CC BY
18
Л О. Ватульян, Л. В. Васильев. Об определении параметров закрепления балки
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ЗАКРЕПЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ БАЛКИ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАТУХАНИЯ
А. О. Ватульян1, Л. В. Васильев2
1 Ватульян Александр Ованесович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой теории упругости, Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Владикавказский научный центр РАН (ЮМИ), vatulyan@math.sfedu.ru 2Васильев Леонид Викторович, магистр кафедры теории упругости, Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, leninid@mail.ru
Определение характеристик твердых тел по дополнительным данным об амплитудах смещений или резонансным значениям в последние годы все чаще привлекает внимание исследователей. Среди такого типа задач особый интерес вызывают задачи, связанные с определением параметров,входящих в граничные условия и характеризующих взаимодействие исследуемого тела с окружающими телами. В настоящей работе исследуется задача об определении параметров граничных условий в балке, представлен новый подход к решению обратной задачи о реконструкции параметров опирания неоднородной вязко-упругой балки с вязкоупругими связями на правом конце и жестким закреплением на левом конце на основе анализа амплитуды и сдвига фазы смещения в двух точках на фиксированной частоте. Использован принцип соответствия для составления дифференциального уравнения колебаний на основе модели стандартного вязкоупругого тела. Представлен способ сведения задачи к каноническому виду. Составлены вспомогательные задачи Коши для численного решения как прямой, так и обратной задачи методом пристрелки. В рамках представленной модели проведены вычислительные эксперименты по восстановлению 4 параметров, характеризующих вязкоупругие связи в краевых условиях. Проанализировано влияние изменения параметров на резонансную частоту и амплитуду смещений. Проведена оценка влияния зашумления входных данных на реконструкцию искомых параметров. Отмечено, что представленный способ реконструкции позволяет восстанавливать параметры в граничных условиях с достаточно высокой точностью.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение 4-го порядка с переменными коэффициентами, краевые условия, колебания, реконструкция, вязкоупругость.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-449-456 ВВЕДЕНИЕ
Задачи об определении характеристик твердых тел по дополнительным данным об амплитудах смещений или резонансным значениям в последние годы все чаще привлекают внимание специалистов. Среди этого класса задач наиболее разработанным является класс граничных обратных задач по реконструкции параметров в граничных условиях. В реальных конструкциях часто характер закрепления на некоторой части границы оказывается отличным от канонического и моделируется некоторой упругой или вязкоупру-гой связью, причем для расчетов на прочность и колебания которой необходимо определить характеристики этой связи. Среди методов,
позволяющих оценить характеристики упругих систем, следует в первую очередь отметить акустические; в [1,2] изложены теоретические основы низкочастотных акустических методов контроля. Отметим, что подобная задача для упругой балки с постоянной жесткостью была рассмотрена ранее [3-5], причем в этом случае можно выписать аналитическое решение, например через функции Крылова, соответственно составить частотное уравнение в явном виде и далее на основе анализа аналитических зависимостей определять искомые параметры на основе данных о нескольких резонансных частотах. В случае переменной жесткости анализировать аналитические зависимости при произвольных законах неоднородности не представляется возможным ввиду их отсутствия, однако можно реализовать построение численного решения с любой степенью точности на основе введения некоторых специальных задач Коши, порожденных исходной краевой задачей. В