О колебаниях неоднородной пластины с упруго опертым краем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

DOI 10.18522/0321-3005-2016-2-35-40

О КОЛЕБАНИЯХ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ С УПРУГО ОПЕРТЫМ КРАЕМ*

© 2016 г. А.О. Ватульян, О.А. Потетюнко

Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; заведующий отделом дифференциальных уравнений, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru

Потетюнко Ольга Андреевна - студент, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: ol_potet73@mail.ru

Vatulyan Aleksandr Ovanesovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Head of Differential Equation Division, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru

Potetyunko Olga Andreevna - Student, Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: ol_potet73@mail.ru

Рассмотрена задача об определении перемещений и резонансных частот собственных колебаний круглой пластины переменной жесткости с различными граничными условиями. Задача сведена к краевой задаче для дифференциального оператора четвертого порядка с переменными коэффициентами и решена численно методом Ритца. Определены собственные частоты и формы колебаний, прогиб пластинки на заданной частоте. Решена обратная задача об определении коэффициентов жесткости на краю на основе различных подходов: с помощью измерения прогиба в некоторых точках и на основе измерения набора резонансных значений.

Ключевые слова: пластина, неоднородность, колебания, упругое закрепление, метод Ритца, реконструкция.

The problem of determining the displacement and the resonance frequencies of the natural oscillations of a circular plate of variable stiffness with different boundary conditions is considered. The problem is reduced to a boundary value problem for the fourth-order differential operator with variable coefficients and solved numerically with the Ritz method. The natural frequencies and mode shapes, plate deflection at a given frequency was determined. The inverse problem of determining the coefficients of stiffness at the edge based on different approaches was solved. The first approach is based on deflection measurements at certain points; the second one is based on measuring the resonance values set.

Keywords: plate, heterogeneity, vibrations, elastic fixation, the Ritz method, reconstruction.

Пластины широко применяются в различных областях современной техники - строительном деле, авиастроении, ядерных установках и т.д. Однако модели, основанные на гипотезе однородности, оказываются недостаточно адекватными для описания динамического поведения объектов, исследуемых в таких областях, как, например, геофизика и биомеханика. Кроме того, оценка влияния упругости закрепления неоднородной пластины важна в различных приложениях в технике, а также в биомеханике для изучения заднего отдела склеры, моделируемого пластиной переменной жесткости [1]. На деформативность такого объекта существенное влияние оказывают коэффициенты жесткости, характеризующие упругость склеры. Определение этих коэффициентов позволяет как уточнить модель деформирования решетчатой пластины, так и

проводить более точно оценку величины внутриглазного давления. Поставленная задача относится к обратным задачам, которым присуща некорректность в той или иной форме [2, 3].

К настоящему моменту изучены задачи реконструкции граничных условий для различных упругих тел [4]. Одной из наиболее значимых работ является [5], где описаны математические модели для диагностирования параметров закрепления различных объектов по собственным частотам и исследована корректность соответствующих задач. Решены различные задачи восстановления параметров для стержней [6], мембран [7]. Подобная задача об отыскании вида закрепления круговой пластины, недоступного для непосредственного наблюдения, по собственным частотам ее осесимметричных из-гибных колебаний решена в [8], причем определя-

*Работа выполнена при частичной поддержке проекта «Математическое моделирование неоднородных и многофазных структур» (в рамках программы фундаментальных исследований по стратегическим направлениям развития науки Президиума РАН № 1 «Фундаментальные проблемы математического моделирования»).

ется лишь тип закрепления пластины, но не параметры закрепления, для пластины постоянной жесткости на основе явного вида частотного уравнения. Для пластины переменной жесткости этого осуществить нельзя.

В настоящей работе рассматривается задача об определении перемещений и резонансных частот собственных колебаний круглой упругой пластины переменной жесткости с различными граничными условиями, в том числе упругого опирания. При этом изгибная жесткость пластины считается функцией радиальной координаты. Задача сведена к краевой задаче для дифференциального оператора четвертого порядка с переменными коэффициентами и решена численно методом Ритца. Определены собственные частоты и формы колебаний, а также прогиб пластины на заданной частоте. Проведено сравнение результатов, полученных с помощью метода Ритца, с известным аналитическим решением для однородной круглой пластины в статике. Решена обратная задача об определении коэффициентов жесткости на краю на основе различных подходов. Первый основан на измерении прогиба в некоторых точках, второй — на измерении резонансных частот. Проведен ряд вычислительных экспериментов по определению прогиба упруго опертой пластины переменной жесткости и коэффициентов упругости заделки.

Постановка задачи

Рассмотрим установившиеся изгибные осесим-метричные колебания круглой упругой пластины радиуса а переменной жесткости под действием распределенной нагрузки ц. Полагаем, что цилинд-

Е(£)к3

рическая жесткость пластины О(д) =-— есть

12(1 — у2)

функция радиальной координаты, где Е(£) - модуль Юнга; к - толщина пластины; V - коэффициент Пуассона.

Для описания колебаний использован вариационный подход, причем функционал Гамильтона — Остроградского в случае установившихся колебаний имеет вид, указанный в [9].

Будем моделировать колебания пластины с упругим опиранием на краю с помощью добавления некоторых пружин с жесткостями С и С2 соответственно, причем С характеризует жесткость пружины на вертикальное смещение, С2 — на поворот.

Потенциальная энергия этих пружин

1 ? 1 '9

= ^С1Ж (а) + -С2(Ж (а))2, где Ж = -

функция поперечного прогиба пластины. Соответст-

венно, общий функционал для упруго опертой пластины складывается из функционалов F[W\ и F0[W\:

2

F-[W ] = F0[W ] + F[W ] = -J '(#)] +

2 ñ

W (4)

4

+2

a nr^h a

- J w(4)q0 (4Ш - pT- Jw2 (4Ш + 0 2 0

1 7 1 '7

+1 CiW (a) +1 C2(W (a))2.

Введем безразмерные параметры и переменные по формулам D(ar)D-1 = f (r), D0 = max D(£), w = aW ,

к2 = pa2-a 4 Do1, gi = Cia 2 D-1 , g 2 = C2 Do1, q(r) = q0(ar)a-3, r = i;a-1, где f (r) - безразмерная жесткость; к - безразмерный спектральный параметр, связанный с частотой колебаний.

Безразмерный функционал для рассматриваемой задачи представим в виде

i i

F V] = - J f (r)lw' \r)]2 +

2 П

w ' (r)

(1)

+ 2v

w' (r )w'' (r)

rdr — J q(r)wrdr —

J w2 (r)rdr + g- w2(i) + (W(i))2 .

g 2

2

2

2

Используя необходимое условие экстремума [10], проварьируем функционал (1) и преобразуем выражение для первой вариации, интегрируя по частям. Далее, приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях, получим уравнение колебаний

Lw = (/м'' г) ''—(/г -1 м' )'+

+ У[07 '—(№ ')*\-к2гм = цг (2)

и соответствующие граничные условия М1м = {— (/М"г)'+/г )'+

+ г=, = М1 м + gl М = 0, (3)

' =1 1г=1

М2м = {/М"г +уМ'+g2м'| = М0м + g2м\ = 0 .

г=1 I г=1

Отметим, что уравнение (2) совпадает с приведенным в [9].

Решение задачи с использованием метода Ритца

Поскольку оператор в (2) имеет переменные коэффициенты, аналитическое исследование задачи невозможно. Для нахождения м используем метод Ритца [11]. В соответствии с этим методом представим функцию прогиба в виде линейной комбинации

2

+

2

+

r

r

0

0

w(r) = ^ скфк (г) ;

к=1

(4)

1°. Lw0 = rq(r), = 0.

(8)

M0 w0

M 20 Wo

= 0 .

г=1

M1 w1

M 0 wA = 1.

\г=1

3°. Lw2 = 0, M0w2\ = 1, M 2 w2

iг=1 1г=1

= 0.

строены также методом Ритца. При этом соответствующий функционал имеет вид

где ск - некоторые коэффициенты; <рк - базисные функции, в качестве которых примем

< (г) = Г 2(к-1), к = 1,2...N. (5)

Для нахождения параметров ек подставим (4) в функционал (1) и, используя необходимое условие экстремума для (1), получим систему линейных уравнений с симметричной матрицей относительно неизвестных коэффициентов разложения ск

N

£ СкАкт = Ьт , (6)

к=1

1 1

где Акт = 1 /(г){< '' (гУРт " (г) + -1 <к ' (г)<т '(г) +

0 Г

+ " (Г )<т '(Г) + <т " (Г )<к ' (Г )]|г^Г -

1

- К 1 <к (Г)<т (Г)ГйГ + 8\<Рт (1)<к (1) + Я2<т ' « ' (1) , 0

1

Ьт =1<т (ГМГ)Г^ .

0

Решая систему (6) и находя коэффициенты ек, получим искомую функцию прогиба в виде (4). Отметим, что из условия det А^, = 0 могут быть найдены приближения к резонансным значениям пластины [12].

Обратная задача

Сформулируем обратную задачу об определении параметров 81 и 82 по известному прогибу *(Гк) = Ак, к = 1,2...т. Отыскание 81 , & 2 может быть осуществлено методом наименьших квадратов, однако в силу неквадратичности функционала невязки эта процедура приводит к вычислительным проблемам при реализации. Выясним структуру решения в зависимости от параметров 81, 82. Представим прогиб пластины в виде

* = + С1*1 + С2 *2, (7)

где *0, , *2 - решения вспомогательных задач, не зависящих от , £2:

2°. Ьм>х = 0,

= 0,

1 1 2 F 0[w] = - J f (r){[w' '(г)] +

2 n

w (г)

+ 2v

w ' (r)w' '(г)

rdr - a0 J q(r)w(r)rdr -

к г 2

--1 м> (г)ыг + *(1) + а2м>' (1) .

2 0

Краевые задачи 1°-3° можно сформировать соответствующим выбором параметров а , а , а . Задаче 1° соответствуют а0 = 1, а = а2 = 0; задаче 2° - а0 = 0, а1 = 0 , а2 =-1; задаче 3° - а0 = 0, а1 = -1, а2 = 0. Определим теперь С1 и С2 в (8) из условия, что * удовлетворяют краевой задаче

2 1

Lw = rq(r) , Mj°w + gjw = 0 .

I г=1

M 0 w + g 2 w' = 0. I г=1

(9)

Из второго и третьего условий (9) получим систему, связывающую С1, С2 и ^ , &2:

С^^О) + С2(1 + £1*2(1)) =-£1*2,(1) , (10)

С1 (1 + £2 '(1)) + С2£2 *2' (1) = -&2 *0 '(1) . На основе (10) можно сформировать два подхода к реконструкции. В первом подходе на основе (7) составим систему уравнений относительно С1, С2

) -*0(Г) = С1*1(Г) + С2*2(Г) , * = 1,2 , (11) откуда, найдя из (11) Сь С2, из (10) определяем искомые параметры £ , £ . Во втором подходе из (10) С1, С2 находятся по формулам Крамера

С1 = —, С2 = . Прогиб в точках г! тогда выра-А А

жается следующим образом:

1

w(i-t) = w0 (г ) + — (A1w1 (г ) + А 2 w2 (г )) : А

(12)

или, проводя несложные преобразования, получим

М,(гг) = a0g1g 2 + a1g1 + a2g 2 + a3

где a.

0 :

В (8) оператор Ь определен в (2), а М°, М° -операторы из краевых условий (3), не содержащие & и £2. Решения всех задач 1°-3° могут быть по-

а0 £1 £ 2 + а1&1 + а2 £ 2 + 1 а0 , а1, а2 , а3 - известные коэффициенты.

Таким образом, из условий *(Гк) = \, к = 1,2..т получаем относительно &, 82 нелинейную систему, которая, вообще говоря, является переопределенной. Наиболее интересны ситуации при т = 2, 3. Так, при т = 2 система имеет вид

Ь0 81 82 + Ь1 81 + Ь282 + й3 = 0 , (13)

йо 818 2 + й12 81 + ь2 8 2 + Ьз2 = 0.

В этом случае налицо неединственность решения задачи реконструкции, которую можно преодолеть, используя условие положительности ис-

N

2

+

г

г

0

г=1

г=1

комых параметров. Отметим, что при подходе к решению задачи, основанном на измерении резонансных частот, из условия А = 0 также получаем систему вида (13).

Вычислительные эксперименты

Прямая задача. Для проведения вычислительных экспериментов составлена программа для решения различных краевых задач (2), (3), (9) для пластины методом Ритца в среде Maple. Программа апробирована на задаче изгиба пластины с постоянной жесткостью в статике, которая имеет точное аналитическое решение [13]. Погрешность результатов, найденных с помощью метода Ритца, составила не более 4 %. Также исследована зависимость решения от числа координатных функций N. Установлено, что при N > 8 первые два резонансных значения не изменяются.

Здесь и далее в расчетах принято v = 0,4 .

Проведена серия расчетов по определению резонансных значений при различных величинах параметров gj, g2: 1) g1 = g2 = 104, что может моделировать жесткую заделку (1-й тип); 2) g1 = 104 — шарнирное опирание по контуру (2-й тип); 3) g1 = g2 = 10 4 — свободный край (3-й тип).

Кроме того, выбор параметров g1 = 10 4, g 2 = 104 моделирует плавающую заделку, однако в силу малого влияния коэффициента g полученные результаты качественно будут близки к 1 -му типу. В таблице приведены численные значения собственных частот при различных типах закрепления и законах распределения цилиндрической жесткости D(r): а) D(r) = 1; б) D(r) = 1 + r2 (монотонно возрастающая функция); в) D(r) = e r (монотонно убывающая функция).

Отметим, что при весьма больших диапазонах изменения параметров g, g2 (8 порядков) резонансные значения меняются в диапазоне [3, 12,5].

На рис. 1 представлена зависимость w(0,k) для первых двух типов заделки (штриховая линия - 1-й тип, точки - 2-й тип) и w(1,k) - для третьего типа (сплошная линия).

1

■ J 10 15 к

■ 5 / -V * / /

Рис. 1. Зависимость первого резонансного значения от условий закрепления

Нетрудно видеть, что резонансные значения для типа 1 превосходят значения для типов 2 и 3.

На рис. 2 представлена зависимость первого резонансного значения от ^ , ^ .

6,5 104 4.5-10"

Рис. 2. Поверхность к = K(g^, g2 )

Зависимости резонансных значений от закона неоднородности D(r) и параметров g , g2

D(r ) g1 = g 2 = 104 gl = 104 , g2 = 10-4 g1 = g 2 = 10 4

K1 к2 к3 K1 к2 к3 K1 к2 к3

1 10,2126 39,7162 88,8136 5,0778 29,8178 74,1604 3,8500 21,2500 61,5500

1+r2 12,3346 46,0320 101,8247 5,7570 34,068 84,530 4,1500 23,4500 69,5500

e-r 7,4405 30,1597 68,2416 3,9568 22,9181 57,2254 3,2500 17,4500 49,7500

Из рис. 2 видно, что поверхность является весьма пологой; первое резонансное значение весьма мало меняется при достаточно широком диапазоне изменения ^, £2.

Обратная задача. При восстановлении параметров g1, g2 задача решалась двумя описанными выше способами. В первом замеряется прогиб в двух точках, например, в точках 1 и 1/2. Восстановление происходило по двум схемам, описанным выше; во втором использованы два первых резонансных значения 1С. При втором способе задача будет иметь два решения, одно из которых отсекается условием положительности параметров ^, ^.

Для понимания ситуации изобразим графики функций, входящих в (13), для g1 = g2 = 50. Нетрудно показать, что каждое из уравнений представляет собой гиперболу с асимптотами, параллельными осям координат, поскольку может быть преобразовано к виду

Ь0 glg2 + + Ь2 g2 + Ь3 = (14)

= Ьо^1 - - ^2) + йъ = 0 .

На рис. 3 представлены гиперболы, соответствующие уравнениям системы (13), причем крестиками обозначены точки пересечения - решения системы. Нетрудно видеть, что эта система имеет два решения, при этом одно из них может быть отброшено как не удовлетворяющее условию положительности (g1 > 0, g 2 > 0).

Рис. 3. Изображение гипербол, входящих в (13)

Сравнение восстановленных по замеру прогиба в двух точках значений ^, ^ с исходным показало достаточную степень точности. При зашумлении исходных данных (прогибов) по закону ) = w(%i )(1 + в), где е= 10-5; в - случайная функция с равномерным законом распределения на [-1, 1], ^ восстанавливается с погрешностью в тысячные доли процента, ^ — ~9 %.

Заключение

На основе метода Ритца изучены задачи о деформировании и собственных колебаниях круглой упругой пластинки переменной жесткости с различными типами закрепления под действием равномерно распределенной нагрузки. Построены зависимости перемещений и резонансных значений от параметров закрепления. Приведены результаты вычислительных экспериментов для различных законов изменения жесткости. Определены с достаточной точностью коэффициенты жесткости на основе двух подходов.

Литература

1. Математические модели и компьютерное моделирование в биомеханике / под ред. А.В. Зинков-ского и В.А. Пальмова. СПб., 2004. 516 с.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишат-ский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М., 1980. 286 с.

3. Ватульян А.О., Беляк О.А., Сухов Д.Ю., Явру-ян О. В. Обратные и некорректные задачи. Ростов н/Д., 2011.232с.

4. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе граничных задач в динамической теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64, № 3. С. 373 — 380.

5. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и её приложения. М., 2009. 272 с.

6. Ватульян А.О., Васильев Л.В. Об определении параметров упругого закрепления неоднородной балки // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2015. № 3. С. 14 — 19.

7. Ахтямов А.М. Диагностика закрепления прямоугольной мембраны по собственным частотам ее колебаний // Акуст. журн. 2006. Т. 52, № 3. С. 293 — 296.

8. Ахтямов А.М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акуст. журн. 2003. Т. 49, № 3. С. 325 — 331.

9. Аникина Т.А., Ватульян А.О., Углич П.С. Об определении переменной жесткости круглой пластины // Вычисл. технологии. 2012. Т. 17, № 6. С. 26 — 35.

10. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М., 1961. 228 с.

11. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970. 512 с.

12. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М., 1970. 734 с.

13. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963. 635 с.

References

1. Matematicheskie modeli i komp'yuternoe modelirovanie v biomekhanike [Mathematical models and computer simulations in biomechanics]. Ed. A.V. Zinkovskii, V.A. Pal'mov. Saint Petersburg, 2004, 516 p.

2. Lavrent'ev M.M., Romanov V.G., Shishatskii S.P. Nekorrektnye zadachi matematicheskoi fiziki i analiza [Incorrect problems of mathematical physics and analysis]. Moscow, 1980, 286 p.

3. Vatul'yan A.O., Belyak O.A., Sukhov D.Yu., Yavruyan O.V. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and incorrect problems]. Rostov-on-Don, 2011, 232 p.

4. Vatul'yan A.O., Vorovich I.I., Solov'ev A.N. Ob odnom klasse granichnykh zadach v dinamicheskoi teorii uprugosti [On a class of boundary value problems in a dynamic elasticity theory]. PMM, 2000, vol. 64, no 3, pp. 373-380.

5. Akhtyamov A.M. Teoriya identifikatsii kraevykh uslovii i ee prilozheniya [The theory of identification of boundary conditions and its application]. Moscow, 2009, 272 p.

Поступила в редакцию

6. Vatul'yan A.O., Vasil'ev L.V. Ob opredelenii parametrov uprugogo zakrepleniya neodnorodnoi balki [Determination of the parameters of an inhomogeneous elastic securing beams]. Ekol. vestn. nauch. tsentrov ChES, 2015, no 3, pp. 14-19.

7. Akhtyamov A.M. Diagnostika zakrepleniya pryamougol'noi membrany po sobstvennym chastotam ee kolebanii [Diagnosis of fixing rectangular membrane using natural frequencies of its oscillations]. Akust. zhurn., 2006, vol. 52, no 3, pp. 293-296.

8. Akhtyamov A.M. Mozhno li opredelit' vid zakrepleniya koleblyushcheisya plastiny po ee zvuchaniyu? [Is it possible to determine the type of fastening of the vibrating plate in its sound?]. Akust. zhurn., 2003, vol. 49, no 3, pp. 325-331.

9. Anikina T.A., Vatul'yan A.O., Uglich P.S. Ob opredelenii peremennoi zhestkosti krugloi plastiny [Determination of the circular plates of variable stiffness]. Vychisl. tekhnologii, 2012, vol. 17, no 6, pp. 26-35.

10. Gel'fand I.M., Fomin S.V. Variatsionnoe ischislenie [Calculus of variations]. Moscow, 1961, 228 p.

11. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike [Variational methods in mathematical physics]. Moscow, 1970, 512 p.

12. Filippov A.P. Kolebaniya deformiruemykh system [Fluctuations of deformable systems]. Moscow, 1970, 734 p.

13. Timoshenko S.P., Voinovskii-Kriger S. Plastinki i obolochki [Plate and shell]. Moscow, 1963, 635 p.

5 апреля 2016 г.