О задаче рассеяния на простейшем некомпактном геометрическом графе с циклом Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Выгодчикова И.Ю., Дудов С.И., Сорина Е.В. Внешняя оценка сегментной функций полиномиальной полосой // ЖВМ и МФ, 2009, Т. 49, 7, С, 1175-1183,

2, Сеидов Бл. Хауедорфовые приближения, София, 1979,

УДК 517.984

М.Ю. Игнатьев

О ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ НА ПРОСТЕЙШЕМ НЕКОМПАКТНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ

С ЦИКЛОМ

Пусть О - геометрический граф с вершиной V и ребра ми го, г1? где г0 - луч с начал ом в г>1, Г1 - цик л [^г^] длин ы п. Будем считать, что ребро г0 параметризовано параметром х0 Е [0, то), а г1 - параметром х1 Е [0,п]. Функцню у на графе О будем трактовать как пару функций (уо(хО),у1(х1))-

На каждом из г3 (^ = 0,1) рассмотрим дифференциальное выражение:

^ Уз = -у" + Яз (хз )Уз (1)

с вещественными потенциалами дз- Е Ь(г3), (1 + х0) д0(ж0) Е Ь(0, то).

Обозначим через С3 (жз-, Л) Б3 (жз-, Л) решения уравнений £3у = Лу с начальными условиями типа косинуса и синуса соответственно, через е0(х0, р) - решение Йоста на ребре г0.

Пусть Л - множество собственных значений действуюгцего в Ь2(О) оператора, порожденного дифференциальными выражениями (1) и следующими (стандартными) условиями склейки:

У0(0) = у1(0) = у1(п), у1 (п) = у0 (0) + у! (0). (2)

Л0

порожденного в Ь2(0, то) выражением £0у и краевым условием у(0) = 0, Л1 - спектр оператора, порожденного £1у и краевыми условиями Дирихле у(0) = у(п) = 0 Л2 - спектр оператора, порожденного £1у и периодическими краевыми условиями. Через ^(Л), ^1(Л) обозначим характеристические функции:

^х(Л) := Б1(п,Л), А(Л) := 2 - С1(п,Л) - Б1 (п,Л).

В силу самосопряженности всех введенных в рассмотрение операторов Л, Л. С М, V = 0, 2. Представим Л как объединение положительной и

отрицательной частей: Л = Л+ U Л , Л+ := Л П [0, то), аналогично Av = = Л+ U Л- V = 1, 2.

Всюду далее предполагаются выполненными следующие условия:

Условие 1. Л0 П Лх П Л2 = 0;

Условие 2. Л- П (Л- \ Л-) = 0.

Теорема 1. Л+ = Л+ П Л+.

Определим

а(р) := Di(A)eo(0,p) + di(A)e0(0, р),

Z = {р : Imp > 0, а(р) = 0} .

Теорема 2. Л- - конечное множество, совпадающее с множеством {р2 : р G Z} .

Пусть ^(ж,р) = (^0(ж0, р), ^(x, р)) - решение уравпения £j^j = = р2^, j = 0,1, 1тр > 0, удовлетворяющее условиям склейки (2), нормированное асимптотикой

^0(ж0,р) = exp(-грж0)(1 + o(1)), x0 ^ то.

Теорема 3. ^0(ж0,р) мероморфна в верхней полуплоскости {1тр > > 0} р = 0

^0(ж0,р) := lim ^0(ж0,р + is). При р ^ 0 ^0(ж0, р) ограничена. При, р G R, р = 0, справедлива асимптотика

^0(ж0, р) = ехр(-ipж0) + й(р) ехр^рж0) + o(1), x0 ^ то.

Коэффициент й(р) (р G R) будем называть коэффициентом отражения.

Обозначим Z0 := {р G Z : р2 G Л- \ (Лх П Л2)}.

Теорема 4. Множество полюсов функции ф0(х0, р) совпадает с Z0. Все полюса простые, и справедливо представление:

lim (р - р0)^0(х0,р) = ^/_1\(ж0,р0), р0 G Z0,

Р^Ро

^(-1)(ж0,р0) = а(р0) ехр^р0Х))(1 + o(1)),x ^ то.

Коэффициенты а(р0),р0 G Z0 будем называть весовыми числами.

Отметим, что для справедливости теоремы 4 существенны условия 1, 2. В общем случае, если какое-либо из этих условий не выполняется, ^0(ж0,р) может иметь кратные полюса, что требует отдельного рассмотрения, выходящего за рамки данной статьи.

Следующая теорема показывает, что (при выполнении условий 1, 2) коэффициент отражения, множество и весовые числа однозначно определяют потенциал я0 на луче г0.

