Критерий решения задачи наилучшего приближения сегментной функции полиномиальной полосой Текст научной статьи по специальности «Математика»

между х и Ь,

\Lntf; х) - /(х) - ^ 1<

и доказано третье утверждение теоремы, из которого, в частности, следует, что порядок приближения рассмотренной последовательностью операторов не выше, чем 1/п2.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-

1, Гудошникова Е.В. Конструкция линейных положителных операторов // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 20-22,

2.Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Куре современного анлиза, М.. 1962, Т.1

Рассматривается задача наилучшего равномерного на отрезке приближения в метрике Хаусдорфа сегментной функции полосой постоянной ширины, осью которой является полином заданной степени. Средствами и в терминах выпуклого анализа получен критерий решения задачи, а также достаточные условия решения в форме, сравнимой с чебышевским альтернатом.

1. Пусть Г(Ь) = [д\(Ь), $2(£)] _ сегментная функция (с.ф.), заданная на отрезке [с, ¿] непрерывными функциями д\(Ь) < а с.ф. Пп,г(Л,Ь) =

= [Рп(А, Ь) — г, Рп(А, Ь) + г] задаёт полиномиальную полосу ширины 2г, осью

00167).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

УДК 517.518.82

С.И. Дудов, Е.В. Сорина

КРИТЕРИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ

которой является полином Pn(A, t) = a0 + ait + • • • + antn с вектором коэффициентов A = (a0, a1,..., an) G Rn+i . Рассмотрим задачу

Ф(А, r) = max max {|gi(t) - Pn(A,t) + r|, |g2(t) - Pn(A,t) - r|}

tG[c,d]

—> min . (1)

AeRn+\r>0

В записи целевой функции ф(А,г) экстремальной задачи (1) выражение max{^} является расстоянием Хаусдорфа между сегментом F (t) и сегментом Пп,г(A, t). Однако эта задача принципиально отличается от задачи приближения в метрике Хаусдорфа графика с.ф. графиком полинома, рассматрива-

r

0(A, r) только по A, то в зависимости от этого значения её связь с некоторыми другими задачами по оценке с.ф. полиномиальной полосой отмечалась в [2]. Обозначим через

p(A) = max max {Pn(A,t) - gi(t),g2(t) - Pn(A,t)},

tG[c,d]

n(A) = max max {gi(t) - Pn(A, t), Pn(A, t) - ^(t)}.

tG[c,d]

Нетрудно показать, что

0(A, r) = max {p(A) - r,n(A)+ r}. (2)

Будем также использовать следующие обозначения:

R (A) = {t g [c, d] P(A) = Pn(A,t) - gi(t) > g2(t) - Pn(A,t)},

R2 (A) = {t g [c, d] P(A) = g2(t) - Pn(A,t) > Pn(A,t) - gi(t)},

R3 (A) = {t g [c, d] P(A) = Pn(A,t) - gi(t) = g2(t) - Pn(A,t)},

R (A) = {t G [c, d] n(A) = Pn(A,t) - g2(t) > gi(t) - Pn(A,t)},

Rn (A) = {t G [c, d] n(A) = gi(t) - Pn(A,t) > Pn(A,t) - g2(t)},

Rn (A) = {t G [c, d] n(A) = Pn(A,t) - g2(t) = gi(t) - Pn(A,t)},

Я^А) = ЯР (А) и Щ (А), Я2(А) = ЯР (А) и Щ (А), соВ — выпуклая оболочка множества В, Оп+1 = (0,..., 0) Е Щ+1, < •, • > — скалярное произведение. Очевидно, функции р(А) и п (А) являются выпуклы ми на Щ+1. Используя субдифференциальное исчисление выпуклых функций (см.,напр., [3]), нетрудно получить формулы субдифференциалов этих функций

Г(М,...,Г), t Е ЩР(П)(А);]

др(А)(п(А)) = со ^ -(М,...,Г), t Е ЯР(П)(А); I (3)

2. Приведём критерий решения задачи (1).

