Определение неоднородной поляризации пьезокерамического стержня по данным акустического зондирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ ПО ДАННЫМ АКУСТИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ

© 2013 г. А.О. Ватульян, А.А. Половодова

Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; заведующий отделом дифференциальных уравнений, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru.

Vatulyan Aleksandr Ovanesovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of the Elasticity Theory, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090; Head of Differential Equation Division, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027, e-mail:

vatulyan@math.sfedu. ru.

Половодова Алина Александровна - магистр, кафедра теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: polovodova@yandex.ru.

Polovodova Alina Alexandrovna - Master Student, Department of the Elasticity Theory, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: polovodova@yandex. ru.

Рассмотрены прямая и обратная краевые задачи о колебаниях пьезокерамического стержня при неоднородной продольной поляризации, которая моделируется зависимостью пьезомодуля от продольной координаты. Торцы стержня свободны от напряжений и элек-тродированы; к электродам подведена осциллирующая с фиксированной частотой разность потенциалов, вызывающая колебания стержня. На основе краевой задачи для дифференциального оператора с переменными коэффициентами сформулировано операторное уравнение Фредгольма второго рода в прямой задаче, которое решается численно на основе метода коллокаций. Получены представления амплитудно-частотных характеристик относительного смещения торцов и функции тока. Обратная задача о реконструкции функции, характеризующей степень неоднородности поляризации, рассмотрена в двух постановках. В первой задано поле смещений внутри стержня. Для ее решения достаточно исследовать квадратичную функцию, коэффициенты которой находятся численным дифференцированием заданного поля. Во второй решение обратной задачи ищется по дополнительной информации об амплитудно-частотной функции тока. При решении нелинейной обратной задачи использован метод построения итерационного процесса, основанный на процедуре линеаризации. Сформулировано операторное уравнение Фредгольма первого рода для каждого шага итерационного процесса. При численном решении использован метод регуляризации А.Н. Тихонова. Представлены результаты вычислительных экспериментов для различных типов неоднородностей.

Ключевые слова: реконструкция, пьезомодуль, обратные задачи.

In the present paper we consider direct and inverse boundary problems on the vibration of piezoceramic beam under inhomogeneous longitudinal polarization which is modeled by a dependency of the piezomodule on the longitudinal coordinate. The ends of the beam with the short-circuited face electrodes are free of stress; a potential difference oscillating at fixed frequency is placed to the electrodes and sets in vibration. On the basis of the boundary problem for a differential operator with variable coefficients, the Fredholm integral equation of the second kind is formulated in the direct problem which is solved numerically by means of collocation method. The representations of frequency response functions are obtained with respect to the ends displacements and stream function. Two statements of the inverse problem on the reconstruction of the function characterizing the degree of polarization inhomogeneity are considered. In the first one, the displacement field is given inside the beam. To solve such problem, it is enough to investigate the quadratic function which coefficients are found using numerical differentiating of the given field. In the second statement the solution of the inverse problem is searched by means of an additional data on the frequency-response stream function. To solve the nonlinear inverse problem, the method of iterative process was employed which is based on the linearization procedure. The Fredholm operator equation of the first kind is described at every step of the iterative process. The Tikhonov regularization technique was used to solve it numerically. The results of the computational experiments are presented for various inhomogeneity types.

Keywords: reconstruction, piezomodule, inverse problems.

Применение в практике устройств, в основе работы которых лежит пьезоэффект, определяет интерес к описанию свойств пьезоматериалов. Работа некоторых пьезоэлементов основана на изменении поляризации пьезокерамики под действием механической нагрузки, электрического поля и температуры. Одной из важных задач в этой области является проблема определения закона изменения пьезохарактеристик в зависимости от координат, возникающая либо на эта-

пе изготовления для обеспечения некоторых функциональных свойств пьезоэлемента, либо при нагревании выше точки Кюри. Отметим, что упругие характеристики в этой ситуации меняются незначительно, а значение пьезомодуля может падать до нуля в области располяризации. Таким образом, наиболее простыми обратными задачами в этой области являются одномерные коэффициентные обратные задачи [1] об определении пьезомодулей (х1) и (х3)

при задании амплитудного значения тока как функции частоты колебаний [2, 3].

В настоящей работе в рамках стационарной постановки рассматривается задача об определении пьезо-модуля д33 (х3) при продольной поляризации стержня на основе анализа амплитудно-частотной характеристики тока (АХЧ).