то же время вопрос об эффективности реконструкции параметров опирания при наличии затухания остается открытым. В настоящей работе представлен метод восстановления параметров закрепления вязкоупругого стержня с переменной жесткостью, жестко закрепленного на левом конце и имеющего вязкоупругие связи на другом конце при известных смещениях, заданных (измеренных) в двух точках. Применен принцип соответствия для составления дифференциального уравнения собственных колебаний на основе модели стандартного вязкоупругого тела. Представлен способ сведения задачи к каноническому виду. Составлены вспомогательные задачи Коши для численного решения как прямой, так и обратной задачи методом пристрелки. Поскольку искомые параметры вязкоупругости содержатся только в граничных условиях, то произведена оценка влияния этих параметров на амплитуду смещения точек балки и разработан эффективный способ их реконструкции, представлены результаты вычислительных экспериментов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим колебания неоднородной вязкоупругой балки длины Ь. Будем считать, что левый конец балки защемлен, а правый — оперт, причем опора имеет вязкоупругие свойства. Для общего случая уравнение колебаний упругой балки переменной жесткости имеет вид [6]
(Е(х)3у" (х))'' - рЕш2у(х) = д, (1)
где з — распределенная нагрузка. Для изучения колебаний балки из вязкоупругого материала будем использовать модель стандартного вязкоупругого тела [7], для которого определяющее соотношение имеет вид
па + а = Епё + Не, (2)
где п — время релаксации, а — напряжение, Е — мгновенный модуль упругости, е — деформация, Н — длительный модуль упругости. Будем использовать принцип соответствия [7], согласно которому для изучения колебаний балки из вязкоупругого материала в уравнении (1) необходимо заменить модуль упругости комплексной функцией частоты координаты аналогично [8]. Вводя безразмерный параметр
4 р0Е014 2 00
и выражая
к2 I Ьо
ш =
I2 V Ро
(00 — характерная жесткость, р0 — характерная плотность материала, — характерная площадь поперечного сечения), получим, что в силу принципа соответствия необходимо заменить Е(х)на динамический модуль:
ВД + ik2 сд(£)
О0 / (£,к) = 00-
1 + 1к2с
где Н(£) = ^Рр, д(£) = ^Рр-, к2с = пш, £ = | — безразмерная координата, причем д(£) > Л,(£). Тогда аналог уравнения (1) для вязкоупругого случая имеет вид
(/(£,%'' (£))'' - к4у(£)= 30, (3)
Л. О. Ватульян, Л. В. Васильев. 06 определении параметров закрепления балки_
где ц0 = . Вязкоупругую связь на конце £ = 1 будем характеризовать 4 параметрами вязкоупруго-сти. Тогда граничные условия для уравнения (3) примут вид
Г у(0) = 0,
у ' (0) = 0
/(1, к)у '' ( 1, к) - ^(к)у'(1, к) = 0, К/(1, к)у ''(1,к))'+ (к)у(1, к) = 0,
(4)
где Е\(к) и (к) — комплексные функции вида
^ (к) =
в (1 + ¿ск2 д) 1 + ¿ск2
вi, , с — параметры вязкоупругости (далее считаем параметр с заданным). Для решения краевой задачи (3), (4) используем метод стрельбы [9]. Приведем (3) к каноническому виду:
у1 = у2,
у ' = уз у2 = / (£,*)'
у3 = у4 , у4 = к4 у1 + 30,
Г у1 (0, к) = 0,
у2(0,к) = 0,
/(1,к)уз(1,к) - Е1(к)у2(1,к) = 0,
I/(1,к)'у4(1,к)+ (к)у1 (1, к) = 0.
(5)
(6)
Решение краевой задачи (5), (6) получается путем формирования линейной комбинации решений с разными начальными условиями:
0 1 2 у = у + у с1 + у с2-
(7)
Здесь у0 — есть частное решение неоднородной задачи (6) с начальными условиями:
у0 (0) = 0, у0 (0) = 0, у0 (0) = 0, у 0 (0) = 0,
у1 и у2 — есть решения вспомогательных задач Коши для системы (6) при ц0 = 0 с начальными условиями:
1) у} (0) = 0, у1 (0) = 0, у1 (0) = 0, у4 (0) = 1,
2) у2 (0) = 0, у2 (0) = 0, у2 (0) = 1, у4 (0) = 0.
Удовлетворяя граничным условиям исходной задачи, получим, что с1 и с2 определяются из решения следующей алгебраической системы:
/(1, к)(у0(1, к) + у1(1, к)с1 + у32(1, к)с2) - ^1(к)(у20(1, к) + у1 (1, к)с1 + у2(1, к)с2) = 0, /(1, к)' (у4(1, к) + у4(1, к)с1 + у42(1, к)с2) + (к)(у0(1, к) + у1(1, к)с1 + у2(1, к)с2) = 0.
