ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТОВ УНИТАРНОЙ ГРУППЫ W(K5) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 514.7

MSC2010: 51F15, 14L24

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТОВ УНИТАРНОЙ ГРУППЫ Ш(К5) © О. И. Рудницкий

КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

Е-МА1Ы огтив,58@дтай. сот

About one property of basic invariants of unitary group W(K5). Rudnitskii O. I.

Abstract. In this paper, we are considering the finite unitary primitive group W(K5) of order 72 • 6! generated by reflections of second order with respect to the hyperplanes in 5-dimensional unitary space (the group of number 33 in the list of Shephard and Todd). As is well known, the algebra of all W(K5)-invariant polynomials is generated by 5 algebraically independent homogeneous polynomials Jmi of degrees mi = 4, 6,10,12,18. In the previous works, author obtained in explicit form basic invariants Jmi.

The main purpose of the article is to consider another method of finding in explicit form the basic invariants of group W(K5). This method is based on the following property of group W (K5).

Let G(3, 3,4) be the imprimitive unitary reflection group generated by reflections. Since

G(3, 3,4) is a subgroup of W(K5), each of polynomials Jmi is written as a polynomial 0t(/fc) of

4 i

the polynomials Ik = Xi3k, (k = 1, 2, 3), /4 = Ж1Ж2Ж3Ж4 and /5 = Ж5 the basic invariants of

G(3,3,4). i_1

In the present paper, the explicit form of polynomials ), t = 4, 6,10,12,18, is found and the basis invariants of group W(K5) were constructed in explicit form.

Keywords: Unitary space, reflection, reflection groups, invariant, algebra of invariants.

Введение

Пусть в n-мерном унитарном пространстве Un задана координатная система на-

чалом О и ортонормированным базисом е (г = 1 ,п); вектор х = ^ х^. Введем

'¡=1

обозначения: Я = С[х1, ... ,хп] кольцо многочленов от п переменных над полем комплексных чисел, С — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями в пространстве ип.

Действие группы С в кольце Я определим следующим образом:

а ■ f = а ■ f (x) = f (а-11?), а е G, f (X) = f (xi) E R.

Многочлен f 6 R называется G-инвариантом группы G, если а ■ f = f для всех а 6 G. Множество всех G-инвариантов имеет структуру алгебры, которую будем обозначать Ig. Алгебра IG порождается n алгебраически независимыми однородными многочленами (базисные инварианты) степеней mi, i = 1,n [1]. Числа mi для заданной группы G определяются однозначно, а базисные инварианты — нет.

Известно [1], что в пространстве U5 существует единственная конечная невещественная примитивная группа G, порожденная отражениями. Это группа W(K5) порядка 72 ■ 6! , порождённая отражениями второго порядка относительно 45 четырехмерных плоскостей (группа № 33 в списке Шепарда-Тодда) [1].

Алгебра IW(K5) порождена пятью алгебраически независимыми многочленами степеней mi = 4, 6,10,12,18 [1].

Ранее, в работах [2]-[5], были различными методами построены в явном виде разные системы базисных инвариантов группы W(K5).

В рамках этой статьи рассматривается еще один подход к построению в явном виде базисных инвариантов группы W(K5), а именно, решается вопрос о представлении базисных инвариантов группы W(K5) в виде многочлена от степенных сумм

4

Ik = Xi3k, (k = 1, 2, 3), а также многочленов I4 = Ж1Ж2ЖзЖ4 и I5 = x5. i=1

Реализованный в работе метод построения базисных инвариантов ранее применялся автором в работах [4], [6], а также в работе [7].

Отметим, что для получения результатов в этой статье был использован программный пакет — система компьютерной алгебры Maple.

