CC BY
24
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 3-1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1
УДК 534 DOI 10.23683/0321-3005-2017-3-1-14-20
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЯ СДВИГА ДВУСЛОЙНОЙ СРЕДЫ*
© 2017г. А.О. Ватульян12, В.В. Дударев12
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия
ON ONE METHOD OF DETERMINING THE SHEAR MODULUS OF A TWO-LAYER MEDIUM
A.O. Vatulyan12, V.V. Dudarev 12
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia
Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; заведующий отделом дифференциальных уравнений, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]
Дударев Владимир Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; старший научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]
Alexander O. Vatulyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Head of the Department of Differential Equations, Southern Mathematical Institute -Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: [email protected]
Vladimir V. Dudarev - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Senior Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: e-mail: [email protected]
Рассмотрена задача об установившихся антиплоских колебаниях неоднородного упругого слоя с жестко закрепленным основанием. Модуль сдвига является переменным по толщине. В качестве конкретного случая рассмотрен двусоставной слой. После преобразования Фурье по продольной координате решение прямой обезразмеренной задачи относительно трансформанты компоненты вектора смещения получено в аналитическом виде. Сформулировано трансцендентное уравнение для отыскания резонансных значений безразмерного параметра, пропорционального частоте колебаний. На основе численного решения этого уравнения построены графики изменения первых трех резонансных значений безразмерных частот для различных значений модуля сдвига и толщины слоев. Рассмотрена новая обратная задача об определении величины модуля сдвига составного слоя по данныгм об амплитудно-частотной характеристике, измеренной в конечном наборе точек. Предложено разложение функции трансформанты смещения по степеням безразмерной частоты колебаний в диапазоне до первого резонанса. На основе этого представления решение сформулированной обратной задачи об определении значений модуля сдвига двусоставного слоя сведено к численному исследованию системы двух алгебраических уравнений. Описаны особенности структуры этой системы. Проведены численные эксперименты по восстановлению неизвестных величин при разном количестве удерживаемых слагаемых в разложении и значений амплитудно-частотной характеристики. Дана оценка точности реконструкции при различном уровне погрешности входных данных.
Ключевые слова: антиплоские колебания, двуслойная среда, упругий слой, модуль сдвига, обратная задача, идентификация.
* Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект МК-3179.2017.1) и программы фундаментальных исследований по стратегическим направлениям развития науки Президиума РАН № 1 «Фундаментальные проблемы математического моделирования» (114072870112), «Математическое моделирование неоднородных и многофазных структур».
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 3-1
The problem of steady-state antiplane vibrations of an inhomogeneous elastic layer with a rigidly fixed foundation is presented in the present paper. The shear modulus is considered to be variable in thickness. As a specific case, a two-component layer is regarded. After applying the Fourier transform with respect to the longitudinal coordinate, the solution of the direct dimensionless problem for the transformant of the displacement vector component has been obtained analytically. A transcendental equation for finding the resonant values of the dimensionless parameter proportional to the oscillations frequency is formulated. On the basis of the numerical solution of this equation, the graphs of the first three resonant values of the di-mensionless frequencies for different values of the shear modulus and the layers thickness are plotted. We consider a new inverse problem on determining the value of the shear modulus of a composite layer from the amplitude-frequency characteristic data that are measured in a finite set of points. The expansion of the displacement transform function by the powers of the dimensionless oscillation frequency in the range below the first resonance is proposed. On the basis of this representation, the solution of the formulated inverse problem on determining the values of the shear modulus of the two-component layer has been reduced to the numerical investigation of a system of two algebraic equations. The features of the structure of this system are described. The numerical experiments on a restoration of the unknown quantities for different numbers of the components kept in the expansion and for different values of the amplitude-frequency characteristic have been carried out. The reconstruction accuracy is estimated at different levels of the input data error.
Keywords: antiplane vibrations, bilayer medium, elastic layer, shear modulus, inverse problem, identification.
