Длина дуги орицикла на гиперболической плоскости положительной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.133

Л. Н. Ромакина

ДЛИНА ДУГИ ОРИЦИКЛА НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

В геометрии гиперболической плоскости Н положительной кривизны [1] получены формулы для выражения длины дуги орицикла через длину стягивающей ее хорды. Показано, что длина дуги орицикла, стягиваемой параболической хордой, равна двум радиусам кривизны плоскости Н.

Теорема. На плоскости Н действительного радиуса кривизны р длина I дуги орицикла, стягиваемой эллиптической (гиперболической) хордой длиной а, может быть вычислена, по формуле

1 = 2р (' = 2р сЬ2р), (1)

длина дуги орицикла, стягиваемой параболической хордой, равна2р. Доказательство. Пусть £ - направление обхода абсолютной линии 7 НН НН

рого типа (см. [2, п. 3.4.1]), ш — орицикл плоскости Н с центром в точке К, ОМ — хорда орицикла ш. Выберем правый канонический репер Я = {К, А2, А3, Е} второго типа так, чтобы вершина А2 лежала на прямой ОК. 7 и ОК = А2, А2 = К вершина А3 была полюсом прямой ОК относительно 7; точка Е лежала та касательной ОЕ к абсолюту. ПоЯ КЕА2 с направлением

Я

К (1:0:0), А2 (0:1:0), А3 (0:0:1), Е (1:1:1), О (1 : -1:0), (2)

а орицикл ш задан уравнением

22 X2 + х\х2 — X2 = 0. (3)

Я

координат С0 с нулевым орициклом ш и началом О [3]. В системе С0 каждая точка X плоскости Н имеет координаты (и; V), определенные равенствами

и = ((КХ )(КЕ )(КО)(КАз)), ур = ¿|ХХх|, (4)

где Х\ - точка пересечения прямой ХК с орициклом ш; 5 = 1 (5 = -1), если точка X не принадлежит (принадлежит) лучу Х\К.

Записывая равенства (4) в координатах (2) для точки М, получим связь ее координат (ш\ : ш2 : ш3) в репе ре Я с координатами (и; V) в системе С0: ш3 = иш^ V = 0. Учитывая, что М принадлежит орициклу (3), выразим через и координаты данной точки в репере Я:

М (и2 - 1:1: и) . (5)

Связь координат (и; V) точки плоскости Н в системе С0 с ее собственными координатами (х : Х2 : Х3) в репере Я устанавливают формулы (1)

()

__(2 V ___V __V

х\ = р [и е — е ) , х2 = ре , х3 = рие .

Следовательно, длина / дуги ОМ между точками О (0; 0) и М (и; 0) па координатной линии ш (V = 0) системы С0 определена формулой

рп

/ = р / ¿и = ри. (6)

Л

ОМ

ОМ

ОМ

первой формуле (4.33) из [1] находим

|ОМ | 2 — и2

сое-1 = 6-, 6 = ±1. (7)

р 2 ' ()

6

ОЯ

натамп (1 : —1 : 0) и пересекает прямую ОМ (1 : 1 : —и) в точке О* (и : и : 2) удаленной от О па расстояние пр/2. Точка ( пересечения прямых ОМ и КА3 (0 : 1 : 0) задана в Я координата ми (и : 0 : 1) и является внешней относительно ш, поскольку лежит па его касатель-КА3

Нас интересует длина а внутренней эллиптической хорды ОМ орицикла ш. Данная хорда ОМ является коротким (длинным) отрезком эллиптической прямой (см. [1, п. 4.2.2]) тогда и только тогда, когда она не содержит (содержит) точку О*, т.е. тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (ОМО*О > 0 ((ОМО*О < 0), имеющее в координатах вид

^^ > 0 (тг^ < 0 ) . (8)

2 и2 2 и2

Таким образом, для числа а выполняются следующие утверждения:

а <Ц ^ 2 - и2 > 0 (а>Пр ^ 2 - и2 < 0) . (9)

Согласно утверждениям (9) в выражении (7) е = 1. Поэтому

а

и = 2 —. (10)

2р ( )

и

2. Хорда ОМ принадлежит гиперболической прямой. Для координат (1:1: — и) гиперболической прямой ОМ согласно первому требованию (4.9) из [1] выполняется неравенство 4 — и2 < 0, а следовательно, и неравенство 2 — и2 < 0. Поэтому по второй фора ОМ

выражению

а и2 — 2 СП — = -.