Постановка и решение прямой задачи

Рассмотрим колебания пьезокерамического стержня, ориентированного вдоль оси Охг. Будем считать,

что его длина 21 много больше его толщины и ширины и из компонент тензора напряжений отлична от нуля лишь компонента ст33, а пьезомодуль д33 есть некоторая кусочно-непрерывная положительная (неотрицательная) функция продольной координаты х3. При этом также предполагаем, что изменением упругого модуля и диэлектрической проницаемости можно пренебречь (далее будем их считать постоянными). В этом случае уравнения состояния [4] имеют вид

Подставим найденное выражение для функции < во 2-е уравнение системы (1) и проинтегрируем:

К x) = J

% d\ß)

e(ß)dß — JCd(ß)dß + C2.

Определим функцию напряжения, используя граничные условия и выражение для функции переме-

щении:

e( х) =JJ

—i—i

s —

d 2(ß)

a(ß)dßde—

— J ^ J [Fo —y '¡d (a)a(a)dajdß + C2 Jdö,

f i в i i в _(ß) А

C J J d (ß)dßde--J J-ß dßde

—i—i P—i—ic0(ß)

где C2 =

c02( x)

= P

d 2( х)Л

u'( x) = se( x) — d (x) ——

dx

D( x) = d (x)e(x) — э

——

dx

Для дальнейшего исследования и анализа интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода осуществим обезразмеривание представленной задачи путем введения безразмерной координаты у е [0,1]:

где 5 = 5зз- упругая подат- х = 1(2у -1) е [—1,1], обозначений и переменных:

q( y) =

ливость; э = э33 - диэлектрическая проницаемость; д = д33 - пьезомодуль; а = сг33 - компонента тензора напряжений; и = и3 - смещения стержня вдоль оси х = х3; < - электрический потенциал; Б=Б3 - компонента вектора электрической индукции.

В рамках установившегося режима колебаний общие уравнения движения запишем в виде системы дифференциальных уравнений

d (i (2 y — 1)) d (—i)

Y (y, Q) =

se(i(2 y — 1),®) Cd(—i)

e'+pc 2u = 0 U = se — d—

D( x) = d (x)e( x) — э —— .

dx

D ' = 0

(1)

Будем считать, что торцы стержня свободны от нагрузок, электродированы и возбуждение осуществляется путем подведения к электродам разности потенциалов 2У0. Соответствующие граничные условия представимы в форме

а(±) = 0, <(±) = ±Уо. (2)

В силу зависимости пьезомодуля от координаты х аналитические способы построения решения краевой задачи (1), (2) невозможны для произвольных законов изменения, поэтому для решения прямой задачи сведем эту задачу к интегральному уравнению Фред-гольма 2-го рода. Для этого сначала найдем производную электрического потенциала < и исключим ее из дальнейшего рассмотрения; произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных условий (2). Используя введенные обозначения, найдем выражение для электрической индукции Б в виде

Б = да — /^ + С1 = —Сэ, С = 1 ^ —1 |д(а)а(а)да!. (3)

У(у, Д) = и(1(2У — 1),^) , к1 = д_(~И , Д2 = 4р12^25 .

1Сд(—1) эs

Тогда исследуемая краевая задача с учетом (3) представима в форме

1 ,

У = —1ДV 2

IV ' = (1 — ко2?2)У — д , (4)

V (0, Д) = У (1, Д) = о

а перемещения и напряжения имеют вид

v(у, Д) = 2| | [(1 — ко2д \4))У(4, Д) — д(#)№ — (5)

— J J [(1 — k 02 q 2 (i))Y (#, Q) — q(#)№da

Y(y,Q) = —Q2JK(y,£)[( — k2q2 (£)]y(£,Q) — q(£)]d£ , (6)

причем

K (vi) = i( y—1)i y >£ K(y,i) ly(#—1),i>y.

!—1),£>.

Есть две возможности дальнейших преобразований задачи (4). Первая состоит в составлении уравнения относительно У

Y " =—Q 2 ((1 — k2q 2 )y — q)

Y (0, Q) = Y (1, Q) = 0 '

(7)

Вторая - V

1(1 — к02 д2 )У' = —2к I дд' V-Д2 (1 — к02 д2)2 V — 2(1 + к02 д2 )д' ■Ь'(0, Д) = —2 .

|У(1, Д) = —2д(1)

Далее для нахождения измеряемых характеристик преобразователя относительного смещения на торцах

э

э

1

э

0

0 0

0

или АЧХ тока можно получить соответствующие соотношения вида

иМ -и(-1,д) = П) _П) =

1Сй(-1)

= 2| ((1 - к2д 2 (х))у(х, О) - д(х))йх = /(О) ,

I(Q) = -I 1 + к20 Jq(x)Y(x, Q)dx

I (Q), f (q)

Определение функции Y осуществлялось путем численного решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (6) на основе метода коллокаций и сведения к линейной алгебраической системе порядка N относительно узловых переменных, которая решалась численно.