1. Постановка задачи и основной результат

Группа W(K5) порядка 72 ■ 6! порождается в пространстве U5 отражениями второго порядка относительно 4-плоскостей с уравнениями [3], [5]

x1 — u2x2 = 0, xt — xt+1 = 0 (t =1, 3), (1)

и

Xi + X2 + X3 + X4 + л/2х5 = 0, (2)

где и = — первообразный корень третьей степени из единицы, е = у/ — 1.

Уравнения всех 45 четырехмерных плоскостей, отражения относительно которых принадлежат группе W(K5), имеют вид [5]

Xj — ukoXj = 0, i, j = T"4, (i < j), k0 = 173, (3)

и

Y^ хг + V2ujk5х5 = 0, (4)

i=1

4 _

где кг + 2к5 = 0 (mod 3), кг, к5 = 1,3.

г=1

Множество их нормальных векторов (система корней группы) состоит из 270

векторов

t t 4

±—(ег - шк0ёз), ±—(V ик% + л/^'5^), I = 1, 3, л/2 л/6 ^

и инвариантно относительно группы Ш(К5) [4]. Степени базисных инвариантов тг =4, 6,10,12,18 [1].

Ранее, в работе [4](см. также [5]), используя многочлены Погорелова, автор построил в явном виде базисные инварианты 3т1 группы Ш(К5).

Основная цель настоящей работы — рассмотреть еще один способ построения в явном виде базисных инвариантов унитарной группы Ш(К5), а именно, выразить

4

их через степенные суммы 1к = ^ Хг3к, (к = 1, 2, 3) и многочлены /4 = х1х2х3х4 и

г=1

/5 = Х5.

Конечная унитарная импримитивная группа С(3, 3,4) порождается в пространстве и4 отражениями второго порядка относительно 3-плоскостей с уравнениями (1) и содержит отражения второго порядка относительно 3-плоскостей с уравнениями (3) [1].

Следовательно, С(3,3,4) С Ш(К5), а значит алгебра /С /с(3'3'4). Таким образом, всякий инвариант группы Ш(К5) является инвариантом группы С(3, 3,4). При этом в силу выбора фундаментальных областей групп С(3, 3,4) и Ш(К5) (см. (1), (2)) инвариант / группы С(3,3,4) является инвариантом Ш(К5) тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию

5(/) = /, (5)

где 5 — отражение второго порядка относительно 4-плоскости с уравнением (2), то есть преобразование вида

' 4 _

Хг ^ Хг - 1 ( ^ Хк + л/2Ж5),г = 1, 4, 3 к=1

4

Х5 ^ Х5 - ^(Е Хк + л/2Х5). к=1

Известно [1], что алгебра Iс(3,3,4) в пространстве и4 порождается четырьмя ал-

4

гебраически независимыми многочленами 1к = ^ Х'3к(к = 1, 2, 3) и 14 = х1х2х3х4.

'=1

При этом, так как мы рассматриваем действие группы С(3,3,4) в пространстве и5, то к базисным инвариантам нужно добавить еще многочлен 15 = х5 (4-плоскость с уравнением х5 = 0 определяет инвариантное подпространство и4 С и5, в котором действует группа С(3, 3,4)).

Таким образом, любой элемент / алгебры Iс(3,3,4) представим в виде / = фг(1к), к = 1, 5, где фь(1к) — некоторый многочлен подходящей степени Ь, от форм 1к. При этом / € I^если многочлен фг(1к) инвариантен относительно отражения 5.

Получим явный вид многочленов фД1к) и найдем базисные инварианты группы Ш(К5). Понятно, что необходимо рассмотреть только многочлены фь(1к) степеней Ь = 4,6,10,12,18.

1. Пусть Ь = 4. Тогда

Р4 = ф4(11, 14, 15) = а1154 + а21115 + 0314,

где а1, а2, а3 — неопределенные коэффициенты.

