О БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТАХ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНЫХ ПОДГРУПП В SL3(C) Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 81

Научная статья

УДК 514.7 МБС: 5Ш5; 14Ь24

аог 10.17223/19988621/81/4

О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп

в ^^3^)

Олег Иванович Рудницкий

Крымскмй федеральный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь, Россия,

оггпй58@^таЛ-сот

Аннотация. Работа посвящена изучению алгебр инвариантов конечных унитарных групп О' = ОГ^^^), где О - конечная унитарная неприводимая примитивная группа, порожденная отражениями в унитарном пространстве и3. Известно, что система образующих алгебры инвариантов группы О' получается из системы образующих алгебры инвариантов группы О присоединением всех полуинвариантов группы О специального вида. В статье построены образующие алгебр инвариантов всех указанных групп О'.

Ключевые слова: унитарное пространство, отражение, группа отражений, инвариант, полуинвариант, алгебра инвариантов, базисные инварианты

Для цитирования: Рудницкий О.И. О базисных инвариантах некоторых конечных подгрупп в Жз^) // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 81. С. 39-48. ао1: 10.17223/19988621/81/4

Original article

On basic invariants of some finite subgroups in SL3(C)

Oleg I. Rudnitskii

V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, Russian Federation, oirud58@gmail. com

Abstract. In an n-dimensional unitary space U we introduce an orthogonal coordinate

__n

system: e,г = 1, n is the orthonormal basis, any vector x = ^ xte . Let G be a finite irre-

i=1

ducible unitary group generated by reflections a with respect to hyperplanes ha with a common point in the origin of the coordinate system. A polynomial f (x) e C[x,..., x ] is called a semi-invariant of the group G if

gf (x) = f (g -1 x) = x(g) f (x) for all g e G, where x : G ^ C* is the character of G. If x = 1, then f (x) is called an invariant of G. It is known that algebra IG of all invariants of G is generated by n algebraically independent polynomials (Shephard G.C. and Todd J.A.).

© О.И. Рудницкий, 2023

T.A. Springer proposed a method for finding the generators of the algebra of invariants of the group G' not generated by reflections: if G' is a subgroup of G such that each homogeneous invariant of G' is a semi-invariant of G and vise versa, then the system of generators for algebra I3' consists of the system of generators for algebra f3 and of all semi-invariants of G of the form

fo = П l.,

h.eO

where O is an orbit of group G in a set of all hyperplanes ha; la e C[x,..., xn ] is the linear function for which ha is the set of its zeros. Using this method and the theory of invariants of finite groups G generated by reflections, Springer constructed the algebras of invariants of the two groups G' = GRSL3(C).

In this paper, using the abovementioned method, generators of the algebras of invariants of all groups G' = GRSL3(C) were constructed, where G is a finite irreducible unitary group generated by reflections in the space U3. Also, all the relations between these generators are established.

Keywords: unitary space, reflection, reflection groups, invariant, semi-invariant, algebra of invariants, basic invariants

For citation: Rudnitskii, O.I. (2023) On basic invariants of some finite subgroups in SL3(C). Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 81. pp. 39-48. doi: 10.17223/19988621/81/4

Введение. Постановка задачи

Введем в n-мерном унитарном пространстве Un ортогональную систему ко__n

ординат: (e,, i = 1, n} - ортонормированный базис, вектор x = ^ xte,. Отражением

i=i

. порядка l в пространстве Un называется унитарное преобразование порядка l, множество неподвижных точек которого является плоскостью ha размерности n -1. Эту плоскость называют гиперплоскостью отражения или симметрии.

Пусть G - конечная неприводимая унитарная группа, порожденная отражениями a относительно гиперплоскостей отражения ha с общей точкой в начале координат. Обозначим через R = C[x1; ..., xn] кольцо многочленов от n переменных над полем комплексных чисел C. Действие группы G на кольце R определим с помощью равенства

gf= gf (x) = f (g -1 x), где g e G,f(x) = f(xi,.,xj e R .

Многочлен f e R называется полуинвариантом (относительным инвариантом) группы G, если существует такая функция х : G ^ C* (характер группы G), что

gf = X(g) f

для всех g e G.

Если х = 1, то f называется инвариантом группы G. Известно [1], что множество всех инвариантов группы G образует алгебру IG, которая порождается n алгебраически независимыми многочленами fm (базисные инварианты) степеней mi, i = 1,2,.,n (показатели группы).

Описание полуинвариантов группы G дано в работе [2]. Приведем его здесь.

