Формула субдифференциала функции расстояния от точки до образа выпуклого мультитображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2.7. Переименовать файлы в директории баз данных с <имя файла> на _generation_ ХХ_<гшя файла> для всех файлов, встречающихся во временной рабочей директории в виде _delete_Jile_<wm файяа> или <имя файла>.

2.8. Скопировать в директорию баз данных все файлы временной рабочей директории за исключением _delete Jllej*. *

2.9. Удалить из директории баз данных все файлы _generation_*. * (за исключением идентификационного файла_Generation_XX_YY.id).

2.10. Открыть базы данных в монопольном режиме доступа.

2.11. Переименовать идентификационный файл баз данных из _Generation_XX_YY. id в _Generation_YY_YY.id.

2.12. Удалить временную маркерную поддиректорию.

2.13. Удалить временную рабочую директорию.

3. Закрыть базы данных.

В зависимости от особенностей языка СУБД в универсальном модуле реорганизации может потребоваться довольно значительное число ловушек исключительных ситуаций. Однако программирование ловушек осуществляется один раз. Стандарт программирования реорганизующих программных файлов предусматривает возврат в вызывающий универсальный модуль реорганизации значения NULL - для аварийного завершения без выдачи сообщения, FALSE - для аварийного завершения с выдачей общего сообщения, TRUE - для нормального продолжения работы.

Рассматриваемый подход реализован в среде Visual FoxPro 5 при разработке АСУ вагоноремонтного депо «Магистраль-С» [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. РФ. Роспатент. Свид. об офиц. per прогр. для ЭВМ№ 990930 от 20.12.1999.

УДК 517.972

А. Б. Коноплев

ФОРМУЛА СУБДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ОБРАЗА ВЫПУКЛОГО МУЛЬТИОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть X, Y - конечномерные действительные пространства, Z = X х Y - их декартово произведение и | • ||х, || • [|у, || ■ || - нормы в этих

пространствах. Символом || • || будем обозначать евклидову норму в X.

Рассмотрим мультиотображение F: X -> 2У, ставящее в соответствие каждому хеХ множество F(x) с Y. Множества

domF = {хеХ\ F{:с) * 0}, gr F = {(*,>>) е X х Y \ у е F(x)}

называются соответственно эффективной областью и графиком мультио-тображения F.

Мультиотображение называется выпуклым {замкнутым), если его график есть выпуклое (замкнутое) множество в Z.

Мультиотображение F удовлетворяет условию Липшица на множестве dorn F с константой L > 0, если для любых хих2 е dorn F выполняется неравенство

hC^fa).F{xi))^L-1x\ ~x21 •

Здесь h(A, 5) = max^ sup inf ¡a - ¿>|| , sup inf Ja - й|| > - расстояние

Хаусдорфа между множествами А и В.

Рассмотрим функцию расстояния отточки z = (л:,^)еdorn/7хY до образа мультиотображения

dF(z) = taf

weF(x)

и обычную функцию расстояния от точки z е Z до множества Q с Z

PnO)= inf ||z-w||

иеП i

Эти функции используются в негладком анализе для решения задач об оценке и аппроксимации множеств и мультиотображений [1 — 3]. Введем обозначение

ß(z,Q) = {uei2|||z-M||z=pn(z)}. Имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1, Пусть замкнутое мультиотображение F удовлетворяет на dorn F условию Липшица с константой L, а норма в Z имеет вид

IMHMM-Ilr. (1)

причем ||х'||х >L||x'||, Vx'#0. Тогда для всех z = (х,у) е domFx Y выполняется равенство dp(z) = р^р (z) и справедливо включение

ß(z,grF)eWxFW. (2)

Доказательство. Очевидно, что ввиду выбора нормы (1), для любого z € domF х Y имеет место неравенство

dF(z)>ppF(z). (3)

В случае, когда zegrF, имеем dF(z) - р f(z) = 0. Если же zigrF, то, в силу замкнутости grF, найдется пара (дС[, yl) 6 gr F такая, что

pgrHzHI*--*ilL+l|y->'i!)'- (4)

Предположим противное, что dF(z) pgrF(z). Тогда, с учетом (3), имеем неравенство

dF(z)>PpF(z), (5)

которое, в свою очередь, влечет х * хх.

