Научная статья на тему 'Кодифференцируемые функции в банаховых пространствах: методы и приложения к задачам вариационного исчисления'

Кодифференцируемые функции в банаховых пространствах: методы и приложения к задачам вариационного исчисления Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
170
40
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕГЛАДКИЙ АНАЛИЗ / КОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ / МЕТОД КОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СПУСКА / ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ / ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ / CODIffERENTIABLE FUNCTION / METHOD OF CODIffERENTIAL DESCENT / NONSMOOTH ANALYSIS / PENALTY FUNCTION / CALCULUS OF VARIATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Демьянов Владимир Федорович, Долгополик Максим Владимирович

В статье понятие кодифференциала обобщается на случай абстрактных пространств. Строится исчисление кодифференциалов, получены необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции, определенной на нормированном пространстве, предложен метод нахождения стационарных точек функционала – метод кодифференциального спуска, доказана теорема о сходимости метода. Эффективность описанной теории демонстрируется на примере некоторых задач вариационного исчисления.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Codifferentiable functions in Banach spaces: methods and applications to problems of variation calculus

For the study of special classes of nonsmooth functions, specific tools and methods are usually employed. Thus, for the class of qusidifferentiable functions, such a tool is Quasidifferential Calculus. The notion of codifferential allows one to construct continuous approximations of nonsmooth functions. This approach is investigated in detail for the finite-dimensional case. In the present paper, the notion of codifferential is generalized to the case of abstract spaces. Calculus of codifferentials is consrtucted, necessary conditions for an extremum of a codifferentiable function defined on a normed space are formulated, a numerical method for finding stationary points of the functional (the method of codifferential descent) is derived, a convergence theorem is proved. The efficiency of the theory described is demonstrated on some problems of Calculus of Variations. By means of the notion of codifferential, all known optimality conditions for classical variational problems were almost automatically obtained as well as necessary conditions for a minmax variational problem.

Текст научной работы на тему «Кодифференцируемые функции в банаховых пространствах: методы и приложения к задачам вариационного исчисления»

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3

В. Ф. Демьянов, М. В. Долгополик КОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ: МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ*)

1. Введение. В статье [1] понятие кодифференциала (см. [2]) было обобщено на случай функций, определенных на нормированном пространстве. С помощью кодифференциала строится неоднородная аппроксимация приращения функции, при этом можно выделить достаточно широкий класс функций, для которых кодифференциальное отображение является непрерывным.

В настоящей работе установлены конструктивные необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции, разработан метод нахождения стационарных точек исследуемой функции. Эффективность предложенной теории демонстрируется на примере некоторых задач вариационного исчисления. С помощью понятия кодифференциа-ла удалось вывести, почти автоматически, известные необходимые условия экстремума в минимаксной задаче вариационного исчисления, а также описать численный метод решения задач вариационного исчисления.

Условимся далее использовать те же обозначения и определения, что ив [1].

2. Необходимые условия экстремума. Здесь будут выведены необходимые условия экстремума и разработан численный метод нахождения стационарных точек ко-дифференцируемой функции. Результаты п. 2 являются непосредственным обобщением теории, изложенной в [2] в конечномерном случае.

Вначале напомним несколько определений и утверждений из [1], которые потребуются в дальнейшем. Пусть везде далее (E, У • ||E) - вещественное банахово пространство, 0e - нулевой элемент пространства E, Se = {х G E | ||x||e = 1} - единичная сфера. Рассмотрим прямое произведение R х E*, где E* - пространство, топологически сопряженное к Е. Пространство R х Е* банахово с нормой ||[а, ^р\\\р = (|а|р + IMI^*)^ где 1 < p < Введем в этом пространстве систему преднорм {|| • ||ж | х G E}, где

|| [а, ||ж = |а| + |у(х)|. Данное семейство преднорм порождает в R х E* топологию, которую будем обозначать т*. Отметим, что множество A С R х E* является т*-компактным тогда и только тогда, когда оно ограничено относительно нормы и замкнуто в топологии т* ([1, теорема 2.1]).

Пусть Q С E - открытое множество, функция f: Q ^ R называется кодифференцируемой на множестве Q, если для любого x G Q существует пара выпуклых множеств df(x), df(x) сШхЕ*, компактных в топологии т*, таких, что для любого допустимого приращения Дх G E соответствующее приращение функции представимо в виде

f(x + Ax) = f(x) + max (а + у>(Дж))+ mm (6 + ф(Ах)) + о(Ах, х),

[a,<p]Edf О) [b,ip]edf(x)

о(аДх,х)/а ^ 0 при а ^ 0. (1)

Демьянов Владимир Федорович — доктор физико-математических наук, профессор, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: vfd@ad9503.spb.edu.

Долгополик Максим Владимирович — аспирант, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: maxim.dolgopolik@gmail.com.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-00752).

© В. Ф. Демьянов, М. В. Долгополик, 2013

Пара множеств Df(x) = [df(x), df(x)] называется кодифференциалом функции / в точке ж, множество df(x) - гиподифференциалом, а множество df(x) - гипердифференциалом. Ясно, что кодифференциал определяется неоднозначно.

Пусть xo € О. Функция f называется равномерно кодифференцируемой в некоторой окрестности точки xo, если стремление к 0 в (1) равномерно по Дх € SE и x из данной окрестности точки xo. Функция f называется гиподифференцируемой в точке х, если существует кодифференциал вида Df(x) = [df(x), {0rx£*}], и гипердифференцируе-мой в точке х, если есть кодифференциал вида Df(x) = [{0rx£*}, df(x)}]. Не ограничивая общности, далее будем считать, что

max а = min 6 = 0 Ух € Q, (2)

[a,f]edf(x) [b,-ip]Edf (x)

в противном случае можно в качестве кодифференциала функции / взять эквивалентный кодифференциал D'f(x) = [df(x) — [а, О^*], df(x) + [а, О^;*]], где а = max{a | [а, ¡р] G df(x)}, для которого данное условие будет выполнено, поскольку

max а = — min b Ух £ fi.

[<*,¥>] edf(x) [b,ip]edf(x)

Чтобы в этом убедиться, достаточно в разложении кодифференцируемой функции положить Д = 0e .

Отображение x ^ Df (x) называется кодифференциальным; функция f называется непрерывно кодифференцируемой в точке x € О, если она кодифференцируема в некоторой окрестности этой точки и существует непрерывное (по Хаусдорфу) в данной точке кодифференциальное отображение Df. Аналогично определяются непрерывно гиподифференцируемые и непрерывно гипердифференцируемые функции.