Условие (5), для многочлена Р4, приводит к следующей системе линейных уравнений для коэффициентов а1, а2, 03 :

'8^2а1 + 34а2 + 5^2а3 = 0, 20а1 + 2^2а2 - а3 = 0, 16а1 - 20^2а2 - 8а3 = 0. Ее общее решение а1 = с, а2 = -2у/2с, а3 = 12с. Следовательно,

Р4 = (154 - 2^21115 + 1214).

Ненулевой многочлен Р4, определяемый однозначно с точностью до постоянного множителя, является базисным инвариантом четвертой степени группы Ш(К5). Отметим, что при с =1 он совпадает с базисным инвариантом 34 группы Ш(К5), полученным в работе [4](см. также [5]), то есть

= 154 - 2^21115 + 1214.

2. Если Ь = 6, то многочлен

Р6 = ф6(11, 12, 14, 15) = а1156 + а215311 + а3^14 + а4^ + а51Д

Как и в случае t = 4, из соотношения (5) получаем линейную систему из пяти уравнений

4ai — 5л/2а2 — 2а3 — 331а4 — 352а5 = 0,

182ai + 2У2а2 — 03 — 8а4 — 32а5 = 0,

< 40а1 + 31/202 + 7а3 — 70а4 — 280а5 = 0,

40/201 + 602а2 — 11/203 + 200^2а4 — 172/205 = 0,

20а1 + 11/202 — 7а3 — 80а4 + 4а5 = 0.

Общее решение этой системы имеет вид: а1 = |с, а2 = л/2с, а3 = 18c, а4 = — |с, а5 = с. Таким образом,

Pe = С (156 + 5V2/53/1 + 90/52/4 — 6/2 + 5/12). 5

При с = 0, форма P6 является базисным инвариантом шестой степени группы W(K5). Если с = 5, то P6 = J6, где J6 — базисный инвариант шестой степени группы W(K5), найденный в работе [4](см. также [5]), то есть

J = /56 + 5У2/53/! + 90/52/4 — 6/2 + 5/12.

3. Пусть t = 10. Тогда

P10 = фю(/1, /2, /3, /4, /5) = А1/510 + А2/57/1 + Оз/56/4 + 04/5% + 05/54/12 +

Q О О О <~)

+06/5 /1/4 + 07/5 /4 + 03/5/1 + 09/5/1/2 + аю/5/3 + Оц/1 /4 + 012/2/4. Как и ранее, соотношение (5) приводит к однородной линейной системе относительно 12 неизвестных коэффициентов a¿, которую мы не приводим здесь вследствие ее громоздкости. Общее решение этой системы имеет вид:

01 = с1 , 02 = 3л/2сь 03 = 182с1 + 4л/2с2, 04 = 14с1 + л/2с2,

05 = —35с1 — л/2с2, 06 = —140л/2с1 — 2с2, 07 = 1260с1 + 9л/2с2, 08 = с2,

09 = —28^2с1 — 4с2, 010 = 30^2с1 + 3с2, 011 = 70с1 + с2, 012 = —102с1--с2,

где с1, с2 — произвольные числа. Таким образом,

P10 = с1 (/510 + 3^2/57/1 + 182/56/4 + 14/54/2 — 35/54/12 — 140^2/53/1/4+

+ 1260/52/42 — 28^2/5/1 /2 + 30V2/5/3 + 70/12/4 — 102/2/4) + с2(4^2/56/4 + л/2/5 4/2

л/2 3л/2

^л/2/54 /12 — 2/53/1/4 + ^л/2/52/42 + /5/13 — 4/5/1/2 + 3/5/3 + -у /12/4 — /2/4).

Эта форма при любых значениях с1, с2 есть инвариант 10-й степени группы Ш (К5).

При ¿1 = 10с1 + с2 и ¿2 = с1, форма

р10 = ¿1^10 + ¿2 ^4 ,

где /4,/6,/10 — базисные инварианты группы Ш(К5), найденные в работе [4](см. также [5]).