Теорема 1 .Для того чтобы пара (А*,г*) была решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы

Оп+1 е др(А*) + дп(А*), г* = (р(А*) — п(А*))/2. (4)

Доказательство. Поскольку р(А) > п(А), то для фиксированного вектора коэффициентов А минимальное значение функции ф(А, г) по г > 0 достигается при г = (р(А) — п(А))/2. Подставляя это значение в (2), приходим к выводу, что задача (1) эквивалентна задаче

/(А) = р(А) + п(А) ^ шт . (5)

В соответствии с известным фактом из выпуклого анализа [3, с. 142], критерием решения задачи (5) является выполнение включения Оп+1 е д /(А*). Осталось заметить, что по теореме Моро-Рокафеллара [3,с.78] субдифференциал суммы двух выпуклых конечных функций является суммой субдифференциалов слагаемых. Теорема доказана.

Теперь покажем, что используя формулы (3), можно получить с

помощью теоремы 1 достаточные условия решения конструктивного вида, сравнимого с известным в теории приближения явлением альтернанса.

Теорема 2. Если для вектора А* найдутся п + 2 пары точек

41' = ь<2> < 41' < 42) <... < е < е < С = ьП+2 (6)

(2)

таких, что еслиц е ЯрР(А*)(ЯрР(А*),Щ(А*),Щ(А*)) то соответственно ь(+1 е Щ (А*)(щ (А *),ЯГР(А*),ЯГР(А*)) и при этом л ибо {Ь((1),Ь(2)} С Я^А*), либо {Ь(1),Ь(2)} С Я2(А*). Тогда вектор А* и г* = (р(А*) — п(А*))/2 являются решением задачи (1).

Доказательство. В силу теоремы 1 нам достаточно доказать включение

Оп+1 е др(А*) + дп(А*). (7)

Если предположить противное, то по теореме отделимости ([3,с. 17]) найдётся вектор А е Яп+1,А = Оп+1, такой, что

< А,у >>< А.'Ш Уу е др(А*),'ш е дп(А*). (8)

В соответствии с формулой (3) мы можем подставлять в (8) в качестве у('ш) элементы вида (1,Ь,... ,Ьп)7 если Ь е Ягр(А*)(Я1[ (А*)), или

— (1, ^ ..., если t Е Щр(А*)(Щ|(А*))- Используя таким образом точки из (6), мы приходим к выводу, что если Рп(А,^(2)) < (>)Рп(А,4+1), то Р^А,^^) > (<)Рп(А,4+2),г = 1,п. Следовательно, производная полинома Рп(А, t) обязана иметь, по крайней мере, п нулей. Это означает, что А = Оп+1 и противоречит (8). Теорема доказана.

Примеры показывают, что решение задачи (1) может удовлетворять

условиям теоремы 2, а может и не удовлетворять, то есть оно не является необходимым условием решения.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сеидов Б. Хауедорфовы приближения. София, 1979. 372 с.

2. Сорина Е.В. О наилучшем приближении многозначного отображения полиномиальной полосой // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов, 2006. С. 164-165.

3. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М,: Наука, 1980. 320 с.

УДК 517.984

М.Ю. Игнатьев

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 4-ГО ПОРЯДКА ПО НУЛЯМ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим самосопряженный дифференциальный оператор Ь, порожденный дифференциальным выражением

= у(4) + (р^УУ + д(х)у

с вещественными коэффициентами р(х) Е С2[0,1], д(ж) Е С[0,1] и краевыми условиями

у(0) = у"(0) = у(1) = у"(1) = 0.

Пусть {Ап},п = по,по + 1,..., — собственные значения оператора Ь, занумерованные таким образом, что при п ^ то Ап = (пп + 0(1))4 и пусть уп(х) — соответствующие собственные функции. Обозначим через множество нулей функции уп(ж). Из асимптотик собственных функций [1] следует, что, начиная с некоторого номера N множества Х^п) непусты и их элементы ж^п) могут быть занумерованы так, что справедлива асимптотика Хп) = ;п-1 +о(п—1) при п ^ то равномерно по с1п < ] < с2п для любых фиксированных 0 < с1 < с2 < 1. Обозпачим = у Хп). Из асимптотики

п=Ж,оо