Введение
На сегодняшний день одними из наиболее перспективных материалов, обладающих разнообразным сочетанием механических свойств, являются слоистые композиты и функционально--градиентные материалы (ФГМ). К широко распространенным композитным материалам можно отнести железобетон, сэндвич-панели, углеродное волокно, углепластик фибробетон, асбестоцемент и др. [1]. Несмотря на то что композиты имеют множество преимуществ по сравнению с однородными структурами, у них есть и ряд недостатков, которые существенно сужают область их применения [2]. Среди них можно выделить высокую вероятность появления трещин и отслоений в результате действия эксплуатационных нагрузок и больших перепадов температур, а также низкую ремонтопригодность [3]. В свою очередь, современные технологии создания ФГМ позволяют получать изделия с еще более разнообразными законами изменения механических свойств по объему и существенно более низким риском возникновения концентраторов напряжений [4]. Благодаря этим преимуществам такие материалы находят применение при решении сложных прикладных задач современной механики [5].
Важным аспектом создания ФГМ и композитов являются контроль качества и аттестация готового изделия по заданным критериям и нормам. Среди них наибольшее значение имеет проверка на соответствие полученных и требуемых законов изменения моделируемых свойств. Подобные проблемы можно отнести к обратным задачам механики деформируемого твердого тела. В настоящее время среди таких задач выделяют класс обратных коэффициентных задач, которые получили широкое применение и теоретическое развитие [6]. Следует отметить, что задачи об определении механических
параметров объекта особенно важны в авиа- и судостроении, строительной промышленности и биомеханике. В силу этого современное исследование задач идентификации неоднородных свойств слоистых композитов и ФГМ является важной практической проблемой. На первоначальном этапе основное внимание при решении этих задач уделяется исследованию моделей, учитывающих неоднородность свойств рассматриваемого объекта в определенной ориентации.
Точное определение характеристик слоистых материалов позволяет моделировать реальное поведение объектов с существенно неоднородными свойствами и тем самым расширяет возможности создания новых более перспективных и совершенных конструкций. Проблемы идентификации свойств неоднородных слоистых сред являются в общем случае нелинейными и некорректными и требуют развития новых подходов для их решения [7, 8]. На сегодняшний день уже разработаны базовые подходы к решению подобных задач, основанные на построении итерационных алгоритмов и соответствующих вычислительных схем и комплексов программ.
В настоящей работе представлены прямая и обратная задачи об определении значений упругого модуля сдвига двусоставного по толщине слоя в рамках метода акустического зондирования.
Прямая задача для слоя
Общая постановка прямой задачи об определении поля смещений и^, полей деформаций и напряжений в декартовой системе координат для тела с поверхностью ^ = Би Sa, находящегося в режиме установившихся колебаний, имеет вид [9] ст + ра>2и = 0, ст = Ш5 + 2ие ,
П,1 ' I ' П П Гц*
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 3-1
е.. = — (и. .+ и. ),
у 2 ',J J i
U'\sU = Ук = Р>, ', J = L3,
(1) (2)
где ст - компоненты тензора напряжений Коши; р - плотность материала; со - частота установившихся колебаний; Л, и - параметры Ляме; я. -компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности S; е - компоненты тензора деформаций; в = еи + е22 + е33 - след тензора деформаций.
Используя постановку (1), (2), рассмотрим установившиеся антиплоские колебания упругого изотропного слоя толщиной И. Нижняя грань слоя жестко защемлена, на верхней границе приложена сосредоточенная периодическая нагрузка с амплитудой р . Будем считать, что модуль сдвига и является функцией, изменяющейся по толщине слоя. С учетом выбранной ориентации системы координат ненулевой компонентой вектора смещения является компонента щ = и^ х15 Х3). Тогда постановка задачи для слоя примет вид
^1,22+(^и13),3 +рСи1 = 0, и1( x2,°)=0,
М( Хз)ии( Х2, Хз^ h= pS( Х2).
