CC BY
32
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_
результатом нагрева, а изменение температуры возникает в результате появления фотоэлектрического эффекта в жидкости. При сильном нагреве, сопровождающемся значительными изменениями температуры, это, разумеется, не так.
Список использованной литературы:
1. Гуревич Ю.Я. Внешний фотоэффект. - М: Знание. 1983. 64 с.
2. Герасимов С.А. Электрический ток в жидкости и фотоэффект. // Квант. 2013. № 4. С. 29-31.
3. Герасимов С.А., Лысенко В.С. О тепловой составляющей фотоэлектрического тока в жидкости. // Вопросы прикладной физики. 2013. Вып. 20. С. 39-41.
4. Герасимов С.А. Остаточный темновой фототок в жидкости. // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2012. № 5. С. 59-61.
5. Герасимов С.А. О форме фотоэлектрического сигнала в жидкости. // Инженерная физика. 2014. № 9. С. 37-40.
6. Аут И., Генцов Д., Герман К. Фотоэлектрические явления. - М: Мир. 1980. 208 с.
7. Гладун А.Д., Барашев П.П. Внешний многоквантовый фотоэффект. // Успехи физических наук. 1969. Т. 98. № 3. С. 493-524.
© Герасимов С.А., Лысенко В.С., 2016
514.133
Л. Н. Ромакина
К. ф.-м. н., доцент Физико-математический факультет Саратовский государственный университет Г. Саратов, Российская Федерация
ПЛОЩАДИ ВПИСАННЫХ В ГИПЕРЦИКЛ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
Аннотация
Получены формулы площадей гомеоморфного листу Мёбиуса обобщенного многоугольника и правильного обобщенного многоугольника, вписанного в гиперцикл гиперболической плоскости положительной кривизны.
Ключевые слова
Гиперболическая плоскость положительной кривизны; обобщенный многоугольник; гомеоморфный листу Мёбиуса обобщенный многоугольник; правильный многоугольник, вписанный в гиперцикл; площадь многоугольника.
1. Актуальность исследования и постановка задачи. В проективной интерпретации Кэли-Клейна плоскость Лобачевского Л2 и гиперболическая плоскость Н положительной кривизны являются компонентами расширенной гиперболической плоскости Н2, т.е. проективной плоскости Р2 с фиксированной на ней овальной линией у [1, 2]. Плоскость Н (Л2) реализуется на внешней (внутренней) области плоскости Р2 относительно линии у, называемой абсолютом данных плоскостей. Первое систематическое описание геометрии плоскости Н начато в книгах [2, 3], в работах [4, 5, 9] построена теория площадей данной плоскости, в [4-11] получены первые формулы площадей фигур.
Вопросам о площадях обобщенных фигур, имеющих непустое пересечение с каждой из компонент плоскости Н2, посвящены работы [10, 11]. В статье [11] доказана теорема, согласно которой в геометрии плоскости Н радиуса кривизны р для площади 8о обобщенного многоугольника ^ справедлива формула
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_
5о= p2(YJrj=1TjÄj- in(n — 2)), (1)
где Tj = 1 (tj = i) для собственной или абсолютной (идеальной) вершины Aj.
Плоскость H2, дополненная ее абсолютом у, топологически эквивалентна проективной плоскости P2. Поэтому каждая гомологичная нулю замкнутая линия разбивает эту плоскость на две топологически различные области. Одна из них гомеоморфна диску, другая - листу Мёбиуса. Формулы площадей в [4-11] доказаны для фигур (конечных или обобщенных), гомеоморфных диску. В данной работе докажем формулу площади гомеоморфного листу Мёбиуса обобщенного многоугольника на Н и формулу площади вписанного в гиперцикл правильного эллиптического или гиперболического многоугольника.
2. Теорема о площади гомеоморфного листу Мёбиуса обобщенного многоугольника плоскости Й. Пусть Q - обобщенный многоугольник плоскости H2 [11]. Границу многоугольника Q, двустороннюю замкнутую ломаную, обозначим а, а его дополнение до плоскости H2 - ß. Объединение ломаной а и гомеоморфной листу Мёбиуса области ß назовем обобщенным Мёбиусовым многоугольником плоскости Н и обозначим F. Ломаную а (область ß) назовем границей (внутренностью), а вершины (звенья) ломаной а -вершинами (ребрами) многоугольника F. Вершину многоугольника F назовем собственной, абсолютной или идеальной, если она принадлежит соответственно плоскости Н, линии у, или плоскости Л2. Многоугольники Q и F назовем смежными.
Теорема 1. Пусть на плоскости Н вещественного радиуса кривизны р F -Мёбиусов многоугольник без параболических звеньев. Меры внутренних углов многоугольника F при его вершинах А1, А2, ...,Ап обозначим соответственно В1, В2,..., Вп. Для площади Sмногоугольника F справедлива формула
s= p2(X}=iTjBj- inn), (2)
где Tj = 1 (Tj = i) для собственной или абсолютной (идеальной) вершины Aj.
Доказательство. Пусть Q - смежный с F обобщенный многоугольник на Н. Площадь So многоугольника Q определена формулой (1). Если вершина Aj многоугольника F собственная или абсолютная (идеальная), то меры Aj и Bj внутренних углов многоугольников соответственно Q и F при вершине Aj связаны соотношением Äj + Bj = 2in (Äj + Bj = 2n). Площадь плоскости H2, вычисленная в геометрии плоскости Н, равна 2inp2 [5]. Поэтому S + So = 2inp2. Из полученных выражений и формулы (1) следует формула (2). Теорема доказана.
