CC BY
27
дующий шаг в доказательстве данной теоремы состоит в продолжении порядка си на все векторное пространство Уш(А). Для этого используется лемма 1: непосредственно проверяется, что каноническое продолжение Ш удовлетворяет условиям (1) и (2) леммы 1. Таким образом, согласно лемме 1 порядок Ш продолжается до конического порядка ш на векторном пространстве Уш(А). Искомое изоморфное вложение упорядоченного множества (А, ш) в упорядоченное векторное пространство (Уш(А), ш) осуществляет отображение, которое каждому а € А ставит в соответствие вырожденную вероятностную меру 5а.
Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Розен В. В. Упорядоченные векторные пространства и их приложения, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2014, -216 с.
УДК 514.133
Б01: 10.13140/110.2.1.4888.0801
Л. Н. Ромакина
АНАЛОГИ ФОРМУЛЫ ГЕРОНА ДЛЯ ТРЕХРЕБЕРНИКОВ ТИПОВ вев(1), еее(111) ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
По типу ребер, типу углов и типу расположения на абсолюте несобственных точек сторон все трехвершинники гиперболической плоскости Н положительной кривизны можно отнести к 22 типам [1], инвариантным относительно фундаментальной группы О данной плоскости. Трехвершинники десяти типов обладают внутренностью и по этому свойству названы трехреберниками. В статье [2] доказана формула
^ = р2(А + В + С - т) (1)
выражения площади трехреберника плоскости Н через величины А В, С
ков с неизмеримыми углами. В данной работе, применяя тригонометрические соотношения плоскости Н (см. [1]), получим формулы выражения площадей трехреберников с тремя эллиптическими ребрами через длины ребер.
Трехреберники с тремя эллиптическими ребрами относятся к двум типам: eee(I) и eee(/77). Трехреберник типа eee(I) содержит один внутренний эллиптический псевдоугол и два внутренних эллиптических угла. Все внутренние углы трехреберника типа eee(/77) являются эллиптическими псевдоуглами. Трехреберники различных типов рассматрим отдельно.
1. Пусть ABC - трехреберник типа eee(I) с мерой A внутреннего эллиптического псевдоугла при вершине A. Величину внешнего эллиптического угла при вершине A обозначим тем же символом A (см. п. 5.4.1 из [1]). Тогда A + A = in. По формулам (5.4), (5.5) из [1], учитывая, что меры эллиптических углов положительные и cosh A = — cosh A, найдем значения 0a, 0b 0 c гиперболических косинусов эллиптических углов при вершинах A, B, C соответственно:
cos - cos - — cos a cos - — cos a cos -0A =-p -p , p, 0B =-p P P
sin - sin c sin p sin p
a c
P P
P P
cos c — cos a cos -6c = p c pb p. (2)
* a * b
s in a s in -
p p
Согласно принятым в книге [1] обозначениям в трехребернике ABC типа eee(I) символ ом а обозначаем длину ребра, противолежащего внутреннему эллиптическому псевдоуглу при вершине A, а символом b (с) -длину ребра, противолежащего внутреннему эллиптическому углу при вершине B (C).
Используя формулу x = ln ^cosh x + \Jcosh2 x — 1 ^, меры A, B, C эллиптических углов при вершинах трехреберника можно записать в виде
Q = ln (0q + — 1 ) , Q = A, B, C, (3)
где величины 0a 0b 0c определены выражениями (2).
ABC
S = p2(A + B + C — in) = p2(in — A + B + C — in) = p2(B + C — A). (4)
ABC
формулу площади трехреберника типа eee(I):
S = p2
ln ( cos c - cos a cos c + W (cos p - cos ^^ (cos c - cos ^^ j +
+ in ( cos - - cos a cos - + */ ( cos - - cos — J (cos- - cos —
p p p \/ V p p / V p p
- in ( sin2 a ( cos - cos - - cos a + A (cos a - cos — J (cos a - cos —
\ p \ p p p V V p p/\p p
Пусть p - полупериметр трехреберника ABC: 2p = a + b + с. По теореме 5.4.5 из [1] в трехреберпике типа eee(I) длина ребра, противолежащего эллиптическому псевдоуглу, больше суммы длин двух других ребер: a > b + с, а по теореме 5.4.7 из [1] p < пр. Преобразуя с учетом данных неравенств подкоренные выражения в полученной формуле площади, запишем аналог формулы Герона для трехреберника типа eee(I) плоскости И:
cos - - cos a cos - + Ф ) (cos - - cos a cos - + Ф
c2iV p p p J V p pp
S = р2 in--—;-;-3-:-
sin2 a (cos - cos - — cos a + Ф
p V p p p
где вещественная положительная величина Ф определена равенством
Ф = 2A/sin Р sin ^ sin ^ sin ^
у р р р р
2. В трехребернике ABC типа eee(///) с эллиптическими ребрами а, b, с все внутренние углы с мерами A, B, (7 — эллиптические псевдоуглы (см. п. 5.4.1 из [1]). Меры соответственно A, B, C смежных с ними эллиптических углов — вещественные положительные числа. Применяя формулу (1), находим
S = р2 (2in - A - B - C). (5)
Таким образом, величина площади трехреберника типа eee(/77) -комплексное число с мнимой частью 2пр2. Это объяснимо тем, что трех-реберник типа eee(///) содержит внутри себя всю идеальную область плоскости H.
Учитывая формулы (3), (5) и (5.34) из [1], получаем
„ cos - cos - - cos a + \ ( cos a - cos — ) (cos a - cos — S p p p\/\p p / V p p — = 2in - in-1-=-z-
р sin - sin -
pp
in
cos a cos - - cos - + W I cos pp - cos CjLy j Í cos pp - cos ^
sin a sin -
pp
cos a cos - — cos - + A ( cos - — cos — ) (cos - — cos — p p p \ \ P P J V P P ,
- ln-V . a . b-—-L. (6)
sin a sin -
p p
Пусть p - полупериметр трехреберника ABC. Тогда p < 3пр/2, a no теореме 5.4.8 из [1] p > пр. По теореме 5.4.6 из [1] в трехребернике типа eee(///) сумма длин любых двух ребер больше длины третьего ребра. Следовательно, p — а > 0 p — b > 0 p — с > 0. Допустим, что p — а > пр. Тогда b + с > 2пр + а. Длина ребра трехреберника меньше длины содержащей его эллиптической прямой. Значит, b < пр и с < пр. Пришли к
p — а < пр
показать, 4Top — b < пр и p— с < пр. Вследствие доказанных неравенств sin р < 0 sin > 0 sin 2—1 > 0 sin 2—1 > 0. Преобразуя с учетом полученных оценок подкоренные выражения в формуле (6), находим аналог формулы Герона для трехреберника типа eee(///) плоскоети И:
S = р2
ФаФ-Ф
2^п — ln
sin2 a sin2 - sin2 -p p p.
где
Фа = cos - cos - — cos a + Ф, Фь = cos a cos - — cos - + Ф, a p p p b p p p
фс = cos a cos - - cos - + Ф, Ф = 2A/-sin p sin p-a sin 2-k sin c p p p ' Vpppp
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 1 : Тригонометрия. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с.
2. Ромакина Л. Н. О площади трехреберника на гиперболической плоскости положительной кривизны // Мат. тр. 2014. Т. 17, вып. 2. С. 184-206.
3. Romakina L. N. On the area of a trihedral on a hyperbolic plane of positive curvature // Siberian Advances in Mathematics. 2015. Vol. 25, iss. 2. P. 138-153. DOI 10.3103/S1055134415020042.
