Об одном метрическом свойстве овальных линий гиперболических плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.132 + 514.133

Л. Н. Ромакина, М. А. Бондарева

ОБ ОДНОМ МЕТРИЧЕСКОМ СВОЙСТВЕ ОВАЛЬНЫХ ЛИНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Докажем теоремы, сформулированные авторами в тезисах [1]. Постановка задачи. Множество п всех точек евклидовой плоскости, из которых данный отрезок АВ виден под постоянным углом а, является дугой окружности с хордой АВ без ее концов. В частности, если а - прямой угол, то п _ окружность с диаметром АВ без точек А В

Пусть на гиперболической плоскости Н положительной кривизны [2] заданы точки А, В. Исследуем множество п всех точек М плоскости Н для которых МА±МВ (величина прямого угла плоскости Н = т/2). Решим задачу в три этапа, при гиперболической, эллиптической и пара-

АВ

лических плоскостях решим аналогичную задачу на плоскости Лобачевского А2 т.е. на гиперболической плоскости отрицательной кривизны.

АВ

Присоединим канонический репер Я второго типа [2] плоскости Н к заданным точкам так, чтобы его третья вершина являлась серединой АВ

АВ А В Я

А (1:1: а), В (1:1: —а), а е К. (1)

Я

х\х2 — х\ = 0. (2)

АВ

поэтому в координатах (1) а2 > 1.

М п Я

ты (ш\ : т2 : т3) и найдем координаты прямых

МА (ат2 — т3 : т3 — ат-1 : т\ — т2),

МВ (—ат2 — т3 : т3 + ат1 : т1 — т2). (3)

Уравнению (2) абсолюта соответствует тангенциальная билинейная форма Ф = 2X1У2 + 2X2^1 — Х3У3. Прямые МА и МВ ортогональны, поэтому их координаты (3) сопряжены относительно Ф. Следовательно, уравнение искомого множества п имеет вид

х\ + х2 + 2ж1ж2 (1 — 2а2) + 4x2 = 0. (4)

Рассмотрим положение линии (4) по отношению к абсолюту. При а2 > > 1 система уравнений (2), (4) имеет четыре действительных решения, следовательно, множество п (4) пересекает абсолют в четырех вещественных точках. Согласно классификации овальных линий плоскости Н [3] п

п

лютом касательных. Для этого уравнения (2), (4) запишем в тангенциальных координатах:

4X1X2 — Х32 = 0, (5)

X2 + X2 + 2X1X2 (2а2 — 1) + а2 (1 — а2) X2 = 0. (6)

Система уравнений (5), (6) при а2 > 1 определяет четыре действи-

п п

бигиперболой.

АВ

Помещая третью вершину репера Я в середину отрезка АВ, а точку Е21 (—1 : 1 : 0) на прямую АВ точкам М, А, В присвоим координаты:

М (т1 : т2 : т3), А (1 : —1 : а), В (—1:1: а), а е К, а = 0.

Записывая условие ортогональности прямых МА (—ат2 — т3 : ат1 — т3 : т1 + ш2), МВ (ат2—т3 : —ат1 — т3 : т1 + т2), получим уравнения

п

х2 + х2 + 2х1х2 (1 — 2а2) — 4x3 = 0 (7)

и в координатах текущей касательной

X2 + X2 + 2X1X2 (2а2 — 1) + а2 (а2 — 1) X2 = 0. (8)

Система уравнений (2), (7) определяет четыре общие вещественные точки, а система уравнений (5), (8) - четыре общие мнимые касатель-п

п

п

АВ

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Множество всех точек плоскости Н, из которых дан-

АВ ( )

()

АВ А В

АВ

А3 Я АВ

А1А3 М А В

М (т1 : Ш2 : Ш3), А (1:0: а), В (1:0: —а), а е К, а = 0.

Применяя условие ортогональности прямых МА (—ат2 : ат1 — т3 : т2), МВ (ат2 : —ат1 — т3 : ш2), получим уравнение

х2 (4а2х1 — х2) = 0. (9)

Линия (9) распадается на пару прямых: прямую АВ (х2 = 0), точки

п

ческую прямую к (4а2х1 — х2 = 0). Прямая к ортогональна прямой,

АВ АВ

следующая теорема.

Теорема 2. Множество всех точек плоскости Н, из которых дан-АВ

ляется гиперболической прямой, проходящей через середину Б отрезка АВ перпендикулярно прямой БК7 гс^е К - точка пересечения каса-

АВ

Заметим, что на плоскости Н тип мпожества п определен однозначно АВ

задачи на плоскости Лобачевского, все прямые которой одного типа.

Решим задачу на плоскости А2, применяя канонический репер Я* первого типа [2] и классификацию овальных линий плоскости Лобачевского из книги [4]. Использованный при решении задачи на плоскости Н

п

АВ

Теорема 3. Множество точек плоскости Лобачевского радиуса кривизны, ш, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, является вогнутой гиперболой при еЬ> 37 эквидистантой при еЬ ^^ = 37 эллипсом при еЬ ^^ < 3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Ромакина Л. Н., Бондарева М. А. Метрическое свойство гипербол гиперболической плоскости положительной кривизны // Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях: тез, докл. междунар, конф,, посвящ, 50-летию мех.-мат, фак, 17-22 апр, 2011, Харьков: Изд-во ФЛП Вировец А,П.; Изд. группа «Апостроф», 2011, 151 с.

2, Ромакина Л. Н. Аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности на гиперболической плоскости положительной кривизны // Сиб, электрон, мат, изв. 2013. Т. 10. С. 393-407.

3. Ромакина Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 37-44.

4. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М,: Наука, 1969.

УДК 517.518 + 519.583

Р. О. Романов, С. И. Дудов

ОБ ОДНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ МАЖОРАНТЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть fi(t) и /2(t) _ непрерывные на отрезке [c,d] функции, Pn(A,t) = ао + ölt + • • • + antn - полином степени n с вектором коэффициентов A = (а0,а1,..., ап) £ Rn+1. Рассмотрим задачу

p(A) = max[Pn(A,t) - fi(t)] ^ min, (1)

t£[c,d] AeD

D = {A e Rn+1 : maxf2(t) - Pn(A,t)] < 0}, (2)

te[c,d]

которая требует построения полиномиальной мажоранты для функции f2(t), оптимальной относительно p(A).

Очевидно, функции p(A) и h(A) = maxte[c,d][f2(t) — Pn(A,t)] выпуклы и конечны на Rn+1, а задача (1)-(2) является задачей выпуклого программирования. Нетрудно показать, что решение задачи (1)-(2) сугце-ствует и может быть не единственным.

Цель статьи - получить необходимые и достаточные условия решения задачи.

Далее будем использовать обозначения: dp(A) и dh(A) - субдифференциалы выпуклых функций р(-) и h(^) в точке A K(A, D) - конус возможных направлений множества D в точке A; intß, coß7 K(B) -