О наилучшем приближении непрерывной сегментной функции алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Молчанов В.А. О распознавании языков полугруппами и автоматами // Математика. Механика: Сб. науч. тр. 2006. Вып. 8. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, С. 83-86.

6. Buchi J.R. Weak second-order arithmetic and finite automata // Z. Math. Logik and Grundl. Math. 1960. Vol. 6. P. 66-92.

7. Perrin D., Pin J.E. Semigroups and automata on infinite words // Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1993. Vol. 466. P. 49-72.

УДК 519.853.3 + 517.518.82

Е.А. Нарыжная

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

1. Пусть gi(t) и g2(t) - непрерывные на отрезке [c, d] функции, причем gi(t) < g2(t) при t Е [c,d]. Обозначим через Pn(A,t) = а0 + a1t + ... + +antn полином n-й степени с вектором коэффициентов A = (а0,а15... ,ап). Ф(£) = [gi (t), g2(t)] - сегментная функция (с.ф.), сопоставляющая каждому значению t Е [c, d] соответствующий сегмент.

Рассмотрим следующую задачу о наилучшем приближении с.ф. Ф^) полиномом n-й степени:

p(A) = max(p^(t), Pn(A, t)) + p(Pn(A,t), Ф(t))) inf , (1)

tEM] AERn+1

где

р(ФВД, Pn(A, t)) = max {g2(t) - Pn(A, t), Pn(A, t) - gi(t)} есть уклонение с.ф. от полинома,

p(Pn(A, t), ФВД) = max {Pn(A, t) - g2(t), gi(t) - Pn(A, t), 0}

есть уклонение полинома от с.ф.

Очевидно, что функция F(A,t) = р(Ф^), Pn(A, t)) + p(Pn(A,t), Ф(t)) выпукла по A на Rn+i при каждом фиксированном t Е [c, d]. Следовательно (см., например [1]), и функция ^(A) является выпуклой на Rn+i. Обозначим через

R(A) = {t Е [c, d] : p(A) = F(A, t)} ,

Ri(A) = {t E R(A) : Pn(A*,ti) - g2(ti)+ gi(ti) > o} ,

R2(A) = {t E R(A) : Pn(A*,ti) - g2(ti)+ gi(ti) < o} ,

Яз(А) = {£ е Я(А) : Рп(А*,Ъ) - = - Рп(А,£)} .

Пользуясь субдифференциальным исчислением выпуклых функций [1, 2] можно доказать, что имеет место

Теорема 1. Субдифференциал д^(А) функции ^(А) может быть выражен следующей формулой:

др(А) = со {е (¿ХМ,...,^ е Я(А))} , (2)

где

Г[1,2], £ е ^(А), е(¿) = [ [-2, -1],* е ^(А), (3)

[[-1,1],* е Яз(А).

2. Сформулируем критерий решения задачи (1).

Теорема 2. Для того чтобы вектор А* был решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) Яз(А*) = 0;

б) найдутся точки {¿г}г=0 п+1 С Я(А*) : с < ¿0 < < ... < < d такие, что если ¿г е Я^А*) (соответственно ¿г е Я2(А*)); то ¿¿+1 е е Я2(А*) (соответственно ¿¿+1 е Я^А*)) для всех г = 0, п + 1.

Доказательство. В соответствии с известным фактом из выпуклого анализа [2, с. 142], для того чтобы вектор А* давал минимальное значение выпуклой функции ^(А*) на Я"+ необходимо и достаточно, чтобы

0п+1 е д^(А*). (4)

Необходимость. Пусть для А* выполняется (4) и Я3(А*) = 0, достаточно рассмотреть случаи

1. Я(А*) = Я^А*) или Я(А*) = Й2(А*). Тогда из (2), (3) следует 0п+1 е е д^(А*), то есть получаем противоречие с (4).

2. Я(А*) = Л1(А*) и Я2(А*). Из (2)-(4) получаем

0п+1 е со {е (¿)(1, е Я(А*))} .

Отсюда, учитывая Я3(А*) = 0, по теореме 1 из [3] следует, что существует {¿г^о^+т : с < ¿о < ¿1 < ... < ¿п+1 < й и функция /(¿) е е(*) такая, что (¿г) = -(¿г+1). В соответствии с (3) это означает, что если ¿г е Л1(А*), то ¿г+1 е Я2(А*), г = 0,п + 1 (или если ¿г е Я2(А*), то ¿г+1 е ЯДА*)). Таким образом, получаем, что выполняется условие б).

Достаточность. Предположим, что выполняется условие (а). Тогда из (3) следует, что 0 е е(¿*) для ¿* е Я3(А*), а значит из (2) получаем (4), то есть А* - решение задачи.

Пусть теперь выполняется условие (б). То есть существует упорядоченный набор {¿г}г=0 п+1 С Л1(А*) : с < ¿0 < ¿1 < ... < ¿п+1 < й, причем если ¿г е Л1(А*) (соответственно ¿г е Я2(А*)), то ¿г+1 е Я2(А*) (соответственно ¿г+1 е Л1(А*)). Тогда в соответствии с (3) этим точкам можно сопоставить значения ](¿г) е е(¿г), и функция sgп/(¿г) = = -sgп/(¿г+1). Используя теорему 1 из [3], в силу (2) получаем, что

0п+1 е со{е(¿)(1,... , *п|* е ^(А*) и ^(А*))} с д^(А*). Теорема доказана.

3. Задача (1) отличается от задачи из [4] наличием второго слагаемого р(Рп(А, ¿), Ф(0) = тах {Рп(А, ¿) - 01М - Рп(А, ¿), 0}.

Рассмотрим пример, в котором решение задачи (1) будет отличаться от решения задачи из [4], а также от задачи Чебышева, в которой приближаемая функция имеет следующий вид:

9(() = йМ + ЙЮ .

2

Возьмем (¿) = й2(¿) = < + < ' t е [0, 2], и п = 1. Решением

I 7 2 t 1,

задачи (1) является Р/^) = 7/3 + 1/3^ в то время как р11^) = 2 + t -решение задачи из [4], а Р*11^) = 19/8 + 1/4t - решение задачи Чебышева с приближаемой функцией

Й(*) = 12+м <1,

У 7 I 3,5 - 0,5М > 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демьянов В. Ф. Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

2. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

3. Дудов С.И. О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып.9. С. 22-26

4. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении непрерывного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 13-15.