О реконструкции характеристик включения на основе модели Тимошенко Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2

УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2018-2-16-22

О РЕКОНСТРУКЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК ВКЛЮЧЕНИЯ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ ТИМОШЕНКО

© 2018 г. А.О. Ватульян1'2, К.В. Гущина1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

ON THE RECONSTRUCTION OF CHARACTERISTICS OF INCLUSION BASED ON THE TIMOSHENKO MODEL

A.O. Vatulyan1'2, K.V. Guschina1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-мате- Alexander O. Vatulyan - Doctor of Physics and Mathema-

матических наук, профессор, заведующий кафедрой tics, Professor, Head of the Department of Elasticity Theory,

теории упругости, Институт математики, механики Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer

и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный фе- Sciences, Southern Federal University, Milchakovа St., 8a,

деральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов- Rostov-on-Don, 344090, Russia; Head of the Department of

на-Дону, 344090, Россия; заведующий отделом диффе- Differential Equations, Southern Mathematical Institute -

ренциальных уравнений, Южный математический ин- Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Acad-

ститут - филиал Владикавказского научного центра emy of Sciences, Marcusа St., 22, Vladikavkaz, Republic оf

РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: vatul-

362027, Россия, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru yan@math.sfedu.ru

Гущина Ксения Владимировна - студент, кафедра тео- Ksenia V. Guschina - Student, Department of Elasticity

рии упругости, Институт математики, механики и ком- Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and

пьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федераль- Computer Sciences, Southern Federal University, Mil-

ный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, chakovа St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; e-mail:

344090, Россия, e-mail: guschina.ksu@gmail.com guschina.ksu@gmail.com

Изучены колебания упругой однородной балки для модели Тимошенко и балки с дефектом типа включения, которое имеет эллипсоидальную форму. Осуществлены приведение к безразмерному виду задачи и составление канонической системы уравнений. Физические характеристики неоднородной балки отличны от характеристик балки без дефекта. Получены резонансные значения однородной балки и исследовано влияние параметров включения на резонансные значения балки с дефектом на основе метода пристрелки. С помощью методов теории возмущений построена формула для поправок к резонансным частотам, которая связывает резонансные значения для неповрежденной балки и балки с дефектом. На основе полученного соотношения решены две обратные задачи. В первой реализован поэтапный метод восстановления геометрических характеристик включения эллипсоидальной формы. Во второй задаче выполнено восстановление физических характеристик включения, а именно соотношение модулей жесткостей и плотностей. Продемонстрирована высокая точность предложенного метода.

Ключевые слова: колебания, балка, включение, резонансная частота, обратная задача, поправка, модель Тимошенко, изгиб.

The oscillations of an elastic homogeneous beam for the Timoshenko model and a beam with an inclusion-type defect that has an ellipsoidal shape are studied. The adduction is carried out to the dimensionless form of the problem and the composition of the canonical system of equations. The physical characteristics of a non-uniform beam differ from the characteristics of a beam without a defect. The resonance values of a homogeneous beam are obtained and the influence ofthe inclusion parameters on the resonance values of a beam with a defect on the basis of the method of alignment is investigated. Using the methods ofperturbation theory, a formula is constructedfor corrections to the resonant frequencies, which relates resonance values for an intact beam and a beam with a defect. On the basis of the obtained relation, two inverse problems are solved. In the first, a step-by-step methodfor restoring the geometric characteristics of the inclusion of an ellipsoidal shape is implemented. In the second problem, the physical characteristics of an inhomogeneous beam are reconstructed, namely the ratio of the stiffness and density modules. The high accuracy of the proposed method is demonstrated.

