CC BY
40
УДК 519.3 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 4
Л. Н. Полякова
ЗАДАЧА ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗНОСТИ ПОЛИЭДРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ *)
1. Введение. В настоящее время существует ряд работ, посвященных исследованию оптимизационных свойств разности выпуклых функций (см., например, [1-6]). Рассмотрение свойств таких функций, безусловно, опирается на основные свойства и теоремы выпуклого анализа. Класс выпуклых функций является одним из наиболее изученных среди семейства негладких функций. Полиэдральные функции, в свою очередь, наиболее простые среди негладких выпуклых функций.
В основном изложение материала ведется в терминологии и обозначениях, принятых в книге Р. Рокафеллара «Выпуклый анализ» [7]. Напомним некоторые утверждения выпуклого анализа, необходимые для дальнейшего изложения материала.
Функция
/(ж) = тах{(аг,х) + Ьг}, а;ёЕп, е Ж, г € / = 1,... ,т, ¿е/
называется полиэдральной. Здесь и в дальнейшем через (*, *) обозначено скалярное произведение.
Сформулируем некоторые свойства полиэдральных функций. Они определены и выпуклы на всем евклидовом пространстве Еп, следовательно, непрерывны на Е", и в каждой точке ж € К" субдифференциал полиэдральной функции есть выпуклый многогранник, а именно
(9/0г) = СО < У йг > , я(х) = {¿6/ |/г(х) = /(ж)} , = (щ,х) + Ь», I £ I.
[гея(х) )
Отметим также, что субдифференциальное отображение <9/ : Еп —> 2К" не является непрерывным в метрике Хаусдорфа.
Для функции / в каждой точке х € Е™ для любого е ^ 0 существует в-субдиффе-ренциал, при этом е-субдифференциальное отображение де/ : Еп х (0, +оо) —2К" уже непрерывно по Хаусдорфу. В общем случае для произвольной выпуклой функции нахождение е-субдифференциала представляет собой достаточно трудоемкую операцию, хотя и существуют формулы, позволяющие вычислять его для суммы выпуклых функций и для функции максимума (см., например, [8, 9]). Для полиэдральной функции формула е-субдифференциала в каждой точке х € Еп имеет вид [7]
де№ =
= ^ АгСХг €
1=1
Е Лг(/(ж) ~ (аг,я) - Ь») ^ £,
г=1
X) А4 = 1, А4 ^ 0, г е /
г=1
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-01-00276). © Л. Н. Полякова, 2006
Таким образом, е-субдифференциал полиэдральной функции / в каждой точке ж G М71 есть выпуклый многогранник. Очевидно, что е-субдифференциал функции / в точке ж при е — 0 совпадает с ее субдифференциалом в этой точке.
Замечание. Следует отметить тот факт, что точка öj, г G I, будет принадлежать множеству <Эе/(ж) при всех е ^ /(ж) — (сч,х) — Ь{.
Функция
/»= sap{(x,v)-f(x)}, veW1, хеип
называется функцией, сопряженной к функции /. Она замкнута и выпукла для любой функции / (необязательно выпуклой). В выпуклом случае понятие сопряженной функции к данной является одним из основных понятий. Известно, что если / - собственная выпуклая замкнутая функция, то /* также есть собственная выпуклая замкнутая функция, и при этом справедливо равенство / = /**. ( Функция / называется замкнутой, если ее надграфик есть замкнутое множество.) Используя сопряженную функцию, можно дать другое определение е-субдифференциала выпуклой замкнутой собственной функции / в точке х G dorn/:
def(x) = {v е 1" | /(*) + /» - (x,v) ^ £}.
Функция, сопряженная к полиэдральной функции /, не является непрерывной на М", так как эффективная область сопряженной функции /* есть выпуклая оболочка, натянутая на векторы aj, i G I, т. е.
dorn f* = со
{у 4
Таким образом, сопряженная функция конечна лишь в точках этого многогранника. Вне его она принимает значение +оо. Для полиэдральной функции также выполнено равенство dorndf* = dorn/*, где
dorn ÖS* = {г; G Rn I df*(v) ф 0}
и df* - субдифференциал сопряженной функции f* в точке и 6 1".