(8)
Проведена серия численных экспериментов для прямой задачи при законах неоднородности й(£) = £2 + 0.2, д(£) = 1 + £, с = 0.01. Амплитуда смещения при резонансном значении максимальна в вязкоупругом случае и принимает конечное значение в отличие от упругого случая, так как имеется затухание, обусловленное вязкоупругостью балки. Приведем сравнение амплитудно-частотных характеристик(АЧХ) для упругого и вязкоупругого случая, которое представлено на рис. 1.
30
20
10
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Рис. 1. АЧХ упругой и вязкоупругой балки
Крестики на рис. 1 обозначают амплитуды смещений для упругого случая, а кружочки для вязко-упругого, таким образом, вязкоупругие свойства балки на значение резонанса и значение амплитуды влияет достаточно сильно. Обозначим а = |у(1,к)|.
На рис. 2 изображены кривые, характеризующие участок АЧХ, соответствующий первому резонансу для разных параметров Кривая, соответствующая ^ = 1, обозначена квадратиками, ^ =2 — крестиками, ^ =3 — кружочками.
На рис. 3 изображены кривые, характеризующие участок АЧХ, соответствующий первому резонансу для разных параметров Ь\. Кривая, соответствующая Ь\ = 1, обозначена точками, Ь\ = 0.6 — плюсами, Ъ\ = 0.3 — крестиками, Ъ\ =0 — кружочками.
а
0.7
а
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
¡«Рг * • * + .
>х + * +
■ШУ
• X +
•х* *
-
х* + ■ - •х+ '
+ • к- и 1
'•к
2.1 2.2 к
Рис. 2. Зависимость АЧХ от параметра ql Рис. 3. Зависимость АЧХ от параметра Ъ\
На рис. 4 изображена АЧХ для неоднородности вида ) = — + 1.2, д(£) = 1.3 +
а 2
1.5 1
0.5
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 к Рис. 4. АЧХ при Ъ,($) = -£2 + 1.2, = 1.3 + £
Таким образом, вид функций Л,(£) и д(£) существенно влияет на резонансную частоту и амплитуду колебаний.
а
0
Л. О. Ватульян, Л. В. Васильев. Об определении параметров закрепления балки
2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
Рассмотрим несколько способов восстановления параметров, входящих в граничные условия. Пусть известны две резонансные частоты и комплексные значения перемещений. Тогда можно при помощи метода пристрелки восстановить неизвестные параметры в1 и в2. Решая систему (8) относительно параметров с1 и с2, получаем
Ь
с1 = - Р
ё
с2 = Р,
где
Р = 0,0 + 0,^1 (к) + 0,2 ^г(к) + оз^1 (к)^2 (к),
00 = /(1, к)/(1, к)(у2(1, к)у1 (1, к) - у2(1, к)у1 (1, к)), 01 = /(1, к)(у2(1, к)у1 (1, к) - у2(1, к)у1 (1, к)),
02 = /(1, к)(у4 (1, к)у1(1, к) - у2(1, к)у4 (1, к)), 03 = у2(1, к)у{ (1, к) - у2(1, к)у1 (1, к),
Ь = Ь0 + Ь1^1 (к) + Ь2 ^2 (к) + Ьз ^1(к)^2(к),
Ь0 = /(1, к)/(1, к)(у4(1, к)у2(1, к) - у0(1, к)у2 (1, к)), Ь1 = / (1, к)(у40(1, к)у2 (1, к) - у0(1, к)у42(1, к)),
Ь2 = /(1, к)(у0(1, к)у2(1, к) - у0(1, к)у2(1, к)), Ьз = у0(1, к)у2(1, к) - у°°(1, к)у2(1, к),
ё = ё0 + ё1 (к) + ё2 Р2(к) + ёз ^(ВД (к),
ё0 = /(1, к)/(1, к)(у0(1, к)у 2(1, к) - у00(1, к)у2(1, к)), ё1 = / (1, к)(у0(1, к)у1(1, к) - у0(1, к)у4 (1, к)),
ё2 = /(1, к)(у0(1, к)у1(1, к) - у0(1, к)у1 (1, к)), ёз = у0(1, к)у1 (1, к) - у0(1, к)у1 (1, к).