Следовательно, инвариант Р10 является базисным при с2 = -10л/2сь и при с1 = 0, с2 = л/2 совпадает с базисным инвариантом /10:

Л0 = 8/56/4 + 2/54/2 - 2/54/12 - 2—2/53/1/4 + 18/52/42 +

'10 = 815 ^4 + 215 12 — 215 п — 2 v 2/5 i114 + 1815 ^4 г5/13 - 4^2/5/1/2 + 3v2/5/3 + /12/4 - з/2/4.

4. Если Ь =12, то

Р12 = Ф12 (/1, /2, /3, /4, /5) = Й1/512 + Й2/59/1 + Й3/58/4 + 04/5% + ^лч +Аб/55/1/4 + а7/54/42 + Й8/53/3 + 09/53/13 + ОюД3/^ + 011/5^2 /4 +

о /i о о о 0 0

+0,12/5/1/4 + 013/1 + «14/2 + 015/4 + О16/1 /2 + О17/1/3 + Й18/5 /1 /4. Условие (5) приводит к однородной линейной системе относительно 18 неопределенных коэффициентов О/ с общим решением

_ 15-2 2—2 209 37-2 б-2

01 = С1, 02 = С2, 03 = 330С1--— С2 + -9-С3, О4 =--— С1 +--— С2--—С3,

275 31—2 5—2 1815—2 3 11

05 = -С1--с2 +--С3, 06 = -с--с2 +--с3,

5 2 1 8 54 3' 6 2 1 4 9 3'

16335 27—2 9—2 ^ 11

07 = —2— С1--— С2 + —— С3, 08 = 330л/2в1 - 33С2 + —с3,

_ 715—2 103 17 1045—2 185 25

09 = 4 с1 8"с2 + 54с3, 010 = 2 с1 + ~Гс2 - 27с3,

_ 117—2 —2 5 41—2 —2

011 = -495С1--4— С2 - —с3, 012 = С3, 013 = -8с1 + -с2 - 108с3,

87 3—2 —2 г г

014 = ТТС1--— С2 + — С3, 015 = 2160С1 - 10^2в2 ^ У2С3,

2 8 36

35 31—2 —2 ^ —2 1815 3—2 13—2

016 = у С1--— с2 + "27 с3,017 = -60С1 + ^2С2--18 С3,018 = —— С1--— С2 +--— С3,

где с1, с2, с3 — произвольные числа.

Таким образом, Р12 — инвариант группы W(К5) при любых значениях с/, I = 1, 2, 3. При этом для

г = — с - — с + ^2 с = _ _ с + с

1 159С1 3180С2 171720^ 2 424С1 1696 °2 3816Cз, 11

гз = — С1 +

385 77/2

424 с-- 1 1696

61/2

С2 — 171720С3

1272 1 25440 форма Р12 может быть представлена в виде

р12 = г1 ^12 + г2 ^43 + г3 ^з^

где </4,/6,/12 — базисные инваританты группы W(К5), найденные в работе [4](см. также [5]).

Следовательно, Р12 — базисный, если с3 = 54(в2 — 1^л/2с1). Если же

с1 = 16, с2 = 880/2, с3 = 124740/2, то Р12 совпадает с базисным инвариантом /12, то есть

/12 = 16/512 + 880 ^2/59/1 + 47520/58/4 — 16632/56/2 + 18480/56/12+ + 166320^2/55 /1/4 + 1247400/54/42 + 52470/2Д3 /3 + 30800/2/53/13 — —83160^2/53/1/2 — 80190/52/2/4 + 124740^2/5/1/42 — 65/14 + 6966/22+ +93960/43 + 2700/12/2 — 9540/1/3 + 103950/52/12/4. 5. Рассмотрим случай г = 18. Имеем:

Р18 = ф18(/1, /2, /3, /4, /5) = 01/518 + 02/515/1 + 03/5^4 + 04/5^/12 + 05/5^/2 +