Пусть функция f кодифференцируема на множестве О, тогда f квазидифференци-руема на этом множестве и ее производная по направлениям в точке x € О имеет вид (см. [1])

f'(x,g)= max ip(g) + min ф(д) Уд G Е, (3)

<p€df(x) tpEdf(x)

где

dj{x) = W G E* I [0, Lp] G df(x)}, df(x) = {ф £ E* \ [0, ф] G df(x)}. (4)

Выведем необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции f. Предположим, что точка x* является точкой локального минимума функции f. По необходимому условию минимума дифференцируемой по направлениям функции имеем (см. (3))

f'(x*,g)= max <р(д) + min ф(д) > 0 Уд G Е,

vedf{x*) xßedf(x*)

откуда для любого ф G df(x*) выполнено неравенство

max w(g) > 0 Уд € E.

Значит, 0e - это точка минимума выпуклой функции

Р.ф{д) = max ip(g) Уф G df(x*).

VEdf(x*)+{i>}

Из теоремы о необходимом и достаточном условии минимума выпуклой функции имеем, что 0^;* G dF^iQß) для любого ф G df(x*). Воспользовавшись формулой для

вычисления субдифференциала функции максимума (см., например, [2, 3]), получим, что 0Е* € дР,ф(0Е) = дЦх*) + {ф} для всех ф € дЦх*).

Аналогично показывается, что если точка х** € Е является точкой локального максимума функции /, то Ое* € <9/(ж) + {95} для любого <р € <9/(ж). Теперь, воспользовавшись формулой (4), легко получаем теорему о необходимых условиях локального экстремума кодифференцируемой функции.

Теорема 1. Пусть (Е, У • I) - банахово пространство, П С Е - открытое множество, функция /: П ^ М кодифференцируема на множестве П. Для того чтобы точка х* € П была точкой локального минимума (максимума) функции /, необходимо, а если функция / выпукла (вогнута), то и достаточно, чтобы

оихв* е Ш(х*) + [о,ф]}У[о,ф] е71Цх*) (5)

(Окхв* € {¿¡(х*) + [0,ср}}У[0,ср] е<а(х*)).

Замечание 1. В случае, когда функция / гиподифференцируема (гипердифферен-цируема), необходимое условие минимума (максимума) упрощается и принимает вид Окхв* е^/(х*) (оКх_е* е^/(х*)).

Точку х* € П, в которой выполнено необходимое условие минимума функции ], будем называть шЛ-стационарной точкой функции f, а точку х** € П, в которой выполнено необходимое условие максимума, - вир-стационарной точкой функции ]. Ниже будет показано, что если х € П не шЛ-стационарная точка функции f, то найдется направление д € Е, являющееся направлением спуска функции ], т. е. такое, что f'(х, д) < 0.

3. Метод кодифференциального спуска. Предположим, что функция /: Е ^ М кодифференцируема на Е. Опишем теоретическую схему алгоритма нахождения ш£-стационарных точек функции ] на всем пространстве Е (схема для вир-стационарных точек аналогичная).

Зафиксируем любые ¡л > 0 и 1 < р < Выберем произвольное хо € Е. Пусть уже построено хк € Е. Если в точке хк выполнено необходимое условие минимума (5), то точка хь - шЛ-стационарная, и процесс прекращается. В противном случае для каждого т € где

(¿м/(ж) = {ю е (1/(х) I и) = [6, ф], 0 < Ъ < /л},

находим

здесь ук (ш)

||vk(w)||p,

[ай(гу), 1рк{-\г«)], Ь(хк,и)) = ¿¡(хк) + {«;}. Далее имеем

/п >||

(6)

Ш (Д; ш) = (Ахь(ш); ш)

АхЕ$е

(7)

(если срк(-;ги) = Ое*, то положим Ахк(т) = Ое)- Теперь для каждого и> € хк)

получим

а затем

М /(хк + а.Дхк(ш)) = /(хк + ак(т)Дхк(т)),

а>0

/(хк + ак(т)Ахк(т)) = /(хк + акАхк)

(здесь предполагаем, что все соответствующие inf достигаются). Положим

xfc+1 = xk + a.k Дxk.

Далее продолжаем аналогично. В результате построим последовательность точек {xk}.

Замечание 2. Если функция f гиподифференцируема (гипердифференцируема), то к ней также можно применить метод кодифференциального спуска (подъема), который в этом случае целесообразно называть методом гиподифференциального спуска (гипердифференциального подъема). Отметим, что в этом случае будет dßf(x) = {0rxe*}, и поэтому алгоритм в данном случае упрощается.

Естественным образом возникают следующие вопросы: при каких условиях точные нижние грани в (6) и (7) достигаются, каковы свойства последовательности {xk} и когда эта последовательность сходится к inf-стационарной точке функции f. Решение таких вопросов будет проведено далее.

Специальный вид теоремы об отделимости. Задача (7) является задачей нахождения точной нижней грани значений линейного непрерывного функционала ф € E* на единичной сфере Se . Укажем условия, при выполнении которых эта точная нижняя грань достигается.

Пусть E - пространство, сопряженное к некоторому банахову пространству X, а функционал ф входит в образ X при каноническом вложении X в X** = E* (тогда функционал ф непрерывен в слабой* топологии). Единичный шар в E = X* компактен в слабой* топологии по теореме Банаха-Алаоглу, а тогда по теореме Вейерштрасса ф достигает минимума на данном шаре, а следовательно, и на сфере. В частности, если пространство E рефлексивно, то минимум заведомо существует. При этом ясно, что

minyesB ф(У) = -||ф||.

Для того чтобы получить условия, при которых точная нижняя грань в (6) достигается, и исследовать свойства элемента, на котором она достигается, нам потребуется специальная форма теоремы об отделимости (точнее, теоремы о существовании опорной гиперплоскости). В свою очередь, для ее доказательства потребуются два общеизвестных факта. Первый из них касается свойств нормы в сопряженном пространстве, а второй - элементарных свойств строго выпуклых пространств.

Лемма 1 (см. [3]). Пусть E - нормированное пространство. Тогда норма || • ||E* в сопряженном пространстве слабо полунепрерывна снизу.

Напомним, что нормированное пространство E называется строго выпуклым (или строго нормированным), если любой непустой шар в нем является строго выпуклым множеством. Нетрудно показать, что пространство E строго выпуклое тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника для нормы равенство достигается только на пропорциональных элементах, т. е. для любых x,y из E равенство Hx + уЦ = ||x|| + ||y|| равносильно тому, что существует число А > 0 такое, что x = Ay.

Теорема 2 (теорема об опорной гиперплоскости). Пусть (E, || • ||E) - строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство, выпуклое множество A С E* слабо

компактно и 0E* € A. Пусть min ||ф|| = ||фо|| и max ф0(у) = ф0(у0). Тогда для любого

peA yesE

ф € A выполняется неравенство

Ф(Уо) > ЦфоУ = фо(У0).