Решения содержат в себе (к) и Р2(к). Подставляя эти выражения в (7), получим формулы для расчета прогиба балки в произвольной точке. Будем считать, что для восстановления неизвестных параметров вязкоупругости известны две резонансные частоты и смещения в них, на основании этих данных составим систему двух уравнений
Г РА = -(у2 (1, к1 )Р2 (к1) + / (1, к1)' у2 (1, к1 ))у1(1, к1) + (у1 (1, к1)Р2 (к1) + / (1, к1)' у1 (1, к1))у2 (1, к1),
|РА2 = -(у2 (1, к2 )Р2 (к2) + / (1, к2 )' у2 (1, к2 )Ы(1, к2 ) + (у£ (1, к2^2 (к2 ) + / (1, к2 )' у1 (1, к2))у2 (1, к2 ),
(9)
где А1 и А2 — известные комплексные значения амплитуд. Решая систему (9), получаем два набора решений. Пример вычислительного эксперимента по реконструкции параметров вязкоупругости приведен в табл. 1.
Результаты реконструкции
Заданные вг и в2 Восстановленные вг и в2
вг = 0.2, в2 = 0.3 вг = 0.2004, в2 = 0.2994 вг = 31.384, в2 = -2.4799
„ Таблица 1
Отметим, что такой подход, как и в упругом ^
случае, дает два набора параметров. Учитывая, что в1 и в2 положительны по физическому смыслу, то второе решение можно отбросить. Также можно восстанавливать в1 и в2, если известно только одно резонансное значение к. При этом получим систему типа (9) путем разбиения условий на вещественную и мнимую части, но при такой схеме реконструкции возникает ещё 4 фантомных решения; результаты реконструкции представлены в табл. 2. Это свидетельствует о том, что для однозначной реконструкции искомых параметров необходимо иметь информацию о двух амплитудах.
Представленный выше подход приводит к нелинейной проблеме при реконструкции параметров вязкоупругости. Заметим, что можно составить простые линейные уравнения для нахождения неизвестных параметров и уже восстанавливать четыре различных параметра, тогда как восстановление более трех параметров в указанном выше способе вызывает трудности из-за нелинейности уравнений. Для этого необходимо знать амплитуды, измеренные в двух точках балки на одной частоте, в этом случае составим систему из двух уравнений относительно амплитуд:
Таблица 2
Результаты реконструкции
А = у0 (£1) + с1 у1 (£1) + с2 у2 (£1), А = у0 (£2) + с1 у1 (£2) + с2 у2(£2 ).
(10)
Заданные вг и в2 Восстановленные вг и в2
вг = 0.2, в2 = 0.3 вг = 0.2407, в2 = 0.2575 вг = 0.2132, в2 = 0.2860 вг = 0.2227, в2 = -0.2915 вг = -1434.3, в2 = -2.7329 вг = 0.2227, в2 = -0.29158
и
Решая (10) относительно С1 и с2 и подставляя полученные соотношения в (8), необходимо разделить уравнения в системе на мнимую и вещественную части и получить систему уравнений, линейно зависящих от искомых параметров вязкоупругости
С Яе (/(1, к)(у0(1, к) + у1(1, к)с1 + у2(1, к)с2) - ^\(к)(у0(1, к) + у1 (1, к)с1 + у2(1, к)с2)) = 0, 1т (/(1, к)(у0(1, к) + у1(1, к)с1 + у2(1, к)с2) - ^ (к)(у0(1, к) + у1 (1, к)с1 + у22(1, к)с2)) = 0, Яе (/(1, к)'(у0(1, к) + у4(1, к)с1 + у4(1, к)с2) + (к)(у?(1, к) + у1(1, к)с1 + у2(1, к)с2)) = 0, I 1т (/(1, к)' (у0(1, к) + у4(1, к)с1 + у4(1, к)с2) + *2(к)(у?(1, к) + у1(1, к)с1 + у2(1, к)с2)) = 0.
(11)
Были проведены численные испытания по восстановлению для функций, удовлетворяющих условию /0 Ла(£) ¿С = /0 Л,2(СВ табл. 3 представлены результаты при известных функциях (С) = С2 + 0.5333, д(С) = 1.3 + С, с = 0.01. В табл. 4 представлены результаты для Л.2(С) = — С2 + 1.2, я(С) = 1.3 + С, с = 0.01.
Таблица 3
Результаты реконструкции
к 2.01 2.32 2.23 2.19
Комплексное £ = 0.5 0.0415 - 0.1489« 0.0737 - 0.3419« 0.0323 - 0.2697« 0.0485 - 0.2525«
смещение £ = 1 0.1380 - 0.3375« 0.2428 - 1.0174« 0.1189 - 0.7631« 0.1634 - 0.7033«
Заданные А 0.2 2 2.2 1.3
в2 0.3 3 1.3 1.3
91 1.2 1.1 1.1 1.3
92 1.3 1.4 1.8 1.3
Реконструкция в1 0.2074 2.0044 2.2031 1.3293
в2 0.3001 2.9925 1.2989 1.2867
91 0.9970 1.1153 1.1848 1.3427
92 1.2660 1.4062 1.7340 1.2816
Результаты реконструкции Таблица 4
к 2.12 2.38 2.31 2.28
Комплексное £ = 0.5 0.2241 + 0.9055« 0.3860 + 0.7267« 0.3191 +0.7432« 0.0784 + 0.2352«
смещение £ = 1 1.1202 + 2.3020« 0.1033 + 0.2407« 0.0783 + 0.2514« 0.3180 + 0.6887«
Заданные в1 0.2 2 2.2 1.3
в2 0.3 3 1.3 1.3
91 1.2 1.1 1.1 1.3
92 1.3 1.4 1.8 1.3
Реконструкция в1 0.1925 3.0209 2.2163 1.2813
в2 0.3022 1.9917 1.2951 1.2987
91 1.3125 1.0914 1.0417 1.3103
92 1.3269 1.4118 1.8381 1.2852
Для выявления влияния погрешностей эксперимента на результаты реконструкции проведен вычислительный эксперимент. Проведено зашумление входных параметров при помощи аддитивной случайной добавки, результаты экспериментов представлены в табл. 5.
Таблица 5
Результаты реконструкции
к 2.28 2.28 2.28 2.28
Комплексное смещение £ = 0.5 0.0784 + 0.2352« 0.0784 + 0.2352« 0.0784 + 0.2352« 0.0784 + 0.2342«
£ = 1 0.3181 + 0.6887« 0.3181 + 0.6886« 0.3179 + 0.6886« 0.3180 + 0.6897«
Заданные в1 1.3 1.3 1.3 1.3
в2 1.3 1.3 1.3 1.3
91 1.3 1.3 1.3 1.3
92 1.3 1.3 1.3 1.3
Реконструкция в1 1.3068 1.3343 1.3901 0.8325
в2 1.2981 1.2923 1.2693 1.4713
91 1.5353 1.5255 0.8612 4.8804
92 1.2241 1.2322 1.4684 0.5734
Л. О. Ватульян, Л. В. Васильев. 06 определении параметров закрепления балки_
Результаты вычислительных экспериментов свидетельствуют о том, что при амплитуде зашумле-ния порядка 10~зискажения делают невозможным восстановление и д2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представлен новый способ оценки упругости опор балок переменной жесткости в упругом и вязко-упругом случаях по резонансным частотам. Получен метод восстановления параметров податливости опоры для различных типов неоднородности балки при известном резонансном значении и соответствующих ему амплитудах с достаточной точностью. Результаты вычислительных экспериментов позволили сделать вывод о том, что в вязкоупругом случае восстановление параметров происходит с меньшей точностью, чем в упругом случае.