Keywords: oscillations, beam, inclusion, resonant frequency, inverse problem, correction, Timoshenko model, bending.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

Введение

Балки являются основным и простейшим конструктивным элементом, работающим на изгиб. Их широко применяют в конструкциях гражданских, общественных и промышленных зданий, в балочных площадках, междуэтажных перекрытиях, мостах, эстакадах, в виде подкрановых балок производственных зданий, в конструкциях гидротехнических шлюзов и затворов и в других сооружениях. Широкое распространение балок определяется простотой изготовления и надежностью в работе. Достаточно часто балочные элементы, являющиеся составными частями механизмов, сооружений, машин, имеют переменную жёсткость. Неоднородности возникают как на этапе изготовления, так и в процессе эксплуатации.

Наиболее детально исследованы задачи о колебаниях стержней и пластин с дефектами типа полостей и трещин. Так, в работах [1, 2] рассматривались прямая и обратная задачи о поперечных и продольных колебаниях цилиндрического стержня с дефектом в форме полости малого размера. В [1] реализован подход к определению местоположения и объема малой полости произвольной формы при анализе поперечных колебаний; в [2] решена задача об определении местоположения и объема малой полости произвольной формы на основании моделирования полости отрицательной массой.

В работе [3] представлен метод поэтапного определения параметров симметричного тонкого надреза в балке при анализе изгибных колебаний. Метод реализован для балочных моделей Эйлера -Бернулли и Тимошенко. Получены формулы, связывающие резонансные значения для неповрежденной балки и балки с дефектом. На основании этих формул реализована процедура поэтапного восстановления параметров надреза.

Гораздо меньше исследованы обратные задачи для упругих тел с включениями. Работа [4] посвящена решению задачи идентификации эллипсоидальной полости или эллипсоидального включения (жёсткого или упругого) в изотропном линейно упругом теле при статическом нагружении. Для её решения применён метод, основанный на использовании функционала взаимности. Предложена конструктивная процедура, с помощью которой геометрические параметры дефекта выражаются через значения функционала взаимности. Эти значения могут быть вычислены, если в статическом испытании на одноосное растяжение (сжатие) на внешней поверхности тела измеряются перемещения.

В работе [5] предложен метод получения верхней и нижней оценок для объёма одиночного дефекта

произвольной формы в изотропном линейно упругом теле. Представленные в [5] оценки записаны через изменение упругой энергии тела, определяемое наличием дефекта. Величина последнего может быть вычислена по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела, полученным в одном произвольном статическом испытании. Аналогичные оценки для случаев полости и жёсткого включения получены в работе [6].

Исследование влияния неоднородности включения на резонансные характеристики для модели Эйлера - Бернулли осуществлено в [7].

В настоящей работе рассмотрены колебания неоднородной балки с эллипсоидальным включением. Сформулирована постановка прямой задачи о колебаниях неоднородной балки в рамках модели Тимошенко. Обсуждено влияние характеристик включения на резонансные частоты. Получены приближенные формулы для поправок к резонансным частотам, представлена схема восстановления некоторых геометрических и физических характеристик включения.

Исследование резонансных частот балки с дефектом

Классическая теория изгиба изотропных однородных стержней Эйлера - Бернулли основана на гипотезе плоских сечений: первоначально плоское поперечное сечение остается и после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам балки. Среди компонент тензора напряжений отличны от нуля только напряжения растяжения-сжатия.

Обобщение классической теории поперечных колебаний стержней, основанное на учете влияния инерции вращения элементов стержня и деформации поперечного сдвига, было получено С.П. Тимошенко [8].

Используем эту модель для анализа поперечных колебаний балки с включением.

Рассмотрим колебания неоднородной балки длиной L с поперечным сечением F, в которой имеется включение с новым свойством в виде эллипсоида вращения (рис. 1).