(3)
Из (3) видно, что уравнение колебаний есть дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами относительно компоненты щ. Для исследования рассматриваемой задачи применим интегральное преобразование Фурье по продольной координате :
-а2и( х3 )~1 (а, х3 )+(и( х3 )м/(а, х3))'+рю2^ (а, х3 )=0, ~1(а,0) = 0,
и(И)~1'(а,И)=р, (4)
здесь и1(а, х3) - трансформанта, штрихом обозначена производная по координате Х3. Для простоты дальнейшего анализа решения положим в задаче (4) а = 0, что соответствует осреднению по координате х2 :
(и( Х)~/(Х ))'+ро2~1( Х )=0,
«1(0)= 0, (5)
и(И)и'(И)=р.
Далее введем безразмерные параметры и функции: и1(Х3) = Ии(#) , и(х3 ) = М0 ё(#),
9 9 9 *
# = х3 / И е [0,1], к = И рю / и0 , р = р / и0 .
*
Учитывая линейность задачи, положим р = 1,
тогда постановка (5) примет вид, аналогичный задаче для стержня
'(ё (#)и'(#))'+к2и(#)=0,
' и(0) = 0, (6)
ё (1)и' (1)=1.
В общем случае неоднородности модуля сдвига по координате х3 прямая задача об определении функции и(#) (6) может быть решена численно, например, путем сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода и последующего применения метода коллокаций [6, 10], либо после перехода к системе двух дифференциальных уравнений 1-го порядка с помощью метода стрельбы [10]. Полученные численные решения показали существенное влияние вида и структуры закона ё(#) на изменение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и(1, к) в окрестности значений параметра к, пропорциональных первым трем резонансным частотам.
В случае двусоставного слоя (рис. 1), т.е. когда слой состоит из двух однородных частей с точкой раздела #0, отличающихся значениями параметра и , ё(#) может быть представлена в виде кусочно-постоянной функции:
[ё1,#е [0,&), (ё2,#е [#0,1], где ё1 - обезразмеренный модуль сдвига нижней части, ё2 - верхней.
g (£) = •
(7)
S ft ь )
' ft
Рис. 1. Двусоставной слой / Fig. 1. Two-part layer
В этом случае решение прямой задачи может быть представлено в аналитическом виде
[Csm£# + DcosA£#e[°,#°), и(д) = 1 (8)
[A sm ß2% + B cos^2#,#e[#°,1], () где ß = к/Jg ; ß2 = к/д/gj ; A, b, C, d - постоянные, которые определяются из решения системы алгебраических уравнений, построенной по двум граничным условиям из (6) и двум условиям непрерывности функции смещения и напряжений в точке £ = :
cos(ß2#°)cos(ßi#°)+sm(ß2#°)sin(ßi#°)
g2ß2^ ,
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 3-1
B = —
4k
g ißl A
C = --
, D = 0,
g2ß2A
A = —4k cosßo)cos(ß2(4 — 1)) +
+ sm(ßi#o)sm(ß2(1 — £,)),
(9)
где к = g1 / g2. Отметим, что формулы (9) могут быть использованы для отыскания резонансных значений параметра к из уравнения
А(к) = 0.
(10)
На рис. 2 приведен график зависимости 1-го резонансного значения параметра к от значений параметров и к.
Рис. 2. График изменения первого резонансного значения К / Fig. 2. Graph of the first resonance value К
Аналогичный график построен для 2-го резонансного значения к (рис. 3). Отметим, что здесь есть диапазон изменения параметров к), которые несущественно влияют на изменение значения второй резонансной частоты (пологий участок на поверхности). Для графика, соответствующего 3-му резонансному значению К, выявлено уже два таких диапазона (рис. 4).
Таким образом, из приведенных графиков можно сделать вывод, что, зная значение параметра к, соответствующего только одной резонансной частоте, однозначно определить значения параметров , gi и g2 нельзя, так как одному значению параметра к соответствует множество сочетаний параметров ^, gi и g2. Из-за выявленных осо-
бенностей реконструкцию этих параметров рекомендуется проводить в частотном диапазоне до 1-го резонанса.
