CC BY
12
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ромакина Л. Н. Ортогональная орнцнклическая система координат на гиперболической плоскости положительной кривизны // Дни геометрии в Новосибирске, 2013 : тез, докл. Междунар, конф, Новосибирск : Ин-т математики им. С, Л, Соболева СО РАН, 2013. С. 74, 75.
2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 1 : Тригонометрия. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с.
3. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 2 : Преобразования и простые разбиения. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 274 с.
УДК 517.518.82
Р. О. Романов, С. И. Дудов
О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ
1. Пусть сегментная функция F(t) = [f (t), f2(t)] задана на компактном множестве Т вещественной оси функциями /i(t) и /2(t), причем fi(t) < f2(t) для всех t Е Т. Обозначим через Pn(A,t) = а0 + a1t+ + • • • + antn - алгебраический полином фиксированной степени n и вектором коэффициентов A = (а0, а1,..., ап) Е Rn+1.
Рассмотрим задачу
<^(A,r) = maxmaxP(A,t) - f2(t) + r,fi(t) - Pn(A,t) + r] ^ min ,
tET (A,r)ED
D = {(A,r) E Rn+1 x R+ : ^(A,r) = (1)
= maxmax{[Pn(A,t) - fi(t) - r,/2(t) - Pn(A,t) - r] < 0}.
tET
Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой графиком полинома Pn(A,t), и шириной 2r будем понимать график сегментной функции nn(A,t,r) = [Pn(A,t) - r,Pn(A,t)+ r], Условие max[Pn(A,t) - A(t) --r, f2(t) - Pn(A, t) - r] < 0 выражает включение F(t) С nn(A, t, r). При его выполнении величина max[Pn(A,t) - f1 (t) - r, f2(t) - Pn(A,t) - r] является уклонением отрезка nn(A, t, r) от отрезка F(t).
Таким образом, задача (1) требует построения полиномиальной полосы, содержащей график сегментной функции F(t), и при этом наименее равномерно уклоняющейся от этого графика па множестве Т. Простые примеры показывают, что эта задача имеет самостоятельное значение от задачи внешней оценки сегментной функции полиномиальной полосой наименьшей ширины [1]. Цель данной статьи - показать, что задача (1)
сводится к другой задаче полиномиальной оценки сегментной функции, а именно, к задаче равномерного приближения сегментной функции полиномиальной полосой
maxmax{|/i(t) - Pn(A,t) + r|, |f2(t) - Pn(A,t) - r|} ^ min (2)
teT AeRn+1,r>0
и указать конкретную связь между ними. Кроме того, будет показано, что в случае, если T - конечный набор точек, то задача (1) может быть редуцирована к задаче линейного программирования. Отметим, что функции ((A,r) и ф(А,т) являются выпуклыми по совокупности переменных (A,r) на Rn+2. Таким образом, задача (1) является задачей выпуклого программирования, что позволяет для её иследования использовать методы выпуклого анализа.
2. Введем вспомогательные функции
р(А) = max max [Pn(A,t) - fi(t),f2(t) - Pn(A,t)],
teT
h(A) = max min [fi(t) - Pn(A,t), Pn(A,t) - f2(t)]. teT
Тогда задачу (1) можно переписать в виде ((A,r) = h(A) + r ^ min ,
(A,r)eD (3)
D = {(A,r) e Rn+1 x R+ : ф(A, r) = p(A) - r < 0}.
Теорема 1. Задача (3) эквивалент,на задаче (2). При этом, если пара (A*,r*) - одно из решений задачи (3), то пара (A*, (p(A*) --h(A*))/2) - одно из решений задачи (2). И наоборот, если пара (A*,r*) - одно из решений задачи (2), то пара (A*, p(A*)) - является одним из решений задачи (3).
Доказательство. Как показано в [2], задача (2) эквивалентна задаче
ß(Ä) = p(A) + h(A) ^ mm* . (4)
AeRn+1
При этом, если A* - одно из решений задачи (4), то пара (A*, (p(A*) --h(A*))/2)
достаточно доказать эквивалентность задач (3) и (4).