3. Теорема о площади правильного многоугольника, вписанного в гиперцикл плоскости Й. Многоугольник, все вершины которого принадлежат гиперциклу [3, с. 32] плоскости Н, назовем многоугольником, вписанным в данный гиперцикл. Многоугольник назовем правильным, если все его ребра конгруэнтны. Многоугольник, все ребра которого принадлежат прямым эллиптического (гиперболического) типа, назовем эллиптическим (гиперболическим).
Теорема 2. Пусть на плоскости Н радиуса кривизны р правильный обобщенный эллиптический (гиперболический) n-угольник F вписан в гиперцикл ю радиуса r. Тогда площадь S n-угольника Fможет быть вычислена по формуле
(th—sin—+i \
2in — nln , рг п2ж J , 5 = 1 (S = -1). (3)
Доказательство. Пусть A, B, C - три последовательно взятые вершины многоугольника F. Выберем на плоскости Н канонический репер R* первого типа [2, с. 87] так, чтобы его третья вершина A3 совпала с центром гиперцикла ю, а первая вершина А1 лежала на прямой ВА3. Точка B на прямой А1Аз имеет в R*
координаты (th^: 0: l), а гиперцикл ю задан уравнением
х2 +x2-xi th^= 0 . (4)
Проекцию точки A (C) на прямую А1А2(хз = 0) из точки A3 обозначим Ao (Co). Точку ^o(^o) в силу конгруэнтности ребер AB и BC в репере R* можно задать координатами (sa: 1:0), где 8 = 1 (£ = -1). Координаты прямой АА3 имеют вид (1: —sa: 0). Поскольку n-угольник F правильный, величины углов АА3В
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_
и ВА3С равны 2п/п. Вычисляя по второй формуле (4.55) из [2] меру угла между прямыми АА3 и ВА3,
2п . а ~ . 2п
находим cos~ = ± j ¿. Откуда а = +ctg—.
Учитывая, что точки A и C лежат на гиперцикле (4), находим координаты (г th^cos2^: £ th^ sin ~:l)
í r 2n\
этих точек и координаты (0:1: £ th — sin—) прямых AB и BC соответственно. Если n-угольник F
эллиптический (гиперболический), то прямые AB и BC образуют эллиптический (гиперболический) угол [2], обозначим его меру ф. По первой формуле (4.55) из [2] находим
th2 - sin2 — +1
ch <Р= síJl sin2 g -1) , (5)
\ p n J
где 5 = 1 (5 = -1) для эллиптического (гиперболического) многоугольника F. На основании формулы (5) справедливо выражение
. Г . 2U
th-sin—+1
V = ln~r£7-—л . (6)
th-sin--1)
V р п J
Внутренний угол при вершине правильного обобщенного n-угольника F равен т — (р. Применяя выражение (6), по формуле (1) находим формулу (3) для вычисления площади n-угольника F. Теорема доказана.
Площадь S вписанного в гиперцикл радиуса r правильного обобщенного Мёбиусова эллиптического (гиперболического) n-угольника по теореме 2 равна
th-sin—+1
S = np2ln р " , 5 = 1 (S = —1).
ú( th-sin--1)
\ Р п J
Список использованной литературы
1. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.
2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны. Ч. 1: Тригонометрия. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013.
3. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны. Ч. 2: Преобразования и простые разбиения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013.
4. Ромакина Л. Н. К теории площадей гиперболической плоскости положительной кривизны // Publications de L'Instiiut Mathématique. Nouvelle série, 2016. Tome 99(113). P. 139-154. DOI: 10.2298/PIM1613139R.
5. Ромакина Л. Н. О площади трехреберника на гиперболической плоскости положительной кривизны // Матем. тр., 2014. Т. 17, вып. 2. С. 184-206. In English: L. N. Romakina, On the area of a trihedral on a hyperbolic plane of positive curvature, Sib. Adv. Math., 2015. V. 25, iss. 2. P. 138-153. DOI: 10,3103 / S1055134415020042.
6. Ромакина Л. Н. О площади простого 4-контура гиперболической плоскости положительной кривизны // Сб. научн. статей междунар. конф. Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2014. С. 346-353.
7. Ромакина Л. Н. О площади эллиптического четырехугольника Саккери на гиперболической плоскости положительной кривизны // Математика. Механика: сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2013. № 15. С. 65-69.
8. Ромакина Л. Н. Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны правильными орициклическими n-трапециями // Чебышевский сб., 2015. Т. 16, № 3. С. 376-416.
9. Ромакина Л. Н. Теорема о площади прямоугольного трехреберника гиперболической плоскости положительной кривизны // Дальневост. матем. журн. 2013. Т. 13, №1. С. 127-147.
10. Cho Yun Trigonometry in extended hyperbolic space and extended de Sitter space // Bull. Korean Math. Soc. 2009. V. 46. N 6. P. 1099-1133. DOI 10.4134/BKMS.2009.46.6.1099.
11. Romakina L. N. The area of a generalized polygon without parabolic edges of a hyperbolic plane of positive curvature // Asian Journal of Mathematics and Computer Research, 2016. V. 10, iss. 4. P. 293-310.
© Ромакина Л.Н., 2016