Теорема 5. Пусть потенциалы д(ж) = (д0(ж0), д;(ж;)) и 7(х) = = (д0(ж0), д1(ж1)) на О таковы, что й(р) = 7(р),р Е М \ {0} = а(р0) = а(р0), р0 Е ^0. Тогда Я0 = 70-

При доказательстве теоремы 5 используются в основном те же идеи, что и при доказательстве теоремы 11.18 в [1] (см. также метод спектральных отображений на полуоси [2]).

Для восстановления потенциала на всем графе нам понадобится Л

г1 Л1 =

= {Л^ТОи, вде нумерация идет по возрастанию Л, Тогда [3]:

б; (п, Л,) = 2Р (Л,) + ^/Р2 (Л,1,) - 4,

где Р (Л) := С;(п, Л) + Б1 (п, Л) - дискриминант Хилла, шп Е {-1,1}.

Определение. Данными рассеяния называется набор

3 := |й(р), р Е М \ {0}, Л, а(р), р Е ып, п = 1, то} .

Теорема 6. Из 3 = 3 следует я = 7, т-е. д0(ж0) = 7о(х0) п. в. на (0, то), Я;(х;) = 7;(ж1) п.в. на (0,п). Таким образом,, задание данных рассеяния однозначно определяет потенциал.

Первый этап доказательства теоремы 6 - применение теоремы 5. После восстановления Я0(х0) мы получаем возможность по коэффициенту отражения однозначно восстановить мероморфную функцию Л;(Л)/3;(Л), которая определяет пули (Л) и 3;(Л), не входящие в Л; П Л2. Далее, Л; П Л2 восстанавливается по спектру Л и множеству После чего нам известны все нули ^;(Л) и (Л) и соответственно сами эти функции. Таким образом, фактически, нам известны дискриминант Хилла, спектр Л; и чпсла (х>п,п = 1, то. Этого достаточно [3] для однозначного восстановления я;(ж;).

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Beak R., Deift P., Tomei C. Direct and inverse scattering on the line // Math, Surveys and Monographs, Vol, 28, Amer, Math, Soc, Providence: EI, 1988,

2, Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М,: Физматлит, 2007.

3, Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма—Лиувилля, М,: Наука, 1984,

УДК 517.51

Т.В. Иофина

СИЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ В РАВНОМЕРНОЙ И ГЕЛЬДЕРОВЫХ МЕТРИКАХ

Пусть {xj}°=0 - система Вилеикииа, построенная по ограниченной последовательности P = {pn}0=1 £ N [1, §1.5]. Коэффициенты Фурье и частичная сумма Фурье для f £ L[0,1) задаются формулами f (k) =

= Jo f (x)Xk(x) k £ Sn(f)(x) = En-0 f(k)Xk(x) n £ N. Будем рассматривать пространства L^[0,1) 1 < p < о, ||f||p =

' 1 \ i/P

/о If(t)|pdt) , и C*[0,1) - пространство функций, непрерывных относительно P-ичного сдвига, ||f ||о = sup |f (ж)|. Пусть ^*(f, =

ж€[0,1)

= sup ||f (ж0h) —f (ж)||р - модуль непрерывности в этих пространствах. 0<h<£

Будем говорить, что ш £ тел и ш(£) непрерывна и возрастает на

[0,1), ш(0) = 0. Тогда f £ Яр[0,1), если f £ Lp[0,1) (1 < p < оо )

или f £ С*[0,1) (p = оо) и w*(f,J)p < Сш(£); ||f||p,ш = ||f||p+

+ sup w*(f, h)p/w(h). 0<h<1

Далее будем считать, что ш(t) £ ^ удовлетворяет Д2-условию, т.е. w(t) < Сш^/2), t £ [0,1). Кроме того, для a>(t),^(t) £ ^ существует а £ (0,1) такое, что k>a(t)/^(t) ограничена на [0,1).

Определим класс GM последовательностей {¿¿}0=0, удовлетворяющих

2m-1

неравенству Yh |dk — dk+1| < Cdm. Пусть MRBVS - класс последова-

k=m

n—1 2m—1

тельностей {^}0=0, для которых верно ^ |dk — dk+1| < K Y m+1?

k=2m k=m

1 < m < < (n — 1)/2. Эти классы изучались С.Ю. Тихоновым. В частности, им было показано, что квазимонотонные последовательности {а}0=0 (такие, что ann—т ^ 0 для некоторых т > 0 и n £ N) содержаться в GM. Ему же принадлежит идея доказательства того факта, что данный класс и класс GM не содержат друг друга (см. леммы 1, 2).