+Й6/511/1/4 + О7/510/42 + О8/59/3 + 09 /59/1/2 + 010/5^13 + ОцД8^ + 012/58д2/4 + +О13/57/1/42 + О14/56/14 + О15/56/12/2 + 016/5%2 + 017/5^1/3 + О18/56/43 + +О19/55/13/4 + О20 /55 /1 /2 /4 + О21/55/3 /4 + О22/54/12/42 + О23/54/2/42 + ^д3^^ +О25/53 /12 /3 + О26/53/15 + О27/53/13/2 + О28/53/1/22 + ^^лд3 + О3о/52/44 +

+О31/52/22/4 + 032/5 2/14/4 + О33 /5 2 /12 /2 /4 + О34 /5 2 /1 /3 /4 + 035/5/3/44

о () л /? г) о

+036/5/1 /4 + 037/5/1/2/4 + 038/1 + 039/3 + 040/2 +

3 2 2 4 2 3 3

+041/1 /3 + 042/1 /2 + 043/1 /2 + 044/1 /4 + 045/2/4 + 046/1/2/3.

Как и ранее, соотношение (5) приводит к громоздкой совместной системе из 53 линейных однородных уравнений относительно 46 неизвестных коэффициентов 0/. Ее общее решение имеет вид:

/2 -\/2 1751 103 529

01 =--С1--с2--с3--с4--с5,

1 112 1 448 2 277200 3 12600 4 623700 5'

92

Q. H. PydHu^uu

1 1 391\/2 2^v/2 151^

a2 = — ci +--c2--c3--c4 +--c5,

2 56 1 224 2 18480 3 840 4 41580 5'

75^2 103^2 5477 139 9337

a3 =--ci--c2 +--c3--c4 +--c5,

3 56 1 224 2 3080 3 140 4 27720 5'

_ 37^2 51^2 2423 19 22829 °4 = 112 Cl + 448 C2 - 1540C3 - 70C4 - 110880^

= _ ^2 6561 7109

°5 = - 32C2 + 4400C3 + 200C4 + 26400C5' _ 303 211 33757^2 253^2 82129^2 = ~28"Cl + "56"C2 1232 C3 C4 22176 C5'

2151^2 1443^2 126123 3723 227069

a7 =--ci--c2--c3--c4--c5,

7 56 1 112 2 1232 3 56 4 7392 5'

9 15 14417^2 15^2 72943^2

a8 =--ci--c2--c3 +--c4--c5,

8 56 1 112 2 2464 3 112 4 14784 5'

3 3321^2 7^2 19069^2

a9 = — c2 +--c3--c4 +--c5,

9 8 440 3 20 2640 5'

101 41 57223^2 935^2 943375^2 am =--ci--c2--c3--c4--c5,

10 56 i 56 2 22176 3 1008 4 399168 5'

_ 81^2 117^2 1102869 5877 614057

aii —-ci —-c2 ~r-c3 +-c4 +-c^,

11 112 1 224 2 12320 3 560 4 24640 = 1287^2 _ 759^2 _ 267027 _ 4659 _ 353957

°12 = 112 ci 224 c2 - 2464 c3 - H2Q - 14784 c5, 1647 522 253683^2 3123^2 77867^2

a13 = ~Tci + Tc2 308 c3 - c4 - _61^"c5,

r- 5^2 1765 8 8545

ai4 = V2ci +--c2--c3--c4--c5,

14 1 8 2 66 3 3 4 1188 5'

3^2 7209 27 13231 1377 6 269

ai5 =--c2 +--c3 +--c4 +--c5, ai6 =--c3--c4--c5,

15 4 110 5 660 5' 16 550 3 25 4 1650 5'

9^2 15^2 10839 15 23153

ai7 =-ci +--c2--c3--c4--c5,

17 14 1 28 2 308 3 14 4 1848 5'

ai8 = -405^2ci - 126^2c2 - ^^c3 - 1791c4 - ^^c5,

= 15 _ 5 _ 7105^2 _ 85^2 _ 36505^2 ai9 = ~2 ci - 4c2 88 c3 T~c4 1584 C5,

81 117 120987^2 639^2 75563^2

a20 =--ci +--c2 +--c3 +--c4 +--c5,

20 14 1 28 2 616 3 28 4 1232 5'