Р

L

Рис. 1. Балка с эллипсоидальным включением / Fig. 1. Beam with ellipsoidal inclusion

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

Вводим систему координат, начало которой по- системы дифференциальных уравнений второго поместим на левом конце стержня; ось х± направим по рядка с переменными коэффициентами: нейтральной оси, центр сечения выберем таким об-

-(к'Д(x1)(w'(x) + ¥(x))) -PCO2R(x)w(x) = 0, -(D(x V (x))' + k'Di(xi)(w' (x) + w( xi ))-

-о2^— ж(х— ) = 0. (1)

Параметр к' =1 введен С.П. Тимошенко, при-к

разом, чтобы момент Б = | XзdF = 0.

F

Гипотезы о структуре полей смещений для колебаний балки с учетом касательных напряжений имеют вид щ = ^, щ = х3 ж . Тогда ненулевые компоненты тензора деформаций и напряжений нахо- чем к - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по поперечному сечению стержня. Отметим, что для круглого поперечного сечения к' « 0,9 .

Корректные граничные условия, соответствую-

дятся по формулам: еи= хЖ , %= —+ ж) ,

ст1з = G(w '+ Ж), % = 0, стп = ЕХж'.

Здесь E, С — модули Юнга и сдвига, которые мо-

гут быть функциями координат. Потенциальная щие этой модели, для консольного стержня с нагру-энергия деформации стержня при учете касатель- жением сосредоточенной силой Р и моментом на

ных напряжений имеет вид [9] 1 L

П = - J [£(x3^')2 + G(x3)(w' + ^)2 ]dx1 =

конце х = Ь имеют вид

w(0) = 0, Ж(0) = 0, £(Ь)Ж(Ь) = м, (к £—(х1)(у(xi) + ж(х—)))(ь) = Р . (2)

Будем считать в дальнейшем, что Е - круг ради-

= 11 [£( Х1 )Ж '2 (Х1) + £ (Х1)(^ ' (Х1) + Ж( Х1 ))2 ^х— . уса а; включение представляет собой эллипсоид

2 0

2

1

Кинетическая энергия стержня представима в

1 ь

форме [9] К = — | {р(щ2 + )dFdxl =

2

0 F ,2

= -l(r(xi)w2 + D2(xi)¥2)dx ,

2 о

D(x1) = J Exj dF; R(x1) = J pdF,

F

F

£—1(Х1) = |GdF; £2(Х—) = |рх|dF.

F F

Применяя вариационный принцип Гамильтона -

вращения.

Пусть его центр расположен в точке х\=с и имеет полуоси Ь\ и Ъ2. Тогда уравнение осевого сечения эл-

(X— - с)2 , г2

липсоида имеет вид-т--1--— — 1.

Ь— ¿22

Выполним обезразмеривание задачи (1), (2). Введем безразмерную координату х = Х—, безразмерные функции Ж(х) = 1м>(х) , спектральный параметр

2 т-2

2 _ ро Ь

X = —~—, связанный с частотой колебаний, ко-

Е

о

Остроградского [9] и отыскивая стационарное зна- эффициент 3— = к чение функционала £ = П — ш2К, после интегриро вания по частям получим

,G0

Ео

D(х)^'(x)S^ |L -

Функции Б(х), А(х), А(х), Е(х) в этом случае можно определить следующим образом:

- J(d(W(x1)) SV dx1 + G(x1)(w'(x1) + V(x1))sw|0 -

0

- L((D1( x1)(w' (x1) + x^'s -

0

- D

1(x1)(w'(x1) + y(x1)) S\y)dx1

D(x) = E0./0(1-(1-^1)r4(x)), R(x) = P0 F)(1 - (1 -Ti)r2 (x)),

D1(x) = G0 F0(1 - (1 -тз)г 2( x));

Dz(x) = G0/0(1 - (1 -T2)r4(x)) ,

4

(3)

/0 =

7ra

F0 = 7Ш .

- с 2 J (R(x1 )w(x1 )Sw + D2 (x1 x1 )S^ )dx1 = 0.

Здесь Е0, G0, р0 - модули Юнга и сдвига, плотность неповрежденной балки; Е—, G1, р— - модули

Приравнивая к нулю коэффициенты при незави- Юнга и сдвига, плотность включения.

