Об определении локализованной зоны деструкции в упругой балке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 Б01 10.18522/0321-3005-2015-4-29-34

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ЗОНЫ ДЕСТРУКЦИИ

В УПРУГОЙ БАЛКЕ*

© 2015 г А.О. Ватульян, Д.О. Каштальян

Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; заведующий отделом дифференциальных уравнений, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: [email protected]

Vatulyan Aleksandr Ovanesovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milcha-kov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Head of Differential Equation Division, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: [email protected]

Каштальян Дарья Олеговна - студент, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, email: [email protected]

Kashtalyan Darya Olegovna - Student, Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Изучены колебания упругой балки с зоной деструкции, моделируемой включением эллипсоидальной формы с измененными физическими характеристиками. Исследовано влияние параметров включения на резонансные частоты, построена формула для поправок. Решена обратная задача о поэтапном определении геометрических и физических параметров включения по значениям резонансных частот.

Ключевые слова: колебания, балка, деструкция, обратная задача.

Vibrations of a resilient beam with the destruction area modeled by the ellipsoidal inclusion with altered physical characteristics are studied. The influence of the inclusion parameters on the resonant frequencies is investigated, a formula for editing is built. The inverse problem of the gradual definition of the geometrical and physical inclusion parameters due to the values of the resonant frequencies is solved.

Keywords: oscillations, beam, destruction, inverse problem.

Задачи о колебаниях тел с дефектами различной природы и структуры достаточно давно изучаются в научной литературе, что продиктовано важностью решений таких задач с точки зрения их влияния на прочность конструкций. Акустический метод является одним из самых популярных методов диагностики дефектов. Отметим, что наиболее детально исследованы задачи о колебаниях стержней и пластин с дефектами типа полостей и трещин. Так, в работах [1, 2] рассматривались прямая и обратная задачи о поперечных и продольных колебаниях цилиндрического стержня с дефектом в форме полости малого размера. В [1] реализован поход к определению местоположения и объема малой полости произвольной формы при анализе поперечных колебаний, в [2] решена задача об определении местоположения и объема малой полости произвольной формы на основании моделирования полости отрицательной массой.

В работе [3] представлен метод поэтапного определения параметров симметричного тонкого надреза в балке при анализе изгибных колебаний. Метод реализован для балочных моделей Эйлера Бернулли и Тимошенко. Получены формулы, связывающие резонансные значения для неповрежденной балки и балки с дефектом, на основании которых реализована процедура поэтапного восстановления параметров надреза.

Гораздо меньше исследованы обратные задачи для упругих тел с включением. Работа [4] посвящена решению задачи идентификации эллипсоидальной полости или эллипсоидального включения (жесткого или упругого) в изотропном линейно-упругом теле при статическом нагружении. Для решения задачи использован метод, основанный на применении функционала взаимности. Предложена конструктивная процедура, с помощью которой геометрические параметры дефекта выражаются

*Работа выполнена при частичной поддержке государственного задания Минобрнауки России № 9.665.2014^ и гранта РФФИ № 13-01-00196-а.

через значения функционала взаимности. Эти значения могут быть вычислены, если в статическом испытании на одноосное растяжение (сжатие) на внешней поверхности тела измеряются перемещения.

В работе [5] был предложен метод получения верхней и нижней оценок для объёма одиночного дефекта произвольной формы в изотропном линейно-упругом теле. Представленные в [5] оценки записаны через изменение упругой энергии тела, определяемое наличием дефекта. Его величина может быть вычислена по данным о перемещениях и усилиях на внешней границе тела, полученным в одном произвольном статическом испытании. Аналогичные оценки для случаев полости и жёсткого включения были получены в [6].

В настоящей работе предложен новый подход к определению параметров включения, которое обладает меньшими, чем материал балки, модулем Юнга и плотностью, что моделирует зону деструкции. Рассмотрены две задачи при анализе изгибных колебаний. Первая состоит в определении центра и объема эллипсоидального включения, ослабляющего упругий стержень, при известных его физических характеристиках (модуль Юнга и плотность), а вторая - в определении физических параметров включения при известной его геометрии.

Исследование резонансных частот балки с дефектом

Рассмотрим установившиеся колебания жестко закрепленной на левом конце х = 0 упругой балки длины Ь с круговым поперечным сечением радиуса а, колебания которой возбуждаются при помощи поперечной силы Р 1>е"'" - приложенной в точке х = Ь. Будем считать, что в балке имеется включение в виде эллипсоида вращения с другими (меньшими) физическими характеристиками, причем его ось совпадает с осью балки.