27 45 36783^2 45^2 24895^2

a21 = ci - 14c2 - c3 + ITc4 - _C5,

351"2 , Г 27117 765 9445 а22 = —2—С1 - 45л/2с2 —44- сз - — с4 - -д^"С5'

243"2 27"2 174555 4887 35307

а23 =-С +--с2 +--с3 +--с4 +--с5,

23 14 1 28 2 308 3 14 4 616 5'

_ 81 "2 7"2 9 15 1557"2 15"2 305"2

°24 = ИГС3 + 1ГС5' °25 = - 7С1 - 14 С2 + И08~С3 + 1ГС4 + 1848~С5' _ _ _ 1377"2 б"2 269"2

а26 = с1' а27 = с2 ' а28 =--гтй-с3--т~ с4--ооп с5 '

110 5 330

а29 = 1296с1 + 360с2--С3 + 360"2с4--С5'

243 3375

а30 = -145^л/2с1 - 40^Л/2с2 - — С3 - 810с4 - — С5,

1458 108 138

а31 =--— С3--— С4 + —— С5'

55 5 55

21 "2 5"2 2977 55 7915

а32 =--с--с2--с3--с4--с5,

32 2 1 4 2 4 4 3 2 4 7 9 2 5'

= 81"2 _ 117"2 66123 873 20533

°33 = 14 С1 2Г"С2 + 308 С3 + ИС4 + 616 С5'

_ 54"2 45"2 9711 90 4085

°34 = —С1 + —С2 - —С3 - уС4 -154 С5'

162 135 30267"2 135"2 7215"2

°35 = -Т~С1 - ТС2 + ~15Т~С3 + ~Т"С4 + С5'

72 + , 564"2 /- , 455"2

а3б = 72С1 + 15с2 +---— С3 + 30Л/2с4 +--—— С5'

11 66

486 27 31671"2 351"2 7839"2

а37 =--с--с2--с3--с4--с5'

37 7 1 7 2 154 3 7 4 308 5'

13 5 245 9 15

а38 =--с3--с4 +--с5' а39 =--с3--с5'

38 396 3 18 4 7128 5 39 11 3 22 5

729 12 851 81 6 403

°40 = 550С3 + 25С4 + 3300С5' °41 = С3' °42 = -55 "3 - 5- 660"5' °43 = С4'

01 ^ 45 "2 135 105

а44 = -81Л/2с1--— С2 + — с3 - 45С4 - — С5'

729 "2 459"2 20655 297 5715

а45 = ~Т"С1 + "1Г"С2-154"С3 + ТС4-"308С5' а46 =С5'

Форма Р18 — инвариант группы Ж(К5) при любых значениях С/' I = 1' 2' 3' 4' 5. При этом, Р18 представим в виде

р18 = ¿1^18 + ¿2^12^6 + ¿3 + ¿4 Л3 +

если

_ 1 5 _ 17881 7033

1 _ 7494993С3 + 449699582 _ -882743620+ 11917038870

t3 _ ^1Q_OQ(179879832ci + 149899860c2-6715513728

-1567379934/2c3 - 149899860/2c4 - 215212075/2c5),

821259 1 163835821

г4 =--с3--с4 +--с5,

4 2206859050 3 450 4 715022332200 5'

/2 /2 83225915 1 72049211

¿5 ---С1 - -С2 - -С3 - -С4 - -С5.

5 112 1 448 2 14830092816 3 168 4 66735417672 5 Здесь, как и ранее, /4,/6,/10,/12,/18 — базисные инваританты группы W(К5), найденные в работе [4](см. также [5]).

