Эллиптические орициклические n-реберники плоскости H Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.133

Б01: 10.13140/ЯС. 2.1.1578.5128/1

Л. Н. Ромакина, В. О. Чурилова

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРИЦИКЛИЧЕСКИЕ Ж-РЕБЕРНИКИ

ПЛОСКОСТИ Н

Получено соотношение между длинами ребер вписанного в орицикл трехреберника типа еее(1) гиперболической плоскости Н положительной кривизны и его обобщение на случай произвольного орициклического п-реберннка.

Все трехреберники плоскости Н относятся к десяти инвариантным относительно группы О типам. Трехреберник типа еее(1) содержит три эллиптических ребра, два эллиптических угла и один эллиптический псевдоугол [1]. Ребро, противолежащее эллиптическому углу трехреберника типа еее(1), назовем основанием, а два других ребра - боковыми ребрами данного трехреберника. Доказано, что длина основания трехреберника типа еее(1) больше суммы длин его боковых ребер [1, теорема 5.4.5].

Циклом плоскости Н называем траекторию точки в некотором дви-

О

кости Н относятся ее собственные овальные линии четырех типов: орициклы, гиперциклы, гиперболические и эллиптические циклы. Траекторией точки при сдвиге вдоль параболической прямой является ори-цикл7 овальная линия, имеющая четыре совпавшие общие точки и четыре совпавшие общие касательные с абсолютной овальной линией 7 плоскости Н. Общую точку (касательную) орицикла и абсолюта называем центром (базой) данного орицикла.

НН

ет описанный около него орицикл, и все ребра данного трехреберника являются внутренними хордами этого орицикла.

Согласно теореме 2.4.21 из [2] серединный перпендикуляр хорды орицикла содержит центр этого орицикла. Поэтому для орициклического трехреберника существует единственный описанный около него орицикл, и центр описанного орицикла является пересечением серединных перпендикуляров к ребрам данного трехреберника.

Следующая теорема устанавливает связь между длинами ребер орициклического трехреберника типа еее(1) плоскости Н.

Теорема 1. На плоскости Н радиуса кривизны р длина а основания и длины Ь, с боковых ребер орициклического трехреберника типа еее(1)

связаны, соотношением

. a

sin — = 2р

b . c

sin--+ sin —.

2p 2p

Доказательство. Пусть на плоскости H трехреберник ABC типа eee(/) вписан в ори цикл w, причем его основание BC и боковые реб ра AB, AC являются внутренними хордами данного орицикла (рис. 1, а

B

k Ai

A

C

k Ai

б

B4

F ^Вэ

Рис. 1. Орициклический трехреберник ЛВС типа еее(/) плоскости Н, вписанный в орицикл ш с центром Л1 и базой к (о).

Орициклический 5-реберник ^ (б)

Выберем канонический репер Я = {А^А2,А3,Е} второго типа [1, п. 4.1.2] плоскости Н так, чтобы его вершина А1 совпала с центром орицикла ш, вершина А2 лежала на прямой АА1? а единичная точка Е принадлежала прямой ВА^ Репер Я данными требованиями определен однозначно. Вершины трехреберника в Я можно задать координатами: А (-а : 1 : 0) В (1 - а : 1 : 1) С И1 - ас2 : с2 : с), где а е с е К, а орицикл ш - уравнением

2 2 + — % = 0.