Доказательство. Поскольку норма || • ||E* слабо полунепрерывна снизу, а множество A слабо компактно, то infpeA ||ф|| достигается. Обозначим элемент, на котором достигается эта нижняя грань, через фо € A. Так как 0e* € A, то фо = 0e* .

Поскольку нормированное пространство E - рефлексивно, то существует yo G Se такое, что supyeSß уo(y) = у0(y0) = ||ус)||, а поскольку пространство E - строго выпукло, то yo единственно. Введем множество A = (1/|po|e*)A. Ясно, что оно выпукло, слабо компактно и miricpeA> IMI-E* = 1 = Н^Н-Е*, гДе ^Р = (^/Н^оНе*)^ € А'. Обозначим открытый единичный шар в пространстве E* через B = {у G E* | ||у||е* < 1}. Ясно, что множества A и B не пересекаются.

Определим множество С = В — А! + {у}. Очевидно, что оно выпукло и Ое* € int С (здесь внутренность множества понимается относительно топологии, порожденной нормой), поскольку B С C.

Рассмотрим функцию Минковского множества C

р: E* ^ R, р(ф)=Ш{t> 0 | ф/t G C}.

Учитывая свойства множества C, получаем, что р - это калибровочная функция. Так как множества А! и В не пересекаются, то у ф С, откуда p(jp) ^ 1. Заметим, что р(ф) ^ 1 для всех ф G C.

Определим линейный функционал fo(Xy) = А = Ху(уо) для любого Л G М на одномерном подпространстве L = Ип{^}. Покажем, что калибровочная функция р мажорирует функционал /о- Если А ^ 0, то fo(Xy) = А ^ Лр(у) = p(Xip); если же Л < О, то fo(Xy) < 0 ^ р(Ху). Итак, /о - линейный функционал, определенный на линейном подпространстве L, р - калибровочная функция и fo ^ р на L, тогда по теореме Хана-Банаха функционал fo можно продолжить до линейного функционала f на E*, удовлетворяющего неравенству f (ф) ^ р(ф) Уф G E*. В частности, f (ф) ^ 1 на C и поэтому f (ф) > —1 на —C, а поскольку B С C, то lf (ф)1 < 1 на B. Отсюда f G E** и 11/1Ы- ^ 1.

Пусть у G А!, ф G В, тогда ф — у у С и

1(Ф)~ f(y) + i = 1(Ф-у + у) <Р(Ф-у + у)< 1,

так как f(jp) = 1. Таким образом,

f (ф) < f (у) Уу G A, ф g B. (8)

Поскольку пространство E - рефлексивно, то существует xo G E такое, что f (у) = y(xo) для любого у G E*. Отметим, что ||xo||e = Hf||e** ^ 1. Покажем, что xo = yo. Допустим противное. Пусть xo ^ у о- Из определения уо следует, что у(уо) = = 1)

откуда с учетом определения функции f имеем

/ОЙ = v(xo) = 1 = ll^lb* = Щуо)- (9)

Так как справедливо неравенство \у(хо)\ ^ Ц^Цв*||жо||_е = Ц^оЦв ^ 1, то из (9) следует, что ЦхоЦв = 1, т. е. xo G Se- Значит, supyeSii; \у{у)\ = достигается на хо и на у о,

откуда, в силу строгой выпуклости пространства E, будет yo = xo. Учитывая (8), имеем, что

у^) > фЫ) Уу G A, ф G B.

Откуда

уМ > sup ф(yo) = ||yo|| = 1 Уу G A,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Фея

а тогда

ф(уо) > УфоУ = фо(уо)

для любого ф A, что и требовалось доказать.

Замечание 3. Условие строгой выпуклости пространства E в теореме отбросить нельзя. Покажем это на примере. Возьмем в качестве пространства E плоскость R2 с нормой ||x||i = |x1| + |x2|, тогда E* изометрически изоморфно пространству R2 с нормой ||x||TO = max{|xi|, |x21}. В качестве множества A возьмем множество функционалов, соответствующих на плоскости отрезку {(1, -1), (1,1)}.

Ясно, что множество A - выпукло и слабо компактно. В качестве функционала с минимальной нормой, очевидно, можно взять любой функционал из A. Положим фо^) = xi — x2. Нетрудно понять, что уо есть любая точка из отрезка {(1,0), (0, — 1)}. Возьмем уо = (1/2, —1/2), фо(уо) = 1. Пусть ф^) = x1 + x2, ф € A, но тогда ф(уо) = 0 < фо(уо).

Получим с помощью теоремы 2 условия, при которых точная нижняя грань в (6) достигается, а также опишем важные свойства элемента, доставляющего минимум. Если 0rxe* € L(xk,w), то нижняя грань в (6), очевидно, достигается на элементе 0rxe*. Если же 0RxE* € L(xk,w), то ответ на поставленный вопрос дает следующее

Следствие 1. Пусть (E, || • ||E) - строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство, выпуклое множество A С R х E* компактно в топологии т*, 0RxE* € A. Пусть также

min \\[а,ср]\\р = ||[ао,^о]||р = (|«оГ + 1Ы|Е*)^

[a,p\eA

min фо (у) = фо(уо) = —ЦфоЦе* yesE

(1 <p < Тогда для любых [а,ф] € A выполняется неравенство

— (ао)Ыр-1 a — ||фоГ-1фЫ < — (||[ао,фо]||p)p.

Доказательство. Рассмотрим пространство R х E с нормой

||[c,x]||RxE = (|cr + ||x|||)i

где 1 < q < +оо, ^ + i = 1. Ясно, что это пространство, как и пространство Е, является строго выпуклым и рефлексивным.

Нетрудно понять, что любой функционал F € (R х E)* представим в виде

F([c,x]) = ас + ф^) V[c,x] € R х E, (10)

где а € R, ф € E, при этом

HF || (rxe)* = sup ^с + ф(x)| = ||[а,ф]||р.

[c,i\esIXB

Отсюда получаем, что отображение i: R х E* ^ (R х E)*, сопоставляющее паре [а, ф] R х E* функционал F, определенный по формуле (10), является изометрическим изоморфизмом.

Также легко показать, что топологическое пространство ((R х Е)*, w) гомеоморфно пространству (R х Е*,т*) (здесь надо учитывать, что поскольку пространство E рефлексивно, то в нем слабая и слабая* топологии совпадают). Значит, вложение множества A в пространство ((R х Е)*,w) будет выпуклым слабо компактным множеством, не содержащим нуля. Тогда по предыдущей теореме infFei(A) ||F ||(Rx£)* достигается. Обозначим элемент, на котором достигается минимум, через Fo. Из того, что i - это изометрия, устанавливаем, что минимум нормы достигается и на множестве A, причем элемент с минимальной нормой в множествах A и i(A) будет один и тот же с точностью до изоморфизма. Обозначим i-1(F0) через [a0,y0] G A. Также из теоремы 2 получаем, что

F([c',x']) < Fo([c',x']) VFei(A),

где

min Fo([c,x]) = Fo([c',x']) = -||Fo||(RxE)*.