Пусть H - множество всех гиперплоскостей ha и O - орбита группы G в H. Положим

fo = П 1*,

h*eO

где la e R - линейная функция, для которой ha - множество ее нулей.

Многочлен fO определяется орбитой O с точностью до скалярного множителя. Если l = e(ha) - порядок отражения a, то положим e(O) = e(ha), где ha - некоторый элемент из орбиты O. Справедлива следующая теорема [2. С. 100].

Теорема. (i) Функции fO являются полуинвариантами группы G. Точнее, если * e G - отражение, то afO = fO при ha g O и a-fO = fO при ha e O, где -собственное значение отражения a, отличное от 1.

(ii) Любой однородный полуинвариант f группы G может быть записан в виде f = (П fo(O))f , где 0 < a(O) < e(O), f e IG. Такая запись единственна. o

В [2] эта теорема применяется для нахождения образующих алгебр инвариантов двух групп G' = GflSL3(C), не порожденных отражениями. Идея такого применения состоит в следующем.

Пусть G - конечная неприводимая унитарная группа, порожденная отражениями, и G' - такая ее подгруппа, что всякий однородный инвариант группы G' является полуинвариантом группы G, и наоборот. Тогда ввиду приведенной теоремы система образующих алгебры IG' получается из системы образующих алгебры IG присоединением всех полуинвариантов группы G вида fO.

В настоящей статье продолжены начатые в [2] исследования и построены образующие алгебр инвариантов для всех конечных унитарных групп G' = GflSL3(C).

Для вычислений был использован программный пакет - система компьютерной алгебры Maple.

Образующие алгебр инвариантов унитарных групп G' = GOSL3(C)

В пространстве U3 существуют четыре конечные примитивные унитарные группы G [3]. Это группы W(J3(m)), m = 4, 5, WL3) и W(M3). Рассмотрим соответствующую каждой из них группу G' и ее алгебру инвариантов.

1. Группа W(J3(4)) порядка 336 порождается отражениями второго порядка относительно 21 плоскости с уравнениями [4]

X = 0, x — Xj = 0, i, j = 1,3 (i < j), x — x — = 0, (1)

1-eJJ

где a = —-— - корень уравнения z2 - z + 2 = 0, s = V-I, (i, j, k) = (1, 2, 3) -циклически.

Группа содержит скалярное умножение на -1, показатели группы равны mi = 4, 6, 14 [1]. Образующие алгебры IW(J3(4)) имеют вид [4]:

f4 =Z Xi4 - 3aX X2x2

i j' '< j

f6 = 2^ x6 + 5a^ x4 x2 + 20a2 x^ x^ x23,

f 4 = 382^x" - 793 a^ x12x) +143(16 - 21a)£x10x4 -

- 143(16 + 95 a)£ xfx6 + 572(21 + 9 a)£ xl° x2x2 -

XjXk j <k

- 4290(19 - 5 a)£ xf x4x\ + 8008(13 -11a)£ x*x6x\ + 20020(5 + a)£ x*x4x\,

i< j j < k

здесь и далее, если не оговорено иное, индексы I, ], к принимают значения 1, 2, 3 и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы.

Пусть - множество, состоящее из 42 единичных нормальных векторов плоскостей (1):

а 1 _

±е1 > ±-(е1 ±еX ± -(е1 ±е ±аек).

Нетрудно убедиться в том, что множество 5 инвариантно относительно действия группы Щ^(4)) и 5 = №Уз(4)>ез.

Таким образом, есть только одна орбита О группы №(7з(4)) в множестве плоскостей (1) и, следовательно, лишь один полином

fo = f2i = 16£(-1)px1 x)xk + 24(-1)pxf jk -

- (46 + 27 а)^ (-1)рр3х7х* +13(2 - 3 а)^ (-1)рх,п х9х* + +7(22 + 39а)£(-1)"х"х5х3 -26(10 -7а)£(-1)рх,"х7хък -143(2 - 3а)^(-1)рх'х7х5к,

здесь р = 2 или 1, если индексы (I, }, к) принимают значения соответственно четных (циклических) или нечетных перестановок чисел (1, 2, 3).

Следовательно, любой полуинвариант группы №(73(4)) представим в виде /20а(О/ь где 0 < а(О) < 2, е /г(/3<4)).

Пусть О' = W(J3(4))ПSL3(C). Это группа порядка 168. Любой однородный инвариант группы О' является полуинвариантом группы W(J3(4)), и наоборот. Таким образом, алгебра I0' инвариантов группы О' порождается многочленами /4, /6, /14 и/21.

