О БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТАХ ГРУППЫ СИММЕТРИЙ МНОГОГРАННИКА $\frac{1}{p}{\gamma}_{n}^{m}$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 514.7

MSC2010: 51F15, 14L24

О БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТАХ ГРУППЫ СИММЕТРИИ

МНОГОГРАННИКА 17тт

р 'п

© О. И. Рудницкий

Крымский ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО Физико-технический ИНСТИТУТ просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

е-ма1ь: о;1тис158@дтай.сот

On a basic invariants of the symmetry group of polyhedron pym Rudnitskii O. I.

Abstract. In a n-dimensional unitary space Un (n > 4) there are three series of regular polytopes: the regular simplex an, the generalized cross polytopes and the generalized n-cube y^. The generalized n-cube has mn vertices:

(dkl, ek2,..., ekn),

where k±,k2,... ,kn take any integral values and d is a primitive mth root of unity. For a certain divisor p of the number m the vertices of yT with

n

ki = 0 (mod p)

i=1

(there are qmn-1 of them if m = pq) determine a complex polytope p y™. The symmetry group of — yT is the imprimitive group G(m,p, n) generated by reflections. It is well known that the set of polynomials invariant with respect to G(m,p,n) forms an algebra generated by n algebraically independent homogeneous polynomials of degrees m, 2m,..., (n — 1)m, qn (a system of basic invariants of group G(m,p, n)).

In this paper, we study the properties of basic invariants of group G(m,p,n). It is given a

positive solution to the «vertex problem » for the polytope — ym if p and n is mutually prime.

1 „ ,m

jhe «vertex problem» for the polytope

Namely, polynomials

n

Vs = ^(0klx— + 6k2x2 + ■ ■ ■ + 0knxn)ms, ^ ki = 0 (mod p), s = 1,n — 1

ki i=1

are algebraically independent and are basic invariants of group G(m,p, n) if p and n is mutually prime.

Keywords: unitary space, reflection, basic invariant, algebra of invariants, complex polyhedron.

Введение

Зададим в п-мерном унитарном пространстве ип систему координат началом О

п

и ортонормированным базисом в' (г = 1, п); вектор X = ^ Х'в'. Отражением а поряд-

'¡=1

ка I в пространстве ип называется унитарное преобразование порядка I, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (плоскостью размерности п — 1). Эту плоскость называют гиперплоскостью отражения или симметрии. Обозначим через С конечную неприводимую группу, порождённую отражениями а относительно гиперплоскостей с общей точкой О. Классификация групп С впервые получена в работе [1].

Определим действие группы С в кольце Я = С[х1, ... ,хп] многочленов от п переменных над полем комплексных чисел с помощью равенства

а ■ / = а ■ /(X) = /(а-1Х), а е С, / (X) = /(хг) е Я.

Многочлен / е Я называется инвариантом группы С (С—инвариантом), если а ■ / = / для всех а е С. Известно, что множество всех С-инвариантных многочленов / е Я образует алгебру I°, порождённую п алгебраически независимыми однородными многочленами (базисными инвариантами) / степеней т', г = 1,п [1]. Отметим, что числа т' для заданной группы С определяются однозначно, а сами базисные инварианты нет.

Вершины правильного п—мерного многогранника Мп зададим векторами ОЙ, г = 1,р. Его группа симметрий С есть конечная группа, порождённая отражениями относительно гиперплоскостей с началом О [2].Тогда многочлены

уг°Пг = £ (х,-Йг (1)

принадлежат алгебре I°.

Естественно возникает вопрос: являются ли многочлены (1) базисными инвариантами группы или, другими словами, являются ли многочлены (1) алгебраически независимыми?

Впервые такая задача («проблема вершин») была сформулирована в работах Леопольда Флатто (см. [3-5]). Там же он дал ее положительное решение для групп С симметрий правильных вещественных многогранников, отличных от группы Вп симметрий п—куба 7п, и высказал предположение об алгебраической независимости многочленов (1) в случае С = Вп. Его подтвердил Хейслейн [6], а также другим методом В.Ф. Игнатенко [7].