2. Связь гиподифференциала и е-субдифференциала полиэдральной функции. В- Ф- Демьянов ввел понятия гиподифференцируемой функции и гиподифференциала [10].
Функция / называется гиподифференцируемой в точке х G Кп, если существует такой выпуклый компакт df(x) С Mn+1, что справедливо разложение
f(x + Д) = /(ж) + max [о+ (и,Д)] + о(х, Д), а G Е, v G Мп, [a,v]edf(x)
где
о(ж,оД) а-И) VAeMn
а
Множество df(x) называется гиподифференциалом функции / в точке i G 1". Ги-подифференциал функции / в точке х G Мп определяется неоднозначно. Функция / называется непрерывно гиподифференцируемой в точке ж G М", если она гиподиф-ференцируема в ней и в окрестности этой точки существует непрерывное (в метрике
Хаусдорфа) гиподифференциальное отображение с?/(ж). Полиэдральная функция непрерывно гиподифференцируема на Еп. В качестве непрерывного гиподифференциала полиэдральной функции / в точке гб!" можно, например, взять множество
4ГМ = »{у (<«,,> Д-/(,))} = «-х в. «
Данное гиподифференциальное отображение : Еп —2е"+1 непрерывно по Хаус-дорфу. Очевидно, что это множество с//(ж) С Еп+1 есть также выпуклый многогранник, содержащийся в полупространстве Я = {г — (21,..., гп, гп+\)т Е Е™ х Е | 2п+1 ^ 0}, где знак Т обозначает транспонирование вектора. Для полиэдральной функции / в точке х £ Еп определим число £*(х) ^ 0 по формуле
е*(х)=тах{/(х)-Мх)}. (2)
гб /
Зафиксируем произвольное е, удовлетворяющее условию 0 ^ е ^ е*. Положим
4/(ж) = е Еп+1 | г € ¿/(ж), 2 = ^ , V е Еп, I € Е, -е < 4 ^ о| . (3)
Очевидно, что множество (¿е/(ж) непусто, замкнуто и выпукло для любых 0 ^ г ^ е*. Нетрудно заметить, что
¿ех/(ж) с с42/(ж), 0^£1^£2^£*. Лемма 1. Для любых 0 ^ е ^ £*(х) справедливо следующее равенство:
де/(х) = е Е" | е 4/(ж) |.
(4)
Доказательство. Если е = 0, то доказательство формулы (4) очевидно. Пусть теперь 0 < е ^ £*(ж). Обозначим через Л множество {и € Еп | (£,у)Т 6 ¿е/(ж)} и докажем включение <9е/(ж) С Л. Выберем произвольную точку у 6 <9с/(ж).
т
Тогда существует такой набор чисел А* (ж) ^ 0, г 6 I, Е Аг(ж) = 1, что справедливы
г—1
соотношения
^ Аг(ж)йг, ^ Аг(ж)(/(ж) - (бЦ,Х> - Ь{) ^ £.
г» =
г=1 г=1
Поэтому
2 =
/ т \
Е Аг(ж)аг
г=1
т
£ Аг(ж)((аьж) + ^ - /(ж)) \ ¿=1 /
т , ч
= ЕМ<*.*>Д-/м)€<,г(х)- <5>
Обозначив через £ = Е Аг((аг,ж) + Ь^ - /(ж)), имеем —£ ^ £ ^ 0. Из этих неравенств и
г=1
(5) следует, что точка V £ А. Таким образом, включение <Э£/(ж) С Л доказано.
Докажем противоположное включение. Выберем произвольную точку V £ Л, тогда найдется число £ из отрезка [—г, 0] такое, что точка г = (у, ¿)т £ с1£/(х) С (1/(х). Отсюда
тп
существует такой набор чисел АДж) ^ 0, г £ I, А;(ж) = 1, что справедливы равенства
г=1
t = А,(ж)((аьж) + bi-f(x)), v ~
г= 1 г=1
m
И так как At (ж) (/(ж) — (а», ж) — 6;) ^ е, то точка v £ öe/(ж). Лемма доказана.
Таким образом, если спроектировать множество d£f(x) на Еп, то его проекцией будет 6-субдифференциал функции / в точке ж.
Следствие 1. Для каждого е ^ £*(ж) справедливо равенство def(x) = öe.(x)/(ж) = со jljaij = dorn/*.