[c,i]eSix£

Так как F0 = i([a0, y0]) (см. (10)), то

а отсюда для любого [а, у] G A

-(ao)|ao|p-1 а + ШЦ-'уЫ < -(||[ao,yo]llp)p,

что и требовалось доказать.

Замечание 4. Любое гильбертово пространство является строго выпуклым рефлексивным нормированным пространством. Отметим, что пространства Lp при 1 < p < тоже строго выпуклые и рефлексивные (доказательство см., например, в [4]).

Исследование метода кодифференциального спуска. Изучим свойства последовательности, определяемой по методу кодифференциального спуска для функции f, для чего предположим, что пространство E рефлексивно и строго выпукло.

Пусть на k-м шаге кодифференциального спуска была получена точка xk и при этом необходимое условие минимума (5) не выполнено. В соответствии с методом для построения следующей точки необходимо для любого w G dßf(xi~) найти

min JHP = ||vk(w)||p, (11)

где vk(w) = [ak(w),yk(■;w)]. Как уже отмечалось, если 0RxE* G L(xk,w), то, очевидно, vk(w) = 0rxe*. Если же 0rxe* G L(xk,w), то по следствию из теоремы 2 минимум в (11) достигается. Далее необходимо установить, что

min yk(Ax; w) = yk(Axk(w); w). (12)

По предположению пространство E строго выпукло и рефлексивно, поэтому минимум в (12) достигается, причем Axk(w) единственно. Напомним, что если yk(■; w) = 0e*, то по определению Axk (w) = 0e .

Покажем, что среди всех Axk (w) существуют такие, которые являются направлениями спуска функции f. Так как в точке xk не выполнено необходимое условие минимума (5), то существует w' = [0, ф'к] G df(xj.) такое, что Окхе* ф df(xj.) + {[0, ф'к]} = L(xk,w'). Из этого, в частности, вытекает, что [ak(w'),yk (■; w')] = 0RxE*.

По следствию 1 имеем, что для любых [а, у] G L(xk,w') выполняется неравенство

-к (w' )Ж (w' )\p-1a + \\ук (■; w' )\Е-1у(Ахк (w')) < -(У [ak(w'), ук (■; w')]\\p )p < 0.

Отсюда получаем, что для любых [0, у] G df(xk) + {[0, гф'к]} справедливо неравенство

\\ук(■; w')\рЕ-1у(^хк(w')) < -(У [ak(w'),ук(■; w')]\\p)p < 0, (13)

значит, у к (•; w') = 0 e* и Ахк (w') = 0Е (то, что пара [0,у] G L(xk ,w') существует, следует из предположения (2)).

Поскольку функция f кодифференцируема, то она и квазидифференцируема и ее производная по направлениям имеет вид (3). С учетом (4) и (13) находим

f'(xk, Axk(w')) = min max y(Axk(w')) ^ max y(Axk(w')) ^

ipedf(xk) v^-QJOfc)+№ veö/Ofc)+Wfc}

^ -и , 1/,i,p-i(ll [ak{w'),pk{-,w')]\\PY < 0, \\ук(w')\\E *

т. е. Ахк (w') является направлением спуска функции f. В итоге получаем справедливость следующего утверждения.

Предложение 1. Если точка xk G Е не является inf-стационарной, то существует w' G [0,ф'к] G df(xk) такое, что f'(xk,Axk(w')) < 0; откуда, в частности, следует, что

f (хк+i) < f (хк).

Теперь оценим убывание функции f вдоль каждого направления Ахк (w), что понадобится при исследовании сходимости метода кодифференциального спуска. По предположению функция / кодифференцируема, поэтому для любого w = [Ъ,ф] G d^fi^Xk) выполняется

f (хк + а Ах к (w)) = f (хк)

к (w))) +

[Ь,*

[а + b + ау(Ахк(w))] + о(а, хк) < f (хк)

+ max (а + y(Axk(w))) + min (6 + ф(Ахк(ии))) + о(а, хк) = f{xk) +

[a,tp]Edf(xk) [b,ip]edf(xk)

+ тах [а + Ь + ау(Ахк (ад))] + о(а,хк), (14)

где о(а,хк)/а ^ 0 при а ^ 0. Предположим, что 0кхЕ* € Ь(хк,ад), тогда по следствию 1 для любых [а, у] € Ь(хк,ад) выполняется неравенство

-(акП)\ак (ад)\р-1 а + \\ук(-, ад)\Е-1у(Ахк (ад)) < -(\\[ак(ад),ук (■; ад)]\\р )р. (15)

Если же 0кхе* € Ь(хк,ад), то неравенство (15) очевидно. Для упрощения записи положим

£к (ад) =[1/\\Ук(; w)\\E-1, если \\Ук(; ад)\\Е* = °

I 1, в противном случае,

и

ад) [-(ак(ад))\ак(ад)\р-1 /\\ук(■; ад)\\р-1, если \\ук(-, ад)\\ =0, I -(ак(ад))\ак(ад)\р-1, в противном случае.

Из неравенства (15) получаем, что для любого и> € й^/(хк) выполняется соотношение

<£>(Дхк(ад)) < (ад)(\\[ак(•; ™)]\\р)Р - Пк(^)а € Ь(хк, ад).

Используя его, из (14) находим, что для любого ад € (¡^¡(хк) справедливо неравенство

/(хк + аЛхк(ад)) < /(хк) +

+ тах [а + Ь - а£кМ(\\[ак(ад),^к(•; ^)]\\р)р - а-ЦкЫ(а + Ь)] +

+ о(а,хк) = / (хк) - а^к (ад)(\[ак (ы),фк (•; ^)]\\р)р +

+ тах [(а + Ь)(1 - а^к(^))] + о(а,хк). (16)

При достаточно малых а > 0 будет (1 - ащ(™)) > 0, отсюда

/(хк + аДхк(ад)) < /(хк) - а£к(ад)(\\[ак(ад), ^к(•;^)]\\р)р +

+ (1 - апк(ы))Ь + о(а,хк). (17)

В итоге получаем справедливость следующего утверждения.

Предложение 2. Если точка хк € Е не является т/-стационарной, то для любого ы £ существует ат > 0 такое, что справедлива оценка

/ (хк + аДхк (ад)) < / (хк) - а£к (ад)(\\[ак (ад), ^к (•; ^)]\\р )р +

+ (1 - апк(ы))Ь + о(а,хк) Vа € (0,аш).