Рис. 3. График изменения второго резонансного значения К / Fig. 3. Graph of the second resonance value К
Рис. 4. График изменения третьего резонансного значения к / Fig. 4. Graph of the third resonance value к
Обратная задача
Рассмотрим обратную задачу для двусоставного слоя о восстановлении значений параметров £0 , gi и g 2 по дополнительным данным о 3 первых резонансных значениях параметра к (к1,к2,кз) . В рамках этой постановки решение может быть получено на основе частотного уравнения (10), которое рас-
1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 3-1
(11)
сматривается как уравнение относительно искомых параметров при фиксированном значении к. Таким образом, имеем систему из трех трансцендентных уравнений
Aj =-4k cos(^11#o)cos(^21(#o -1)) +
+ sm(^11#o)sin(^21(1 -#0)) = 0,
A2 =-4k cos(^12#o)cos(^22(io - 1)) + + sin(^12#o)sin(^22(1 -4o)) = 0,
A3 =-4k cos(^13^0 ) cos(^23 (#o -1)) + + sin(^13#o)sin(^23(1 -4o)) = 0,
где Pu =Ki tjgi, p =Ki ¡Jsi, i =1---3. В табл. 1
приведён пример решения этой системы при точных входных данных о значениях Ki.
Таблица 1
Пример реконструкции значений параметров #0 , g1, g 2 / Example of reconstruction of parameters #0 , £1 and g2
Рассмотрим другую постановку обратной задачи, в которой в качестве дополнительной информации считается известным значение АЧХ ы(\,к) в
конечном наборе точек к, расположенных до первого резонанса
V (4) = -к2и(а и\4) = 0(4)5(4),
и(0) = 0, 5(1) = 1,
(12)
и(1,к) = f (к) , к е [к ,к+],
ч - ], (13)
где для удобства введена новая функция 0(4) = 1/ ё(4) . Решение сформулированной задачи осуществим с использованием метода разложения по степеням у = к функций и(4,к) и 5(4,^), справедливого до первого резонанса: да
и(4к) = s УJUj (4),
j = о
да
s(4,K) = s УSj(4).
J = о
(14)
да
да
s Уsj=-y s УUj,
j=о J j =о
дада
s Уj u'j = G s УjSj,
j =о j =о
s У u j (о) = о,
j = о
да
s У s.. (1) = 1.
(15)
j = 0
Сформулируем задачи при одинаковых степенях у и их решения:
j = о,
к Точные Восстановленные
к =1,01666 4о =0,5 4о =0,499
к2 =2,68937 g1 =0,5 g1 =0,5
к3 =4,62239 g 2 =0,25 g 2 =0,249
j = 1,
s'о = о, ио = Gsо,
ио(о) = о, /о(1) = 1,
s1 = -ио, u1 = Gs1, и1(о) = о, S1(1) = о,
*о(4) = 1, 4
ио(4) = J G(4)d4, о
1
S1 (4) = J4(4^4, 4 4
и1(4) = J G(4)s1(4)d4, о
j = п ,
sn = и п—1, и'п = Gsn,
ип (о) = о,
Sn (1) = о,
1
Подставив эти представления в (12), получим
5п (4) = 1 ип-1(4¥4, 4 4
ип (4) = | о (4)5п (4)<4 о
Отметим, что, начиная с у = 1, все задачи однотипны, а решение каждой последующей может быть получено из решения предыдущей. Таким образом, с помощью предложенного разложения можно аппроксимировать функцию и(4,к) до первого резонанса, оставляя в (14) конечное число п слагаемых. Проведенные численные сравнения АЧХ и(1,^), соответствующей аналитическому решению (8), и АЧХ, полученной на основе представления (14), показали, что точность такой аппроксимации существенно снижается с приближением к резонансу, а в окрестности нуля зависит от конкретных значений параметров 4о , , ё2 и количества п удерживаемых слагаемых.