Р 2

Откуда

а

и = 2 сЬ —. (11)

2р ( )

и

ОМ

Отличную от К точку пересечения прямой КЕ с орициклом ш обозначим Т. Поскольку в рассматриваемом случае точка М принадлежит

ОЕ КЕ

цикла ш, то тарды ОТ я МТ симметричны относительно КЕ и являются эллиптическими.

По теореме 2.4.27 из [2] длина а каждой из хорд ОТ и МТ равна пр/3.

а

найдем длину I (ОТ) дуги ОТ: I (ОТ) = р. Поскольку конгруэнтные хорды орицикла стягивают его конгруэнтные дуги, то длина / дуги ОМ орицикла ш, стягиваемой параболической хордой ОМ, равна 2р.

Таким образом, справедливо заключительное утверждение теоремы. Теорема доказана.

Дугу орицикла плоскости стягиваемую параболической хордой, назовем параболической, а ее половину - единичной дугой орицикла.

Согласно доказанной теореме на плоскости Н параболическую и единичную дуги орицикла можно рассматривать как некоторый эталон измерения дуг орициклов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ромакина Л. Н. Ортогональная орнцнклическая система координат на гиперболической плоскости положительной кривизны // Дни геометрии в Новосибирске, 2013 : тез, докл. Междунар, конф, Новосибирск : Ин-т математики им. С, Л, Соболева СО РАН, 2013. С. 74, 75.

2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 1 : Тригонометрия. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с.

3. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 2 : Преобразования и простые разбиения. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 274 с.

УДК 517.518.82

Р. О. Романов, С. И. Дудов

О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ

1. Пусть сегментная функция F(t) = [f (t), f2(t)] задана на компактном множестве Т вещественной оси функциями /i(t) и /2(t), причем fi(t) < f2(t) для всех t Е Т. Обозначим через Pn(A,t) = а0 + a1t+ + • • • + antn - алгебраический полином фиксированной степени n и вектором коэффициентов A = (а0, а1,..., ап) Е Rn+1.

Рассмотрим задачу

<^(A,r) = maxmaxP(A,t) - f2(t) + r,fi(t) - Pn(A,t) + r] ^ min ,

tET (A,r)ED

D = {(A,r) E Rn+1 x R+ : ^(A,r) = (1)

= maxmax{[Pn(A,t) - fi(t) - r,/2(t) - Pn(A,t) - r] < 0}.

tET

Под полиномиальной полосой с осью, задаваемой графиком полинома Pn(A,t), и шириной 2r будем понимать график сегментной функции nn(A,t,r) = [Pn(A,t) - r,Pn(A,t)+ r], Условие max[Pn(A,t) - A(t) --r, f2(t) - Pn(A, t) - r] < 0 выражает включение F(t) С nn(A, t, r). При его выполнении величина max[Pn(A,t) - f1 (t) - r, f2(t) - Pn(A,t) - r] является уклонением отрезка nn(A, t, r) от отрезка F(t).

Таким образом, задача (1) требует построения полиномиальной полосы, содержащей график сегментной функции F(t), и при этом наименее равномерно уклоняющейся от этого графика па множестве Т. Простые примеры показывают, что эта задача имеет самостоятельное значение от задачи внешней оценки сегментной функции полиномиальной полосой наименьшей ширины [1]. Цель данной статьи - показать, что задача (1)