Отметим, что в (17) выполнено Ь € [0,^], поэтому направление Дхк (ад) может и не быть направлением спуска функции / (даже если || [ак(т), ¡рк(-', ад)]|| > 0). Но, как было показано выше, найдется хотя бы одно ад' € для которого направление Ахк(и)')

будет направлением спуска.

Замечание 5. Ясно, что в методе кодифференциального спуска направление движения на каждом шаге (хк+1 - хк) может и не быть направлением спуска (в этом направлении функция может вначале возрастать, а затем убывать, т. е. алгоритм позволяет «выходить» из некоторых точек локального минимума).

Исследование сходимости. Покажем, что если последовательность, построенная по методу кодифференциального спуска, сходится, то при некоторых предположениях относительно функции / предельная точка этой последовательности будет ш£-стационарной точкой рассматриваемой функции.

Теорема 3. Пусть Е - строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство, функция /: Е ^ М непрерывно кодифференцируема на Е и МхеЕ /(х) > -то. Предположим также, что последовательность {хк}, построенная по методу кодифференциального спуска для функции /, сходится к точке х* € Е, а функция / равномерно кодифференцируема в некоторой окрестности точки х*. Тогда точка х* является стационарной точкой функции / на Е. Если, кроме того, функция / выпукла, то х* - точка глобального минимума функции /.

Доказательство. Будем считать, что точка х* не является стационарной, тогда существует адо = [0, фо] € (¿/(ж*) такое, что 0цх_е* ^ (¿/(ж*) + {[0, фо]} = Ь(х*, адо). Определим, что

1ШП \И\р = \\[а* ,^*]\р.

Поскольку 0кхЕ * € ¿(х*,то), то \\[а*, ^*]\\р > 0 и нетрудно показать, что \\у>*\\ > 0 (см. (13)).

По предположению кодифференциальное отображение непрерывно, поэтому найдется последовательность {и>(к)} такая, что

го{к) = [Ък,Фк] €1/(хк), 0 ™{к) = [0, ^о]- (18)

Из непрерывности ¿/(ж) вытекает, что —► ||[а*, ¥>*]||р. При этом

ясно, что \\^>к (•; и)(кк) )\\Е * ^ \\^*\е * и ак(ад(к)) ^ а*, а тогда, начиная с некоторого номера, имеем \\^к(•;ю(к))\\Е * > 0 и

-| / * \ I * |р— 1

—- £(«;„) = ——г, щМк)) —- п{ъ>0) = „ „Д • (19) \\ф* цЕ.1 Н^НЕ*1

Из (19) следует: существует такое а* > 0, что при достаточно больших к будет (1 -а*Пк("ш(к))) > 0 (см. (16) и (17)) и поэтому для любого а € (0, а*)

/(хк + аДхк(п,(к))) < /(хк) - а^к(^(к))(\\[ак(ш(к)),^к(•; ^(к))]\\р)р +

+ (1 - апк(ы(к)))Ьк + о(а,хк).

Также из (19) получаем, что, начиная с некоторого номера,

/(хк + аАхк(т^)) < /(хк) - ^М(||К>*]|1р)р + (1 " Ък + о(а,хк).

Поскольку функция / равномерно кодифференцируема в некоторой окрестности точки х*, то найдется 0 < ао < а* такое, что при достаточно больших к будет

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

¡(хк+а0Ахк^)) < /Ы - у£М(||К>*]|1р)р + (1 " ^("о)) Ьк. Так как Ьк ^ 0 (см. (18)), то при к больше некоторого ко € N имеем ¡(хк + аоАхк(гиМ)) < /(хк) - <р*]\\ру.

Тем более ¡{хк+\) < /(хк) — ^■£(м;о)(||[а*, 1р*]\\р)р. Отсюда следует, что при к —> оо будет /(хк) ^ -то, а это противоречит предположению М /(х) > -то.

хЕЕ

4. Метод гиподифференциального спуска в классической задаче вариационного исчисления. Рассмотрим вопрос о применении общей теории кодифференцирования в нормированных пространствах к задачам вариационного исчисления. Основные результаты п. 4 являются обобщением результатов В. Ф. Демьянова, изложенных в [5].

Вначале дадим необходимые определения. Пусть вещественное число Т > 0, ! € N

( т \ 1/р

и 1 <р< +то фиксированы. Пространство (£р[0,Т])^ снормой \\х\\р = ( /0 | х(^) |р Л)

(х = (х(1),... ,х(а)) € (Ьр[0,Т])а), обозначим через Ьр[0,Т] (здесь и далее | • - евклидова норма в пространстве М^). Пространство Ь^[0,Т] является рефлексивным строго выпуклым нормированным пространством. Символом 1 [0,Т] обозначим банахово пространство абсолютно непрерывных отображений отрезка [0, Т] в М^, производная

которых принадлежит Ь^,[0,Т]. Норма в пространстве 1[0,Т] задается равенством \\х\\ = \х(0)\ + \\х\\р. '

Зафиксируем х0,х1 € М^. Положим И = {х € ШР^1[0,Т] \ х(0) = х0, х(Т) = х1}. Рассмотрим функционал

т

1 {х)=!¥ м*™ *

о

(интеграл здесь понимается в смысле Лебега), определенный на пространстве ШР^ 1 [0, Т], где функция ¥: М^ х М^ х [0,Т] — М удовлетворяет условию Каратеодори, т. е. функция (х,г) — ¥(х,г,г) непрерывна при почти всех г € [0,Т], а функция г — ¥(х,г,г) измерима для всех х, г € М^ х М^, и условию роста с показателем р, т. е. для любого N € N существуют СN > 0 и неотрицательная функция аN € Ь1[0, Т] такие, что

\¥(х,г,г)\ < СN\г\р + а(г) Ух, г € М^, \х\ < N и почти всех г € [0,Т].

Как обычно, простейшей задачей вариационного исчисления назовем следующую задачу:

I(х) = ¥(х(г),х(г),г) *г — м . J

о

Замечание 6. По поводу задач вариационного исчисления в различных постановках см. [5-9].

Переформулируем поставленную выше задачу. Положим

^ = ^г € Ьр[0,Т] \ Т г (г) *г = х1 - х0

(здесь интегрирование отображения г производится покомпонентно). Введем функцио-

нал

т I

/(г) = J ¥(х0 ^У г(т)*т,г(г),г) ¿г

о о

на пространстве Ьр[0,Т]. Нетрудно проверить, что задача I(х) — Шхеа эквивалентна задаче /(г) — infв том смысле, что ШI(х) = М/(г), и х* € О является решением исходной задачи тогда и только тогда, когда функция г* = х* (г) € Z есть решение задачи /(г) — М.