Следствие 2. Еслиу d£f{ж), то точка zt — ^^ ^ d£f(x) (?ая любого t £ [—е,0].
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данные утверждения.
Пример 1. Пусть /(ж) = |ж| = тах{ ж, -ж }, ж £ Е, тогда dorn/* = со { — 1,1} С К. Используя формулу (1), вычислим гиподифференциал функции / в точке ж £ Е:
Если ж = 0, то df(0) = со | , ^ ^ | . В этом случае из (2) имеем е*(0) = 0. Следовательно,
3e/(0)=öe.(O)/(0) = ö/(0) VO0. Если ж = 1, то df( 1) = со | ^^ , | > и £*(1) = 2- Таким образом,
def(l) =со {1-е,1} С Е, 0^£<£*(1), def( 1) = Зе.(1)/(1) = 9/(0) = dorn/* Ve ^ £*(1). Если ж — 1 , то df(-l) = со | , |, и £*(-1) = 2. Тогда
def(-1) = со {-1, -1 + е) С Е, 0 ^ в < £*(—1), def(-l) = öe*(_i)/(-l) = ö/(0) = dorn/* V£ ^ £*(-!)•
Пример 2. Пусть f(x) = шах{ж + 1,2ж}, х G ®L
Для данной функции dorn/* = со {1,2} С Ж. Используя формулу (1), имеем
*<-)=«{(,+1 -/(«))•( а, -/(-))}с * ■
Если х = 1, то df( 1) = со I , I, и е*(1) = 0. Следовательно,
def( 1) = öe.(1')/(l) - 0/(1) = со{1,2} Уе > 0.
Если х — 2, то df(x) = со j ^ ^^ , ^^ |, и £*(2) = 1. Таким образом,
dj(2) = со {2-е,2} С К, 0 ^ £ < е*(2), деН2) = де.{2)№ = 0/(1) = dorn/* Ve ^ е*(2).
Если же х = 0 , то df(0) = со | ^^ , | • Тогда из формулы (2) имеем е*(0) = 1.
Итак,
öe/(0) =со {1,1 + е} СМ, 0^e<e*(Ô),
dEf(0) - ôe.(0)/(0) = ö/(l) = dorn/* Ve ^ e*(0).
Геометрическая интерпретация е-субдифференциала максимума полиэдральных функций. Обозначим через T(f,x) = ¿/(ж) + К, T£(f,x) = Т(/,ж)пР(е), где
К = {g G En+1 I 5 = Ле, е = ((W),-1)T, Л ^ 0},
п
Н{е) = {z = (z1,...,zn,zn+i)T € En+1 I zn+1 = -e}.
Отметим, что луч К есть рецессивный конус множества Т(/, х).
Лемма 2. Для любого фиксированного е > 0 в каждой точке х G lRn справедливо равенство
d.f(x) = G Е" I QgT£(/,x)|. (6)
Доказательство. Если e = 0, то доказательство формулы (6) очевидно. Если e > £*, то d£f(x) = со {(J Oj}. Следовательно, при этих е равенство (б) также
г€1
имеет место.
Пусть теперь 0 < £ < е*. Обозначим множество, стоящее в правой части равенства (6), через В, т. е.
Q Gr£(/,:r)} = juGlT | (^Q G Т£(/,*)}•
Так как d£f(x) С Те(/,ж), то, в силу равенства (4), def(x) С В.
Докажем противоположное включение. Выберем произвольную точку v £ В и зафиксируем £ ^ 0. Тогда найдется такое число t, — е < t < 0, что точка z = (v,t)T G T(f,x). В силу определения множества Т(/, х), имеем z = 21+2:2, где z\ G df(x), z2 G K.
Таким образом, существуют такой набор чисел Аг(ж) ^ 0, г £ I, Е АДж) = 1 и число
¿=1
О </!<£, что
(
X —
Е А;(ж)оЦ ¿=1
\
Е Аг(ж)((аьх) + Ьг - /(ж)) \ ¿=1
Е "Аг(ж)а^
г=1
т
Е Л<(®)((Ог,а:> +Ьг - /(ж)) -/X
г=1
\
-1
Отсюда имеем соотношение
т
-£ < í = ^ А»(ж)((а», ж) + Ьг - /(ж)) - /X.