симых вариациях, получим уравнения колебаний В (3) гере^нтш безразмерный радиус г(х) в об-неоднородной балки для модели Тимошенко в виде ласти включения определяется по формуле

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

r (x) = s

i -

(x - c0) 82

= — e = bL § = bl L a L

и равен нулю вне области.

Обезразмеренная система уравнений, описывающая колебания консольно закрепленной балки модели Тимошенко с переменными геометрическими характеристиками, имеет вид

- (ад(х)(м'(х) + щ(х))' - Ж2г(х)м(х) = 0, (4)

- (а (х)Щ( х)) +-4г 81а1 (х)(м'( х) + щ( х))-т

-Х2Л 2 (х)Щ( х) = 0. Здесь введены функции

а(х) _ { 1 Iх - с0 >8, (){ 1, М >8,

() {1 -/1Й|х-4<8, Г(х)"{1 -/2(х)|х-е0\<8,

1, x - c0 >8,

= }l - f (x), |x - c0\ <8. d 2 (x) =

g (x) =

1 (x - c0 )

,2 Л

8

1, x - c0 > 8,

|l - /4 (x), |x - c0 <8

fi(x) = mSg2(x); /2 (x) = m2s2g(x);

f3(x)=m3s2g( x);f4(x)=ms4 g2 (x); E

_ _ Ei _ _ Gi и--< ' ?,--< 13--

mi = i - Ti, m2 = i-t2 , m3 = i - Г3

1 b2 oi a2 с

m4 =i-T2 ; s = — ; 8 = -i; m = — ; c0 = — . a L L2

L

с ~L

X = AX, f

X =

201S. No. 2

(7)

w(x) ^ r xi >

¥( x) x2

wi( x) x3

¥i(x)у V x4 У

0 - i i/ di( x) 0

0 0 0 i/ d (x)

0 О -x d2( x) 8i4/m 0

(x)/8i 0 0 0

Л =

Граничные условия:

м(0) = 0, щ(0) = 0, щ (1) = 1, М (1) = 0. Аналогично формируются граничные условия при нагружении моментом.

Для нахождения компонент вектора X будем решать две независимые задачи Коши, каждая из которых представляет собой систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка вида (7) с условиями, заданными в точке х=0 (при х=0 задаются данные Коши для функций м>\(х) и щ (х), различные для каждой из задач).

( (i)^ w( )

Введем векторы X(i) =

¥

(i) (i)

w v^?'У

( (2) Л w( )

X(2) =

¥

(2)

w

(2)

¥i

(2)

как решение следующих задач Коши:

Г 0 ^

Граничные условия для общего нагружения сосредоточенной силой и моментом на конце имеют вид

м(0) = 0, щ(0) = 0, а(1)щ '(1) = т0 , (5)

х)(м '(х) + щ(х)))(1) = р0.

Прямая задача состоит в нахождении из краевой задачи (5) функций м(х) и щ(х) при некотором значении спектрального параметра X и заданных законах изменения функций а (х), а1 (х), а2 (х), г (х).

Отметим, что в силу линейности задачи виды нагружения (сила или момент) могут быть рассмотрены отдельно.

Эта задача может быть решена методом пристрелки [10]. Введем в рассмотрение вспомогательные функции:

щ1(х) = а(х)щ'(х), М1(х) = а1(х)(м '(х) + щ(х)). (6)

Таким образом, краевая задача (4), (5) при нагру-жении силой (момент равен нулю) после введения функций (6)принимает вид

1) X(i) = AX(i), X(i)(0) =

(i) ттЮтл-

2) X(2) = AX(2), X(2)(0) =

0 i

v 0 у

Г 0 ^ 0 0

vi у

Согласно методу пристрелки, искомое решение может быть представлено в виде X = С)Х(1) + С2Х(2), где С\, С2 - неизвестные параметры.

