Разложение по корневым элементам нерегулярного дифференциального пучка третьего порядка с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 3. На плоскости Н радиуса кривизны р, р Е площадь Б эллиптического орицикличсского п-рсбсрника с длинами Ъ\, Ъ2, Ьп-\ неосновных ребер и длиной Ъ основания может быть вычислена, по формуле

1, Сабитов И. X. Решение циклических многоугольников // Математическое просвещение, 2010, Вып. 14, С, 83-106,

2, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 1 : Тригонометрия, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 244 с,

3, Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч, Ч, 2 : Преобразования и простые разбиения, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, 274 с,

4, Ромакина Л. Н. О параболических многогранниках копеевдоевклидова пространства // Вести. КГПУ им. В. П. Астафьева. 2013. № 1 (23). С. 201-206.

5. Ромакина Л. Н., Чурилова В. О. Эллиптические орициклпческне n-реберники плоскости H // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2015. Вып. 17. С. 56-59.

6. Romakina L. N. The area of a generalized polygon without parabolic edges of a hyperbolic plane of positive curvature // Asian Journal of Mathematics and Computer Research. 2016. Vol. 10, iss. 4. P. 293-310.

7. Ромакина Л. H. Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны правильными орицикличеекими n-трапециями // Чебышевекий сб. 2015. Т. 16, № 3. С. 376-416.

8. Ромакина Л. Н. Аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности на гиперболической плоскости положительной кривизны // Сиб. электрон, матем. изв. 2013. Т. 10. С. 393-407.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО КОРНЕВЫМ ЭЛЕМЕНТАМ НЕРЕГУЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

В статье рассмотрен сильно нерегулярный пучок 3-го порядка с кратными характеристиками. Получены достаточные условия трехкратного разложения вектор-функции по корневым элементам этого пучка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

Рассмотрим краевую задачу для пучка Ь(Л):

у''' - 3Лу'' + ЗЛУ - Л3у = 0, ж е [0,1], (1)

их (у) := у(0) = 0, и2(у) := у'(0) = 0, ВД := у(1) - у''(0) = 0. (2)

Характеристический многочлен пучка имеет кратные корни ¡х>1 = = = = 1. Система ух = еЛж, у2 = жеЛх, у3 = ж2еЛх образует фундаментальную систему решений уравнения (1). Характеристический определитель Д(Л) = det(Uv(у^-)) ■ =13 = еЛ — 2 является вырожденным, а пучок Ь(Л) — нерегулярным [1, с. 66-67]. Числа Лк = 1п2 + 2кп£, к е Z, есть собственные значения (с.з.) пучка.

Решается задача нахождения условий на вектор-функцию (в.-ф.) / = = (/1, /2, /3)Т5 ПРИ которых имеет место трехкратная разложимость этой в.-ф. в биортогональный ряд Фурье по производным цепочкам пучка Ь(Л) (см. [1, с. 102]), соответствующим его корневым элементам (к.э.).

В нерегулярном случае оператора 1-го и 2-го порядков с кусочно-постоянной весовой функцией задача о разложении решена в [2]. В нерегулярном случае оператора 3-го порядка, когда характеристики лежат в вершинах правильного треугольника, задача о разложении решена в [3]. Обобщение на порядок п = 4к + 1 сделано в [4]. Разложения по к.э. в случае регулярного пучка с 4-х кратными характеристиками изучались в [5]. Случай нерегулярного пучка 2-го порядка с простыми характеристиками рассматривался в [6].

Обозначим через Г^ круговые контуры в Л-плоскости с центрами в начале координат и радиуса ^1п2 2 + 4п2(^ + 1/2)2, V е N. Пусть С(ж, £, Л)

есть функция Грина задачи (1), (2). Для данной в.-ф. / = (/ь/2,/3)т определим функцию

^(х, Л) := -Л2/х(х) + Л( - 3/1 (х) + /2(2)) + (3/1'(ж) - 3/2(ж) + /3(2;)).

