Исследование волновых процессов в неоднородном пористоупругом слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ _PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES_

УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2017-2-4-11

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕОДНОРОДНОМ ПОРИСТОУПРУГОМ СЛОЕ*

© 2017г. А.О. Ватульян1'2, Д.В. Гусаков1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

INVESTIGATION OF WAVE PROCESSES IN AN INHOMOGENEOUS POROELASTIC LAYER

A.O. Vatulyan1'2, D.V. Gusakov1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; заведующий отделом дифференциальных уравнений, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru

Гусаков Дмитрий Владимирович - аспирант, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: gusakov.dv@yandex.ru

Alexander O. Vatulyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Head of the Department of Differential Equations, Southern Mathematical Institute -Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: vatulyan@math. sfedu. ru

Dmitriy V. Gusakov - Postgraduate, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: gusakov.dv@yandex.ru

Представлен метод исследования волновых полей в неоднородном пористоупругом слое из трансверсально-изотропного материала. Характеристики слоя считаются переменными по толщине. Для описания пористоупруго-го материала выбрана модель М.А. Био. К основным уравнениям, записанным в терминах «перемещения-давление», применяется интегральное преобразование Фурье. Решения преобразованной задачи строится при помощи метода пристрелки. Обращение преобразования Фурье осуществлено численно и при помощи теории вычетов. В качестве вспомогательных задач исследована структура дисперсионного множества рассмотренной задачи и построены поля перемещений для упругого слоя с идентичными характеристиками. Проведен сравнительный анализ упругой и пористоупругой задач. Получены оценки относительной точности двух способов обращения преобразования. Исследовано влияние закона распределения материальных характеристик слоя на картину дисперсионного множества и полей смещений для пористоупругого слоя.

Ключевые слова: пористоупругость, колебания, слой, теория Био, теория вычетов, численный анализ.

* Работа выполнена при частичной поддержке программы фундаментальных исследований по стратегическим направлениям развития науки Президиума РАН «Фундаментальные проблемы математического моделирования».

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2

A method for investigating wave fields in an inhomogeneous poroelastic layer of a transversely isotropic material is presented. The characteristics of the layer are considered to vary over thickness. To describe the poroelastic material, the model by M.A. Biot was chosen. The integral Fourier transform is applied to the basic equations written in terms of "displacement - pressure". The solutions of the transformed problem are constructed using the shooting method. The inversion of the Fourier transform performed numerically and using of the theory of residues. As auxiliary problems, the structure of the dispersion set of the considered problem is investigated and the displacement fields for an elastic layer with identical characteristics are constructed. A comparative analysis of the elastic and poroelastic problems is carried out. Estimates of the relative accuracy of the two methods of inversion of the transformation are obtained. The effect of the distribution law of the material characteristics of the layer on the dispersion set and displacement fields for the poroelastic layer is investigated.

Keywords: poroelasticity, vibrations, layer, Biot's theory, theory of residues, numerical analysis.

Введение

Расчет волновых полей, возникающих в протяженных твердых структурах, играет важную роль в оценке влияния материальных параметров на скорости и коэффициенты затухания. Данные о полях смещений в случае вынужденных колебаний слоя могут быть использованы для решения задач о восстановлении материальных характеристик. Исследование динамики протяженных волноводов берет свое начало в работах Рэлея [1] и Лэмба [2]. Ими были впервые получены выражения динамических характеристик для упругого однородного слоя, а также исследована структура дисперсионного множества для такого волновода. Результаты, полученные Рэлеем, Лэмбом и их последователями, стали основой для дальнейшего изучения динамического поведения упругих структур. Основные результаты развития теории колебаний упругих волноводов и примеры решения классических задач для них приведены в монографии [3].