Далее для удовлетворения условиям на х = \ необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений

|СЩ1(1)(1) + С2Щ1(2)(1) = 0, 1 СМ(1)(1) + С2 М1(2)(1) = 1.

Приравнивая к нулю определитель системы (8), найдем резонансные значения методом половинного деления.

(8)

c

0

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

На рис. 2 представлено сравнение точных резонансных значений неповрежденной балки и балки с включением в зависимости от координаты центра включения при значениях параметров: ¿=0,05; е=0,5; т\=0,8; т2=0,6; т3=0,6 (такое соотношение модулей упругости и плотностей характеризует некоторую степень деструкции включения). Точками на рис. 2 изображены резонансные значения балки с дефектом, а линией - неповрежденной балки (рис. 2а - первая частота, рис. 2б - вторая, рис. 2в - третья).

Отметим, что зависимость первого резонансного значения носит монотонный характер; второго и третьего - немонотонный.

Соотношения для поправок к резонансным частотам

Из предыдущего пункта следует, что имеется некоторая связь между резонансными значениями балки с включением и положением его центра.

Получим формулу для поправки к резонансным значениям. Для этого упростим функционал £.

Потенциальная и кинетическая энергия для балки Тимошенко имеет вид — Ь

П = — | [£( х)Ж2 + £ ( Х)( V + ж)2]dx =

2;

1 1 1

= ^LnE0a2¡[к'(1 - /3)(w' + W)2 + 7m(1 - /-)¥'2d ;

K = - ¡ R( x)w2 + D2( x)y2 dx =

2 0

2

= а2лроa2L3-î[(1 -f2)w2 + (1 -f^.

9 • 2 0

4L2

.2 П

Используем соотношения Рэлея о = [9]. Безразмерный параметр X вычисляется по формуле 1 —

| [к '(1 - /з)( V + ж)2 + — т(1 - /ЖЩ

х2 = 0_4_

х — 1 ' | [(— -к>2 + (1 - /4)—т^ 0 4 Считая, что включение мало, е << — и 3<<1, будем искать представление функций х) и ж(х) в виде V = V + , ж = Ж + Ж1 . Тогда ^ +3

По - тз^ к' î g(w0 +Wo) dÇ

2

x =■

n-5

Co + 5 2

Ko - m2e2 î gWodÇ

в / c

Рис. 2. Зависимость резонансного значения от координаты центра включения: а - первого; б - второго; в - третьего / Fig. 2. Dependence resonanœ value on the coordinate of the switching center: a - first; b - second; c - third

c

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

_ по -тъе213к%(е0)(w'0(c0) + ^р(со))2 К -т2е215%0?оН2(со) где П0 и К0 - соответственно потенциальная и кинетическая энергия однородной балки.

Найдём соотношение

2

Ао

для поправок к резо-

насным значениям.

X _1 тзук%(со)(^о(со) + Ысо)) + (д)

2 Т~Г ( '

Хо По

| m2Vg(cо)wо (со)

Ко '

причем введено обозначение V = 25е 2 .

В табл. 1 приведены результаты сравнения резонансных значений, полученных методом пристрелки и при помощи формулы (9), а также относительная погрешность формулы (9) при е=0,5; п=0,8; Т2=0,6; тз=0,6.

Таблица 1

Сравнение резонансных значений / Comparison of resonance values

Поэтапный метод восстановления геометрических характеристик включения эллипсоидальной формы

Обратная задача состоит в восстановлении координаты центра включения и объема включения по известным значениям двух резонансных частот при использовании формулы (9).

Обозначим

= an, n = 1, 2,

(10)

A0n

где n - номер резонансного значения. Нетрудно по а\ и а2 найти объем включения.

После исключения v из системы (10) было получено трансцендентное уравнение для нахождения со.