Применение точных штрафных функций к простейшей задаче вариационного исчисления. Будем решать задачу минимизации функционала / на множестве Z с помощью теории точных штрафных функций.

Замечание 7. Идея точных штрафов была высказана И. И. Ерёминым в [10]. Подробное изложение теории штрафных функций можно найти в [5] (см. также [11]). Там же рассмотрено применение этой теории к вариационному исчислению, теории оптимального управления и некоторым другим разделам оптимизации.

Множество Z можно представить в виде Z = {г € Ь^[0,Т] \ у (г) = 0}, где

у(г) = $3 У1(г) = X ¿=1 ¿=1

1г <"(" *- А<"

А = (А(1) ,...,А<а)) = х1 - хо, (20)

z(-) = (z(1)(-),...,z(d)(-)), y,(z

(d)(.)

z(i)(t) dt - A(i)

Ясно, что функция у: Ьр[0,Т] ^ М неотрицательна. Покажем, что при некоторых предположениях функция ] + Ху будет точной штрафной функцией.

Пусть г € Z, значит, у(г) > 0, т. е. существует ко € {1, такое, что уи0 (г) > 0.

Введем вектор-функции V € Ьр[0,Т], у которых все компоненты, кроме г-й, равны нулю, а

(i)

v =

T T

(f z(i) (t) dt - A(i)), если / z(i)(t) dt - A(i) = 0,

0 0 0, в противном случае.

Определим а = (а\,..., ay), za = z — агЩ- При оц G [0, «¿] для всех i G {1,..., <i} где Щ = уi(z)/T, будет

y(za

Е

i=i

z(i)(t) dt - A(i) - aiTv((

(i)

y(z) - E aiT.

(21)

i=i

Отметим, что поскольку yi~0(z) > 0, то ако > 0. Нетрудно заметить, что

za z p

Г V

/ \а\р dt J =\а\Тр.

(22)

Из очевидного для неотрицательных чисел неравенства ^¿=1 а^ ^ |а| следует, что (см. (21) и (22)) для всех z / Z

уНг)= < Нтт(

\\y - z

ilo,ie{i,...,d} \\za - z\\

Откуда, воспользовавшись леммой 3.6.1 и теоремой 3.6.2 из [5], получаем справедливость следующего утверждения.

Теорема 4. Пусть z0 G Z - точка локального минимума функции f на множестве Z и предположим, что функция f удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки z0. Тогда найдется X* < такое, что при X > X* точка z0 является точкой локального минимума функционала ФА^) = f (z) + Xy(z) на Ld[0, T].

Тем самым задачу условной минимизации функционала f на множестве Z удалось свести к задаче безусловной минимизации функционала Фа на Lp[0,T].

Замечание 8. Величина y^ (z) (см. раньше) была введена под названием «slope» в работе [12] и в настоящее время является удобным инструментом, используемым при исследовании различных классов задач (см., например, [5, 13]).

Гиподифференцируемость функционала Фа. Покажем, что при некоторых ограничениях функционал Фа^) = f (z) + Xy(z) является гиподифференцируемым. Укажем без доказательства условия, при которых функционал f дифференцируем по Гато в любой точке пространства Lp[0, T].

Теорема 5 (см. [10]). Пусть функция F(x, z,t) удовлетворяет условию Каратеодо-ри и условию роста с показателем p и пусть для любых x,z G Rd и почти всех

а

Р

Р

Ь € [О, Т] существуют частные производные -^щ, у, удовлетворяющие условию Каратеодори, г,] € {1,...,!}. Предположим также, что для любого N € N существуют Сдг > 0 и неотрицательные функции адг € [О, Т] и /Здг € Т] такие, что для любых х,г € Яр, 1х1 ^ N и почти всех £ € [0, Т] выполняются неравенства

№х(х,г,±)1 < Ок 1г1р + ак(I), Г(х,г,1)1 < Ок 1г1р—1 + р„(*),

(23)

где Гх и Гг - векторы, составленные из частных производных

д£_ д£_

; дzi

соответствен-

но. Тогда функционал / дифференцируем по Гато в любой точке г € ¿р[0,Т], и его градиент Гато имеет вид

т , г г

/'[г]Н = I ( ^х(хо + 1 г(т)!т,г(Ь),Ь)^ Н(т+

о о о

г \

+ ^Г(хо + I г(т)!т,г(Ь),Ь),Н(Ь)^ \ УН € Ьр[0,Т],

о

где (•, •) обозначает скалярное произведение в Мр.

Преобразуем градиент Гато функции /. Проинтегрировав первое слагаемое под интегралом по частям, получим

Т / Т т

/ '[г]Н = ! {/ I Гх (хо + 1 г(£)!£,г(т ),т)!т,Н(^ +

о г о

г \

+ ^Г(хо + 1 г(т)!т,г(1),1),Н(1)^ \ Л УН € Ьр[0,Т].

Обозначим

тогда

1 т г

Q(t,z) = J Гх (хо + I г(С)!£,г(т),т)!т + Г (хо + ^ г(т)!т,х(1),1), г о о

т

/'[г]Н =УШг),Н(£)) А УН € Ьрр[0,Т].

о

Отметим, что из (23) следует, что г) € Т], где 1 < q < +оо, А + А = 1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теперь покажем, что функция ф гиподифференцируема в каждой точке г € Ьр[0, Т]. Зафиксируем произвольное г € Ьр[0,Т]. Для любого Дг € Ьр[0,Т] имеет место равенство

ф + Дг) = ^

к=1

/ ! - + / ДгкИ ,= ± *Дгк« !

к=1

где

т

Л1)

*м = /г<"М* -А<к>. Дг = (Дг<1'.....^

Напомним, что А = х1 - хо. Если фк(г) = 0 для некоторого к, то

фк(г + Дг) =

т

у Дг<к)(£) ^

о

т т

= тах (/^ /Дz<H(t> *|; (24)

оо если же фк (г) = 0, то нетрудно проверить, что

фк(г + Дг) = фк(г) + тах < J Дг<к)(£) (г),

о

т 1

- 2фк(г) -I Дг<к)(£) (г) I, (25)

о

откуда получаем, что функция ф гиподифференцируема.

Рассмотрим теперь функцию Фл. Положим ек = (0,..., 0,1, 0,..., 0), где единица стоит на к-м месте (к € {1,...,!}). С учетом дифференцируемости по Гато функционала /, представления функции фк (24), (25) и того, что ф = ^р=1 фк, находим

Фл(г + Дг) = / (г + Дг) + Хф(г + Дг) = Фл(г) +

+ тДг(£)) А + тах | J Хфк (г){ек, Дг(£)) о к=1 о

т 1

- 2Хфк(г) - I Хфк(г){ек, Дг(£)) ^ I + о(Дг, г) (26)

(в (26) для удобства полагаем фк(г) = 1 при фк(г) =0, к € {1,..., !}), где о(аД, г)/а ^ 0 при а ^ 0. Значит, функция Фл является гиподифференцируемой, причем гиподиф-ференциал функции ФЛ

¿Ф\(г) = | [0, д(-, г)] | + { [°> *Фк{г)ек], [-2\<рк{г), -Хфк(г)ек] |.