Итак, пусть пара (A*,r*) - одно из решений задачи (3). Нетрудно видеть, что в этой точке выполняется
ф(A*,r*) = p(A*) - r* = 0. 63
Кроме того, в соответствии с известным фактом из выпуклого анализа [2, гл. 4, § 2] эта точка обладает свойством
д^(А*,г*) П К+((А*,г*),О) = 0. (6)
Здесь д^(А*, г*) - субдифференциал выпуклой функции ^>(А,г) по совокупности переменных (А,г) в точке (А*,г*) , К((А*, г*), О) - конус возможных направлений множества О в точке (А*, г*) К + - сопряжен-
К
выпуклых функций [4, гл. 1, § 5], получаем
д<р(А,г) = {дй(А), 1}, д^(А,г) = {др(А),-1}, (7)
где д^(А), др(А) - субдифференциалы выпуклых функций ^(А) и р(А) по А е
Используя леммы 6.1 и 6.2 из [4], учитывая при этом 0п+2 е е д^(А*, г) и (5), получ аем К ((А*, г* ),О) = —К+({др(А), — 1}), где под К({др(А), — 1}) понимается коническая оболочка множества {др(А), —1}. Следовательно, имеем
К+((А*,г*),О) = —К ({др(А), —1}). (8)
Теперь соотношение (6), подставляя формулы (7) и (8), можно переписать в виде
{дЛ(А), 1} П {—К({др(А), —1}) = 0
или
0п+2 е {дЛ(А), 1} + К({др(А), —1}). (9)
Нетрудно показать (см. [5]), что ввиду 0п+2 е {др(А), —1} соотношение (9) эквивалентно включению
0п+2 е со ({дЛ(А), 1}, {др(А), —1}), (10)
где со{^} - выпуклая оболочка множества {•}. Очевидно, что (10) эквивалентно
0п+1 е д^(А*) + др(А*). (11)
Поскольку ^(А) и р(А) - выпуклые и конечные, а значит, и непрерывные па Кп+1 функции, то по теореме Моро - Рокафеллара [4, гл. 1,
§ 5], др.(А) = др(А) + д^(А). Поэтому [3, гл. 4, § 2] соотношение (11)
А*
Теорема доказана.
3. Рассмотрим случай, когда T = {ti} i = 1,N - конечный набор точек. Отметим, что содержательным является случай N > n + 2. При N < n + 2 задача (1) решается тривиальным образом.
Обозначим через x = (x1,x2,... ,xn+2) Е Rn+2 вектор, где xi = ai—1, i = l,n + 1,xn+2 = r. Пусть далее для i = 1,N:
Bi = (1,u,t2,...,tn, l), bi = —f2(ti),
Bi+N = ( — 1, -ti, -t2, . . . ,tn, l), bi+N = fl(ti), Bi+2N = (1,ti,t2, . . . ^^ — ^ bi+2N = — f1(ti), Bi+3N = ( — 1i —t, —2, . . . , —П,, —1), bi+3N = f2 (ti).
Тогда задачу (1) можно записать в виде
Imax {{Bi,x) + bi} —у min,
i=l,2N xeD
D ={x Е Rn+2 : ma^{{Bi
L i=2N+1,4N
Используя известный прием [6], нетрудно доказать, что справедлива
Теорема 2. Задача (12) эквивалент,на задаче линейного программирования вида
!xn+3 — min,
xn+з — {Bi, x) — bi > 0, i = 1JN, (13)
(Bi,x) + bi < 0, i = 2N + 1,4N.
При, этом, если точка x* = (x*,... ,xn+2,xn+3) является одним из решений задачи (13), то точка x* = (x*,... ,x*n+2) является одним из решений задачи (12). И наоборот, если точка x* = (x*,...,x*n+2) -одно из решений задачи (12), то точка x* = (x*,... ,xn+2,xn+3), где x*n+3 = min_{{Bi,x*) + bi}) является одним из решений задачи (13).
i=1,2N
Работа выполнена при, финансовой поддержке РФФИ (проекты, № 13-01-00175 и № 13-01-00238).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И. Ю., Дудов С. И., Сорина, Е. В. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой // ЖВМ и МФ, 2009. Т. 49, JVS 7, С. 1175-1183.
2. Дудов С. И., Сорина Е. В. Равномерная оценка сегментной функции полиномиальной полосой // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 5. С. 44-71.
3. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М, : Наука. 1982.
4. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М, : Наука. 1981.
x) + bi} < 0 .
(12)