При этом, так как (/21)2 - инвариант степени 42 группы W(J3(4)), то его можно представить так:

(/21)2 = Р(/14)3 + 5(/б)7 + /аР, где Г е /^(-/3(4)) - полином степени 38; в, 5 - неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента 5 возьмем вектор

х0 = 2л/3еае1 + (2>/3еа - 6)е2 + (2>/3еа + 6)е3 ,

27а4

такой что /4(хо) = /м(хо) = 0. Тогда (/21 (хо))2 = 5/б(хо))7 и 5 =

13176688

Далее, возьмем вектор х1 = е1 + ее2 + (е£^7л/а)е3, такой что/4(х1) = 0. Здесь и далее рассматриваются арифметические корни из вещественных чисел, £ - первообразный корень 16-й степени из единицы.

Тогда с помощью явных вычислений можно найти коэффициент

Р= а4

1509902464 Если обозначить

fs, , , ft' /б , . /б' fu rrrA fulfil . fll

16 14 6664 4

то справедливо следующее соотношение:

(Л 1)2 = 196(/i4)3 + 216(Л )7 + f F. (2)

Итак, 7°' = C[/4, Л, Л 4, Л21] с соотношением (2) для образующих. Отметим, что данный результат также получен в [2], но в системе координат, где базисные векторы - собственные векторы преобразования Коксетера-Киллинга группы W(Js(4)).

2. Рассмотрим группу W(J3(5)). Она имеет порядок 2 160 и порождается отражениями второго порядка относительно 45 плоскостей с уравнениями [4]

х = 0, X. - X. = 0 (г < j), i, j = 1Д

i ' г j V J /' ' J ■■ (3)

X — (ю - у)X - X = 0, юх; ± ую2х„ ± rxt = 0,

- л/5 +1 к -1 + 8л/3 „ „

где r = у =—-— = 2 cos —, ю =----первообразный корень третьей степени из единицы, индексы (i, j, k) = (1, 2, 3) - циклически; l, m, t = 1, 2, 3.

Образующие алгебры /W(J'(5)) степеней mi = 6, 12, 30 [1] имеют следующий развернутый вид [4]:

/ = х6 - 3(5 + е>/15 )£ х4х2 +12(5 - 8^15)xfх2х32, /п = 148^хГ2 -66(5 + ел/Г5)ХхГ0х^2 -

-165(7 - х8 х4 + 308(7 + х6 х6 +

1 < j

+660(19 + 8^15)^х8х2х2 -18480^х,6х4х\ - 4620(3 + 8>/i5)х4х4х34, j <k

/30 = 24195204^х,30 - 3603975(5 + 8^15)^х,28х2 -- 9135(39147 - 15281s л/Т5)^х26х4 +13195(461197 + 13953^^/Г5)^x24х6 --130065(44261 + 23105sVT5)^ х22 х8 +10015005(821 + +17458л/Т5)£ х20 х10 + 5766215(21871 + 4587^^/Г5)^xГ8 х)2 + + 3231615(32539 +12479^^15)^ х16 х14 +

+109620(27493 + 279s^)^х26х2х2к -791700(31441 + 53588л/15)^х;

j <k

- 101970960(1343 - 3428л/15)^ х,22 х6 х2 + 60090030(13927 - 2998^15)^

- 1522280760(243 + 130s^)^х1*х10х2 -1176307860(601 - 202^^15)^х,16х)2х2

+ 775587600(791 - 278л/15 )£ х" х" х2 +18209100(21651 -

1 < j

-991е>Д5)^х,22х4х4 -1682520840(233 + 1528л/15)^

24 4 2 j к

х20 х8х2 -i j к

х20х6х4 -г j к

j <к

- 3805701900(91 - 248s^)^ х18 х8 х,4 + +6469693230(547 +1138^)^х^х*,.°х: -

j к

-16 х10 х4 j k

- 23526157200(219 + 40s>/i5)£х^х12х4 + 3551988440(2051 +

+177ел/15)^xf x6x6k -116454478140(65- 16^л/15)^х1

j <k

16 x8 xk -j k

- 13560477010080^ x14 x10 x6 + 214088030520(17 - 21s^/T5)^x12x^2x6 -

- 83181770100(141 -ел/Л)^x'4x8x\ + 336424047960(29 -

j k j <k

x,12 x1; xl + 3700664527560(13 - ел/Л) xj

2

Так как группа содержит подгруппу скалярных умножений на 1, ю, ю2, то инвариантное относительно группы W(J3(5)) множество единичных нормальных векторов плоскостей (3) состоит из 270 векторов

л"

ю ю ю

±юре,, ± — (у-ю)(е, ± е,), ± — (е, ± (ю2 -у)е, ± ек), ±—(е, ±ую2 еш ± гюе,), р = 1,3,

и 5 = »Ш5))-е1 [4].