Замечание 9. Поскольку пространство (Ьр[0,Т])* изометрически изоморфно

Ьд[0, Т], где 1 < д < +оо, А + А = 1, то удобно считать, что ¿Фл(-г) С М х 0, Т].

Поскольку функционал ФЛ гиподифференцируем, то необходимое условие минимума в точке г* для него имеет вид

[0,0[0,Т]] е^Фл(^), (27)

где 0[о,т] - нулевой элемент пространства Ь^[0,Т]. Предположим, что z* G Z, т. е. ripk(z*) = 0 для любого к, тогда, учитывая вид гиподифференциала и выраже-

ние для Q(t, z*), получаем, что существуют ак G [0,1], к G {1,..., d}, такие, что

t T т d

Fz (хо + j z*(r )dr,z* (t),t) + J Fx (xo + J z*(£)d£,z * (т),т) dr = Xj^ (1 - 2afc)efc, 0 t 0 k=1

т. е. z* удовлетворяет интегральному уравнению Эйлера. Тем самым, если в точке z* выполнено необходимое условие минимума функционала ФА и z* G Z, то функция z* удовлетворяет интегральному уравнению Эйлера.

Метод гиподифференциального спуска для задач вариационного исчисления. Поскольку функция ФА гиподифференцируема, то для нахождения ее inf-стацио-нарных точек можно применить метод гиподифференциального спуска. Напомним, что пространство Lp[0,T], на котором задан функционал, является рефлексивным строго выпуклым нормированным пространством. Опишем этот метод подробнее для функционала ФА.

Пусть точка zo G Lp[0,T] - произвольная и уже построена точка zk. Если в точке zk выполнено необходимое условие минимума и y(zk) = 0, то процесс останавливается, точка zk inf-стационарна. Если же в точке zk не выполнено условие (27), то найдем

r min Л[a,g]\\RxLdlo,т], (28)

где ||[а,gr]||RXLd[o,T] = (Н9 + (1Ы1д)9)4 ■ Отметим, что учитывая вид гиподифференциала функции ФА, нетрудно показать, что задача (28) эквивалентна следующей задаче минимизации:

h(a) ^ min ,

(ai,...,ad)e[0,1]d

в которой а = (ai, ..., ad) и

1 q т

h(a) =

^(1 - a.i)(-2Xyi(zk))

+

0

J Q(t,zk)+^2(2ai - 1)X^i(zk)ei

ч

dt.

Предположим, что минимум в (28) достигается на элементе [акПоскольку в точке zk не выполнено необходимое условие минимума, то = 0[0,т]. Далее вычислим

i

min f(g*k(t), Az(t)) dt.

-Ldt0,T] J

AzeSbp[0,T] о

Нетрудно понять, что минимум достигается на элементе

AzM)- №)M(t)\q-\*(t)

Теперь найдем

min ФА^к + aAzk) = ФаЫ + ak Azk)

a>0

(здесь будем предполагать, что минимум достигается) и положим гд+1 = гд + ад Дгд.

Из общей теории метода кодифференциального спуска получаем, что выполняется неравенство ФА(гк+1) < ФА(гк) и имеет место следующая

Теорема 6. Пусть функция Г(х,г,£) удовлетворяет условиям теоремы 5, функционал / непрерывно дифференцируем по Гато и предположим, что последовательность гк сходится к точке г * € Ьр[0,Т], т^^рт] ФА(г) > —ж, а функция Фа ко-дифференцируема равномерно в некоторой окрестности г*. Тогда точка г * является стационарной точкой функции Фа на Ь^[0,Т]. Если же г * € Z, то в точке г* выполнено интегральное уравнение Эйлера.

Следствие 2. Если в условиях теоремы 6 г* € Z и функция (х, г) ^ Г(х,г,г) выпукла на хМр для почти всех г € [0, Т], то г * - это точка глобального минимума функционала / на множестве Z.

Замечание 10. В случае р = 2 можно явно вычислить направление спуска Дгд. Действительно, в этом случае

Т (I

Н(а) = J (^(г,гк)+^2(2аг — 1)Ав^ ¿г, а = (а1,...,а,1).

о 4=1

Учитывая, что функция к выпукла, нетрудно проверить, что точка а = («1,..., аа), где

1 1 ТА

1 1 /"

= 2 + уд / г £ {1,...,4,

является точкой глобального минимума функции к(а). При достаточно больших А, а именно при А > |.|/0 С^^, гк) Л\, будет а» € [0,1]. Тогда = -

1о гк) ^ и' значит) в качестве направления спуска А.гк можно взять

т

Агк = -<5(4, гк) + ^ J <5(4, гк) Л.

о

Отметим, что в данном случае ^ Дгд(г) ¿г = 0. Поэтому, если го € Z, например, г0(г) = (хх — х2)/Т для любого г € [0,Т], то и для любого к будет гк € Z. Более того, если гд сходится к некоторой точке г* по норме в Ь^[0,Т], то очевидно, что в этом случае г* € Z.

Замечание 11. Метод гиподифференциального спуска для простейших задач вариационного исчисления был предложен В. Ф. Демьяновым в [5] для случая, когда функционал ] задан на пространстве кусочно-непрерывных функций. По поводу вопросов, связанных с методом гиподифференциального спуска для задач вариационного исчисления, см. также [14, 15].

Замечание 12. Отметим, что метод гиподифференциального спуска представляет собой прямой метод вариационного исчисления, так как он не связан с необходимостью решения системы дифференциальных уравнений. При этом, в отличие от известных прямых методов (Ритца, Эйлера, Галёркина, Канторовича) (см. [16, 17]), основанных на приближенном сведении вариационной задачи к задаче минимизации в конечномерном пространстве, метод гиподифференциального спуска больше походит на метод наискорейшего спуска с поправкой на ограничения в рассматриваемой задаче.

5. Минимаксная задача вариационного исчисления. Пусть Т > 0, п € N

фиксировано. Рассмотрим функционал

I (х) = тах I (х),

геМ

заданный на пространстве ^рд [0, Т]. Здесь М = {1,..., п}, 1г(х) = /от ¥г(х(€), Х(£), ^ Л, функции Гг: М^ х М^ х [0, Т] — М, г € М, удовлетворяют условию Каратеодори и условию роста с показателем р.

