Хаусдорфа сегментной функции полосой постоянной ширины, осью которой является полином заданной степени. Средствами и в терминах выпуклого анализа получен критерий решения задачи, а также достаточные условия решения в форме, сравнимой с чебышевским альтернатом.

1. Пусть ^(£) = [01 (^), д2(^)] — сегментная функция (с.ф.), заданная на отрезке [с, непрерывными функциями д^) < д2(£), а с.ф. Пп,г(А,£) = = [Рп(А, £) — г, Рп(А, £) + г} задаёт полиномиальную полосу ширины 2г, осью

00167).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

УДК 517.518.82

С.И. Дудов, Е.В. Сорина

КРИТЕРИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