Следовательно, Р18 — базисный инвариант группы W(К5), если 6с3 = —5с5, и,

при

1707291

С1 = —6977004/2, С2 = 24349950/2, С3 = 253188, С4 =-7-, С5 = 8690166,

он совпадает с /18:

/18 = —64/518 — 13056/2/515/1 — 1175040/514/4 — 1485120/512/12 + 1336608/512/2—

—26732160/2/511/1/4 — 441080640/510/42 — 46383480/2/59/3 + 73513440/2/59/1/2 — —2 722 7200 /2/59/13 + 2 126 6 3 8 80/58/2/4 — 2756 754 00/58 /12/4 — 132 3 24 1920 /2/57/1 /42— —55070106/56/14 + 158889276/56/12/2 — 2255526/56/22 — 101582208/56/1/3

'5 /i/3-

-5539571856/5® /43-321621300/2/55/i3 /4 + 744 3 2 3 5 80 /2/55/i/2 /4-430053624V2/55/3/4--1157836680/54/i2/42 + 744323580/54/2/42 + 7394490/2/53/2/3 - 13490010/2/53/i2/3--6977004/2/53/15 + 24 3 4 9 9 50 /2/53/i3/2 - 11277630/2/53/i/22 - 1442793060/2/53/i/43-

-1408712310/52/44 - 3346110/52/22/4 - 41810310/52/i4/4 + 113024160/52/i2/2/4--67996260/52/i/3/4 - 38343942/2 J5/3/42 - 38594556/2/5/i3/42 + 74432358/2/5/i/2/42+

+10^/!. - 61322677,2 + 59^/23 + ^^^ - 134Ш3>^

1707291

+-^-/i4/2 - 23071392/i2/43 - 155 3 6 4 48/2/43 + 86 90 166Д/2/3.

Заключение

В статье предложен и реализован еще один метод построения в явном виде базисных инвариантов группы W(K5), порожденной отражениями второго порядка относительно 4-плоскостей пятимерного унитарного пространста. Решен вопрос о выражении базиных инвариантов группы W(K5) через степенные суммы, установлены соотношения между базисными инвариантами группы, найденными различными методами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. SHEPHARD, G. C. Finite unitary reflection groups / G. C. Shephard, J. A. Todd // Can. J. Math. - 1954. - 6. - № 2. - P. 274 - 304.DOI: 10.4135/CJM - 1954 - 028 - 3

2. BURKHARDT, H. Untersuchungen aus dem Gebiete der hyperelliptischen Modulfunctionen. Zweiter Theil // Math. Ann. - 1891. - V. 38. -P. 161 - 224.

3. RUDNITSKII, O. I. Some properties of basis invariants of the unitary group W(K5) // Journal of Mathematical Sciences - 1990. - V. 51. - № 5. - P. 2570 - 2574.

4. Рудницкий, О. И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве // Дите. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. - Минск, 1990. - 115 с.

RUDNITSKII, O. I. (1990) Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space. The thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences. Minsk.

5. Рудницкий О. И.Каноническая система базисных инвариантов унитарной группы W(K5) // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2019. - № 58. - С. 32 - 40.

RUDNITSKII, O. I. (2019) Canonical system of basic invariants for unitary group W(K5) // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. - 2019. - № 58. - С. 32 - 40.

6. Рудницкий, О. И. О базисных инвариантах унитарной группы W(J3(4)) // Таврический вестник информатики и математики. - 2017. - № 2(35). - С. 97-103.

RUDNITSKII, O. I. (2017) On basic invariants of unitary group W(J3(4)). TVIM. -2017. - 35. - P. 97-103.

7. OURA, M. Basic Invariants of the Complex Reflection Group No.34 Constructed by Conway and Sloane / M. Oura, J. Sekiguchi // arXiv:2302.09695v1 - [math.GR] - 19 Feb 2023 (doi.org/10.48550/arXiv.2302.09695)