Модель упругого материала может с различной степенью точности описывать поведение многих конструкционных материалов искусственного и естественного происхождения. Современные требования к точности расчета динамических характеристик зачастую приводят к ситуации, когда модели упругих материалов становятся неприменимы. В такой ситуации на первый план выходит вопрос о применении более точных и, как следствие, более сложных с математической точки зрения подходов. Теория пористоупругости, разработанная М. Био [4, 5], позволяющая учесть взаимодействие твердой и жидкой фаз в насыщенном жидкостью пористом материале, находит свое применение в подобных ситуациях. Наличие связующих слагаемых в определяющих соотношениях модели Био значительно повышает точность описания динамики пористо-упругих тел и позволяет учесть диссипативную структуру возникающих волновых полей. Спектр применимости моделей пористоупругости достаточно широк и охватывает различные сферы - от геофизики [6, 7] до биомеханики [8, 9]. Основными направлениями в исследованиях пористоупругости

являются задачи об исследовании динамических свойств пористоупругих тел [10] и обратные задачи о восстановлении различных параметров [11].

В современной механике все чаще возникает потребность в учете неоднородных свойств материалов. Такой подход позволяет точнее оценить несущую способность и, как следствие, уменьшить массу и габаритные размеры конструкций и тел, изготовленных из таких материалов. Однако учет переменных характеристик материалов значительно усложняет процесс расчета полевых характеристик и делает невозможным построение точного аналитического решения в случае произвольного вида неоднородности. Во многих исследованиях для преодоления этой трудности авторы предпочитают рассматривать некоторый конкретный вид неоднородности, как, например, кусочно-постоянная [12] или линейная [13]. Такой подход позволяет получить аналитические решениия, но только для некоторого ограниченного набора функций неоднородности.

В настоящей статье представлен метод построения волновых полей для неоднородного по толщине пористоупругого слоя из трансверсально-изо-тропного материала. Предложенный подход позволяет с единых позиций исследовать различные законы неоднородности, включая непрерывные и кусочно-постоянные. Такие законы неоднородности характерны для функционально градиентных и слоистых материалов. К исходным уравнениям, записанным в терминах «перемещения - давление» [14], применено интегральное преобразование Фурье. В соответствии с методом пристрелки численно строятся решения вспомогательных задач Коши. Построение оригиналов решений осуществляется двумя способами: прямым численным интегрированием по формулам Филона [15] и при помощи теории вычетов. Применение теории вычетов требует информации о расположении особых точек подынтегральной функции. Для отыскания этих точек проведен спектральный анализ задачи о колебаниях неоднородного пористоупругого слоя. Приведено сравнение результатов работы двух методов путем построения полей смещений на верх-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

ней границе слоя. Исследована зависимость структуры волновых полей от закона распределения материальных характеристик слоя. Проведена оценка точности и быстродействия предложенных вычислительных схем.

Постановка задачи

Рассмотрим колебания бесконечного трансвер-сально-изотропного пористоупругого слоя толщиной Н, находящегося в состоянии плоской деформации. Уравнения движения и определяющие соотношения пористоупругости Био запишем в следующем виде [14]:

„ cu, du3

CTii = Qi^+- AiP,

dx.

dx-.

(1)

CT

33

- C„ £ + C33 0U3 - A33 p,

oxi ox3

(

CT

i3 - C55

du, du

+ -

dx3 dx

i У

Осп Oct

dx,

+ -

i3

dx-.

= p-

dxi ,

d +—

dt

K

11

dp dx1

Л

d 2ui

l2

f

cct13 oct

dx,

+ -

33

dx-x

= p-

c 2u dt2

+ -

f

41

i У

dui dx,

dxт.

K

33

+ A

33

V

du dx-.

dp dx-

+

3

\

d +--

dt

i 2 R

- 0.

CTi3 (x1, H, t) = 0 CT33 (xi, H, t) = - qS(xi )~iM, p(xi, H, t) - 0,

(2)

щ Х ,0, г) = 0, и3 Х ,0, г) = 0, Х ,0, г) = 0.