Следовательно, как и ранее, существует только одна орбита О группы Ж(/3(5)) в множестве плоскостей (3) и единственный многочлен /О степени 45. С точностью до постоянного множителя, он имеет вид:

fo = /45 = 32£ (-1) "x41 x)xt + 56(5 + ел/15)Х (-1) "x39 x]xt +

px29x15xt -i j k

+ 53(29 + 5ел/15)^ (-1) "x37 x7 x + (4659 + 1547ел/15)^ (-1) px,35 x9 x + + 2(4239 + 87W15)^(-1)"x33x11xt - 4(3797 --2563ел/15)^ (-1) "x31 x13 xt + (43981 -1387^л/15)^ (-1)

- 29(5699 + 507ел/15)^(-1)"x27x17xt + 87(2257 + 121е>/15)£(-1) -1305(89 + 65е>/15)^(-1)"x23x21 xt -53(151 - 17елД5)^(-1)"x37x5x^ -

- 6(6589 + 389ел/15)^(-1)"x35x7xt3 -5(13049 + 1089ел/Л)^(-1)"x33x9x\ -

xi x1 xk

- 8(26281 + 6481ел/Л)^ (-1) "x31 x11 xt3 + 5(88045 + 37173елД?)^(-1) - 58(8051 + 4907e^) x £(-1)"x27x15x\ -1044(2447 -

xi xj xk '

- 745ел/15)^(-1)"x25x17x\ - 4350(419 + 219ел/И)^(-1)"x23x}9x^ +

1 j

+ 3(44651 - 12285ел/15)x^(-1)"x33x7xt5 + 44(9697 -2327ел/Л)^(-1)"x31 x9xf ■ - 3(85197 + 33301еТ15)Х(-1)px,29x11 xt5 + 406(19963 -

i j k

- 1165ел/Л)^(-1)"x27x13xl -8091(439- 113елД1)^(-1)"x,25x15xt5 +

^^^^ x1 x5'

+ 3915(1263 + 2119ел/15)^(-1)"x23x17x5 -110055(127 + 23ел/15)^(-1) - 55(40717 - 1835ел/15)^(-1)"x29 x9xt7 - 58(77483 -- 6877ел/Л)^(-1)"x27x^x,7 + 2349(1895 -2881е>/15)£(-1)"x25x13xt7 + + 5220(6239 + ШНе^)^ (-1) "xf3 x15 xt7 + 660330(107 + 3елД?)^(-1) ^^21 x17 x7

1 j

- 1131(9521 + 281елД5)^ (-1)

"x25x11 xt9 -i j k

■-17 х15 х13

- 4350(9283 + 22358л/15)^ (-1)"х,23 х13 х[ +110055(329 -- 143ел/Г5)Е (-1) "х,21 х15 х9 + 550275(55 - 49б^)Е (-1)" -10005(7411 - 85бч/Г5)^ (-1) "х?1 х13 х" - 340170(271 +

+39ел/15)^ (-1) "х]9 х15 х!1 - 570285(67 - 5ел/1"5)Е (-1) "х,17

здесь, как и ранее, р = 2 или 1, если индексы (г, ], к) принимают значения соответственно четных (циклических) или нечетных перестановок чисел (1, 2, 3).

Рассмотрим группу О' = Щ./з^^П.^^) порядка 1 080. Как и ранее, любой однородный инвариант группы О' является полуинвариантом группы Щ/3(5)), и наоборот, а любой полуинвариант/группы W(/з(5)) представим в виде / = (/45)/ где к = 0, 1 и / е 1№(■з(5)). Следовательно, I0' = //и,/зо,/45].

Более того, (/45)2 - инвариант группы Щ/3(5)) степени 90, и его можно однозначно представить в виде:

/45)2 = в/30)3 + 5/30/12)5 + /бР, где Г е 1№( 7з(5)) - полином степени 84; в, 5 - неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициентов в и 5 возьмем два вектора

х1 = е1 + ее2 +1^24(15-^л/15)е3 и х2 = е2 +1 >/з8 + б^л/15 + 4162 + 114е>/15е3 .