Зафиксируем х0 € М^ и Х1 € М^. Положим, как и раньше, П = {х € [0,Т] \ х(0) = хо,х(Т) = х1}. Задача

I (х) —> М

хеп

называется минимаксной задачей вариационного исчисления.

Введем множество Я = |г € Ь^,[0,Т] \ ^ г(Ь) сИ = х1 — хо| и функционал ](г) = тахгем 1г(г), где

т г

1г(г) = ! Ъ(хо + ! г(т)Ст,г(г),г) Л.

о о

Как и для простейшей вариационной задачи, показывается, что задача I(х) — Шхеп эквивалентна задаче /(г) — М .

Далее будем рассматривать задачу минимизации функционала ] на множестве Я С Ьр[0,Т]. Как и ранее, множество Я можно представить в виде Я = {г € Ь^[0,Т] \ у (г) = 0}, где функция у определена формулой (20). Аналогично теореме 4 нетрудно установить справедливость следующего утверждения.

Теорема 7. Пусть г0 € Я - точка локального минимума функционала / на множестве Я и предположим, что для любого г € М функционал ¡г удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки г0. Тогда найдется X* < такое, что при X > X* точка г0 является точкой локального минимума функционала Фх(г)= /(г) + Ху(г) на Ьар[0,Т].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Получаем, что при сделанных предположениях исходная задача минимизации функционала I на множестве П эквивалентна задаче минимизации функционала Фа = ]+Ху на всем пространстве Ь^[0, Т] при X > X*.

Предположим, что все функции ¥г удовлетворяют условиям теоремы 5, тогда функционалы /г дифференцируемы по Гато в каждой точке г0 € Ь^[0, Т], а отсюда получаем, что они являются кодифференцируемыми. Обозначим градиент Гато функции ]г в точке г через

т т г

Я&,г)= J Ъх(хо + ! г(£)С£,г(г),г)Ст + (хо + ^ г(т)Ст,г(г),г).

г о о

Функционал ФА, очевидно, кодифференцируем (даже гиподифференцируем), как сумма максимума кодифференцируемых функций и кодифференцируемой функций. При этом, воспользовавшись формулой для вычисления кодифференциала функции максимума и суммы функций (см. [1]), получаем, что гиподифференциал функции ФА имеет вид

d<s>x(z) = {[fi(z) - f(z), Qi(; z)]\ геМ} +

d

+ Y,{[°. Mi{z)ei], [-2\<fii(z), —\ф^)а]}, (29)

i=i

где ф%(г) = /0 г(г\ь) Л — А(г) и для удобства ф%(г) = 1 при фг(г) = 0.

Поскольку функционал Фа гиподифференцируем, то необходимое условие минимума ФА имеет вид [0, О^т]] € Если <р(г*) = 0, т. е. г* € Z, и в точке г* выполнено необходимое условие минимума, то, учитывая вид гиподифференциала для функции Фа (см. (29)), получаем, что существуют числа в ^ 0, { € М, ^"=1 = 1, ак € [0,1] для всех к € {1,..., С}, такие, что для п.в. £ € [0, Т]

п т t

it Fix(xo + j z*(£)d£,z * (t ),t) dT + Fiz (xo + j z*(r )dr,z* (t),t)^j

ix

i=1

t 0

- 2ak)Xek (30)

k=i

и ei(fi(z) — f(z)) = 0. Последнее условие означает, что для тех i, для которых

fi(z) < f (z), будет ei = 0, т. е. в необходимом условии минимума (30) те функционалы, которые не активны в рассматриваемой точке (т. е. fi(z) < f (z)), не влияют на условие.

Можно использовать метод гиподифференциального спуска для нахождения inf-стационарных точек функционала Фа.

6. Заключение. В настоящей работе установлены конструктивные необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции и разработан метод нахождения стационарных точек исследуемой функции. С помощью теории кодифференцируемости удалось очень простым образом получить необходимые условия экстремума в классической и минимаксной задачах вариационного исчисления и построить численный метод нахождения inf-стационарных точек изучаемого функционала. Отметим также, что если в качестве пространства, на котором задан функционал, рассматривать не W^ [0, T], а Cd[0,T] - пространство дважды непрерывно дифференцируемых вектор-функций, то можно при гораздо более слабых предположениях установить гиподифференцируе-мость исследуемого функционала и с помощью необходимого условия минимума ги-подифференцируемой функции вывести классические необходимые условия, такие как уравнение Эйлера в интегральной и дифференциальной формах и их обобщения на случай более сложных вариационных задач.

Авторы признательны проф. А. Я. Кругеру и рецензентам за полезные замечания, которые позволили улучшить содержание данной статьи.

Литература

1. Долгополик М. В. Кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах // Проблемы математического анализа. 2011. Вып. № 54. С. 3—22.

2. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 431 с.

3. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физ-матлит, 2007. 440 с.

4. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств: избр. главы / пер. с англ. А. Н. Пличко, Ю. М. Рыжова. Киев: Вища школа, 1980. 216 с. (Diestel Joseph. Geometry of Banach spaces).

5. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2005. 335 с.

6. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

7. Коша А. Вариационное исчисление / пер. с венгр. Д. Валовича; под ред. Ш. А. Алимова. М.: Высшая школа, 1983. 282 с. (Kocha A. Calculus of variations).

8. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления / пер. с англ. М. Г. Элуашвили; под ред. В. М. Алексеева. М.: Мир, 1974. 488 с. (Young L. C. Lectures on the calculus of variations and optimal control theory).

9. Dacorogna B. Direct Methods in the Calculus of Variations. Beglin: Springer-Verlag, 1989. 622 p.

10. Ерёмин И. И. Метод «штрафов» в выпуклом программировании // Докл. АН СССР. 1967. Т. 143, № 4. С. 748-751.

11. Demyanov V. F., Di Pillo G., Facchinei F. Exact penalization via Dini and Hadamars conditional derivatives // Optimization Methods and Software. 1998. Vol. 9. P. 19-36.

12. De Giorgi E., Marino A., Tosques M. Problems of evolution in metric spaces and maximal decreasing curve // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Fis. Mat. Natur. 1980. Vol. 68, N 3. P. 180-187.

13. Ioffe A. D. Metric regularity and subdifferential calculus // Russian Math. Surveys. 2000. Vol. 55. P. 501-558.

14. Демьянов В. Ф., Тамасян Г. Ш. О прямых методах решения вариационных задач // Труды Ин-та математики и механики Урал. отд. РАН. 2010. Т. 16, № 5. C. 36-47.

15. Demyanov V. F., Tamasyan G. Sh. Exact penalty functions in isoperimetric problems // Optimization. 2010. Vol. 60, N 8. P. 1-25.

16. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 709 с.

17. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1974. 512 с.

Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.