Уравнение установившихся колебаний с частотой о) неоднородной балки для модели Эйлера -Бернулли и соответствующие граничные условия имеют вид

ф х м>\х))"+Я х а>2м>{х) = 0, (1)

м> 0 =м>' 0 = 0 х м'\х)\х_1 =

= 0, (£> х ^"О))'!^ = ~Р • (2)

Здесь введены обозначения: I) х = .

К х = , где /)(х). Щх) - соответственно же-

сткость и погонная масса балки; /•' и р - перемен-

ные модуль Юнга и плотность; /• - площадь поперечного сечения.

Пусть центр эллипсоида расположен в точке х = С0 и имеет полуоси Ь и Ъ. Тогда уравнение осевого сечения эллипсоида имеет вид

= 1, а в формулах (1), (2) следует по-

(х~С0)2 г2 Ъ\ Ъ2

ложить £>х=Ц,1-/1х , К х = р0Р0 1 - /2 х , где 1)и. ри. - соответственно жесткость, плотность и площадь поперечного сечения неповрежденной части балки; /\ и — положительные функции, отличные от нуля внутри эллипсоидальной области.

Вводя безразмерные характеристики: ъ =

1 =■

_ r j-l 4

^ , С о ~ , К —

4 _ PoFo^L4

А

получим, что

безразмерные жесткость Б £ и погонную массу Я £ можно определить соотношениями

яЕпа ( Е0-Е1 г4 £ ^

4

Е0 а

R % = лрйа

А '

Здесь переменный радиус г(£) определяется согласно соотношению в области включения

/

г (#) = К 1-

(#-c0)2i2

и равен нулю вне него. В

безразмерных переменных уравнение колебаний и граничные условия примут вид (g 4 w"(£)Y-K4h 4 =

w 0 = w' 0 = 0, w" 1 = 0 ,

и'" 1 =-Рп=-

Р1_

А

(3)

(4)

где введены следующие функции:

[1-у; 4 ,\S-c0\<s,

i,\4-c0\>s, [l-/2 i ,\z-c0\<s,

g £ = h £ =

fi #

1-

2 V

v f

/2 £ =m1e1

1-

У

2 Л

Г, 1 E1 1 A b ъ!

Здесь ml=\--L, m2= 1--L, s = — , о--.

En

А

2

2

a

Уравнение (3) имеет переменные коэффициенты, и его решение может быть построено либо численно, либо на основе асимптотического анализа в случае малых относительных размеров включения. Преобразуем (3) к канонической системе дифференциальных уравнений 1-го порядка

V = — .V = 1гклм>,? = V, м>' = г. (5)

Я"

Граничные условия (4) запишутся в виде м> 0 = О, V 0 = 0, / 1 = О, V 1 = -Р0. (6)

Введем в рассмотрение неизвестный вектор X = (щ, V, /, у)т и будем решать краевую задачу (1), (2) методом пристрелки. Тогда для системы (5) рассмотрим две вспомогательные задачи Коши: щ 0 =0, V 0 =0, ^ 0 = 1, у 0 =0, щ 0 =0, V 0 =0, /2 0 =0, у 0 =1. Учитывая, что граничным условиям при = 0 удовлетворяют оба решения, введем векторы

X, = ( 1 | и Х2 = ( 2 |. Согласно методу пристрелЫ - [у2) ки, искомое решение задачи (1), (2) может быть представлено в виде Х = я1Х1 +я2Х2, где сц и ¿ь — неизвестные параметры. Их значение можно определить из условия выполнения граничных условий для функций у и / на правом конце £,=\

| ахУх 1 +а2у2 1 =-Р0, I а1/1 1 1=0. Введём определитель системы А = у\ 1 ■ /2 1 -/, 1 • у2 1 .

По правилу Крамера находим решение, причем равенство А = 0 определяет резонансные значения задачи, которые находятся методом половинного деления.

На рис. 1 представлено сравнение точных резонансных значений неповрежденной балки и балки с дефектом в зависимости от координаты центра включения при значениях параметров <5 = 0,05 ,

Е, р,

£ = 0,5 , — = 0,8, — = 0,6 (такое соотношение

Е0 Р0

модулей упругости и плотностей характеризует некоторую степень деструкции включения). Точками на рисунке изображены резонансные значения балки с дефектом, а линией - неповрежденной балки.

Отметим, что для первого резонансного значения исследуемая зависимость носит монотонный характер, для второго и четвертого зависимость немонотонна.

1,881 1,880 1,879 k 1,878 , 1,877 1,876 1,875

J

0,2 0,3 0,4 0 5 0,6 0,7 0,8 со

б

0,5 С0

7,875

7,870

7,865

7,855

.УЧ.