Проверка предлагаемого подхода проведена для случая q = const путем сравнения полученных численного и аналитического решений. Аналитическое решение дифференциального уравнения (7) при q = const имеет вид

w ™ 1 - cos а . Л Y (y, Q) = Cj I cos ay H--:-sin ay -1 I, где

2

a =

Q2(l-k02q2); Ci =-

7 2 2

- koq

Результаты численного анализа приведены для к2 = 0,04 , д = 1 в таблице, где О - значения частоты; N - число разбиений по длине стержня; у - координата узла; У (у, О) - узловые значения функции напряжений.

Сравнение точных узловых значений и полученных из решения (6) при различном числе разбиений

Q N Y ( y, Q)

0,2 0,5 0,9

1,1 121 -0,1091 -0,1720 -0,0610

161 -0,1091 -0,1720 -0,0610

Аналитическое значение -0,1091 -0,1720 -0,0610

4,6 121 1,3997 2,6924 0,6619

161 1,3997 2,6926 0,6619

Аналитическое значение 1,3995 2,6927 0,6620

9,2 121 -3,6115 6,1768 -3,5485

161 -3,6005 6,1653 -3,5391

Аналитическое значение -3,5865 6,1507 -3,5270

ного смещения на торцах ( f (Q) = -

- (1 - cos a) )

и функция тока ( I (Q) = -

a sin a

(1 - к2 q 2)a sin a a sin a - 2k2q 2 (1 - cos a)

)

(рис. 1). Прерывистой линией изображена функция тока I (О), сплошной - относительное изменение

смещений на торцах / (О).

Также получены аналитические представления для АЧХ в предположении q = const: функция относитель-

—4q

q( y) = 1

Q

Рис. 1. АЧХ тока и относительного смещения торцов

Обратная задача

Исследовались две постановки обратной задачи по реконструкции функции q по дополнительной информации о решении. В первой постановке будем считать известной информацию о поле напряжений. В этом случае получим относительно неизвестной функции д(у) квадратное уравнение

Л(у, О)д2 (у)+Б(О)д(у)+ С(у, О) = 0,

где Л (у, О) = О2к2У (у, О); б(о) = О2;

С(у, О) = -О2У (у, О) + У "(у, О).

Решения уравнения (8) д(у) =

-О О2 + 4к02У (у, О)(О 2У (у, О) + У" (у, О))

(8)

2Q2 k\Y (y, Q)

, Y(y, Q) Ф 0 Y ( y, Q) = 0

У' (у, О)

О2 ,

При численном восстановлении д было получено два решения, одно из которых оказалось побочным, так как для него характерной является зависимость от частоты; таким образом

2(о2У (у, о)У (у, о)+У '' (у, о))

q(y)=<

(9)

[q + ^/q 2 + 4k2Y (y, q)(q 2Y (y, q)+Y ' (y, q))

Для нахождения узловых значений функции Y " (y, Q) при численном анализе в соответствии с (9) была использована сплайн-аппроксимация [5].

В качестве восстанавливаемых законов изменения пьезомодуля выбраны функции q(y) = 1- 0,5y2, q(y) = 1 + 0,5y2, q(y) = 1 + sin2 (ny).

Результаты восстановления для вышеуказанных функций при Q = 20,1 представлены на рис. 2. Сплошной линией изображен искомый закон распределения пьезомодуля; точками - результат реконструкции.

0

0

sin a

q

и

су-

ад

q(y)

<м

W

U

И

а»

(1.4 СИЛ

б

на процедуре линеаризации [6, 7]. Для осуществления такой процедуры положим: д = д0 + ед1, У = У0 +еУг, где е - малый формальный параметр. Подставим эти разложения в систему (5) и сформулируем краевые задачи при степенях е:

^ -д0)

(10)

Yo" = -Д2 (1 - klq2 Y

Y1"=-Д2f(7iqlY +2ko2qoYoq). (ii)

Рис. 2. Результаты восстановления для функций: а - g(y) = 1 - 0,5у2; б - g(y) = 1 + 0,5 y2;

в - g(y ) = 1 + sin2 (лу)

Во второй постановке обратная задача состоит в нахождении закона изменения пьезомодуля по дополнительной информации об амплитудно-частотной функции тока I(О), О e[Qj, П2 ]. Она существенно нелинейна, а одним из наиболее эффективных методов отыскания решения подобных задач является метод построения итерационного процесса, основанного