(2)

а

По условию вершина A трехреберника ABC противолежит основанию, поэтому прямая AiA разделяет с базой к орицикла w (см. [2]) прямые AiB и A1C ((A1A)k(A1B)(A1 C)) < 0. Записывая это неравенство в координатах прямых A1A (0 : 0 : 1) к (0:1:0) A1B (0 : 1 : — 1), A1C (0:1: —c), получим

c < 0. (3)

Поляра pa (1 : —a : 0) точки A относительно абсолюта пересекает прямую AB (1 : a : — 1) в точке Ab (a : 1 : 2a), а прямую AC (c : ac : — 1) _ в ТОчке Ac (a : 1 : 2ac). Точка Ab (Ac) удалена от точки A на прямой AB (AC) на расстояние пр/2. Общая точка B0 (Co) прямой AB (AC) и базы к орицикла w имеет в R координаты B0 (1 : 0 : 1) (Co (1 : 0 : c)). Поскольку ребро AB (AC) - внутренняя хорда орицикла w, а точка B0 (Co) как точка базы лежит во внешней относительно w области,

то ребро АВ (АС) является коротким [1, пп. 4.2.2, 4.4.1] тогда и только тогда, когда ему не принадлежит точка Ав (Ас), т.е. тогда и только тогда, когда

2а — 1 / 2ас2 — 1 \

(АВВоАв) = > 0, ((АССоАс) = > о! . (4)

При условии (4), характеризующем короткий отрезок АВ (АС), по первой формуле (4.32) из [1] находим выражение длины с (Ь^ ребра АВ (АС )

с 2а -1 ( Ь 2ас2 - Л

сое - = —--, сое - = —-—~— . (5)

р 2а ' I р 2ас2 I у 7

Прямая ВС (с : 1 + ас : —1 — с) пересекает прямую к в точке N (1 + с : 0 : с), а толяру pв (1 : 1 — а : — 2) точки В относительно абсолюта - в точке Т (1 + а — с + 3ас : 1 — с : 1 — с + 2ас). Ребро ВС является коротким тогда и только тогда, когда не содержит точку Т, т. е. тогда и только тогда, когда

(BCNT) = 2ас2 —.Г 1)2 > 0. (6)

ВС

аа ВС

ника:

а 2ас2 — (с — 1)2

сое - =-г-Ц--. (7)

р 2ас2 v ;

ас

получаем формулу (1). Теорема доказана.

Выпуклый вписанный в орицикл плоскости Н п-реберник, все ребра которого эллиптические и являются внутренними хордами описанного орицикла, назовем эллиптическим орициклическим. На рис. 1, б изображен эллипический орициклический 5-реберник вписанный в орицикл ^плоскости Н.

Одно ребро эллиптического орициклического п-реберпика прилежит к двум его внутренним эллиптическим углам. Назовем это ребро оспо-п

п

псевдоуглами.

Пусть в эллиптическом орициклическом п-реберпике Г = В1... Вп плоскости Н В1 - вершина основания. Соединим В1 с остальными вершинами п-реберника Г. Применяя последовательно теорему 1 к трехребер-

никам В^2В3, ..., В1Вп-1 Вп типа ббб(/), докажем следующее свойство эллиптического орициклического п-ребернпка.

Теорема 2. В эллиптическом орициклическом п-ребернике плоскости Н длина а основания и длины &1; Ь2, ..., 6п-1 остальных ребер связаны соотношением

а

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 1 : Тригонометрия, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 244 с,

2, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 2 : Преобразования и простые разбиения, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 274 с,

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

N-КРАТНАЯ ПОЛНОТА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ N-ГО ПОРЯДКА

В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок L(A),

%,A):= ^ PjSAsy(j), j G C, Pn0 = 0, (1)

j+s<n

^ ajAsy(j)(0) = 0, i = 1,7, (2)

j+s<Ki0

^ ajAsy(j)(0)+ ^ PijsAsy(j)(1) = 0, i = r+T"n, (3)

j+s<Kio j+s<Kn

где A, aljS,eijS G C, кю, кц G {0} U N 0 < I < n - 1.

Далее используем, не повторяя в данном тексте, известные определения собственных и присоединенных функций или, кратко, корневых n

Решается задача о нахождении условий на параметры пучка L(A), при которых имеет место n-кратпая полнота к.ф. этого пучка в L2[0,1].

n—1

= V^ sin

5>

i=1

2p'