ч

♦ *

*

*

4

О

*

■1

0,2 0,3 0,4

0,5 с0

0,6 0,7 0,8

в

Рис. 1. Зависимость резонансных значений от координаты центра включения: а - 1-я частота; б - 2-я частота; в - 4-я частота

а

k

7

k

7

Соотношения для поправок к резонансным частотам

Выведем приближенную формулу для вычисления резонансных частот балки с включением. Составим 2 краевые задачи, одна из которых описывает собственные колебания со спектральным параметром к0, а вторая - собственные колебания поврежденной балки с параметром к.

IV 4 г\

W0 -к0w0 = 0, w0 О =w0' 0 =0,

" 1 '"in

1 =W0 1 =0;

(1 -m))w" - {\ — f2{^))w = 0 .

w 0 = w' 0 =0,

tt i _ fft i _ r\

w 1 — w 1 — 0 ,

(7)

(8)

где ка =

_ PoFowlL4

Dn

и x-4 = L

Dn

t

к*-к1= 28

2

■Wn C„

~fi co

c0 ]. (10)

к02=4,69410, третье - к03=7,85476, что совпадает с известными значениями, приведенными в [7].

В табл. 1 приведены результаты сравнения расчетов по определению первого безразмерного резонансного значения кх по приближенной формуле и путем точного решения краевой задачи методом Е р

пристрелки при — = 0,8, — = 0,6 и разных зна-

Е0 Р0

чениях е и д.

Таблица 1

Сравнительный анализ резонансных значений

Отметим, что нетривиальное решение задачи (7) известно [7], причем собственная форма неповрежденной балки определяется с точностью до постоянного множителя и представима в форме w0 ¿; = sinh/f0 +sin/r0 ■ cosh cos -

- cosh к0 + cos к0 ■ — sm к0 ^ .

Проведем следующие преобразования: уравнения (7) и (8) умножим на w и w0 соответственно, проинтегрируем по отрезку [0, 1], и вычитая из второго первое, получим равенство

Со Пристрелка | Формула (10) | Погрешность, %

е=0,2; ¿=0,05

0,2 1,87509 1,87508 0,0005

0,5 1,87533 1,87543 0,005

0,8 1,87615 1,87668 0,028

е=0,2; ¿=0,1

0,2 1,87509 1,87506 0,0016

0,5 1,87557 1,87577 0,011

0,8 1,87723 1,87827 0,055

-м,м>0{к\\ -/2(^))-г04)] ^=0. (9)

Интегрируя первые два слагаемых в подынтегральном выражении в (9) по частям и учитывая граничные условия, найдем приближенную формулу

4 4 _ *-4 {ж^ж-

Так как = /2(£) = 1 -КО в области

включения, то, учитывая малость отрезка интегрирования и нормируя собственную форму колебаний

Г1 2

условием ^и;, с/с = 1. получим упрощенную формулу

Были проведены расчеты и для других значений параметров, позволившие сделать вывод о достаточно высокой степени точности приближенной формулы, что позволяет использовать ее для процедуры идентификации включения.

Метод поэтапного восстановления геометрических характеристик включения эллипсоидальной формы

Обратная задача состоит в восстановлении координаты центра и объема включения по известным значениям трех резонансных частот при использовании полученной формулы (10) для поправки [3, 8, 9].

Для используемой модели введем обозначение

а, = /г, - кп

где кй1

резонансное значение для

неповрежденной балки; к — резонансное значение для балки с локализованным дефектом, которое получено из решения задачи о поперечных колебаниях неоднородной балки методом пристрелки. Учитывая также, что ^ с0 = тхеЛ, /2 с0 = т2е2,

на основе формулы (10) получена нелинейная система трех уравнений относительно безразмерных геометрических параметров V, е, с0.

По этой формуле можно подсчитать поправку к резонансной частоте, обусловленную наличием включения, зная собственную форму неповрежденной балки и характеристики включения.

Отметим, что в случае однородного стержня первое резонансное значение, полученное с помощью метода пристрелки, равно кь1=1,87510, второе —

ах = 2v

а2 =2v

«з = 2v•

к, -т. - w„ к„,,с„ -м,-£

К2 ' т2 ' w0 К02>С0 -ml-s2 ■ w0" кш,с0

къ -т2 - w0 кт,с0 -тГЕ ■ w0 кт,с0

(11)

Исключая из системы (11) характеристику v (относительный объем включения) и разделив пер-

4

С

W

о

о

о

2

2

вое уравнение на второе, а второе - на третье, получим соотношения

^ к\ -т2- w0 кт,с0 -?>11 ■ е~ ■ w0

Зная координаты центра, можно затем вычислить отношение полуосей включения, найдя величину е

а„

а,

АГ, • т, • w0 ЛГ„,, с0 - П\ •£ ■ w0

3 1С, -т2- м-0 /сю,с0 -тх-е-- м-0 кю,с0

После исключения неизвестной е2 получено трансцендентное уравнение вида Р(с0)=0 для определения центра неоднородности.