Отметим, что в силу линейности рассматриваемой задачи решения в случае задания нескольких нагрузок могут быть построены в виде линейной комбинации решений соответствующих задач, для которых при Х3 = Н будет задана только одна нагрузка. Для простоты последующих расчетов примем далее q = 1.

Если в уравнениях (1) положить равными нулю значения постоянных Био АИ, краевая задача (1),

(2) распадется на две независимые задачи о колебаниях упругого слоя и движении жидкости. Первую задачу будем в дальнейшем называть соответствующей упругой задачей.

Рассмотрим установившиеся колебания слоя. Неизвестные функции будем искать в виде

(3)

и (xb x3,t)- U(xb x3 У

4аЛ

где и(х1,х3,г) = (и1,и3,ст13,ст33,р,р3) обозначает вектор решений краевой задачи (1), (2).

Построение решений

Одной из особенностей модели пористоупруго-сти Био является значительная разница в порядках физических величин, входящих в определяющие соотношения. Для упрощения численных расчетов введем безразмерные параметры и функции аналогично [11]:

х = £№; а13 = стг,; и, =»Н; р=;

m J

, (¿3)- AM ; . & )- AJ teH)H

C,

Cm p2 H

KmR&H)

Yt (¿3 )='

KmP Ca (¿3 H)

C '

m

p

(4)

Cii ^Yl, C33 ^Y4, C55 ^Y5, Ci3 ^ Y7,

'33

^2 = PCD2 H 2

m

(¿3 )-

Kjj(^3H )

Km - K33 (H^

4 ^х3 у

Будем считать, что волновой процесс вызывается действием сосредоточенной вертикальной силы с амплитудой д, приложенной в начале координат, а нижняя грань защемлена и непроницаема:

' J ^3' Ст кт

Ст = С33 (Н).

Применим интегральное преобразование Фурье по координате х1 к краевой задаче (1), (2).

да_

Х(а,%3 ) = и(<?1,£ У^ .

—да

Здесь X - вектор Фурье преобразованных решений. Применение преобразования Фурье к исходным уравнениям и граничным условиям позволяет избавиться от производной по координате ¿1 , d|d^l ^ —¡а . С учетом соотношения (3) и введенных безразмерных величин (4) преобразованная краевая задача может быть записана в виде операторного пучка

X' = (! + ¡а!?1 + ¡О?2 + а2!11 + а! + к2Ь22 )х, где компоненты Ь1] имеют вид

-1 ! =1 ! =Ръ_ Т0 =_L (5)

,!24 = ,!26 = ,!65 = , (5)

75 74 74 М3

L0 -Li3 -

T-Oi 1 J-Oi _ „, T-0^ y7 l12 - 1, L2i -Y7, l34 -

Y4

-YY- ß3 - ßl, L43 - 1,

Y4

T02 _ M3 l54 -

Y4

!56 = М1, !321 = —1, !422 = —1, = —71

Граничн^1е условия (2) примут вид Х3 (а,1) = 0, Х4(а,1) = 1, Х6 (а,1) = 0, Х1 (а,0) = 0, Х2 (а,0) = 0, Х5 (а,0) = 0.

т02 я , M3 о rii y7

L56 -ö+-ß3, L3i -Yi--

Y4

Y4

Lii - i l43 - i,

ri2

i2

r22

y7_

Y4 '

d

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

Краевую задачу (5), (6) будем решать методом пристрелки. Действуя аналогично [16], сформулируем и решим 3 вспомогательные задачи Коши со следующими начальными условиями:

Х3} (а,0) = 3,, Х^ (а,0) = у, > (а,0) = З3у,

Х(7} (а,0) = 0, Х(у) (а,0) = 0, Х(7} (а,0) = 0, у = 1,2,3,

где Х- решения соответствующих задач Коши; 3у - дельта-символ Кронекера. Окончательное решения преобразованной задачи будет иметь вид линейной комбинации полученных решений

X = ЪC.X(j) .

(7)

j=1

Для определения вектора коэффициентов С воспользуемся граничными условиями при ¿3=1. Начальные условия вспомогательных задач Коши составлены таким образом, что решения каждой из них будут удовлетворять граничным условиям исходной задачи при ¿3=0. Потребуем от линейной комбинации (7) удовлетворения граничным условиям при ¿з=1. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений

Б(а,1)с(а) = Е(а), (8)

B(a,6 ) =

fX(а,£) X32)(а,£) X™(а,£) X(а,£) X42)(а,£) X4з)(а,£) X61}(а,£) X62)(а,£) Xf (а,£)

f 0 ^

F =

V 0 у

, С(а) =

f Ci (аУ

C2 (а) сз (а).

Поскольку решения строятся численно, отыскание решений задач Коши возможно только для фиксированной пары («0,^0). Наличие диссипа-тивных слагаемых в исходных уравнениях порис-тоупругости гарантирует, что решение существует для любой такой пары, если считать «0 вещественным: иными словами, решения в трансформантах не будут иметь особенностей при а0 е ^ .

Совокупность особых точек решений поставленной задачи характеризует ее дисперсионное множество. Можно показать, что все точки дисперсионного множества в данном случае будут ком-плекснозначными. Таким образом, решения спектральной задачи для пучка (5) следует искать среди

Анализ структуры дисперсионного множества исследуемой задачи позволил сделать следующие выводы: 1. Дисперсионное множество для порис-тоупругого слоя состоит из двух семейств кривых, относящихся, соответственно, к распространению квазиупругих волн и волны давления. 2. В отличие от упругого случая все ветви дисперсионного множества имеют комплексную структуру. 3. Основное влияние на картину дисперсионного множества оказывают законы изменения упругих модулей Су.

Расчет волновых полей

Построение волновых полей для исходной задачи подразумевает обращение преобразования Фурье для полученных ранее решений. Поскольку с практической точки зрения интерес представляет информация о полях смещений на верхней границе слоя, представим их компоненты в виде интегралов

1 да

¿/(&,1) = — J X (а,1) в~'а^1 а 2л

(9)

где функция Х (а,1) может быть представлена в

/ \ А («,1) виде ХДа,1) =— , ч , причем А.-, А - анали-

7 А0(а) 7 тические функции своих аргументов.

Вычисление интегралов вида (9) может быть осуществлено численно. Учитывая тот факт, что подынтегральная функция в представлении (9) убывает при |а| , интегрирование по вещественной оси заменим интегрированием в конечных пределах [— Щ, Щ ], где определяется в серии вычислительных экспериментов.

В качестве альтернативы прямому численному интегрированию авторами применена теория вычетов. Информация о расположении простых полюсов подынтегральной функции в (9) позволяет определить набор точек, в окрестности которых требуется проводить вычисления. Пусть а * - простой полюс вектор-функции С(а), определяющей коэффициенты представления (7). Разложим все функции, входящие в соотношение (8), в ряды Лорана в окрестности а *:

С(а) = С_г

1

а _а

■ + <

С0 + С1 (а _а *),

пар вида (ак + гаj,к{)

Б(а) = Б0 + Б1(а — а *) +..., ). Отыскание таких точек осу- ^(а) = + (а — а *) + - •

ществимо при помощи ранее построенных решений для вспомогательных задач Коши. Дисперсионное уравнение в таком случае получается из условия равенства нулю определителя det(B(aД))=0.

Далее, приравнивая коэффициенты при одина-

ковых степенях

(а _ а *)

а *), получим

С_1Во = 0, BoCo + B1C_1 = Fo.

(10)

1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

Из первого равенства (10) следуют условие для отыскания полюсов det Bo=0 и представление C_l=Qmo, где m0 - собственный вектор матрицы B0.

Для отыскания Q обратимся ко второму равенству (10). Умножим обе его части скалярно на соб-* * *

ственный вектор ш0 матрицы Б0, где Б0 - матрица, сопряженная к B0. Подстановка выражения для С_! в полученное соотношение дает

(Б0С0, ш0 )+ (в1С_1, ш0) = (го, ш0), откуда

(Со, Б0ш0)+ о(Б1Шо, ш0 )= (го,ш0). (11)

Первое слагаемое в равенстве (11) равно нулю по свойству собственного вектора. Таким образом, получаем выражение для Q

О = (Ро, ш0 У(Б1Шо,ш0), (12)

где Г = г(а* ), Бо = в(а*д), Б1 = Ба(а*д).

Для вычисления постоянной матрицы Б!, входящей в соотношение (12), необходимо знать производную матричной функции Ва(а ,1). Для ее определения добавим к краевой задаче (5), (6) уравнения и граничные условия, полученные путем дифференцирования по а исходных уравнений и граничных условий:

—х -=

да

= (L0 + iaLvl + íkL0¿ + a2 L11 + aL + k¿ L + (¿L0 1 + 2aL11 +kL2 )X,

0

02 2

2 2 22

)-

da

X +

(13)

—X3 (a, 1 ) = 0, — X4 (a,1 )= 0, — X6 (a,1 )= 0, da da da

d

Х1 (а,о) = оД Х2 (а,о) = 0,—Х5 (а,о) = 0.

да да да

Решая модифицированную задачу (5), (6), (13), получим значения всех постоянных, входящих в равенство (12). В результате получаем формулу для вычисления интеграла (9)

d

U (#1,1) = -i

Z С(n) (a„ )X (an ,1)

?-ian41

+

(14)

Im an < 0,

+ Z С(й) (a„ )x(an ,1) e—a"b

\a„ |> R

где > 0, Ra - полуокружность в нижней части комплексной плоскости, радиус r которой выбран таким образом, что все вещественные корни определенной ранее соответствующей упругой задачи лежат внутри отрезка [— R, R]. Полюса an, лежащие в нижней полуплоскости вне контура Ra ,

соответствуют сильнозатухающим слагаемым в соотношении (14) в дальней зоне и не вносят значительных поправок в окончательные решения всюду, кроме непосредственной близости к источнику колебаний.

Наличие вещественных полюсов требует изменения контура интегрирования в формуле (14) для упругого слоя в соответствии с принципом предельного поглощения [17].

Результаты

Представленные методы позволяют производить расчет волновых полей для неоднородного транс-версально-изотропного пористоупругого слоя. Учет неоднородности материальных характеристик даёт возможность проанализировать зависимость структуры полей смещений от закона изменения модулей упругости, модулей Био и других параметров слоя. Немаловажно оценить степень влияния неоднородности тех или иных материальных свойств слоя на вид волновых полей на его верхней границе.

При расчетах были использованы следующие характерные для водонасыщенного грунта [14] значения материальных параметров:

С11 = 11,2, С13 = 6,98, С33 = 21,1, С55 = 2,02 МПа, Я = 143 МПа, А13 = 0,643, А33 = 0,765,

(Р = 0,3, р = 1750 кг/м3,

К13 = 1,2 • 10_9, К33 = 2,2 • 10_8 кг/(м3 • с).

Сравнение компонент полей смещений, вычисленных при помощи численного интегрирования и теории вычетов, показало их хорошее совпадение. Заметные расхождения результатов наблюдаются только вблизи источника. Расхождение результатов двух методов на удалении от источника не превышает 2 %. Для повышения точности результатов вычислений в окрестности начала координат при помощи вычетов необходимо увеличить радиус Яа для учета большего числа полюсов подынтегральной функции.

