О площади эллиптического орициклического n-реберника гиперболической плоскости положительной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Легко проверить, что указанный исход будет также допустимым и в игре G.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Розен В. В. Допустимые исходы для веерных структур коалиций // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2009, Вып. 11, С, 54-57,

2, Розен В. В. Принятие решений по качественным критериям. Математические модели, Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013, 284 с,

3, Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики : пер, с фр, М : Мир, 1985. 200 с.

4, Вилкас Э. И. Оптимальность в играх и решениях, М, : Наука, 1990, 256 с,

УДК 514.133

Л. Н. Ромакина

О ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОРИЦИКЛИЧЕСКОГО iV-РЕБЕРНИКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

В работе доказаны формулы площади эллиптического орицикличе-ского n-реберника гиперболической плоскости H положительной кривизны.

Учение о вписанных в окружность многоугольниках евклидовой плоскости имеет богатую историю. Пройдя путь становления как минимум от работ древнегреческих ученых, оно сохраняет свою актуальность и в наши дни (см., например, [1]). С развитием геометрии плоскости Лобачевского появился класс задач об исследовании вписанных многоугольников этой плоскости. С выходом исследований на идеальную область плоскости Лобачевского и развитием геометрии гиперболической плоскости H положительной кривизны круг задач о вписанных многоугольниках расширился принципиально. Это обусловлено следующим. Во-первых, плоскость H содержит прямые трех топологических типов, а все ее углы относятся к пятнадцати типам, инвариантным относительно фундаментальной группы [2]. Во-вторых, на H существуют циклы четырех типов [3] (в отличие от трех на плоскости Лобачевского). И, пожалуй, наиболее ярким отличием плоскости H от плоскости Лобачевского является то обстоятельство, что конечные замкнутые линии на H могут быть двух типов, односторонними, удаление которых из плоскости не нарушает ее связность, и двусторонними, разбивающими H на две связные части. Простую двустороннюю ломаную вместе с ограниченной

ею гомеоморфной диску частью плоскости Н называют п-ребернпком [2, 4]. Исследование п-реберников, вписанных в орицикл плоскости Н названных орициклическими, начато в работе [5] установлением зависимо-

п

п

торого орицикла.

Согласно определению (см. [5]) внутренние углы при основании эл-

п

довательно, их меры — вещественные положительные числа (см. [2, п. 4.5.2]). Внутренние углы при вершинах, не принадлежащих основанию, — эллиптические псевдоуглы, мерами которых служат числа вида гп — и, где и Е (см. [2, п. 4.5.4]).

Пусть Г = В1В2 ... Вп — эллиптический орициклический п-реберник плоскости Н с основанием В1Вп. Величину внутреннего угла при вершине В? п-реберпика Г обозначим гп — Д?, Я = 2,... ,п — 1; величины внутренних углов при вершинах В1? Вп основания обозначим соответственно «1, ап.

п НН

рема 3.1 из [6]) вычислим площадь S п-реберпика Г:

5 = р2 ^а 1 + ап + (гп — в) — гп(п — 2)^ =

= р2 а1 + ап — в^ , (1)

где р — радиус кривизны плоскости Н р Е К+.

На основании выражения (1) выполняется следующая теорема. Теорема 1. На плоскости Н радиуса кривизны р, р Е площадь Б эллиптического орицикличсского п-реберпика, модули вещественных

а1 а2

ап

n

S = р2 ^ aj. (2)

j=i

Обозначим длину основания n-ребернпка F символом b, а длины его остальных ребер — символами bi5 b2, ..., bn-i. По теореме 2 из [4] справедливо соотношение

b n-i ь sin — = V^ sin —. (3)

2р pf 2р w

Пусть Г2, .. ., Гп — сегменты описанного около Г орицикла, ограниченные внутренними эллиптическими хордами Б1Б27 Б2Бз, ..., БпБх соответственно. Тогда

п—1

Г = у БгБг+1 У

¿=1

п— 1

^п \ У ^

3=1 ■

(4)

Учитывая представление (4), запишем равенство, связывающее площади Б (Г), Б ..., 5 (Гп) фигур соответст венно Г, ..., Гп:

п1

Б (Г ) = Б (Гп) — ^ Б (Г,).

(5)

3=1

В работе [7, раздел 5.6] доказана формула выражения площади Б5 сегмента орицикла плоскости Н ограниченного внутренней эллиптической хордой длиной а:

Бз = 2р2

. п а \ .а 5 ( 4 + 4р) —

(6)

Применяя формулы (4)-(6), получим цепочку выражений:

Б (Г) = 2р2

1 (п Ь\ Ь п~1

- + — — вт---}

\4 4р) 2р ^

Б (Г) = 2р21п

Б (Г) = 2р21п

3=1

п1

п Ь3 Ь3

1п — + — в1п — 4 4р -

2р

п Ь - п Ь3

4р

= П 4 + 4Р,

1-

п— 1 • ип

'=1в1п 2р 3=1

(7)

(8)

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 2. На плоскости Н радиуса кривизны р, р € площадь Б эллиптического орицикличсского и-реберника с длинами Ь\, Ь2, Ьп—1 неосновных ребер может быть вычислен а по формуле (8).

В работе [8] введена функция а (ж) угла квазипараллельности, выражающая зависимость вещественной части меры квазиугла параллель-

НИ

расстояния ж, ж € (0; пр/2), данной точки до указанной прямой. Используя выражение функции а (ж) и формулу (7), сформулируем следующую теорему.

Теорема 3. На плоскости Н радиуса кривизны р, р Е площадь Б эллиптического орициклического п-реберника с длинами Ь1? Ь2, Ьп—1 неосновных ребер и длиной Ь основания может быть вычислена, по формуле

1, Сабитов И. X. Решение циклических многоугольников // Математическое просвещение, 2010, Вып. 14, С, 83-106,

2, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 1 : Тригонометрия, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 244 с,

3, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 2 : Преобразования и простые разбиения, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 274 с,

4, Ромакина Л. Н. О параболических многогранниках копеевдоевклидова пространства // Вести. КГПУ им. В. П. Астафьева. 2013. № 1 (23). С. 201-206.

5. Ромакина Л. Н., Чурилова В. О. Эллиптические орициклпческне n-реберники плоскости H // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2015. Вып. 17. С. 56-59.

6. Romakina L. N. The area of a generalized polygon without parabolic edges of a hyperbolic plane of positive curvature // Asian Journal of Mathematics and Computer Research. 2016. Vol. 10, iss. 4. P. 293-310.

7. Ромакина Л. H. Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны правильными орицикличеекими n-трапециями // Чебышевекий сб. 2015. Т. 16, № 3. С. 376-416.

8. Ромакина Л. Н. Аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности на гиперболической плоскости положительной кривизны // Сиб. электрон, матем. изв. 2013. Т. 10. С. 393-407.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО КОРНЕВЫМ ЭЛЕМЕНТАМ НЕРЕГУЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

В статье рассмотрен сильно нерегулярный пучок 3-го порядка с кратными характеристиками. Получены достаточные условия трехкратного разложения вектор-функции по корневым элементам этого пучка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов