CC BY
27
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
УДК 534.1
DOI 10.23683/0321-3005-2018-2-35-44
ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЕПЛОВОГО ИМПУЛЬСА*
© 2018 г. Н.Ф. Морозов1, Д.А. Индейцев1,2,3, А.В. Лукин2, И.А. Попов2, О.В. Привалова2, Л.В. Штукин2,3
1 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия,
2Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Россия,
3Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Россия
DYNAMICS AND STABILITY OF ELECTROSTATIC TRANSDUCER UNDER THE INFLUENCE OF HEAT IMPULSE
N.F. Morozov1, D.A. Indeitsev1,2,3, A.V. Lukin2,1.A. Popov2, O.V. Privalova2, L.V. Shtukin2,3
1St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia,
2Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russia,
3Institute of Problems of Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, Russia
Морозов Никита Федорович - доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН, заведующий кафедрой теории упругости, математико-механический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., 28, Старый Петергоф, г. Санкт-Петербург, 198504, Россия, е-mail: n.morozov@spbu.ru
Индейцев Дмитрий Анатольевич - доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, кафедра теории упругости, математико-механический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет, Университетский пр., 28, Старый Петергоф, г. Санкт-Петербург, 198504, Россия; научный руководитель, Институт проблем машиноведения РАН, Большой пр., 61, г. Санкт-Петербург, 199178, Россия; заведующий кафедрой механики и процессов управления, Институт прикладной математики и механики, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, ул. Политехническая, 29, г. Санкт-Петербург, 195251, Россия, е-mail: dmitry.indeitsev@gmail.com
Лукин Алексей Вячеславович - аспирант, ассистент, кафедра механики и процессов управления, Институт прикладной математики и механики, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, ул. Политехническая, 29, г. Санкт-Петербург, 195251, Россия, е-mail: lukin_av@spbstu.ru
Попов Иван Алексеевич - аспирант, ассистент, кафедра механики и процессов управления, Институт прикладной математики и механики, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, ул. Политехническая, 29, г. Санкт-Петербург, 195251, Россия, е-mail: popov_ia@spbstu. ru
Nikita F. Morozov - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Academician, Russian Academy of Sciences, Head of the Department of Elasticity Theory, Faculty of Mathematics and Mechanics, St. Petersburg State University, Universitetskii Pr., 28, Peterhof, St. Petersburg, 198504, Russia, е-mail: n.morozov@spbu.ru
Dmitry A. Indeitsev - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member, Russian Academy of Sciences, Department of Elasticity Theory, Faculty of Mathematics and Mechanics, St. Petersburg State University, Universitetskii Pr., 28, Peterhof, St. Petersburg, 198504, Russia; Scientific Advisor, Institute of Problems of Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences, Bolshoi Ave., 61, St. Petersburg, 199178, Russia; Head of the Department of Mechanics and Control Processes, Institute of Mathematics andMechan-ics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Polytechnicheskaya St., 29, St. Petersburg, 195251, Russia, е-mail: dmitry. indeitsev@gmail. com
Aleksey V. Lukin - Postgraduate, Assistant, Department of Mechanics and Control Processes, Institute of Mathematics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Polytechnicheskaya St., 29, St. Petersburg, 195251, Russia, е-mail: lukin av@spbstu.ru
Ivan A. Popov - Postgraduate, Assistant, Department of Mechanics and Control Processes, Institute of Mathematics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Polytechnicheskaya St., 29, St. Petersburg, 195251, Russia, е-mail: popov_ia@spbstu.ru
*Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 17-01-0414.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
Привалова Ольга Васильевна - кандидат технических наук, доцент, кафедра механики и процессов управления, Институт прикладной математики и механики, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, ул. Политехническая, 29, г. Санкт-Петербург, 195251, Россия, е-mail: o.privalova@mail.ru
Штукин Лев Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра механики и процессов управления, Институт прикладной математики и механики, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, ул. Политехническая, 29, г. Санкт-Петербург, 195251, Россия; старший научный сотрудник, лаборатория математического моделирования волновых процессов, Институт проблем машиноведения РАН, Большой пр., 61, г. Санкт-Петербург, 199178, Россия, e-mail: Lvtvsh4749@gmail.com
Olga V. Privalova - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Mechanics and Control Processes, Institute of Mathematics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Polytechnich-eskaya St., 29, St. Petersburg, 195251, Russia, е-mail: o.privalova@mail.ru
Lev V. Shtukin - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mechanics and Control Processes, Institute of Mathematics and Mechanics, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Polytechnicheskaya St., 29, St. Petersburg, 195251, Russia; Senior Researcher, Laboratory for Mathematical Modelling of Wave Phenomena, Institute of Problems of Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences, Bolshoi Ave., 61, St. Petersburg, 199178, Russia, e-mail: Lvtvsh4749@gmail.com
Рассмотрена задача об импульсном лазерном воздействии на упругий элемент электростатического преобразователя в виде защемленной с двух концов проводящей микробалки. Исходное положение равновесия балки под действием электрического поля найдено путем применения проекционного метода Галеркина к нелинейному уравнению электроупругости и его дальнейшего решения с помощью численных методов теории ветвления. Показано, что положений равновесия упругого элемента либо два (устойчивое и неустойчивое), либо ни одного при достаточно сильном электрическом поле. Вычислено поле температуры в балке при действии импульса. Динамика балки в окрестности найденного положения равновесия при температурном воздействии исследована путем перехода от континуальной проблемы к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для анализа полученной системы использованы теоремы об устойчивости решений линейных систем с переменными коэффициентами. Указано на возможность потери устойчивости положения равновесия при нагреве элемента лазерным импульсом. Определены области в пространстве параметров импульса, соответствующие устойчивости и неустойчивости указанного положения равновесия.
Ключевые слова: упругая устойчивость, лазерное воздействие, микроэлектромеханические системы, связанные задачи, динамика.
Laser-induced vibrations and elastic stability of a clamped-clamped beam electrostatic transducer are considered under ultrafast laser pulse. It is assumed that laser pulse acts as volume heat generation with Gaussian time-profile localized in near-surface layer of the beam. Temperature load non-stationarity and non-homogeneity through length and thickness lead to appearance of thermal-induced mechanical moment and axial forced acting on the beam, which can result in buckling phenomena. Semi-analytical methods for solution of nonlinear boundary-value problems are used for static equilibrium determination of the beam in the electric field of one stationary electrode. Analytical solution of non-stationary temperature problem in the beam volume is obtained. Finally, areas in parameter space of system geometrical and mechanical properties along with laser pulse characteristics are determined which correspond to elastic stability of initial equilibrium form of the beam subjected to laser pulse.
Keywords: elastic stability, laser-induced vibrations, microelectromechanical systems, coupled-field problems, dynamics.
Введение
Проблема динамической устойчивости элементов конструкций представляет собой практически важную и далеко не полностью изученную область исследований. К примеру, в работах [1-4] показано, что критические значения усилий, при которых происходит потеря устойчивости, могут существенно отличаться от известных статических (эйлеровых) значений.
Причиной тому может служить неучет дополнительных динамических степеней свободы в выбранной модели элемента конструкции. В указанных выше работах учет продольных волн сжатия-растя-
жения приводит к явлению параметрического резонанса, что существенно меняет всю картину динамической потери устойчивости.
Вызывает интерес присутствие указанной выше проблемы динамической устойчивости в ряде весьма актуальных задач науки и техники. Прежде всего, указанное явление встречается при применении лазерных технологий для неразрушающего контроля конструкций и изучения физических свойств материалов на микро- и наномасштабном уровнях, а также при осуществлении технологических процессов производства элементов нано- и микросистемной техники [5-7]. Кроме того, подобные задачи возникают при обеспечении работоспособности
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
нано- и микроэлектромеханических систем в условиях внешних нестационарных (в том числе ударных и импульсных тепловых) воздействий [8-10]. Именно в работах [11, 12] на примере модели балки Бернулли - Эйлера отмечается, что большое влияние на динамику микро- и наномасштабных конструкций при лазерном импульсном воздействии оказывают изгибающие моменты, вызванные неравномерным распределением температуры по объему упругого элемента.
В настоящей работе показано, что действие температурного изгибающего момента менее важно с точки зрения динамики и устойчивости упругих элементов нано- и микросистемной техники, чем действие ранее не учитываемых осевых (мембранных) усилий, имеющих тепловую природу. Кроме того, установлено, что наличие предварительного напряженно-деформированного состояния, вызванного технологическими факторами или действием электростатического поля, существенно влияет на критические значения осевых усилий и связанных с ними предельных тепловых нагрузок.
Постановка задачи
Рассматривается задача об импульсном лазерном воздействии на упругий элемент электростатического преобразователя (рис. 1).