Библиографический список
1. Углов А. Л., Ерофеев В. И., Смирнов А. Н. Акустический контроль оборудования при изготовлении и эксплуатации. М. : Наука, 2009. 279 с.
2. Глаголевский Б. А., Москаленко И. Б. Низкочастотные акустические методы контроля в машиностроении. Л. : Машиностроение, 1977. 203 с.
3. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и её приложения. М. : Физматлит, 2009. 272 с.
4. Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Ахтямо-ва А. А. Об определении закрепления и нагру-женности одного из концов стержня по собственным частотам его колебаний // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2013. Вып 3. С. 114-129.
5. Ватульян А. О., Васильев Л. В. Об определении параметров упругого закрепления неоднородной балки // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2015. Вып. 3. С. 14-20.
6. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М. : Машиностроение, 1970. 736 с.
7. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М. : Мир, 1974. 340 с.
8. Богачев И. В., Ватульян А. О. Обратные коэффициентные задачи для диссипативных операторов и идентификация свойств вязкоупругих материалов // Владикавказ. матем. журн. 2012. Т. 14, вып. 3. С. 31-44.
9. Калиткин Н. Н. Численные методы : учеб. пособие. СПб. : БХВ-Петербург, 2011. 586 с.
Образец для цитирования:
Ватульян А. О., Васильев Л. В. Об определении параметров закрепления неоднородной балки при наличии затухания // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 449-456. ЭО!: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-449-456.
Determination of Attaching Parameters of Inhomogeneous Beams in the Presence of Damping
A. O. Vatulyan1, L. V. Vasilev2
1 Alexandr O. Vatulyan, Southern Federal University, 105, B. Sadovaia str., 344006, Rostov-on-Don, Russia; Vladikavkaz Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences, 22, Markusa str., 362008, Vladikavkaz, Russia, vatulyan@math.sfedu.ru 2Leonid V. Vasilev, Southern Federal University, 105, B. Sadovaia str., 344006, Rostov-on-Don, Russia, leninid@mail.ru
Characterization of solids by additional data on displacements amplitudes or resonance frequencies have been increasingly attracting attention of researchers in recent years. Among the tasks of this type, the problems associated with definition of parameters describing boundary conditions and characterizing an interaction of the body studied with the surrounding bodies are of particular interest. In this paper, we investigate the problem of determining the parameters of the boundary conditions in a beam. We propose a new approach to solve the inverse problem of a reconstruction of the bearing parameters of an inhomogeneous viscoelastic beam with viscoelastic bonds on the right end and being fixed at the left end based on the analysis of the amplitude and shift phase of the displacement at two points at a fixed frequency. We have used the principle of conformity to derive the differential equation of oscillations based on the standard model of viscoelastic body. We present a way of reduction of the original problem to the canonical form. We have formulated the auxiliary Cauchy problems for a numerical solution of both direct and inverse problems by the false position method. Within the framework of the present model, we have performed the computational experiments to restore 4 parameters characterizing the viscoelastic bonds in the boundary conditions. We have analyzed the influence of changes in the parameters on the resonant frequency and on the displacements amplitude. The influence of the input data noise on the reconstruction of the desired parameters is investigated. It is revealed that the method proposed for the reconstruction of the unknown parameters can be employed in order to their retrieval in the boundary conditions with high accuracy.
Key words: differential equation of order 4 with variable coefficients, boundary conditions, vibrations, reconstruction, viscoelasticity.
References
1. Uglov A. L., Erofeev V. I., Smirnov A. N. Akus-ticheskij kontrol' oborudovaniya pri izgotovlenii i ehkspluatacii [Acoustic control equipment in manufacturing and operation]. Moscow, Nauka, 2009. 279 p. (in Russian).
2. Glagolevskij B. A., Moskalenko I. B. Nizkochastot-nye akusticheskie metody kontrolya v mashinos-troenii [Low-frequency acoustic methods of inspection in mechanical engineering]. Leningrad, Mashinostroenie, 1977. 203 p. (in Russian).
3. Akhtyamov A. M. Teoriya identifikacii kraevyh uslovij i eyo prilozheniya [The theory of identification of boundary conditions and applications]. Moscow, Fizmatlit, 2009. 272 p. (in Russian).
4. Ahtyamov A. M., Muftahov A. V., Ahtyamo-va A. A. Ob opredelenii zakrepleniya i nagruzhen-nosti odnogo iz koncov sterzhnya po sobstvennym chastotam ego kolebanij [Determination of loading and fixation of one end of the rod based on the natural frequencies]. Vestn. Udmurtsk. un-ta. Matem. Mekh. Komp'yut. nauki, 2013, vol. 3, pp. 114-129 (in Russian).
5. Vatulyan A. O., Vasilev L. V. Ob opredelenii parametrov uprugogo zakrepleniya neodnorodnoj
balki [Determination of the parameters of an inho-mogeneous beam elastic fixation]. Ekologicheskij vestnik nauchnyh centrov CHEHS, 2015, no. 3, pp. 14-20 (in Russian).
6. Philippov A. P. Kolebaniya deformiruemyx system [Oscillations of deformable systems]. Moscow, Mashinostroenie, 1970. 736 p. (in Russian).
7. Kristensen R. Vvedenie v teoriyu vyazkoupru-gosti [Introduction to the of viscoelasticity theory]. Moscow, Mir, 1974. 340 p. (in Russian).
8. Bogachev I. V., Vatulyan A. O. Obratnye koe-hfficientnye zadachi dlya dissipativnyh operatorov i identifikaciya svojstv vyazkouprugih materialov [The inverse coefficient problem for dissipative operators and identification of the properties of vis-coelastic materials]. Vladikavkazskij matematich-eskij zhurnal, 2012, vol. 14, iss. 3, pp. 31-44 (in Russian).
9. Kalitkin N. N. Chislennye metody : ucheb. poso-bie [Numerical methods. Tutorial]. St. Petersburg, BHV-Petersburg, 2011. 586 p. (in Russian).
Please cite this article in press as:
Vatulyan A. O., Vasilev L. V. Determination of Attaching Parameters of Inhomogeneous Beams in the Presence of Damping. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 449-456 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-449-456.
УДК 539.3
ИЗГИБ МНОГОСВЯЗНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
С. А. Калоеров1, А. И. Занько2
1 Калоеров Стефан Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории упругости и вычислительной математики, Донецкий национальный университет, kaloerov@mail.ru
2Занько Алена Игоревна, аспирант кафедры теории упругости и вычислительной математики, Донецкий национальный университет, all53700@mail.ru
Предложен приближенный метод определения напряженного состояния тонких плит с криволинейными отверстиями, заключающийся в использовании комплексных потенциалов теории изгиба анизотропных плит, аппроксимации контуров отверстий дугами эллипсов и берегами прямолинейных разрезов, конформных отображений, в представлении комплексных потенциалов рядами Лорана и определении неизвестных коэффициентов рядов обобщенным методом наименьших квадратов. Изотропные плиты рассматриваются как частный случай анизотропных плит. Численные исследования проведены для плиты с квадратными и треугольными отверстиями. Исследованиями установлена высокая степень точности получаемых результатов. Отмечены значительные отличия известных в литературе результатов от полученных данным подходом.
Ключевые слова: анизотропная пластинка, изотропная пластинка, криволинейное отверстие, комплексные потенциалы, обобщенный метод наименьших квадратов.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-456-464
ВВЕДЕНИЕ
Для плит с круговыми или эллиптическими контурами в свое время были разработаны методы решения задач определения напряженного состояния, основывающиеся на представлении исходных