г=1
Следовательно,
т
^ Аг(ж)(/(ж) - (а*, ж) - Ьг) < г - ц < е.
г=1
Тогда точка г € <9е/(ж). Лемма доказана.
3. Необходимые и достаточные условия минимума разности выпуклых функций. Пусть /ь/г - конечные выпуклые на Еп функции и
/(ж) = Д(ж)-/2(ж), ж€Кп.
Функция /(ж) квазидифференцируема на Кп и Т>/(х) = [<9/1(ж), — <Э/2(ж)] - ее квазидифференциал в точке I £ 1", где <9/¿(ж) - субдифференциалы выпуклых функций /г(ж), г = 1, 2, в точке ж € Еп в смысле определения выпуклого анализа. Лемма 3. Зафиксируем произвольную точку ж € Кп, тогда
Ш - /2(ж) ^ /2» - /» V*, е ал (ж),
Л (ж) - /2(ж) ^ /2» - Ж«) V« е а/2(ж), л(ж) - /2(ж) = /2» - Д» Уи € а/!(ж) П 3/2(ж).
(7)
(8) (9)
Доказательство. Докажем условие (7). Из неравенства Юнга-Фенхеля имеем
/з(з) + /2 («) ^ (ж, Уж € 1п, Уг; е Еп.
Кроме того,
-/!(*)-Л» = Уж € ад*(и), Уи е д/г(х).
Складывая эти соотношения, получим требуемое неравенство. Аналогично доказываются формулы (8) и (9). Лемма 4. Зафиксируем произвольную точку V € йот/*, тогда
п («) - /Г (V) > /1 (X) - /2 (ж) Уж е а/Г (V).
Зафиксируем произвольную точку v £ dom, тогда
/2» - л» ^ ш - h(x) Ух е df;(v).
Зафиксируем произвольную точку v G domf* П domтогда
/2» - л» = Ш - Ш \/х е a/i(w) п а/2».
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 3. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти
inf f{x).
iGR" У
Приведем необходимые условия оптимальности функции / на Еп.
Теорема 1 [11]. Для того чтобы точка х* G Еп была точкой минимума функции / на Еп, необходимо, чтобы
df2(x*)cdh(x*). (10)
Для того чтобы точка х* G Еп была точкой максимума функции / на Еп, необходимо, чтобы
dh(x*)Cdf2(x*). Если в точке х* G Еп выполнено включение
d/2(x*) Cmtdh{x*), (11)
то эта точка является точкой строгого локального минимума функции f на Еп. Если в точке х* Е Еп выполнено включение
dfi[x*) С int <9/2(2;*),
то эта точка есть точка строгого локального максимума функции f на Еп.
Впервые необходимые и достаточные условия глобального минимума разности выпуклых функций были получены Ириа-Уррути [4], который при выводе необходимых и достаточных условий глобального минимума разности выпуклых функций на Еп использовал их е-субдифференциалы. Приведем формулировку и другое доказательство этих условий.
Теорема 2. Для того чтобы точка х* € Еп была точкой глобального минимума функции / на Еп, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение
сШх*)С деМх') VO0, (12)
где d£fi(x*) - е-субдифференциалы выпуклых функций /¿, i = 1,2, в точке х*.
Доказательство. Необходимость. Пусть х* 6 Еп - точка глобального минимума функции / на Еп. Зафиксируем произвольное е ^ 0 и выберем произвольную точку v 6 <9е/2(ж*), тогда справедливо неравенство
f2{x*) + r2{v)-{x*,v)-e^ 0.
Поскольку в точке минимума функции / выполнено включение (10), то, в силу условия (9) и того факта, что <9/2(2;*) С <Эе/2(а;*), имеем
/1(**)-/2(**) = /2>)-Л>).
Следовательно, fi(x*) + f* (v) = /2(3;*) + /2 (v). Используя этот факт, получим
fi(xm) + ft{v)-{x*,v)-e^O.
Из данного неравенства следует, что v G d£f\ (х*). Таким образом, в силу произвольности выбора V £ 0£/2(ж*), справедливо включение
деЫх*) СдМх*) Ve ^ 0.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть в точке х* выполнено условие (12). Выберем произвольное V 6 dorn/2 . Положим
ф) = /а(*Ч+ £(«)-<*•, V).