/

/15),/24),/33) е Ьр[0,1], 1 <р < (3)

/]5)(0) = /(3)(1) = 0, з = 173,5 = 075-7, (4)

то имеют место следующие формулы трехкратного разложения в.-ф. / по к.э. пучка Ь(Л):

1

^Нш -1 £ Л3-^ С(ж,£,Л)^(ж, Л) ¿Л =

Гк 0

= /з(ж) + ж(1 - ж)^13-1)(ж) + (ж2 - 1)^23-1)(ж), 5 =173,

где сходимость равномерная по х € [0,1] и

^1(х) := х/;/(х) - /;(х) - 2х/2(х) + /2(х) + х/з(х),

2 2 х2 х2

^2(х) := у/1/(х) - х/1 (х) + /1(х) - х2/2(х) + х/2(х) + у/3(х).

/

/

по к.э. пучка Ь(Л) с равномерной сходимостью

1

-1

Гк 0

Нш — ф Л5-1 С(х,£,Л)Е(х, Л) (Л = Л(х), 5 = 1,3, х € [0,1],

необходимо и достаточно, чтобы при, х € [0,1] выполнялись тождества ^1(х) = 0 ^2(х) = 0.

Доказательство теоремы 1 проводится путем линеаризации задачи (1), (2) подстановкой г1 = у г2 = Лг1? г3 = Лг2. В результате получается краевая задача на с.з. для дифференциального оператора Ь в пространстве в.-ф. г = (г^ г2, г3)Т: Ьг — Лг = 0, где

Ьг := I 0 0 1 I г

0 1 0

0 0 1

!х2 3

!X3

^ = {г|г1/,г2, гз € Ь1[0,1], г1(0) = 0, г1 (0) = 0,г1(1) — г1/(0) = 0}.

С.з. пучка Ь(Л) и оператора Ь совпадают, а система производных цепочек Ь(Л) совпадает с системой к.э. оператора Ь.

/ч Т

Пусть (Ь — ЛЕ)—1/ = (г1(х, Л), г2(х, Л), г3(х, Л)) . В доказательстве теоремы 1 используются явные формулы для функций г^ (х, Л) ] = 1,3. Лемма 1. Если /1/, /2, /3 € Ь1 [0,1]7 то

1 X

г1(х, Л) = У С(х,£,Л)Е (г, Л) (И = ^ (х — ^ еЛ(х—1(г, Л)

00

1

1 Г х2(1 — ¿)2 -е'

еЛ — 2 7 2 0

х2(1 о ^еЛ(х+1—1^(*, Л) Ие Л < 0;

1 1 ¿1(ж,А) = У С(ж,г,А)^(г,А) ^ = (х ~ ^ вл(х-^(¿,А)

0 х

1

+ I ((ж2 - ж)* + (1 - х2)вл(х-^(¿,А) 0

1

1 Г ж2(£ - 1)2ел(х-1-^)^(¿, А) Ие А > 0;

1 - 2е-л У 0

^(ж, А; /) = А^1(ж, А) + /о(ж); 23 (ж, А; /) = А^ж, А) + А/1 (ж) + /?(ж).

Дальнейшее доказательство аналогично, как в [6].

Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект № 1.1520.20Ц/К).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М.. 1969,

2, Хромов А. П., Гуревич А. П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Мат, заметки, 1994, Т. 56, вып. 1, С. 3-15.

3, Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Исследования по теории операторов, Уфа, 1988, С, 182-193,

4, Дмитриев О. Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2007, Т. 7, вып. 2, С, 10-14,

5, Вагабов А.И., Абуд А. X. Четырехкратная разложимость в ряды Фурье по корневым элементам дифференциального пучка с четырехкратной характеристикой // Вестн, Дагест, гос. ун-та, 2015, Т. 30, вып. 1, С, 34-39,

6, Рыхлое В. С. Разложение по собственным функциям квадратичных сильно нерегулярных пучков дифференциальных операторов второго порядка // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С. 21-26.