[У0 (0, Д) = У, (1, Д )= 0

, , 22 ((1 — к02д02) [У1 (0, Д) = У (1, Д )== 0

Для нахождения поправки из задачи (11) необходимо найти решение задачи первого приближения. Поскольку дифференциальное уравнение в (11) имеет переменные коэффициенты, то аналитически это осуществить не удается. В то же время можно исключить поле первого приближения, используя условие ортогональности. Вычтем из уравнения (10), умноженного на Уь уравнение (11), умноженное на У0, и проинтегрируем полученное соотношение по отрезку [0,1]. Используя граничные условия из задач (10), (11), получим

| д0УС = |(1 + 2к02д0У0 У^дуСх. (12)

0 0

Для полноты описания итерационного процесса положим в (12) I = /0 +1. Получим два равенства при разных степенях е. На их основе, используя соотношение (8), имеем

I —10 = 212к2}(1 + к1дУ ^дА . (13)

0

Отметим, что полученное соотношение (13) является интегральным уравнением Фредгольма 1 -го рода, ядро которого неотрицательно между первым резонансом и первым антирезонансом и обращается в нуль на концах отрезка интегрирования, что создает известные трудности при построении решения в окрестности концов даже при использовании регуляризо-ванных процедур.

Начальное приближение для функции изменения пьезомодуля д будем искать в виде линейной функции д0 (у) = ау + Ь . Постоянная Ь находится из условия д(0) = 1 и даёт значение Ь=1; постоянная а ищется на промежутке [—1, М ], где М - известное число по априорной информации об ограниченности сверху искомой функции. Поиск а сводится к минимизации

функционала д = | (I(Д) — 1а (Д))2 дД , где I (Д) - известный закон распределения тока; ^ (Д) - функция тока, соответствующая решению прямой задачи для закона д(у) = ау + 1, а е[—1,М].

На основе предложенной процедуры линеаризации построим итерационный процесс нахождения д(у) по правилу

Уп(у, Д) = —Д21К(у,#)[(1 — к2д2п (#))Г„(4, Д)—дп(#)]д#,

0

I (Д)—4 (Д) =

= 2^ (Д)к021 (1 + к02 дп (х)Уп (х, Д)У (х, Д^+1 (х)СХ ,

= 0,1,2... , где 1п (Д) = -| 1 + ko2 j qn (x)Yn (x, Q)dx I .

а

в

o

п

Эта последовательность задач решается численно на основе сочетания конечномерной аппроксимации интегральных операторов и метода регуляризации А.Н. Тихонова [8].

Численная реализация

Приведем результаты вычислительных экспериментов для следующих законов изменения пьезомодуля:

1. q(y) = 1 - 0,5y2.

2. q(y) = 1 + 0,5y2.

3. q(y) = 1 - 0,5sin(ny).

Рассмотрены 3 случая: m>N, m=N, m<N, где N - число разбиений по длине стержня; m - число разбиений по частоте на промежутке [Q, Q2 ] . Данный промежуток выбирается в соответствии с условием неотрицательности ядра K1 (y, Q) =(1 + k0q(y)Y(y, Q))y(y, Q) интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода (13).

Погрешность восстановления неизвестной функции q, когда информации о значениях пьезомодуля на торцах отсутствует, не превосходит 22 %; когда такая информация есть - 7. Погрешность достигает максимума в окрестности y = 1.

Проведены вычислительные эксперименты по оценке влияния зашумления входной информации путем добавления к правой части интегрального уравнения Фредгольма первого рода некоторой случайной функции шума с равномерным законом распределения. Отмечено, что при увеличении амплиту-

Поступила в редакцию_

ды зашумления погрешность реконструкции возрастает. Относительная погрешность реконструкции при амплитуде 0,01 % не превосходит 11 %, а при 0,009 % - не превосходит 5 %.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-31501 мол_а).

Литература

1. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984. 263 с.

2. Ватульян А.О., Домброва О.Б., Жиров В.Е. Обратные задачи для неоднородно поляризованных пьезоэлектрических стержней // ПММ. 2007. Т. 71, вып. 1. С. 93 - 101.

3. Ватульян А.О., Домброва О.Б., Жиров В.Е. К определению неоднородной поляризации для электроупругого стержня // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 4. С. 7 - 9.

4. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупру-гость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М., 1988. 472 с.

5. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М., 2006. 360 с.

6. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел. Ростов н/Д, 2008. 176 с.

7. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого тела. М., 2007. 223 с.

8. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Яго-ла А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М., 1990. 230 с.

24 апреля 2013 г.