Рис. 1. Схема электростатического преобразователя / Fig. 1. Model of electrostatic transducer
В качестве модели, описывающей динамику данного элемента, выберем модель балки Бернулли -Эйлера. Особенностью её поведения в настоящей задаче является необходимость учета предварительного напряженно-деформированного состояния. Последнее вызвано двумя факторами. Во-первых, технология сборки такова, что исходная длина недеформированной балки может быть больше расстояния между опорами, что создает дополнительное сжимающее усилие. Во-вторых, балке как подвижному электроду электростатического преобразователя сообщается стационарная разность потенциалов V с неподвижным электродом, что создает предварительный прогиб ws(x) под действием сил притяжения в электростатическом поле.
Примем, что действие лазерного импульса Q (х, z, t) на поверхность балки сводится в основном
к появлению теплового фронта, распространяющегося по её объему [13]. Неравномерность и нестационарность поля температуры как по толщине, так и по длине балки в общем случае приводят к появлению изгибающего момента [11, 14] и осевого усилия, ответственных за возможную потерю устойчивости.
Основные уравнения рассматриваемой физически нелинейной связанной задачи термоэлектроупругости, описывающие динамический изгиб балки, имеют вид
. о h
n,d*w d2w г2 Згв ,
Я/ — + pbh— + EbaT i\z—2dz +
2
+ [ffoh^ + EbaT f2h6dz
Ebh rL (dw\2 ,
- — Jo Ы dx
2L J0 \dx
*2в д2в
hl
2
d2w
dx2
(д2в д20\ . - _ дв Q де
\JT2 + w) + q(z, Q ~Pc^Tt+ PT°Tf
ere0bV2 2(d-w)2’ дв_ dt
к
(1)
Здесь x,z - продольная и вертикальная координаты соответственно; t - время; w(x, t) - поперечное перемещение геометрического центра сечения балки; в(х, z,t) = Т (х, z, t) — Т° - изменение температуры относительно отсчетной температуры Т° ; b, h,L,d - геометрические параметры системы: ширина, высота, длина балки и начальный зазор между
. bh3
электродами соответственно; 1 = - момент
инерции сечения; Е - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона; р - плотность материала; ат - коэффициент линейного температурного расширения; еге° - диэлектрическая проницаемость среды в зазоре между электродами; к - коэффициент теплопроводности материала балки; cv - удельная теплоемкость; Р = ^ - коэффициент, связывающий
приращение температуры со скоростью изменения объема деформируемого тела; е = —z^^;
Р = Ebh^- - сжимающая осевая сила, вызванная технологическими факторами. В целях некоторого упрощения задачи будем считать лазерное воздействие равномерным по длине балки. Примем, что объемное тепловыделение при действии лазера имеет вид
Q(z,t)=^t.exvH — l
(2)
Здесь L° - параметр, характеризующий мощность воздействия; Ra - коэффициент поглощения облучаемой поверхности; S - характерная глубина проникновения импульса в материал; tp - длительность импульса.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
Поясним физический смысл силовых и момент-ных факторов, присутствующих в первом из уравнений (1). Третье слагаемое в левой части уравнения описывает действие «температурного момента» - изгибающего момента, вызванного неравномерным по длине балки температурным расширением материала. В случае равномерного по длине объемного тепловыделения единственной причиной возникновения этого момента является факт связанности механического и температурного полей по закону Дюамеля - Неймана [15]. Слагаемые в квадратных скобках описывают осевые усилия различной природы, оказывающие влияние на динамику системы. В предложенной модели учитываются сжимающая сила технологического происхождения EbhД^ и растягивающая, связанная с удлинением центральной линии при поперечных деформациях. В правой части уравнения стоит пон-деромоторная сила электростатического поля, имеющая существенно нелинейный характер [16].
Определение формы равновесия балки в электрическом поле
Краевая задача для нахождения статического прогиба ws (х) получается из общей системы уравнений (1) отбрасыванием инерционных членов в условиях отсутствия теплового воздействия. Переходя к безразмерным величинам (продольной координате х = x/L и прогибу ws = ws/d ), получим следующую нелинейную граничную задачу:
d4w-
дх4
+
Pnon - «l/o^lf) d5t
d2w-
Я
дх2 (l-ws)2'
ws(0) = f^0) = ws(l) = ^(l) = 0,
(3)
где
А2
L Д L
а1 6 (hi ’ Рпоп 12 h h ’ X
6 erenL4V2
, = 12 X = (4)
U) ' lnon h h ’ X Eh3d3 ' ( )
Параметр а1 характеризует степень геометрической нелинейности задачи и связанной с этим важности удлинения осевой линии балки при изгибе; Рпоп есть безразмерная осевая сила, вызванная технологическими факторами; параметр X зависит от величины электрического поля и равен отношению энергии электрического поля при нулевом прогибе к потенциальной энергии упругой деформации при прогибе балки на полную величину зазора.
Не останавливаясь подробно на решении этой задачи, отметим, что она не допускает точного аналитического решения. Для получения приближенного решения авторы воспользовались методом Галер-кина, где координатные функции выбраны в виде собственных функций сжатой защемленной балки в отсутствие электрического поля [17, 18]. Отметим, что в системе наблюдается известная катастрофическая бифуркация с исчезновением форм равновесия при достижении параметром X определенного критического значения (регулярной экстремальной точки, pull-in instability [16]).
На рис. 2 показана диаграмма ветвления положений равновесия в зависимости от значений параметра X. По оси ординат откладывается прогиб в центральном сечении балки.
а /а
А
б/Ь
Рис. 2. Диаграмма ветвления форм равновесия / Fig. 2. Bifurcation diagram for equilibrium forms
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
Как видно из рис. 2а, увеличение отношения расстояния между электродами d к высоте балки h (4) и связанный с этим рост влияния фактора ужесточения балки при изгибе приводят к увеличению максимальных устойчивых прогибов и соответствующих им величин силы электрического поля. Как видно из рис. 2б, рост первоначального конструктивного поджатия приводит к уменьшению критического значения силы электрического поля, при которой происходит катастрофическая бифуркация. Отметим, что значение осевой силы Рпоп, при котором бифуркационным становится 1 = 0, отвечает величине Рсгц эйлеровой критической силы для сжатого стержня.
Определив исходное напряженно-деформированное состояние балки в электростатическом поле, перейдем к исследованию отклика системы на лазерное импульсное воздействие.
Решение нестационарной задачи теплопроводности
Рассмотрим задачу о температурном состоянии балки под действием лазерного импульса. Считая пренебрежимо малой генерацию тепла, вызванную изменением во времени объемной деформации е (принимая параметр в (1) равным нулю), придем к следующей нестационарной задаче теплопроводности:
kd-£+Q{z,t)=pcvdlt>
dt’
^ = 0 при z = ±h, в(г, 0) = 0,
(5)
где в качестве граничного принято условие отсутствия теплообмена с окружающей средой.
На рис. 3а показана зависимость от времени объемного тепловыделения Q (z, t), характеризующего лазерный импульс (2), на верхней поверхности балки
h
(z = -). На рис. 3б показано тепловыделение по высоте балки в различные моменты времени.
а/а
Рис. 3. Характер лазерного теплового воздействия / Fig. 3. Profile of heat pulse
Решение смешанной (гранично-начальной) задачи (5) находится с помощью метода Фурье разложения по собственным функциям однородной задачи [19] и имеет вид 9(z,t) =
(Knt+ 1)e-t/tp]Zn(z), (6)
_ ух 9п\ -X^t . Ап=0 к2 |У
где
Zn(z) =
cos—, п = 0,2,4,...
h
sm—, п = 1,3,5,...
h
(7)
K-n Лп,
1р
Зо=2^[1-е И,
_ Rglp
V = StipcZ
дп
Г _ ( Л
2QSh( 1+е S . пп \
sin-------, „ , , ,
2 n2S2n2+h2
cos
2QSh(1-е S)
ш У /
2 n2S2n2+h2
п = 1,3,5,... п = 2,4,6,...
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
На рис. 4а показано изменение температуры на верхней поверхности балки с геометрическими параметрами: h = 10 мкм, L = 100 мкм, b = 5 мкм
для различного числа Nt учтенных членов ряда (6). В качестве материала балки взят кремний, теплофизические свойства которого приняты следующими:
Р = 2ЗЗОК3; Ср = 713^Ж; к = 156^;
кг-К м-К
Т0 = 293 К. Для параметров лазерного импульса заданы следующие значения: L0 = 1 - 1011 —;
м2
tp = 2 - 10-12 с = 2 пс; Ка = 0,5; 5 = 2 мкм. На рис. 4б показано распределение температуры по высоте балки в различные моменты времени.
a / а б / b
Рис. 4. Результаты решения задачи теплопроводности / Fig. 4. Results of heat transfer problem
Как видно из рис. 4а, сходимость ряда, описывающего решение, не является быстрой: для точного определения установившейся в материале температуры необходим учет не менее 20 членов ряда. Согласно рис. 4б, с течением времени происходит выравнивание температуры по высоте балки, что естественным образом вытекает из вида граничных условий.
Найденное температурное распределение позволяет вычислить динамические силовые факторы, действующие на упругий элемент электростатического преобразователя в его предварительном напряженно-деформированном состоянии.
Отметим, что температурная осевая сила, входящая в уравнение (1), не зависит от особенностей распределения температуры в конструкции и определяется её интегралом по высоте балки.
поле под действием лазерного импульса. Решение уравнения (1) представим в виде
w (х, t) = ws (х) + wd (х, t), (8)
где ws (х) есть найденное решение краевой задачи (3).
Для искомой функции (х, t) получаем следующую нелинейную динамическую задачу в частных производных:
£7(w<R + ) + pbhwd +
Р +
+ЯЬат в (z, t)dz - ^ /0L(w,! +
2
■« + <) = ■
+w^)2dx
2(d-ws-wd)2'
wd(0, 0 = — (0, t) = wd(L, t) = = ^(« = 0.
(9)
Исследование устойчивости балки при лазерном воздействии
Перейдем к исследованию динамики балки с начальной погибью ws (х) в электростатическом
В данном уравнении отсутствует температурный изгибающий момент, так как в сделанных предположениях температурное поле однородно по длине балки. Действие теплового импульса выражается в наличии динамической осевой силы, определяемой интегралом от температуры в (z, t) по высоте балки.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
Исчерпывающее исследование динамики системы требует решения нелинейной начально-граничной задачи (9), что может быть выполнено с помощью приближенных аналитических методов. В частности, метод Галеркина приведет к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров. Решение подобных систем может быть получено с помощью численных методов теории бифуркаций [20-22].
Основной задачей настоящей работы является определение влияния параметров лазерного импульса на устойчивость нетривиальной формы равновесия упругого элемента электростатического преобразователя. По крайней мере, оценку сверху критических параметров воздействия можно получить, проведя анализ линеаризованного уравнения движения, получаемого из (9) разложением нелинейных слагаемых в ряд Тейлора по wd и отбрасыванием старших степеней искомой функции. Таким образом, приходим к следующему линейному уравнению движения балки в окрестности положения равновесия ws(x):
El —
+ pbh
d2wd
at2
h
+ [P + EbaT f2h6(z,t)dz — 2
Ebh rL OdwC.2 , -.
——Ц—) dx]
d2Wa
dx2
Ebh rL dws dwd ^ d2ws L f0 dx dx dx2
ere0bV2
(d-Ws)3
h
wd = —EbaT f2h9(z,t)dz ■
2
d2ws dx2 '
(10)
Отметим, что при наличии электрического поля (и связанного с этим ненулевого статического прогиба ws) уравнение движения (10) является неавтономным: нестационарное температурное распределение приводит к появлению поперечной силы, действующей на балку.
Решение динамической задачи (10) ищется в виде ряда Галеркина по собственным формам колебаний защемленной с двух концов балки с учетом осевого сжатия силой Р:
Wd (х, t) = р](г)ф](х), (11)
где Nd - число учтенных координатных функций.
Запись проекционных условий приводит к следующей системе линейных уравнений с переменными коэффициентами относительно координатных множителей ijj (t):
EIAjm + [Р +
+EbaT -'°h(l — (Kot+ 1)e-K°t) —
KQ
Ebh rL fdws\2 , , _ Ebh „
— ~f0 ^^) dx]BJm —— Cjrn -
€r€obV Djm
Pj
(12)
} = Hm(t), m = 1,...,Nd,
где введены следующие обозначения для проекционных коэффициентов:
Ajm ((Pj ,Фт), Bjm {jPj ,Фт),
Cjm = IoW&jdx ■ IoW"$™dX,
гч ___ rL Ф]Фт
UJm = h (d-ws)3
dx,
h
Hm(t) = —EbaT f2h9(z, t)dz ■ f w^mdx.
2
(13)
В матричной форме система (12) принимает вид Mi) + [N + L(t)]i] = H(t), (14)
где M и N - определенные постоянные матрицы; L(t) - матрица с коэффициентами, зависящими от времени; т) — вектор-столбец правых частей.
Представляет интерес нахождение областей в пространстве параметров лазерного воздействия, соответствующих устойчивости в смысле Ляпунова решения неоднородной системы (14). Из теории устойчивости движения известно [23], что решение неоднородной линейной системы устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение соответствующей однородной системы. Таким образом, задача сводится к исследованию системы (14) с нулевой правой частью. В стандартной форме данная система имеет вид
x = Ax + B(t)x, (15)
где x(t) — новый вектор-столбец искомых функций времени; A, B(t) - матрицы, однозначно определяемые по матрицам М, N, L(t).
Для линейных систем с переменными коэффициентами вида (15) справедлива теорема [24], согласно которой решение х = 0 устойчиво по Ляпунову, если собственные значения матрицы А имеют неположительную вещественную часть, а чисто мнимые собственные значения различны; если интеграл f0°°||B(t)||dt ограничен, где HB^I =
Как видно из (6), в рассматриваемом случае матрица B(t) удовлетворяет условиям теоремы, и поэтому для определения устойчивости достаточно знать знак вещественной части собственных значений матрицы А. В общем случае для этого требуется построить соответствующий характеристический многочлен и применить к нему, к примеру, критерий Гурвица [23]. При учете большого числа Nd координатных функций эта процедура может быть выполнена с помощью компьютерных программ символьных вычислений, но является весьма трудоемкой. Анализ конкретного вида системы (12) показывает, что перекрестные слагаемые в уравнениях значительно меньше диагональных, т.е. система является слабосвязанной. Этот факт позволяет рассматривать входящие в систему уравнения как независимые. В этом предположении условие устойчивости решения состоит в положительности квадрата частоты эквивалентного осциллятора, соответствующего рассматриваемой координатной функции фj (т.е.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
форме колебаний, по которой ожидается потеря устойчивости):
Qcrit
РСу
РЬФ +
ElAjj +
Р + ЕЬат^(1
EIA
JJ____L
EbajtpS(1-e h/s)e
Ebh„ , 2 n
" Ebh rL fdws\2
2L J0 \dx ,
-Cjj €r€QbV Djj
-B
JJ
2L J0 V dx )
C°‘ + 1CK0-I2rfo&)
Вц
--j-Cjj — ere0bV2Djj
Vj = Hj(t).
С учетом (7) приходим к следующему выражению для критического значения мощности лазерного импульса (максимального по времени тепловыделения на верхней поверхности балки) в зависимости от его длительности tp и глубины проникновения в материал 8:
Отметим, что найденное условие устойчивости формы равновесия микробалки зависит от геометрических параметров системы, физико-механических свойств материала, осевой силы конструкционного происхождения, а также внешних факторов, связанных с действием лазерного импульса и электростатического поля.
На рис. 5 показана граница области устойчивости в пространстве параметров (tp, S, Qmax)-
U
Рис. 5. Граница области устойчивости балки в пространстве параметров лазерного воздействия / Fig. 5. Area of elastic stability in parameters space
Сравнение результатов работ [11, 14] с полученными выше значениями критической мощности лазерного импульса указывает на то, что потеря устойчивости начальной формы равновесия балки Бернулли -Эйлера в связи с наличием сжимающей осевой силы температурного происхождения происходит значительно раньше, чем достижение опасных прогибов за счет изгибающего момента. Последнее необходимо учитывать при практических расчетах упругих эле-
ментов нано- и микросистемной техники, а также других конструкций, находящихся под действием импульсных тепловых нагрузок.
Заключение
Рассмотрена задача об импульсном лазерном воздействии на упругий элемент электростатического преобразователя в виде защемленной с двух концов проводящей микробалки. Получено исход-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
ное положение равновесия под действием электрического поля. Показано, что таких положений равновесия либо два (устойчивое и неустойчивое), либо ни одного при достаточно сильном электрическом поле. Найдено поле температуры в балке при действии импульса. Указано на возможность потери устойчивости положения равновесия при нагреве элемента лазерным импульсом. Определены области в пространстве параметров импульса, соответствующие устойчивости и неустойчивости указанного положения равновесия.
Литература
1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. 1949. Т. 64, № 6. С. 776-782.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
3. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О динамической потере устойчивости стержня при продольной нагрузке, меньшей эйлеровой // Докл. РАН. 2013. Т. 453, № 3. С. 282-285.
4. Беляев А.К., Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Параметрические резонансы в задаче о продольном ударе по тонкому стержню // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3 (61), вып. 1. С. 77-94.
5. Poletkin K., Kulish V. [et al.] Thermal properties of thin films studied by ultrafast laser spectroscopy: Theory and experiment // International J. of Heat and Mass Transfer. 2014. April. Р. 1-20.
6. Jx Ma [et al.] Analytical solution of transient heat conduction in bi-layered circular plate irradiated by laser pulse // Canadian J. of Physics. 2016. Vol. 95 (4). Р. 322-330.
7. Xinwei Wang, Xiafan Xu Thermoelastic waves in metal induced by ultrafast laser pulses // J. of Thermal Stresses. 2002. Vol. 25. Р. 457-473.
8. Younnis M.I. MEMS Linear and Nonlinear Statics and Dynamics. Springer Science, 2011. 453 p.
9. Евстифеев М.И., Челпанов И.Б. Вопросы обеспечения стойкости микромеханических гироскопов при механических воздействиях // Гироскопия и навигация. 2013. № 1 (80). С. 119-133.
10. Некрасов Я.А., Моисеев Н.В., Беляев Я.В., Павлова С.В., Локшонков Р.Г. Влияние поступательных вибраций, ударов и акустических помех на характеристики микромеханического гироскопа // Гироскопия и навигация. 2016. № 2 (93). С. 56-67.
11. Jx Ma [et al.] Thermoelastic response of a simply supported beam irradiated by a movable laser pulse // Canadian J. of Physics. 2017. Vol. 95 (10). P. 1-11.
12. Nayfeh A.H., Pai P.F. Linear and Nonlinear Structural Mechanics. N.Y.: Wiley, 2004. 746 p.
13. Tang D.W., Araki N. Wavy, wavelike, diffusive thermal responses of finite rigid slabs to high-speed heating of laser pulses // International J. of Heat and Mass Transfer. 1999. Vol. 42. Р. 855-860.
14. Daining Fang, Soh A.K. Laser-induced vibrations of microbeams under different boundary conditions // International J. of Solids and Structures. 2008. Vol. 45. Р. 1993-2013.
15. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.
16. Wen-Ming Zhang [et al.] Electrostatic pull-in instability in MEMS/NEMS: A review // Sensors and Actuators A. 2014. Vol. 214. Р. 187-218.
17. Лукин А.В., Попов И.А., Скубов Д.Ю. Исследование устойчивости и ветвления форм равновесия упругих элементов микросистемной техники // Нелинейная динамика машин - SCHOOL-NDM 2017. М., 2017. C. 313-322.
18. Лукин А.В., Попов И.А., Скубов Д.Ю. Нелинейная динамика и устойчивость элементов микросистемной техники // Науч. -техн. вестн. информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17, № 6. C. 1107-1115.
19. Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики. 5-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 2016. 520 с.
20. Nayfeh A.H., Balachandran B. Applied Nonlinear Dynamics: Analytical, Computational and Experimental Methods. Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2004. 685 p.
21. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. N.Y.: Springer Verlag, 2004. 631 p.
22. Govaerts W., Kuznetsov Yu.A. [et al.] MATCONT
and CL_MATCONT: Continuation toolboxes in
MATLAB. Utrecht University, 2018. 128 p.
23. Демидович Б.П. Лекции по теории устойчивости движения. М.: Наука, 1967. 472 с.
24. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Springer Verlag, 1990. 277 p.
References
1. Lavrent'ev M.A., Ishlinskii A.Yu. Dinamicheskie formy poteri ustoichivosti uprugikh sistem [Dynamic forms of loss of stability of elastic systems]. Dokl. AN SSSR. 1949, vol. 64, No. 6, pp. 776-782.
2. Vol'mir A.S. Nelineinaya dinamika plastinok i ob-olochek [Nonlinear dynamics of plates and shells]. Moscow: Nauka, 1972, 432 p.
3. Morozov N.F., Tovstik P.E. O dinamicheskoi po-tere ustoichivosti sterzhnya pri prodol'noi nagruzke, men'shei eilerovoi [On the dynamic loss of stability of the rod at a longitudinal load less than the Eulerian]. Dokl. RAN. 2013, vol. 453, No. 3, pp. 282-285.
4. Belyaev A.K., Morozov N.F., Tovstik P.E., Tovstik T.P. Parametricheskie rezonansy v zadache o prodol'nom udare po tonkomu sterzhnyu [Parametric resonance in the problem of longitudinal impact on a thin rod]. Vestn. SPbGU. Matematika. Mekhanika. Astronomiya. 2016, vol. 3 (61), iss. 1, pp. 77-94.
5. Poletkin K., Kulish V. [et al.] Thermal properties of thin films studied by ultrafast laser spectroscopy: Theory
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
and experiment. International J. of Heat and Mass Transfer. 2014, April, pp. 1-20.
6. Jx Ma [et al.] Analytical solution of transient heat conduction in bi-layered circular plate irradiated by laser pulse. Canadian J. of Physics. 2016, vol. 95 (4), pp. 322330.
7. Xinwei Wang, Xiafan Xu. Thermoelastic waves in metal induced by ultrafast laser pulses. J. of Thermal Stresses. 2002, vol. 25, pp. 457-473.
8. Younnis M.I. MEMS Linear and Nonlinear Statics and Dynamics. Springer Science, 2011, 453 p.
9. Evstifeev M.I., Chelpanov I.B. Voprosy obespech-eniya stoikosti mikromekhanicheskikh giroskopov pri mekhanicheskikh vozdeistviyakh [The problems of providing of stability of MEMS gyroscopes the mechanical influences]. Giroskopiya i navigatsiya. 2013, No. 1 (80), pp. 119-133.
10. Nekrasov Ya.A., Moiseev N.V., Belyaev Ya.V., Pavlova S.V., Lokshonkov R.G. Vliyanie postupatel'nykh vibratsii, udarov i akusticheskikh pomekh na kharakteris-tiki mikromekhanicheskogo giroskopa [The influence of translational vibration, shock and acoustic noise on the characteristics of micromechanical gyroscope]. Giros-kopiya i navigatsiya. 2016, No. 2 (93), pp. 56-67.
11. Jx Ma [et al.] Thermoelastic response of a simply supported beam irradiated by a movable laser pulse. Canadian J. of Physics. 2017, vol. 95 (10), pp. 1-11.
12. Nayfeh A.H., Pai P.F. Linear and Nonlinear Structural Mechanics. New York: Wiley, 2004, 746 p.
13. Tang D.W., Araki N. Wavy, wavelike, diffusive thermal responses of finite rigid slabs to high-speed heating of laser pulses. International J. of Heat and Mass Transfer. 1999, vol. 42, pp. 855-860.
14. Daining Fang, Soh A.K. Laser-induced vibrations of microbeams under different boundary conditions. International J. of Solids and Structures. 2008, vol. 45, pp. 1993-2013.
15. Novatskii V. Dinamicheskie zadachi termoupru-gosti [Dynamic problems of thermoelasticity]. Moscow: Mir, 1970, 256 p.
16. Wen-Ming Zhang [et al.]. Electrostatic pull-in instability in MEMS/NEMS: A review. Sensors and Actuators A. 2014, vol. 214, pp. 187-218.
17. Lukin A.V., Popov I.A., Skubov D.Yu. [Investigation of stability and branching of equilibrium forms of elastic elements of microsystems technology]. Nelineinaya dinamika mashin - SCHOOL-NDM 2017 [Nonlinear dynamics of machinery - SCHOOL-NDM 2017]. Moscow, 2017, pp. 313-322.
18. Lukin A.V., Popov I.A., Skubov D.Yu. Nelineinaya dinamika i ustoichivost' elementov mikrosistemnoi tekhniki [Nonlinear dynamics and stability of elements of microsystem technique]. Nauch.-tekhn. vestn. infor-matsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki. 2017, vol. 17, No. 6, pp. 1107-1115.
19. Vladimirov V.S. Sbornik zadach po uravneniyam matematicheskoi fiziki [Collection of problems on equations of mathematical physics]. 5th ed. Moscow: Fizmatlit, 2016, 520 p.
20. Nayfeh A.H., Balachandran B. Applied Nonlinear Dynamics: Analytical, Computational and Experimental Methods. Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2004, 685 p.
21. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York: Springer Verlag, 2004, 631 p.
22. Govaerts W., Kuznetsov Yu.A. [et al.]. MaTCONT and CL_MATCONT: Continuation toolboxes in MATLAB. Utrecht University, 2018, 128 p.
23. Demidovich B.P. Lektsii po teorii ustoichivosti dvizheniya [Lectures on the theory of stability of motion]. Moscow: Nauka, 1967, 472 p.
24. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Springer Verlag, 1990, 277 p.
Поступила в редакцию /Received
12 апреля 2018 г. /April 12, 2018