Представленные на рис. 1 кривые соответствуют нормальным и касательным компонентам смещений для различных законов неоднородности упругих модулей Су . В качестве законов неоднородности

выбраны функции различной структуры, при этом их средние значения по толщине слоя совпадают с таковыми в однородном случае. Линейный возрастающий и немонотонный законы таковы, что совпадают не только по среднему значению, но и по значениям на концах отрезков. Из рис. 1 видно, что компоненты смещений для этих законов отличаются только по амплитуде, в то время как для линейной

an < R

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

убывающей неоднородности наблюдается изменение не только амплитуды, но и длины волны. Для кусочно-постоянной неоднородности также наблюдается изменение длины волны, но противоположного характера. Помимо описанных выше свойств, вид функции неоднородности влияет на скорость затухания колебаний; возрастающе функции дают меньшее затухание по сравнению с аналогичными убывающими. Различия в перемещениях для неоднородностей, выбранных таким образом, показывают необходимость учета таковых при расчетах реальных материалов и конструкций.

В качестве законов неоднородности взяты функции:

линейная возрастающая: у#) = 0,53 .(0,4& + 0,8),

/7 (#з ) = 0,33 -(0,3#з + 0,85 ),

Г4 (#3 ) = 1.(0,2^3 + 0,9),

у5 (#3 ) = 0,09 .(0,6#3 + 0,7),

«3

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,6

а / a

0,2

0,0

линейная убывающая: у (#3 ) = 0,53 •(- 0,4#3 +1,2), у7 (#3 ) = 0,33 •(- 0,3#3 +1,15), П4 (#3 ) = 1.(- 0,2#3 +1,1), У5(#3) = 0,09 •(-0,6#3 + 1,3); немонотонная:

У1 (#3 ) = 0,53 .(1 - 0,2 ос8(3л#3 )), У 7 (#3 )= 0,33 .(1 - 0,15со8(3#3 )),

У4 (#3 ) = 1.(1 - 0,1С08(3Л#3 )),

У 5 (#3 )= 0,09 .(1 - 0,3со8(3л#3 ));

кусочно-постоянная:

' 1,2, при 0 < #3 < 0,2,

0,8, при 0,2 < #3 < 0,4,

0,7, при 0,4 < #3 < 0,6,

1,25, при 0,6 <#3 < 0,8,

1,05, при 0,8 <#3 < 1.

Наличие диссипативных слагаемых в уравнениях пористоупругости вносит значительные изменения в картину волновых полей. На рис. 2 представлено сравнение нормальной и касательной компонент смещений для пористоупругого и соответствующего ему упругого слоев. Важно отметить не только разницу в максимальных величи-

; \ Щ ■ \ Г \\

и \ \ \\\ VO ///m а/V i' / А \ \ /'"?>г '*/ ) \ ,—. ч у \ А N \ \

ц \ \ Л V? / \\ \\ \ а \ // \\\...../// / 1 л \ / /12 \ \\ 1 / / \ \ч . / / *..... ч 4.Х ___'

\ 1 \/ I 'Л \ ■' 1 .......

ii

У fe)=7j •<

б / b

Рис. 1. Смещения Uj для различных законов неоднородности i=3 - а; i=1 - б: линейная убывающая (сплошная линия), линейная возрастающая (штриховая),

немонотонная (штрихпунктирная), кусочно-постоянная (точечная) / Fig. 1. Displacements Uj for various laws of inhomogeneity i=3 - a; i=1 - b: linear decreasing (solid line), linear increasing (dashed), nonmonotonic (dash-dotted), piecewise constant (dotted)

нах смещений, но и наличие сильного затухания волнового поля в пористоупругом случае при удалении от источника.

В таблице приведены значения нескольких полюсов ап при частоте к = 1 для упругого и по-ристоупругого случаев. Отметим, что в упругом случае существуют вещественные полюса, а комплексные образуют «комплексные четверки» вида (ак + 1а1), (ак - 1а1), (-ай +1а1), (-ак - 1а1). В пористоупругом случае все полюса комплексные, однако, в отличие от упругого случая, образуют «комплексные пары» (ак +1а1), (- ак - ¡а1).