Здесь при нахождении корня из комплексного числа берем первообразный корень соответствующей степени из единицы. Имеем

/б(») = 0,/2(») Ф 0,/30(11) Ф 0, (I = 1, 2),/45(Xl) Ф 0,/45(12) = 0. Из системы (/45(xi))2 = в(/3о(xi))3 + 5/зо(xi)(/l2(xi))5, получим

„ 7 + 8>/Г5 _ 7 + ^л/15

р =--, ° = -;

99625166806274298995200 25429834044875520000

Если ввести обозначения = —/у. и /,,, =--'-/,,,, то справедливо

12 780 79270760

следующее равенство:

/42 = 5(7 + ел/15) 7з3 + 900(7 + 8л/15)730/25 + //. (4)

Таким образом, алгебра инвариантов группы О' = W(/з(5))ПSLз(C) порождается многочленами /6, /12, fз 0 и /45, для которых справедливо соотношение (4).

3. Группа W(L3) порядка 648 порождается отражениями третьего порядка относительно 12 плоскостей с уравнениями [5]

Xi = 0, Х1 + юХ + юкХ3 = 0, г,], к = 1, 2, 3. (5)

Базисные инварианты группы W(L3) имеют степени mi = 6, 9, 12 [1] и могут быть заданы следующим образом [5]:

/б = Е^ -10^х,3х 3, (6)

/9 = (х13 - х23)(х13 - хз3)(х23 - хз3), (7)

/12 = Ех" -1ЮЕх/х/ + 462^х6х,6. (8)

'< 1

Поскольку группа W(L3) содержит подгруппу скалярных умножений на 1, ю, ю2, то W(L3)-инвариантное множество . единичных нормальных векторов плоскостей (5) состоит из 72 векторов [5]:

±ю'е,, ±—г= (е + ю"'е2 + юе3). (9)

л/3

Существует одна орбита О группы Ж(Ь3) в множестве плоскостей (5) (5" = Значит, существует только один, с точностью до постоянного мно-

жителя, полуинвариант/О группы Ж(Ь3). Он имеет степень 12 и следующий вид:

fc = Гм = Z XjXk + 3Z XiX)Xk - 21 x1 X2 x34. (10)

j <k

Таким образом, любой полуинвариант группы Ж(Ь3) представим в виде / = (, где к = 0, 1, 2, /1 е Г(^.

Любой однородный инвариант группы О' = №(L3)ПSL3(C) является полуинвариантом группы №(¿3), и наоборот. Значит I0' = C[/¿,/9,/12,/'12]. При этом, так как (/'12)3 - инвариант группы №(£3), то (/ '12)3 = Р(/12)3 + 5(/9)4 + /6 ^ где Г е /^(1з) - полином степени 30; в, 5 - неопределенные коэффициенты. Для нахождения коэффициентов в и 5 возьмем вектор

х0 = е! + е2 + (1 + л/3)е3, (11)

удовлетворяющий условию /з^) = /9^0) = 0, и вектор

X =ее + (-е)е2 + ^12е3. (12)

Здесь, как и ранее, рассматривается арифметический корень 6-й степени из 12.

(Г (х ))3 1 1

Имеем (3 = ——2— =--,5 = -27. Если ввести обозначение =--

/^(х0) 91125 Л2 45 12

то справедливо следующее соотношение:

(/ '12)3 = (Л2)3 - 27(/9)4 + /6 Р. (13)

Итак, алгебра инвариантов группы О' = W(L3)ПSL3(C) порождается многочленами (6), (7), (8) и (10), для которых справедливо соотношение (13). Отметим, что аналогичный результат получен в [2].

4. Рассмотрим группу №(М3) порядка 1 296, которая порождается отражениями второго порядка относительно 9 плоскостей с уравнениями

х, - юкх, = 0, ,,у, к = 1, 2, 3 (, <у) (14)

и отражениями третьего порядка относительно 12 плоскостей (5).

Алгебра инвариантов М) группы №(М3) порождается многочленами степеней 6, 12, 18 [2]. В качестве базисных инвариантов можно взять многочлены (6), (8) [5] и многочлен

= £ х18 - 408^ х15х3 + 9282£ х12х6 - 24310£ х94 (15)

• <]

№(М3)-инвариантное множество 8 единичных нормальных векторов плоскостей (5) и (14) распадается на два №(М3)-инвариантных подмножества, состоящих соответственно из 54 векторов

(е-Юк е,), I = 1,2,3,

и 72 векторов (9).