Из неравенства Юнга-Фенхеля следует, что е(у) ^ 0. Поэтому v 6 5£r(v)/2(a:*). Таким образом, в силу нашего предположения, v € dstv\fi(x*). В данном случае dom/2 С dorn/j\ Потому имеем
о ^ ЛОО + Л» - (ж»-e(v) = h(x*) + mv) - (x*,v)-
-/2OO - /2» + (x*,v) = f(x*) + f?(v) - /•(„).
Следовательно,
-Л*(и) ^ + f{x") Vv G dom/2*.
Тогда для каждого iGl™
fi(x) = sup {(x,v) - f*(v)} = sup {(ar,v) - f*{v)} ^
veK" üGdom/j"
^ sup {(x,v)-f*(v)}^ sup {(x,v)-ß(v)} + f(x*) = f2(x) + f(x*).
u€dom uGdom /J
Отсюда получим неравенство /(ж) ^ /(ж*) VaТеорема доказана.
4. Необходимые и достаточные условия глобального минимума и максимума разности полиэдральных функций. Пусть /1 и /2 - полиэдральные функции, определенные на Мп, т. е.
/х(х) = max/и (ж), fu = {(сч,х) + 6*}, I = {1,...,ш},
/2(ж) = max/2j(ж), /2j-(®) = {(су,ж) +dj}, J={l,...,p}, JG J
где ai, Cj e мп, ьг, dj el, i e /, j e J.
Рассмотрим функцию /(ж) = fi(x) — /2(ж). Тогда
/(ж) = тах{(аг,ж) + - тах{(с,-,ж) 4- dj} = тах{{аг,ж) + bi} + mini —(с,,ж) - dA — iei jeJ iei jeJ
— min{—(cj,x) — dj + max{(aj,x) + öj}} = minmax{(aj, ж) + bi — (Cj,x) — dj} = jeJ iei jeJ iei
— minmax{(oj — Cj,x) + bi — dj} = min max hij (ж) = min hj (ж), jeJ iei jeJ iei jeJ
где
hj(x) = max h^ (x), hij(x) = (üi - с,-,ж) + Ь» — dj, iei, j E J.
iei
Требуется минимизировать функцию f(x) на Rn. Несложно заметить, что
inf fix) = inf mmmaxhn(x) = inf inf maxhiAx). zGR" жеК" jeJ iei jeJxer» iei
Таким образом, решение данной задачи можно свести к решению конечного числа минимаксных задач, которые, в свою очередь, сводятся к задачам линейного программирования. Если на каком-то этапе целевая функция является неограниченной снизу, то, очевидно, и исходная задача также неограничена снизу. Потому эта задача может быть решена за конечное число итераций.
Рассмотрим некоторые оптимизационные свойства функции /.
Приведем условия неограниченности функции / на Еп.
Теорема 3. Для того чтобы функция f была неограниченной снизу на Мп, необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор Cj*, j* 6 J, для которого выполнялось условие
Cj. g со j Ц Oij. (13)
Доказательство. Необходимость. Предположим, что функция / неограничена снизу на Rn. Тогда найдется такой индекс j* е J, что функция hj*(x) также неограничена снизу на Кп. В этом случае
Оп & dorn h*. = со | У (üi - Cj.) | = со j (J а* j - cj..
Отсюда имеем Cj» ^ со
Ы-
Достаточность. Пусть выполнено соотношение (13), тогда, повторяя выкладки в обратном порядке, получим требуемое утверждение.
Заметим, что условие (13) всегда может быть проверено, поскольку множества I и J конечны.
Из теоремы 3 вытекают следующие необходимые и достаточные условия:
Следствие 3. Для того чтобы функция f была неограниченной снизу на IRn, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
dorn/2 <t dorn/*.
Следствие 4. Для того чтобы функция f была ограниченной снизу на Еп, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение
dorn/2* С dorn/*. (14)
Теорема 4. Для того чтобы функция f была неограниченной сверху на Мп, необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор a¿*, i* € I, для которого выполнялось условие
ai' & со < (J <
I jeJ
Следствие 5. Для того чтобы функция / была неограниченной сверху на Еп, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
dorn/* <£ dom/2*.
