Сравнение задачи о внешней оценке сегментной функции полиномиальной полосой с задачей бл. Сендова Текст научной статьи по специальности «Математика»

функции FM(p, q) в точке (0,0), получим ¿(жз) pp

dt

d(x3)

=8(ж1)р(1 - a)(ui)p - 16(ж2)р(1 - a) + 8(t - l)(ui)p ,

(p,q)=(0,0)

(5)

(жз)рр(0) = 0,

qq

dt

wnn=8(xi)q (1 - a)(ui)q + 8(t - l)(ui)2 , (X3 )qq (0) = 0. (6)

(p,q)=(0,0)

u1

максимума Поитрягииа, т.е. при всех (p, q) является корнем уравнения

Hu(t,x, Ф,и) = 0.

pq

. (Ф1)р + 2(xi)p(1 - a) (^i)q + 2(xi)q(1 - а)

(ui)p = 4(t-T) , (ui)q = .

Вычисляя далее частные производные функций xi5 ж2, по

pq

исчисления решения задач на экстремум из равенств (5) и (6) получим утверждение теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Захаров A.M., Прохоров Д. В. Седловые точки множества начальных коэффициентов однолистных функций // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун.-та, 2003. Вып. 5. С. 33-36.

2. Прохоров Д.В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Мат. сб. 1990. Т. 181, JV2 12. С. 1659-1667.

УДК 517.518.82

С.И. Дудов, Е.В. Сорина

СРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ С ЗАДАЧЕЙ БЛ. СЕНДОВА

Пусть сегментная функция (с.ф.) F(Ь) = [/!(£),/2(Ь)} задана на отрезке [с,(} двумя непрерывными функциями ¡\{Ь) и /2(Ь), причём ¡\(1) < /2(£) при Ь е [с,(}. Далее под Рп(А,Ь) = а0 + а\Ь+

+ ... + antn понимаем полином степени n с вектором коэффициентов A = (a0,a1,..., an) G Rn+1. Рассмотрим задачу

p(A) = maxmax{Pn(A,t) — fi(t),f2(t) — Pn(A,t)} ^ min , (1)

tG[c,d] AGRn+1

геометрическое толкование которой заключается в построении полиномиальной полосы наименьшей (по ординате) ширины, содержащей график с.ф. F(t). ([1]).

Величина max{Pn(A,t) — f1(t),f2(t) — Pn(A,t)}, задействованная в

p(A)

между сегментом F(t) = [f1(t), f2(t)] и значением полинома Pn(A,t). Поэтому возникает причина для сравнения задачи (1) с задачей наилучшего приближения графика сегментной функции графиком полинома заданной степени в метрике Хаусдорфа двумерного пространства. Эта задача исследовалась Бл.Сендовым и рядом болгарских математиков (см. [2]), а также Е.П. Долженко, Е.А. Севастьяновым, работы которых упоминаются в [2]. Постановка этой задачи имеет вид

h(grF(•),grPn(A, •)) ^ min . (2)

agr"+1

Здесь под grF(•) и grPn(A, •) понимаются графики сегментной функции F(•) и полинома Pn(A, •) па отрезке [c,d]:

grF(•) = {z = (t,x) G R2 : t G [c,d],x G [fi(t),f2(t)]},

grPn(A, •) = {z = (t,x) G R2 : t G [c,d],x = Pn(A,t)},

a h(X, Y) выражает расстояние Хаусдорфа между множествами X и Y по формуле

h(X, Y) = max{sup inf ß(x, y), sup inf ß(x, y)}. (3)

xGX VgY yGY xGX

При этом по выбору автора [2, с. 7] использовалась метрика

H(x,y) = max{a—1 |xi — yi|, |x2 — y2|}, (4)

где a > 0,x = (x1 ,x2),y = (y1,y2)-

Пример, приведённый в [2, с. 117-118], показывает что множество решений задачи (2) может быть невыпуклым. Уже это обстоятельство говорит о том, что задача (2), в общем случае, не является задачей выпуклого программирования. Однако, как мы сейчас покажем, выбрав

другую, отличную от (4), метрику и наложив некоторое дополнительное условие, можно говорить об эквивалентности этих задач.

Обозначим через Ь\[с, ё\ класс липшицевых функций на отрезке [с, с константой Липшица Л > 0.