Следовательно, существует две орбиты группы №(М3) в множестве плоскостей (5) и (14), а значит, и два полуинварианта/О группы №(М3) степеней 9 и 12.

С точностью до постоянного множителя они имеют вид (7) и (10). Поэтому любой полуинвариант группы W(M3) представим в виде:

f = (f 'utfTfl,

где k = 0, 1, 2, m = 0, 1, f e /W

Как и ранее, нетрудно убедиться, что любой однородный инвариант группы G' = W(M3)nSL3(C) является полуинвариантом группы W(M3), и наоборот. Следовательно, алгебра инвариантов группы G' = W(M3)flSL3(C) порождается многочленами (6), (7), (8), (10) и (15).

С помощью явных вычислений можно получить следующие соотношения:

18435(f))2 = 16f6)3 - 21ffi2 +5fi8 (16)

и

(f '12)3 = P(/18)2 + 5(b)3 + f6 F, где F e IW{M3 - полином степени 30, а в и 5, как и ранее, - неопределенные коэффициенты.

Для нахождения в и 5 возьмем вектор (11), удовлетворяющий условиям

3 1

/6(x0) = f18(x0) = 0, и вектор (12). Получим В =--и 5 =--. Следова-

1510441 91125

тельно, справедливо равенство

(/"'12)3 = -3(Л8)2 - (/i2)3 +f6F, (17)

гДе fn = ' fi« = 2229 '

Таким образом, алгебра инвариантов IG' = C[f6,f9, fn, f '12, f\8] при выполнении соотношений (16) и (17) для образующих.

Заключение

В статье, построены в явном виде образующие всех алгебр инвариантов групп G' = GflSL3(C), где G - конечная унитарная неприводимая примитивная группа, порожденная отражениями в унитарном пространстве U3, а также установлены соотношения между образующими.

Список источников

1. Shephard G.C., Todd J.A. Finite unitary reflection groups // Can. J. Math. 1954. V. 6 (2).

P. 274-304. doi: 10.4153/CJM-1954-028-3

2. Спрингер Т.А. Теория инвариантов. М. : Мир, 1981. 191 с.

3. Cohen A.M. Finite complex reflection groups // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 1976. Ser. 4.

V. 9. P. 379-436. doi: 10.24033/ASENS.1313

4. Рудницкий О.И. Канонические системы базисных инвариантов для унитарных групп

W(J3(m)), m = 4, 5 // Таврический вестник информатики и математики. 2018. № 1 (38). С. 89-96.

5. Рудницкий О.И. Канонические системы базисных инвариантов для групп симметрий

многогранников Гессе // Таврический вестник информатики и математики. 2017. № 3 (36). С. 73-78.

References

1. Shephard G.C., Todd J.A. (1954) Finite unitary reflection groups. Canadian Journal of Mathematics. 6(2). pp. 274-304. DOI: 10.4153/CJM-1954-028-3.

2. Springer T.A. (1977) Invariant Theory. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-

Verlag. DOI: 10.1007/BFb0095644.

3. Cohen A.M. (1976) Finite complex reflection groups. Annales Scientifiques de l'École

Normale Supérieure. Serie 4. 9. pp. 379-436. DOI: 10.24033/ASENS.1313.

4. Rudnitskii O.I. (2018) Kanonicheskiye sistemy bazisnykh invariantov dlya unitarnykh grupp

W(Ji(m)), m = 4, 5 [Canonical systems of basic invariants for unitary groups W(Ji(m)), m = 4, 5]. Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki - Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 38(1). pp. 89-96.

5. Rudnitskii O.I. (2017) Kanonicheskiye sistemy bazisnykh invariantov dlya grupp simmetriy

mnogogrannikov Gesse [Canonical systems of basic invariants for symmetry groups of Hessian polyhedrons]. Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki - Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 36(3). pp. 73-78.

Сведения об авторе:

Рудницкий Олег Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа Физико-технического института Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского, Симферополь, Россия. E-mail: [email protected]

Information about the author:

Rudnitskii Oleg I. (Candidate of Physics and Mathematics, associate professor, associate professor of the department of mathematical analysis of Physics and Technology Institute of V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, Russian Federation). E-mail: oirud58@gmail. com

Статья поступила в редакцию 26.01.2022; принята к публикации 03.02.2023

The article was submitted 26.01.2022; accepted for publication 03.02.2023