Следствие 6. Для того чтобы функция / была ограниченной сверху на К", необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение
dorn/* С dom/2*.
Предположим, что функция / ограничена снизу на Еп, т. е. выполнено условие (14). Приведем необходимые и достаточные условия глобального минимума функции / на Еп .
Теорема 5. Для того чтобы точка х* G Еп была точкой глобального минимума функции f на К", необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
^•>i>{(/2j(l.)Ci ЛМ) . 0)} * • J, (15)
Доказательство. Необходимость. Пусть точка х* является точкой глобального минимума функции / на Е™. Предположим, что условие (15) не выполняется. Тогда существует такой индекс j* — j(x*) G J, что
dh{x*)
'М-ЛМУЧ 0
Обозначим через е(х*) = /2(2:*) — /2]{%*)• Следовательно,
|>о | [/2.,{х,С{_ Л(х.}) , [С'о) } =
Из замечания вытекает, что точка £ д£(х*)/2(ж*), но из формул (3) и (4) следует, что она не принадлежит множеству де(х*)$\(х*). Это противоречит тому факту, что точка х* является точкой глобального минимума функции / на Еп, поскольку для каждого е ^ 0 справедливо включение (12). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть выполнено условие (15). Тогда 3/2(2:*) С 3/х(ж*). Следовательно, необходимое условие локального минимума функции / на Еп выполнено. Покажем, что выполнено включение Т(/2, ж) С Т(/1,ж). Для этого докажем, что справедливо включение с?/2(ж) С Т(/х,х). Если все точки ( , , , / *ч ], j Е J,
\J2j* (ж ) — /2 (ж ))
содержатся в гиподифференциале функции Д в точке ж*, то
<#2(ж*) С <#1(ж*). Потому для любого £ ^ 0, в силу формулы (4), имеем
¿Ш Х*)Сд£Мх*). Тогда точка ж* является точкой глобального минимума функции / на Еп.
Определим индексное множество J С J, для которого точки
сз*
_7 6 С «7, не содержатся в множестве Очевидно, что ./^(ж*) — /2(ж*) < О,
если .7 6 Таким образом, в множество не входят индексы для которых
¡21(Х*)-Ь(Х*) = 0.
Выберем произвольный индекс , и пусть
»ад = А, (с;-) + (1 - Л,) /2(х>)), Л, 6 [0,1].
То есть точка у(Л^) лежит на отрезке со | ( ^ {х*) — / (ж*)) ' \ 0 ) } ' как вьшол"
нено условие (15), то на каждом отрезке со | ^ (х*) - f (x*)J ' \ 0 ) J опРеДелим точки y(\2j) по правилу
А2j — min Аj, если y(\j) G dfi(x*), j € J~. £ [0,1]
в множестве
Следовательно, отрезок со |у(А2;), ^ (х*) — /• (ж*))} содеРжится
Г(/ 1,ж) для каждого э £ 3~. Стало быть, и все точки ^ (х*)"— / (ж*))' ^ £
принадлежат множеству Т(/1,ж). Отсюда вытекает, что <#2(ж) С Т(/х,ж). Из этого включения, леммы 2 и теоремы 2 следует выполнение достаточных условий глобального минимума функции / в точке ж* на Еп. Теорема доказана.
Следствие 7. Условие (15) эквивалентно следующему условию:
On+i е
dfiOO - со
Cj. \ / Cj.
f2j^X*)-h(x*)h[0
Vi € J.
Следствие 8. Условие (15) эквивалентно такому условию:
On+i е f|
jeJ
dfi(x*) - со
'J*
Следствие 9. (Достаточное условие глобального минимума функции / на Е™.) Если в точке х* € Еп справедливо включение
df2(x*)Cdf1(x*),
то точка ж* есть точка глобального минимума функции / на Еп.
Теорема 6. Для того чтобы точка х* € Е" была точкой глобального максимума функции / на Еп, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Следствие 10. Условие (16) эквивалентно следующему условию:
(16)
On+i е
df2(ж*) - со
' о
а;
Vi £ I.