Отметим, что функция Р с0 не является монотонной, что свидетельствует о неединственности решения при восстановлении координаты центра включения по трем первым резонансным частотам. При решении этой проблемы можно рассмотреть другую тройку резонансных частот, например первую, вторую и четвертую. На рис. 2 в качестве примера представлено сравнение графиков функций

Р123 с и Рш с для с0=0,2. Как видно из рис. 2, графики введенных функций пересекают ось абсцисс практически в одинаковых точках х=0,2; 0,5; 0,8.

10+8

Рис. 2. Сравнение результатов восстановления координаты центра включения для различных троек резонансных частот

Такое же свойство наблюдалось в расчетах и при других значениях центра; соответственно, вопрос о выделении единственного решения этого трансцендентного уравнения требует самостоятельного исследования.

Ш0 О-х wo К'02 C0 2 W0 *"о1-СС

«г ff wo C0 2 ff wo 2 -co

s =

Далее определяется объем включения V из (11). В табл. 2 приведены результаты восстановления параметров дефекта при значениях параметров:

Е о

— = 0,8 ; — = 0,6 ; у = 0.0048; г = 0.8 при различно Ро ных значениях с0.

Результаты вычислительных экспериментов свидетельствуют о том, что при расположении включения близко к свободному концу метод, основанный на приближенной формуле, становится непригодным, особенно для оценки V. Отметим, что при расположении центра включения в центре балки представленная схема позволяет восстановить лишь координату центра.

Таблица 2

Восстановление параметров дефекта

c0 — = 0,8; — = 0,6 ; v = 0,0048; £ = 0,8 E0 Po

Полученное с0 Полученное e Погрешность e, % Полученное V Погрешность S, %

0,1 0,1000 0,739 7,63 0,0043 10,4

0,2 0,1996 0,736 8 0,0043 10,4

0,3 0,2994 0,737 7,88 0,0043 10,4

0,4 0,4012 0,746 6,75 0,0043 10,4

0,5 0,5008 Не восстанавливается

0,6 0,5991 0,743 7,13 0,0043 10,4

0,7 0,7006 0,729 8,83 0,0042 12,5

0,8 0,7997 0,730 8,75 0,0043 10,4

E о — = 0,8; — = 0,6 ; v = 0,009375 ; г? = 0,5 E0 P0

0,1 0,1011 0,442 11,6 0,0086 8,3

0,2 0,2039 0,461 7,8 0,0080 14,7

0,3 0,2984 0,442 11,6 0,0084 10,4

0,4 0,4078 0,488 2,4 0,0082 12,5

0,5 0,5006 Не восстанавливается

0,6 0,5939 0,576 15,2 0,0088 6,1

0,7 0,7004 0,402 19,6 0,0083 11,5

0,8 0,8077 0,371 20,2 0,0081 13,6

Восстановление соотношений модулей упругости и плотностей

Подобно способу, изложенному в предыдущем пункте, можно реализовать реконструкцию соотношений модулей упругости и плотностей включения и неповрежденной части балки на основе формулы (10).

В табл. 3 приведены результаты восстановления соотношений модулей упругости и плотностей при различных значениях с0.

2

2

Qf^ 2 "'2 " 0 02' 0

Таблица 3

Восстановление модуля упругости и плотности

Замечание. Отметим, что в проведенной серии вычислительных экспериментов не удалось осуществить реконструкцию в случае, когда центр включения расположен посредине балки. Это связано с тем, что в этом случае функция, описывающая третью собственную форму колебаний, имеет узел, близко расположенный к центру.

В работе разработана численная схема исследования резонансных частот для балки с дефектом (область деградации упругих свойств) на основе метода пристрелки. Получена аналитическая формула для поправки к резонансным частотам, оценена ее точность. На основе этой формулы разработана схема определения параметров дефекта и физических характеристик дефекта, проведена серия вычислительных экспериментов, показавшая достаточную эффективность предложенной схемы.

Литература

1. Ватульян А.О., Солуянов Н.О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49, № 6. С. 1015-1020.

