CC BY
23
откуда следует асимптотическая формула для У(к) при больших к : V(k)= kSTq + ((E-BTY-ST)q+ST F(0).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК 1 Белпман Р Введение в теорию матриц М : Наука, 1969
2. Фаддеев Д К, Фаддеева В Н Вычислительные методы линейной алгебры. М : Физматгиз, 1960.
3 Михайлов В Н Об эргодичности однородных цепей Маркова. Саратов, 1997 6с Деп. в ВИНИТИ, № ¡425 - В97.
4 Ховард Р.А Динамическое программирование и марковские процессы М Советское радио, 1964
5 Козлова С И, Мастнева И Н Динамическое программирование М , 1984
УДК 515.126.83
А. Б. Коноплев
КРИТЕРИЙ ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧЕК ДО ОБРАЗОВ МУЛЬТИОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть X = R",Y = Rm,Z = XxY Рассмотрим замкнутозначное муль-тиотображение F:X-> 2Г, действующее из X в У. Обозначим через
dornF = {хе Х\ F(x) * 0}, grF = {(*,><)е Z | у e F(x)}
соответственно эффективную область и график мультиотображения F.
Определение. Мультиотображение называется выпуклым, если его график есть выпуклое множество в Z.
Положим z = (х,у) е dorn/* х У . Рассмотрим функцию расстояния (ФР) от точек уеУ до образов точек х е do m/^ мультиотображения F в произвольной норме || • ||
dF{z)= inf ||>-v||. (1)
veF(x)
Эта функция используется в негладком анализе как инструмент для исследования мультиотображений и маргинальных функций [1]. Введем обозначения
Q(z) = {V € F(x) I ¡у - v|| = dF{z)}, W{Z) = {V e Y | ¡y - v|| < dF(z)},
Sм(у) = sup < v,y > - опорная функция множества М , (2)
veM
SF(z) = SF(X)(y) - опорная функция мультиотображения F, (3) tí = {ve Y|¡v|< 1}, 0д-,0y - нулевые элементы пространств X,Y , К(П) - коническая оболочка множества Q, К(и,С1)- конус возможных направлений множества Q в точке и eil, К* - положительно сопряженный конус к конусу К, öjyfl - субдифференциап нормы | || в точке у [3]. Известно [2], что
ö|^||={v6K|||vf <1}, = {v е УI ||vj* = 1, |v)| =< v,y>), y*0Y, (4)
где
j|v| = max<v,w>. (5)
jw|Sl
Докажем, что справедлива следующая
ТЕОРЕМА. Для того чтобы ФР была выпуклой на domF х Y, необходимо и достаточно, чтобы мультиотображение F было выпуклым При этом условный субдифференциал ФР в точках z0 = (xfí,y0) е dom/<" х Y на множестве domF х Y выражается формулой
ddF{z0) = {X х 3||у0 - v)|} n-K+((x0,v),g[F), Vveö(z0). (6)
Доказательство. 1. Необходимость. В соответствии с определением ФР и замкнутостью образов мультиотображения
dF(z) = 0<ozegrF. (7)
Возьмем произвольно zl,z2egrF, ае[0,1] Используя соотношение (7) и выпуклость ФР, получаем dF(azl + (1 - a)z2) <
<adF(zl) + (] - a)dF(z2) = 0. С другой стороны, всегда имеет место неравенство dF(z)> 0. Следовательно, dF(осzl + (1 - a)z2) = О. Откуда, с учетом (7), имеем azj + (1 - a)z2 е grF.
2. Достаточность. Известно [1, с. 35], что для выпуклого мультиотображения выполняется включение
F(axx + (1 -а)дг2) aF(xl) + (1 -<x)F(x2), Vjr,,x2 edomF,ae[0,]]. (8)
Возьмем произвольно zx = (х,,^,), z2 = (х2,у2) е dora/*' х Y , ае[0,1] Используя соотношения (1), (8) и неравенство треугольника для нормы || ||, получаем
dF(az1+(l-a)z1)= inf ¡lot у, + (1 - a)y2 - vlk
V6f(cix, +(l-a)ij)" 11
< inf ||ay, + (l-a)y2 -v||= ¡„i llaO-, -v,) + (l-aXv, -v,)|<
<a inf b,-v,|+(l-a) inf |>2-У2| = а^(г,) + (1-а)^(г2).