Следствие 11. Условие (16) эквивалентно такому условию-.
df2(x*)~ ™{(fli{x*)a-fl{x*))>(a¿
On+1 € П
jeJ
Следствие 12. (Достаточное условие глобального максимума функции / на Если в точке х* € Еп справедливо включение
dfl(x*)cdf2(x*),
то точка х* есть точка глобального максимума функции / на Еп. Пример 3. Рассмотрим функцию
Пх) = Ш - Ш, ¡г(х) — тах {|бж + 23|, \2х + 25|} , /2(ж) = тах {\4х + 9|, \2х + 9|} , х е Е,
или
/(*) = 16'
—14 — 2х, если — оо < х ^ — 6, 34 + 6а;, если — 6 < х ^ —3, если — 3 < х ^ О,
16 — 2х, если 0 < х ^ -,
1 2
2х 4-14, если - < х < +оо.
Z
На рисунке изображена функция /. Нетрудно заметить, что dorn/* = со{—6,6}, dorn= со{—4,4}. Таким образом, функция ограничена снизу (dorn f2 С dorn Д*) и неограничена сверху. Для функции / точка х* = — 6 является точкой глобального минимума на Е. В этой точке /(—6) = —2 и
ем-6) = со {-6,2}, dM-6) = СО { (_266), (:226), ("6) , Q } ,
а/2(_е) = —4, äM-6) = со { (40) , (_218) , ("4) , (-2) } . Очевидно, что условия (10) и (15) выполняются. 94
Любая точка из интервала (—3,0) является стационарной точкой функции /. На этом интервале функции Д и /2 дифференцируемы и f[(x) = 2, х) = 2 для любого ж <Е (-3,0).
Рассмотрим точку х\ = —2. Имеем
dM-2) = со{ (_610) , (_"22) , (Г362) , Q } ,
Условие (10) выполняется, а условие (15) не выполняется.
Рассмотрим точку строгого локального минимума функции - точку хг = Тогда
/Q)= 15.
ел Q) = со {2,6}, ,</, (-6) = со { (J) , (_-522), (-62), (2)}, ад® -4. «И, - СО {(¡).(Д). (-),(-)}.
Заметим, что 9/2 ^^ С int dji Т- е> ВЬШОЛнен° достаточное условие строгого
локального минимума (11). Условие (15) не выполняется.
Summary
Polyakova L. N. The problem of global optimization of polyhedral function difference.
The problem of minimizing one class of nonsmooth functions (namely, that of differences of polyhedral ones) is studied. Necessary and sufficient conditions of the unboundedness of these functions on the Euclidean space Rn are proved as well as nessary and sufficient conditions for global maxima and minima on Rn. The relationship between the e-subdifferential and hypodifferential of a polyhedral function is established. Some illustrative examples are proved.
Литература
1. Стрекаловский А. С. К проблеме глобального экстремума // Докл. АН СССР. 1989. Т. 292, № 5. С. 1062-1066.
2. Стрекаловский А. С. О поиске глобального максимума выпуклого функционала на допустимом множестве // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 1993. Т. 33, № 3. С. 349363.
3. Стрекаловский А. С. Условия глобальной оптимальности в задачах d.c. программирования. Иркутск: Изд-во Иркутск, гос. ун-та. Сер. Оптимизация и управление. 1997. Вып. 1. 64 с.
4. Hiriart-Urruty J.-В. From convex minimization to nonconvex minimization: Necessary and sufficient conditions for global optimality // Nonsmooth optimization and related topics / Eds. F. N. Clarke, V. F. Demyanov, F. Giannessi. New York: Plenum, 1989. P. 219-240.
5. Thoai N. V. A modified Version of Tuy's method for solving d.c. programming problems // Optimization. 1988. Vol. 19, N 5. P. 665-674.
6. Tuy H. D.c. optimization: Theory, methods and algorithms // Handbook of Global Optimization / Eds. R. Horst, P. M. Pardalos. Normell, MA: Kluwer Academic Publ., 1995. P. 149-216.
7. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ / Пер. с англ. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова. М.: Мир, 1973. 472 с.
8. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 383 с.
9. Кусраев А. Г., Кутпателадзе С. С. Субдифференциальное исчисление. Новосибирск: Наука, 1987. 224 с.
10. Демьянов В. Ф, Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 431 с.
11. Полякова Л. Н. Необходимые условия экстремума квазидифференцируемых функций // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. № 13. С. 57-62. \
Статья поступила в редакцию 7 июня 2006 г.