Из этого трансцендентного уравнения найдены значения координаты центра включения с0. Далее, зная координату центра включения и а\, восстановим v. В табл. 2 представлены результаты восстановления параметров дефекта при е=0,5; г\=0,8; Г2=0,6; гз=0,6; 5=0,048, что соответствует v=0,024.

Таблица 2

Восстановление параметров дефекта / Restore defect parameters

2

Резонансные значения

¿=0,05; С0=0,2

Метод пристрелки 0,108118 0,64686 1,70118

Формула (9) 0,108109 0,64034 1,69175

Погрешность, % 0,007 1 0,5

С0=0,4

Метод пристрелки 0,10823 0,64999 1,69813

Формула (9) 0,10814 0,64181 1,69193

Погрешность, % 0,08 1 0,3

С0=0,7

Метод пристрелки 0,10869 0,64693 1,70128

Формула (9) 0,10829 0,64087 1,69374

Погрешность, % 0,3 0,9 0,4

¿=0,1; С0=0,2

Метод пристрелки 0,10804 0,6474 1,70809

Формула (9) 0,10809 0,64007 1,69291

Погрешность, % 0,05 1 0,8

С0=0,4

Метод пристрелки 0,10828 0,65349 1,703

Формула (9) 0,10816 0,643 1,69327

Погрешность, % 0,1 1 0,5

С0=0,7

Метод пристрелки 0,10921 0,6477 1,7074

Формула (9) 0,10846 0,64112 1,69688

Погрешность, % 0,6 1 0,6

С0 Полученное С0 Полученное V Погрешность V, %

0,2 0,1975 0,0243 1,6

0,3 0,3028 0,0231 3,5

0,4 0,4012 0,0236 1,4

0,5 0,5010 0,0238 0,76

0,6 0,6006 0,02391 0,37

0,7 0,7002 0,02396 0,12

0,8 0,8003 0,02397 0,12

Восстановление соотношений модулей жесткостей и плотностей

Подобно способу, изложенному в предыдущем пункте, можно реализовать реконструкцию отношений модулей упругости и плотностей включения на неповрежденной части балки на основе формулы (9).

Соотношение для модулей жесткостей и плотностей имеет вид

Ц _ , К2(со)%(со^У + к'«! - Ко)По

—1 = 1 -G»

Ко к'vg(Co )( w0 (Со ) + Wo (Со ))2

Pl Po

= 1 -

Результаты расчетов свидетельствуют о достаточной работоспособности формулы (9) для малых включений.

(Wo (c0)g (coWm3v + 2Wo(co) g(co)k'm3w'o(co)v + П0а1 - П0)К0

По g (co)vwo2(co)

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

В табл. 3 приведены результаты восстановления соотношений модулей упругости и плотностей при значениях параметров е=0,5; ri=0,8; Г2=0,6; тз=0,6; 5=0,048 при различных значениях с0.

Таблица 3

Восстановление модулей / Recovery of modules

С0 Полученное ТЗ Погрешность ТЗ, % Полученное Т2 Погрешность Т2, %

0,2 0,6141 2,36 0,6471 7,8

0,3 0,6063 1,06 0,5997 0,049

0,4 0,6135 2,25 0,6432 7,2

0,5 0,6073 1,23 0,6059 0,98

0,6 0,607 1,16 0,6035 0,58

0,7 0,6064 1,06 0,5998 0,01

0,8 0,6064 1,06 0,6 0,003

Заключение

В работе изучены колебания неоднородной балки Тимошенко с эллипсоидальным включением, причем физические характеристики включения меньше, чем соответствующие величины для однородной балки.

Проведен анализ зависимости резонансных значений от координаты центра включения для различных параметров. Получена приближенная формула для поправки к резонансным значениям. Приведены результаты сравнения резонансных значений, полученных методом пристрелки и при помощи приближенной формулы для различных значений параметров. На основе полученной формулы решены две обратные задачи; восстановлены геометрические характеристики включения эллипсоидальной формы и отношения модулей упругости и плотностей.