2. Ахтямов А.М., Сатыев Э.И. Определение местоположения и объема полости в упругом стержне по двум собственным частотам его колебаний // Дефектоскопия. 2012. № 5. С. 78-83.

3. Ватульян А.О., Осипов А.В. Об одном подходе при определении параметров дефекта в балке // Дефектоскопия. 2014. № 11. С. 37-47.

4. Шифрин Е.И. Идентификация эллипсоидального дефекта в упругом теле по результатам одного испытания на одноосное растяжение (сжатие) // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 131-142.

5. Alessandrini G., Morassi A., Rosset E. Detecting an inclusion ia an elastic body by boundary measurements // SIAM J. Math. Anal. 2002. Vol. 33, № 6. P. 1247-1268.

6. Morassi A., Rosset E. Detecting rigid inclusions, or cavities, in an elastic body// J. Elast. 2003. Vol. 73, № L-3. P. 101-126.

7. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., 1970. 734 с.

8. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформированного твердого тела. М., 2007. 224 с.

9. Ватульян А.О., Бочарова О.В., Жарков Р.С. Реконструкция малых полостей в упругих стержнях // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. № 2. С. 28-32.

References

1. Vatul'yan A.O., Soluyanov N.O. Identifikatsiya polosti v uprugom sterzhne pri analize poperechnykh kolebanii [Identification of the cavity in an elastic rod in the analysis of transverse vibrations]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 2008, vol. 49, no 6, pp. 1015-1020.

2. Akhtyamov A.M., Satyev E.I. Opredelenie mestopoloz-heniya i ob"ema polosti v uprugom sterzhne po dvum sobstven-nym chastotam ego kolebanii [Determining the location and volume of the cavity in an elastic rod in two natural frequencies of its oscillations]. Defektoskopiya, 2012, no 5, pp. 78-83.

3. Vatul'yan A.O., Osipov A.V. Ob odnom podkhode pri opredelenii parametrov defekta v balke [An approach in determining the parameters of a defect in the beam]. Defektoskopiya, 2014, no 11, pp. 37-47.

4. Shifrin E.I. Identifikatsiya ellipsoidal'nogo defekta v uprugom tele po rezul'tatam odnogo ispytaniya na odnoosnoe rastyazhenie (szhatie) [Identification ellipsoidal defect in an elastic body according to the results of uniaxial tensile test (compression)]. Izv. RAN. MIT, 2010, no 3, pp. 131-142.

5. Alessandrini G., Morassi A., Rosset E. Detecting an inclusion ia an elastic body by boundary measurements. SIAM J. Math. Anal, 2002, vol. 33, no 6, pp. 1247-1268.

6. Morassi A., Rosset E. Detecting rigid inclusions, or cavities, in an elastic body. J. Elast., 2003, vol. 73, no L-3, pp. 101-126.

7. Filippov A.P. Kolebaniya deformiruemykh system [Fluctuations deformable systems]. Ed. 2nd, revised. and ext. Moscow, 1970, 734 p.

8. Vatul'yan A. O. Obratnye zadachi v mekhanike deformi-rovannogo tverdogo tela [Inverse problems in the mechanics of the deformed solid]. Moscow, 2007, 224 p.

9. Vatul'yan A.O., Bocharova O.V., Zharkov R.S. Rekon-struktsiya malykh polostei v uprugikh sterzhnyakh [Reconstruction of small cavities in the elastic rods]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2006, no 2, pp. 28-32.

— = 0,9 ; — = 0,7 ; Eü Pü v = 0,009375; £- = 0,5

c0 Получен- Погреш- Получен- Погреш-

Ei ное — Eo E ность —-,% Eo Pi ное — Po А о/ ность —,% А

0,1 0,929 3,22 0,691 1,29

0,2 0,929 3,22 0,727 3,86

0,3 0,930 3,33 0,734 4,86

0,4 0,935 3,89 0,736 5,14

0,5 Не восстанавливается

0,6 0,922 2,44 0,732 4,57

0,7 0,945 5 0,733 4,71

0,8 0,944 4,89 0,733 4,71

— = 0,8; — = 0,6 ; v = Eü Po = 0,009375; ¿г = 0,5

0,1 0,875 7,13 0,599 0,17

0,2 0,857 7,13 0,637 6,17

0,3 0,859 7,34 0,645 7,5

0,4 0,864 8 0,648 8

0,5 Не восстанавливается

0,6 0,852 6,25 0,643 7,17

0,7 0,881 10,13 0,644 7,33

0,8 0,879 8,88 0,644 7,33

Поступила в редакцию_16 сентября 2015 г.