В [8] автор решил указанную задачу для групп симметрий правильных комплекс' ных многогранников, при этом для решения задачи в случае группы С(т, 1, п) = Б, симметрий обобщенного п—куба ^Ц1 был использован метод работы [7].

Цель настоящей заметки: решить вопрос об алгебраической независимости мно

m n

гочленов (1) для группы С(т,р,п) симметрий комплексного многогранника Р^Пг если р и п взаимно простые.

1. Постановка задачи

Естественным обобщением вещественного п—мерного куба 7п на пространство ип является комплексный многогранник 7^ (т > 2), называемый обобщённым п—кубом (тП = 7п) [2]. Вершины 7т зададим следующими тп векторами

п

— = ^ вк ¿¡, (2)

'¡=1

где в— первообразный корень степени т из единицы, к' = 1,т, г = 1,тп.

Его группа симметрий Б^ = С(т, 1,п) имеет порядок тп ■ п! и порождается отражениями порядка т относительно гиперплоскостей с уравнениями [9]

X = 0 (3)

и отражениями второго порядка относительно гиперплоскостей

xi — Xj = 0 (i,j = 1,n, i < j). (4)

Числа m8 = m, 2m,..., (n — 1)m, nm [1].

Интерес к изучению геометрии обобщённого n—куба, его группы симметрий Bm и инвариантов обусловлен их различными применениями, например, в теории кодирования [10]. Обобщённый n—куб также является основой для построения «дробных Y многогранников» 17m с импримитивной группой симметрий G(m,p,n), где p — делитель m (m = pq) [11].

Вершины многогранника 1 Ym могут быть заданы qmn-1 векторами (2) при усло-

n _

вии £ hi = 0 (mod p) и r = 1,qmn-1 [11]. Его импримитивная группа симмет-

i=1

рий G(m,p,n) порождена отражениями порядков q и 2 относительно гиперплоскостей с уравнениями (3) и (4) соответственно [9]. Степени базисных инвариантов mi = m, 2m,..., (n — 1)m, qm [1].

Утверждение. Если G = G(m,p,n) есть группа симметрий многогранника pYm (n > 2), где n и p — взаимно простые, то многочлены (1) степеней

m,i = mt (t = 1,n — 1) алгебраически независимы, то есть являются базисными инвариантами группы G(m,p, n).

2. Доказательство утверждения

1. Первоначально рассмотрим случай р =1, то есть обобщённый и—куб ^П? (см., также [8]).

Так как степени ш^ = ш, 2ш,..., (и — 1)ш, ига, то формы (1) имеют вид

= К,*™ = XI + ■ ■ ■ + в"п Хп)вт, (5)

кг

где в = 1,и и суммирование производится по всем наборам к (их шп).

Доказательство алгебраической независимости форм (5) проведем индукцией по размерности и.

Если и = 2, то, очевидно, формы

н,™ = шп«+хт) ^2,2т = шп (х?т + от^т+хт)

алгебраически независимы в случае, когда ш > 2 и, таким образом, порождают алгебру IВт.

Будем считать, что формы (5) независимы в пространстве ик (к < и). Докажем их независимость в случае к = и. Рассмотрим линейную функцию

п— 1

П = ^ ак Хк, ак е {1, 0,..., 1}. к=1

Тогда

Y, nml = Vn-x,mZ, l = 1^, (6)

ak

где суммирование по всем mn-1 значениям ak.

Запишем формы (5) в следующем виде:

Vn,ms = ]T(0kl xi + ••• + °kn х^)™' = + xn)ms + (П + öxn)me + ••• + (П + öm-1xn)ms]

ki «k

= m££c:m{s-t)Vm(s-t)xr:t = m£cm(s-t) (^nm(s-t)) xm4.

ak t=0 t=0 \ ak J

Используя соотношение (6) для I = в — £ (£ < в), мы окончательно получим рекуррентное соотношение:

в

К

4)К-1,т(в-4)Хп , К-1,0 = 1- (7)

4=0

Будем считать, что формы (в = 1,п) алгебраически зависимы в ип. Тогда

существует многочлен ^("X), тождественно не равный нулю, такой что:

F(К,тв) = 0, в = 1,п. (8)

Так как многочлен от (в < п), следовательно, если поло-

жить хп = с = 0 в (8), то из (7) получим алгебраическую зависимость между ^п-1,т« (в = 1,п — 1), что невозможно по допущению индукции.