Литература

1. Ватульян А.О., Солуянов Н.О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49, № 6. С. 1015-1020.

2. Ахтямов А.М., Сатыев Э.И. Определение местоположения и объема полости в упругом стержне по двум собственным частотам его колебаний // Дефектоскопия. 2012. № 5. С. 78-83.

3. Ватульян А.О., Осипов А.В. Об одном подходе при определении параметров дефекта в балке // Дефектоскопия. 2014. № 11. С. 37-47.

4. Шифрин Е.И. Идентификация эллипсоидального дефекта в упругом теле по результатам одного испытания на одноосное растяжение (сжатие) // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 131-142.

5. Alessandrini G., Morassi A., Rosset E. Detecting an inclusion ia an elastic body by boundary measurements // SIAM J. Math. Anal. 2002. Vol. 33, № 6. P. 1247-1268.

6. Morassi A., Rosset E. Detecting rigid inclusions, or cavities, in an elastic body // J. Elast. 2003. Vol. 73, № 1-3. P. 101-126.

7. Ватульян А.О., Каштальян Д.О. Об определении локализованной зоны деструкции в упругой балке // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 4. С. 29-34.

8. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

9. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1970. 733 с.

10. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие. М.: Высш. школа, 1994. 544 с.

References

1. Vatul'yan A.O., Soluyanov N.O. Identifikatsiya po-losti v uprugom sterzhne pri analize poperechnykh kole-banii [Identification of a cavity in an elastic rod in the analysis of transverse oscillations]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2008, vol. 49, No. 6, pp. 1015-1020.

2. Akhtyamov A.M., Satyev E.I. Opredelenie mes-topolozheniya i ob"ema polosti v uprugom sterzhne po dvum sobstvennym chastotam ego kolebanii [Determination of the location and volume of a cavity in an elastic rod at two natural frequencies of its oscillations]. Defektos-kopiya. 2012, No. 5, pp. 78-83.

3. Vatul'yan A.O., Osipov A.V. Ob odnom podkhode pri opredelenii parametrov defekta v balke [On one approach in determining the parameters of a defect in a beam]. Defektoskopiya. 2014, No. 11, pp. 37-47.

4. Shifrin E.I. Identifikatsiya ellipsoidal'nogo defekta v uprugom tele po rezul'tatam odnogo ispytaniya na od-noosnoe rastyazhenie (szhatie) [Identification of an ellipsoidal defect in an elastic body from the results of a single test for uniaxial tension (compression)]. Izv. RAN. MTT. 2010, No. 3, pp. 131-142.

5. Alessandrini G., Morassi A., Rosset E. Detecting an inclusion ia an elastic body by boundary measurements. SIAM J. Math. Anal. 2002, vol. 33, No. 6, pp. 1247-1268.

6. Morassi A., Rosset E. Detecting rigid inclusions, or cavities, in an elastic body. J. Elast. 2003, vol. 73, No. 13, pp. 101-126.

7. Vatul'yan A.O., Kashtal'yan D.O. Ob opredelenii lokalizovannoi zony destruktsii v uprugoi balke [On the determination of a localized zone of destruction in an elastic beam]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2015, No. 4, pp. 29-34.

8. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoichivost' up-rugikh sistem [Basics of calculating the stability of elastic systems]. Moscow: Mashinostroenie, 1978, 312 p.

9. Filippov A.P. Kolebaniya deformiruemykh sistem [Oscillations of deformable systems]. 2nd ed. Moscow: Mashinostroenie, 1970, 733 p.

10. Amosov A.A., Dubinskii Yu.A., Kopchenova N.V. Vychislitel'nye metody dlya inzhenerov [Computational methods for engineers]. Textbook. Moscow: Vyssh. shkola, 1994, 544 p.

Поступила в редакцию /Received

15 февраля 2018 г. /February 15, 2018