Теорема. Пусть Рп(А,Ь), ¡1(Ь), Е Ь\0[с,й]. Тогда, если

заменить в (3) метрику (4) на

^(х,У) = Л|х1 - у1 + 1 х2 - У21, (5)

то для любого Л > Л0 выполняется равенство

р(А) = Н(дгЕ(•),дгРп(А, •)). (6)

Доказательство. Нетрудно видеть, что

h(grF(•),grPn(A, •)) = max{h(gr fi(•),grPn(A, •),

h(grf2^),grPn(A, •)}. (7)

Распишем более подробно, используя специфику метрики (5)

h(grf\(),grPn(A, • )) =

= max{ sup inf n(x,y), sup inf n(x,y)} =

xegrfi(-) yegrPn(As) yegrPn(A,^)

= max{ sup inf {A|t - £| + \fi(t) - Pn(A,£)|},

te[c,d] £eM

sup inf {A|t - £\ + |Pn(A,t) - fi(£)|. (8)

В силу липшицевости функции fl(t) имеем:

iPn(A,t) - т )| = iPn(A,£) - f1(t)+m - m )| >

> lPn(A, t) - f\(t)l - lf\(t) - fi(£)\ > \Pn(A, t) - fi(t)\ - Alt - £

или

A\t - £\ + \Pn(A,t) - fi(£)\ > \Pn(A,t) - fi(t)\. По этой причине

if {A\t - £\ + \Pn(A,t) - fi(£)\} = \Pn(A,t) - fi(t)\. (9)

te[c,d]

По аналогии, используя липшицевость полинома Pn(A,t), получаем соответственно

inf {A|t - £| + |/i(t) - Pn(A,£)|} = |fi(t) - Pn(A,t)|. (10)

£e[c,d]

Подставляем (9)-(10) в (8): fc(gr/i(0,grPn(A, •)) = sup {|/i(t) - Pn(A,t)|} =

te[c,d]

= max{|/i(t) - Pn(A,t)|}. (11)

te[c,d]

По аналогичной причине

h(gr/2(0,grPn(A, •)) = max{|/2(t) - Pn(A,t)|}. (12)

te[c,d]

Наконец, подставив (11)-(12) в (7), получаем

h(gr/i(0,grPn(A,t)) =

= max{max |/i(t) - Pn(A,t)|, max |/2(t) - Pn(A, t)|} =

t€[c,d] t€[c,d]

= max max{|/i(t) - Pn(A,t)|, |/2(t) - Pn(A,t)|}. (13)

te[c,d]

Но поскольку /i(t) < /2(t) для bcex t £ [c, d], то

max{|/i(t) - Pn(A,t)|, |/2(t) - Pn(A,t)|} =

= max{Pn(A,t) - /i(t), /2(t) - Pn(A,t)}.

Поэтому из (12) получаем (6). Теорема доказана.

Таким образом, на основании доказанной теоремы можем сделать следующий вывод.

/i ( t)

и /2(t), то при выборе достаточно большого значения А , которым определяется метрика (5), задачи (1) и (2) становятся эквивалентными.

А

Липшица для /i(t) и /2(t). Однако получение этой оценки требует дополнительного исследования.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-4383.2010.1) и РФФИ (проект 10-01-00270).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Выгодчикова И.Ю., Дудов С.И., Сорина Е.В. Внешняя оценка сегментной функций полиномиальной полосой // ЖВМ и МФ, 2009, Т. 49, 7, С, 1175-1183,

2, Сеидов Бл. Хауедорфовые приближения, София, 1979,

УДК 517.984

М.Ю. Игнатьев

О ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ НА ПРОСТЕЙШЕМ НЕКОМПАКТНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ

С ЦИКЛОМ

Пусть С - геометрический граф с вершиной V и ребра ми г0, г1? где г0 - луч с начал ом в г>1, Г1 - цик л [^1,^1] длин ы п. Будем считать, что ребро г0 параметризовано параметром х0 е [0, то), а г1 - параметром х1 е [0,п]. Функцию у на графе С будем трактовать как пару функций (Уо(хо),У1(х1))-

На каждом из г3 (^ = 0,1) рассмотрим дифференциальное выражение:

^ Уз = -У; + Яз (хз )Уз (1)

с вещественными потенциалами д3 е £(г3), (1 + х0) Я0(х0) е Ь(0, то).

Обозначим через С3 (жз-, А) Б3 (жз-, А) решения уравнений £3у = Ау с начальными условиями типа косинуса и синуса соответственно, через е0(х0, р) - решение Йоста на ребре г0.

Пусть Л - множество собственных значений действующего в Ь2(С) оператора, порожденного дифференциальными выражениями (1) и следующими (стандартными) условиями склейки:

У0(0) = у1(0) = у1(п), у1 (п) = у0 (0) + у! (0). (2)

Л0

порожденного в Ь2(0, то) выражением £0у и краевым условием у(0) = 0, Л1 - спектр оператора, порожденного £1у и краевыми условиями Дирихле у(0) = у(п) = 0, Л2 - спектр оператора, порожденного £1у и периодическими краевыми условиями. Через (1(А) ^1(А) обозначим характеристические функции:

(х(А) := Б1(п,А), А(А) := 2 - С1(п,А) - Б1 (п,А).

В силу самосопряженности всех введенных в рассмотрение операторов Л, Л. С К, V = 0, 2. Представим Л как объединение положительной и