О кратной полноте корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

процесс, плоскость H разобьем на 3-(1)-контуры. На каждом 3-(1)-коптуре зададим определенным образом простое разбиение, превращая тем самым 3-(1)-контуры в равные черепицы. Черепичное разбиение Hi построено.

Таким образом, черепица плоскости H обладает следующими свойствами: является объединением непересекающихся равных простых 4-контуров; может служить разбивающим элементом плоскости H. Следовательно, ее можно рассматривать как некоторый аналог мозаики в изотропном разбиении на плоскости Н.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М,: Гос. изд-во техи.-теор. лит., 1955. 744 е.

2. Винберг Э.Б., Шварцман О. В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 147-259.

3, Коксетер Г.С.М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, М,: Наука, 1980, 240 с,

4, Ромакина Л.И. Конечные замкнутые 3(4)-контуры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2010, Т. 10, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 3, С, 14-26,

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

О КРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов L(A), порожденный однородным дифференциальным выражением n-го порядка с постоянными коэффициентами:

í(y, A):= ^ pskAsy(k), Psk e C, pon = 0, (1)

s+k=n

и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями специальной структуры:

Ui(y, A) := Е Asa¡sky(k)(0) = 0, i = ТД

s+k=Ki0 _

Ui(y, A) := Е Asa¡sky(k)(0) + Е Asвlsky(k)(1) = 0, i = l + 1,n,

s+k<Kjo s+k<Kji

где Л Е С - спектральный параметр, агак, вг8к Е С кго, кг1 Е {0,1,..., п — 1} 1 < I < п — 1.

Отметим, что краевые условия (2) в случае 21 < п не являются полу распадающимися.

Пусть корни {шj }П характеристического уравнения

^ рзк¡к = 0

в+к=п

различны, отличны от нуля и лежат на одном луче, исходящем из начала координат. Не нарушая общности, можно считать

0 < ¡1 < ¡2 < • • • < ¡п. (3)

Решается задача о нахождении условий на параметры пучка Ь(Л), при которых имеет место или отсутствует т-кратная (1 < т < п) полнота системы корневых (собственных и присоединенных) функций этого пучка в пространстве Ь2[0,1].

пт

и неполноте корневых функций пучка Ь(Л), дифференциальное выражение которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия — полураспадающиеся, проведено в [1].

Для рассматриваемого пучка (1), (2) с условием (3) не выполняется основное предположение [1], а именно, что существует прямая проходящая через начало, не содержащая ¡-корней и делящая комплексную плоскость на две полуплоскости, внутри каждой из которых число этих корней не меньше п — /, а также, что краевые условия (2) являются полураспадающимися.

Для формулировки основного результата введем обозначения:

аг] = ®гзк, г = 1,п, з = 1,п;

в+к=Кг0

Ьг3 = вгзк¡к, г = I + 1, п, з = 1, п;

в+к=кц

,г , . -1—:— г -| Г п, если п > 0,

кг = Ш1Ш кго, кг1 , г = I + 1,п; |п| + = < ' г { г0' г1} ' ' и+ | 0, если п < 0.

Теорема 1. Если выполняется условие (3) и

¿ефг,^=1 = 0 ¿ефг,)ПП^=1 = 0, ^=1+1 = 0,

то система корневых функций пучка (1), (2) т-кратно полна в Ь2[0,1] при, т < п — 1с возможным конечным дефектом, не превышающим

п

числа ^ [т — 1 — кг]+.

г=1+1

Теорема точна в следующем смысле. В [1, с. 58-62] сформулирована теорема об (п — I + 1)-кратной неполноте системы корневых функций частного случая пучка вида (1), (2), краевые условия которых являются

Л

этой теоремы, по мнению автора, настоящей статьи недостаточно убедительно. В [2] при I = п — 1и т = п — I + 1(= 2) получены достаточные условия па корпи {¡¡- }П, при которых системы корневых функций пучков вида (1), (2) т-кратно неполны в Ь2[0,1] и имеют бесконечный дефект.

В случае I = 1 из теоремы 1 получаем (п — 1)-кратную полноту корневых функций в Ь2[0,1]. Что же касается п-кратной полноты, то справедлив следующий результат.

Теорема 2. Если выполняется условие (3), I = 1 и а11 = 07 то система корневых функций пучка (1), (2) п-кратно неполна в Ь2[0,1] с бесконечным дефектом.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, ЕШ-ЩЗ.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вага,бое А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1994. 160 с.

2, Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных диференциальных операторов // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 114-117.

УДК 519.83

Т.Ф. Савина

РАВНОВЕСНЫЕ И ДОПУСТИМЫЕ ИСХОДЫ ДЛЯ КОАЛИЦИЙ В ИГРЕ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Вопрос о сохранении оптимальных решений при переходе от одной игры с отношениями предпочтения к другой с помощью гомоморфизма был рассмотрен в работе [1]. В настоящей статье изучается переход к кооперативному аспекту игры, который связан