Таким образом, формы (5) алгебраически независимы и порождают алгебру Iвт .

2. Пусть р =1, а числа р и п взаимно простые. Тогда множество Б, всех векторов (2), можно представить в виде объединения р множеств , векторы которых

удовлетворяют условию k = j (mod p), j = 0,p — 1 (множество S0, как и любое

i=0

из Sj, очевидно определяет вершины многогранника p7^)- Так как p и n взаимно простые, уравнение nt = j (mod p) имеет решение для всех j = 0,p — 1 (см. [12], Теорема 131, стр. 113), то всегда можно подобрать такое значение t, что множество Sj состоит из векторов множества S0, умноженного на Пусть

KGim'p'n) = = ^(ek1 xi +... + ekn xn)ms, ki

n

суммирование проводится по всем fcj, удовлетворяющим условию k = 0 (mod p).

i=0

Тогда,

^rijSm pVn,sm

или

p

Следовательно, алгебраическая независимость Vn,sm вытекает из алгебраической независимости Vn,sm, доказанной в пункте 1.

Таким образом, многочлены вида (1) для G = G(m,p, n), где n и p - взаимно простые, являются алгебраически независимы, и, следовательно, являются базисными инвариантами группы симметрий комплексного многогранника 17^.

Заключение

В работе дано положительное решение «проблемы вершин» для комплексного многогранника 1 ^Пг, если и и р - взаимно простые.

список литературы

1. SHEPHARD, G. C. Finite unitary reflection groups / G. C. Shephard, J. A. Todd // Can. J. Math. - 1954. - Vol. 6. - № 2. - P. 274-304.

2. COXETER, H. S. M. Regular complex polytopes. - London Cambridge Univ. Press, 1974. - 185 p.

3. FLATTO, L. Functions with a mean value property // Amer. J. Math. - 1963. -V. 85. - № 2. - P. 248-270.

4. FLATTO, L. Basis sets of invariants for finite reflection groups // Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - V. 74. - № 4. - P. 730-734.

5. FLATTO, L. Regular polytopes and harmonic polynomials // Canad. J. Math. -1970. - V. 22. - P. 7-21.

6. HAEUSLEIN, G. K. On the algebraic independence of symmetric functions // Proc. Am. Math. Soc. - 1970. - V. 25. - № 1. - P. 179-182.

7. Игнатенко, В. Ф. Об одной системе базисных инвариантов группы Bn //Укр. геом. сб. - 1986. - № 29. - P. 54-55.

IGNATENKO, V. F. (1986) A system of basic invariants of the group Bn // Ukr. Geometr. Sb. - 1986. - № 29. - P. 54-55.

8. RUDNITSKII, O. I. On invariants of symmetry groups of regular polytopes //Journal of Mathematical Sciences - 1998. - V. 90. - № 6. - P. 2505-2508.

9. Рудницкий, О. И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве // Дис^ на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. - Минск, 1990. - 115 с.

RUDNITSKII, O. I. (1990) Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space. The thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences. Minsk.

10. CONWAY, J. H. The Coxeter-Todd lattice, the Mitchell group and related sphere packings / J. H. CONWAY, N. J. A. SLOANE // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. -1983. - Vol.93. - № 3. - P. 421-440.

11. SHEPHARD, G. C. Unitary groups generated by reflections // Canad. J. Math. -1953. - V. 5. - P. 364-383.

12. Бухштаб, А. А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с. BUHSHTAB, A. A. (1966) Theory of number. - Moscow: Prosveschenie, 1966. - 384 p.