Теперь из определения расстояния Хаусдорфа, неравенства треугольника для нормы ||-|| и соотношений (1), (4), (5) получим

h {F{xx), F(x)) > inf IЛ - Ц = inf \\У1 -у + у-Ц >

weF(x) weF(x)

* inf Ъ> - Ay ~ ¡У ~ УМу = dF(z) - \\у - Л| =

weF(x) ' '

= dF (z) - р р р(2) + \\х - х{ \\х > L\\x — JCjjj, что противоречит липшицевости F. Тем самым мы доказали, что

*i=*, (6) dP(z) =PecF(z). (7)

С учетом (1) и (7) множество Q(z, grF) можно записать в виде

ß(z,grF) = {U=(v,W)6grf | ]v-*| = inf \\y-w\\ }.

' wsF(i)

Используя (6), получаем (2). Теорема доказана.

Напомним, что субдифференциалом выпуклой функции f:X-*R в точке х б X называется множество

df{x) = {v € X | f{x') - /(*)>< v, х' - х>, Ух' 6 X}.

Обозначим через К(и, Q) конус допустимых направлений множества

QcZ в точке и е Q, а через К+(и, Q) сопряженный к нему конус.

Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 2. Пусть мультиотображение F с выпуклой эффективной областью является выпуклым и удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда функция dF(z) является выпуклой на domFxF, а ее субдифференциал в точках z = (х,у) е dorn F х Y выражается формулой

ddp (z) = {дЦоЦд. х с\\у - и|у} п -К+ ((х, w), grF), (8)

где weF{x) любая точка, для которой выполняется равенство II y-4Y=dF(z).

Доказательство. По определению выпуклого мультиотображения grF является выпуклым множеством. Известно [3, с. 88], что в этом случае pgrF(z) выпуклая на Z функция. В соответствии с формулой субдифференциала функции расстояния от точки до выпуклого множества, полученной в [1], имеем

d9¥p{z) = d\\z-u\zn-K+{u, grF), V и g Q(z, gcF). (9)

Найдем субдифференциал нормы | -1( . В соответствии с определением субдифференциала принадлежность пары (у.и1) е д||(х,.у)||2 означает выполнение неравенства

ИЛ- -Нх+МУ -Му^'-'М^'-Л V(*',/)€*xr. (10)

Легко видеть, что пара (у,и>), удовлетворяющая нижеследующей системе неравенств (11), удовлетворяет и неравенству (10)

-Ы >(у,х'-х)

нк-Мг-О^ -у)

Следовательно, справедливо включение Щх\х х д||_у|у с: Э|)(д:, у)|| .

Чтобы показать обратное включение, достаточно положить в неравенстве (10) х' = х, а затем у' = у. Таким образом,

д\\(х,у)\\2=Щх\\ххЩу\\у. (12)

Подставляя соотношения (12) в (9) и используя (7) и (2), получаем (8). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дудов С. И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 530 - 542.

2. Минченко Л. И., Борисенко О. Ф., Грицай С. П. Многозначный анализ и воз-мущеннные задачи нелинейного программирования. Минск, 1993.

3. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

уда 519.2

И. А. Кузнецова

МИНИМАЛЬНЫЕ И ПРОТОМИНИМАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТРИКИ

Теория вероятностных метрик развита в работах В. М. Золотарёва и его школы [1]. Целью настоящей статьи является отыскание условий, при которых данная простая метрика является минимальной для некоторой сложной метрики, и нахождение способов построения сложных метрик с фиксированными минимальными метриками.

Пусть (и,(1) - полное сепарабельное метрическое пространство,

(£1,1., Р) - вероятностное пространство, Р 1 - класс одномерных распределений, то есть распределений случайных элементов, определённых на О и принимающих значения в С/, Р 2 - класс двумерных распределений, то есть распределений случайных элементов, определённых на О и принимающих значения в и х С/.