Перейдем к решению рассматриваемой обратной задачи по известной дополнительной информации об АЧХ, считая известной точку раздела 4о . Для этого на основе приближения функции АЧХ
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 3-1
разложением вида (14) с п слагаемыми составим два уравнения, соответствующих двум фиксированным значениям параметра к из диапазона, расположенного до первого резонанса.
"(K = X K" (1) * f (Ki), j = 0
(16)
= Gi#o + (1 — #o)G + K
2
—2 #0 + 1pG2 +
Таблица 3
Реконструкция параметров G, G при ¿;0 = 0,6 / Reconstruction of parameters G > G when = 0,6
"(1,к2) = X к2■и (1) * /(к2).
] = 0
Представленные уравнения являются алгебраическими относительно искомых параметров О^ = 1/ gl и О2 = 1/ g 2. Для наглядности выпишем в качестве примера вид первого уравнения этой системы при различном количестве удерживаемых слагаемых в разложении:
и(1,к) = ио(1) = О^о + (1 -#о)О2 при п = 0,
и(1, к) = ио (1) + к щ (1) =
((
Точные значения Восстановленные значения
п=3 д, % п=5 д, %
G1 3 3,67154 22,1 3,15203 5,06
G 2 7 5,82784 16,7 7,38764 5,53
+ GiG2^0(1 -£0)2 +1(1 -^0)3 G22 J при n = 1.
Отметим следующие особенности структуры компонент un (1, к) : U0 (1, к) - линейная форма относительно G, G с коэффициентами, линейно зависящими от ; щ (1, к) - квадратичная форма относительно G , G с коэффициентами в виде полиномов третьей степени от .
В табл. 2 приведены примеры реконструкции параметров G , G при заданной АЧХ в двух точках: f (0,02) = 2,60234 , f (0,04) = 2,60438 и разном количестве удерживаемых слагаемых в (16) с указанием относительной погрешности 5. В таблице 3 приведены также примеры реконструкции других значений G , G и параметра при заданной АЧХ f (0,3) = 5,11747 , f (0,5) = 6,50664 .
Таблица 2
Реконструкция параметров G > G при = 0,7 / Reconstruction of parameters G > G when = 0,7
Точные значения Восстановленные значения
п=2 д, % п=3 д, %
G1 2 2,00443 0,2 2,00108 0,05
G2 4 3,99520 0,1 4,00302 0,08
Проведенный анализ результатов численных экспериментов по реконструкции О > О показал, что предложенный подход наиболее эффективен при малых значениях параметра к и при удержании трех и более слагаемых в разложении (14). Единственность решения нелинейной системы (16) обеспечивается условиями положительности и ограниченности параметров О > О . Следует отметить существенное влияние уровня погрешности входных данных АЧХ на точность реконструкции. Например, уровень погрешности более 2 % может привести к ситуации, когда система (16) становится несовместной.
Заключение
Рассмотрена прямая задача об определении трансформанты компоненты поперечного смещения двусоставного слоя, жестко закрепленного у основания. На основе полученного безразмерного аналитического решения построены графики изменения первых трех резонансных значений параметра к для различных значений модуля сдвига и толщины слоев. Отмечены особенности построенных поверхностей значений параметра к . Сформулирована обратная задача об определении величины модуля сдвига двусоставного слоя по данным об АЧХ, измеренной в двух точках. На основе разложения (14) с сохранением п слагаемых решение задачи сведено к анализу алгебраической системы двух уравнений относительно двух неизвестных параметров О > О , характеризующих модуль сдвига составных частей слоя. Описаны особенности структуры разложения в зависимости от величины п . Проведены численные эксперименты по реконструкции О и О при различных значениях п и АЧХ, измеренной до первого резонанса. Дана оценка точности полученных результатов и влияния погрешности входных данных на результат реконструкции.
n
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1
Литература
1. Аверченко Г.А., Квитко А.В. Композитный материал - нераскрытый материал индустриализации // Современная наука: актуальные проблемы и пути их решения. 2015. № 2 (15). С. 30-32.
2. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М. : Мир, 1982. 334 с.
3. Гуменюк Н.С., Грушин С.С. Применение композитных материалов в судостроении // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 8-1. С. 116-117.
4. Селяев В.П., Низина Т.А. Разработка и применение функционально-градиентных покрытий для усиления и защиты железобетонных конструкций // Вестн. Томского гос. архитектурно-строительного унта. 2008. № 3. С. 143-148.
5. Степаненко Д.А., Минченя В.Т. Методика расчета и возможные применения функционально -градиентных ультразвуковых волноводов // Механика машин, механизмов и материалов. 2013. № 2 (23). С. 19-23.
6. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М. : Физматлит, 2007. 224 с.
7. Ватульян А.О., Явруян О.В., Богачев И.В. Идентификация упругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Акуст. журн. 2011. Т. 57, № 6. С. 723-730.
8. Ватульян А.О., Явруян О.В., Богачев И.В. Идентификация неоднородных свойств ортотропного упругого слоя // Акуст. журн. 2013. Т. 59, № 6. С. 752758.
9. Лурье А.И. Теория упругости. М. : Наука, 1970. 940 с.
10. Калиткин Н.Н. Численные методы. СПб. : БХВ-Петербург, 2011. 592 с.
References
1. Averchenko G.A., Kvitko A.V. Kompozitnyi material - neraskrytyi material industrializatsii [Composite
Поступила в редакцию /Received_
material - undisclosed material of industrialization]. Sov-remennaya nauka: aktual'nye problemy i puti ikh resheni-ya. 2015, No. 2 (15), pp. 30-32.
2. Kristensen R. Vvedenie v mekhaniku kompozitov [Introduction to composite mechanics]. Moscow: Mir, 1982, 334 p.
3. Gumenyuk N.S., Grushin S.S. Primenenie kompozitnykh materialov v sudostroenii [Application of composite materials in shipbuilding]. Sovremennye nau-koemkie tekhnologii. 2013, No. 8-1, pp. 116-117.
4. Selyaev V.P., Nizina T.A. Razrabotka i primenenie funktsional'no-gradientnykh pokrytii dlya usileniya i zashchity zhelezobetonnykh konstruktsii [Development and application of functional gradient coatings for reinforcement and protection of reinforced concrete structures]. Vestn. Tomskogo gos. arkhitekturno-stroitel'nogo un-ta. 2008, No. 3, pp. 143-148.
5. Stepanenko D.A., Minchenya V.T. Metodika rascheta i vozmozhnye primeneniya funktsional'no-gradientnykh ul'trazvukovykh volnovodov [Calculation technique and possible applications of functionally gradient ultrasonic waveguides]. Mekhanika mashin, mekhan-izmov i materialov. 2013, No. 2 (23), pp. 19-23.
6. Vatul'yan A.O. Obratnye zadachi v mekhanike de-formiruemogo tverdogo tela [Inverse problems in the mechanics of a deformable solid]. Moscow: Fizmatlit, 2007, 224 p.
7. Vatul'yan A.O., Yavruyan O.V., Bogachev I.V. Identifikatsiya uprugikh kharakteristik neodnorodnogo po tolshchine sloya [Identification of the elastic characteristics of a layer inhomogeneous in thickness]. Akust. zhurn. 2011, vol. 57, No. 6, pp. 723-730.
8. Vatul'yan A.O., Yavruyan O.V., Bogachev I.V. Identifikatsiya neodnorodnykh svoistv ortotropnogo up-rugogo sloya [Identification of the inhomogeneous properties of an orthotopic elastic layer]. Akust. zhurn. 2013, vol. 59, No. 6, pp. 752-758.
9. Lur'e A.I. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow: Nauka, 1970, 940 p.
10. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. Saint Petersburg: BKhV-Peterburg, 2011, 592 p.
_18 апреля 2017 г. /April 18, 2017