3 Развивая результаты Б. Н. Пшеничного [3] и С. И. Дулова [4], полученные для обычной функции расстояния, вычислим формулу субдифференциала ФР В соответствии с определением условного субдифференциала принадлежность 2 означает выполнение неравенства
Уг = (х,у)е аоптГ х У . (9)
Любая точка у представима в виде у = у + ри>, при некоторых ге1'\х), н е В, р>0, причем с//.-(г) есть нижняя фань таких р Поэтому неравенство (9) эквивалентно неравенству
р- с/р(20)г< х -х0,х > + < V + ри< - у0,у >, \/х е (к)т/7,у е /?,р > О,
или с учетом (2), (3), (5),
р- ¿Р(г0) >< х-х0,х> +$г(х,у) + р |у|*-< у0,у >, Ух е domF, р> 0. (10)
Нетрудно видеть, что неравенство (10) справедливо для любых р>0 только в том случае, если
(11)
Тогда (10) можно записать в виде
-¿¡.■(г^^ х - х0,х >+Яр(х,у)-< у0,у >, \ZxedomF. (12)
Легко видеть, что из соотношений (11) и (12) следует (10).
Если с1р(г0) = 0, то z0egг/г) а неравенство (12) можно записать в виде 0 ><и - 20,г >, Уи = (*,у) е gгF, то есть
г б -К+(Zo.gr/« ) (13)
Совмещая (13) с неравенством (11) и соотношениями (4), получаем
дс1Р{20) = {X х а||0, ||} П -к+(2о,&г).
Тем самым, принимая во внимание, что £)(г0)= {уо}, убедились в справедливости формулы (6) в данном случае
Пусть теперь с1р{20) > 0. Тогда у0 е Р(х0) + ёр(2а)В и, следовательно, <Уо^У>^^1'(х0)+аР(.г0)в(У)- Используя свойства опорных функций (1, с 15] и соотношения (2), (3), (5), это неравенство можно переписать в виде
-^ОоМ й8Р(х0,у)-<у0,у>. (14)
Вычитая из неравенства (12) неравенство (14), при х = х0 получим ^(г0). (\\у1 — 1) > 0. С учетом (11) это дает
1И* = ' ■ (15)
Теперь, используя (15), неравенство (12) можно переписать в виде
0 £ Л> (х, у) + (г0 )||>| * +<х-х0,х>-<у0,у>,\/хе ¿отУ, откуда, с учетом (2), (3), (5) имеем
О >< и - z0,z > +dF(zn)< и\у >, Vm = (jc,v) e grF, we В,
или
O><u-z0,z>, Vu egr/-' + dF(z0)• ({O v¡xü). Таким образом, получаем
г е - /Г(z0, grF + ¿f(z0) • ((Од-} * В)) (16)
Из результатов [5, с. 222] следует, что
(z0)) = ¡К^дЦуо - v¡|)]f, Vv е Q(zü). (17)
Преобразуем конус из соотношения (16), используя лемму 1 из [4J и соотношение (17). При любом veQ(z0) получаем
- K+{z0,ffF + dF(z0) ■ ({0 у} х В)) = -[K(grF - {ха} х H'(z„))]+ =
= -k((x0>v)>grF)-/r((x0jv),{jc0}x^(z0))]+ = (18)
= -К Ч(*о. v),grП п {X х Щ\у0 - vj|)}. Подставляя в соотношение (16) выражение (18), учитывая условие (15) и соотношения (4), имеем
z е {X х д\\у0 - v||} п -К +((*o,v),grF), Vv е Q(z0). Откуда и следует справедливость формулы (6) в данном случае. Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Минченко ЛИ., Борисенко ОФ.. Грицай СП. Многозначный анализ и возмущенные задачи нелинейного программирования Минск: Навука i тэхшка, 1993
2. Иоффе А.Д., Тихомиров ВМ. Теория экстремальных задач М Наука, 1974
3. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи М Наука, 1980
4. Дудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцнруемость функции расстояния//Мат. заметки 1997 Т 61, №4 С. 530-- 542.
5 Демьянов В. Ф.. Васильев Л.В. Недифференцируемая илтимизания М Наука,
1981.
УДК 511.23
О. А. Королева
ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ¿-ФУНКЦИЙ ЧИСЛОВЫХ НОЛЕЙ
Пусть К - конечное, нормальное расширение поля к, и - группа Га-луа этого расширения. Пусть {М(ц)}, цеС - представление группы О матрицами над полем комплексных чисел. Характер х(ц)> связанный с данным представлением, определяется на элементах д как след матрицы М(ц).