-0,2

-0,4

-0,8

0,4

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2

а / a б / b

Рис. 2. Нормальные U3 (а) и касательные Uy (б) компоненты смещений для упругого (пунктирная линия) и пористоупругого (сплошная линия) слоев / Fig. 2. Normal U3 (a) and tangential Uy (b) displacement components for the elastic (dashed line) and porous (solid line) layers

Значения полюсов an в формуле (14) для упругого и пористоупругого слоев для R = 5 / The values of the poles an from relation (14) for the elastic and poroelastic layers for R = 5

Из таблицы видно, что значения 2 и 5, относящиеся в упругом случае к одной комплексной четверке, переходят в пористоупругом случае в две несимметричные точки, относящиеся к двум разным комплексным парам.

Заключение

Представлен метод расчета волновых полей в задаче о вынужденных колебаниях неоднородного трансверсально-изотропного пористоупругого слоя, закрепленного вдоль нижней грани. На основе предложенной вычислительной схемы проведены несколько серий расчетов, на основании которых получены оценки точности и быстродействия представленных алгоритмов, выявлены зависимости структуры волновых полей от законов неоднородности физических характеристик слоя, определена степень влияния каждой из характеристик. В качест-

ве вспомогательной задачи исследована структура дисперсионного множества рассмотренной задачи, проанализированы особенности его структуры, выявлено влияние законов неоднородности различных характеристик слоя.

Сравнение методов непосредственного численного интегрирования с приближенным вычислением интегралов при помощи теории вычетов показало: 1. Результаты, полученные двумя методами, имеют расхождение не более 2 % всюду, кроме близкой к источнику зоны. 2. Точность каждого из алгоритмов определяется различными факторами. В случае численного интегрирования это - размер шага и геометрия контура интегрирования, при расчетах по формуле (14) - количество учитываемых полюсов и точность их отыскания на основе метода пристрелки.

Влияние законов неоднородности упругих модулей оказывает наиболее значительное влияние как на картину дисперсионного множества, так и на вид полей смещений. Сравнение решений для различных законов неоднородности, имеющих одинаковое усредненное значение, показало чувствительность исследуемой модели к закону распределения материальных характеристик.

Литература

1. Rayleigh J.W. The theory of sound. London : Macmillan, 1877. 370 p.

2. Lamb H. The dynamical theory of sound. London : E. Arnold, 1910. 328 p.

Упругий Пористоупругий

-1,3538 -1,1083-0,0583/

-0,9864-2,3879/ -1,1021-2,8021/

-3,7892/ 0,2667-3,3334/

-5,2424/ 0,5916-4,5833/

0,9864-2,3879/ 0,9334-2,2813/

- -4,0333-4,5334/

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2

3. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев : Наукова думка, 1981. 284 с.

4. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // J. Acoustic. Soc. Am. 1962. № 34. P. 1254-1264.

5. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid // J. Acoustic. Soc. Am. 1956. № 28. P. 168-191.

6. Zheng C., Kouretzis G.P., Sloan S.W., Liu H., Ding X. Vertical vibration of an elastic pile embedded in poroelastic soil // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2015. № 77. P. 177-181.

7. Chen S., Abousleiman Y. Stress analysis of borehole subjected to fluid injection in transversely isotropic poroelastic medium // Mechanics Research Communications. 2016. № 73. P. 63-75.

8. Cowin S.C. Bone poroelasticity // J. of Biomechanics. 1999. № 32. P. 217-238.

9. Svanadze M., Scalia A. Mathematical problems in the coupled linear theory of bone poroelasticity // Comput. Math. Appl. 2013. № 66. P. 1554-1566.

10. Ватульян А.О., Ляпин А.А. Об обратных коэффициентных задачах пороупругости // Изв. РАН МТТ. 2013. № 2. С. 114-121.

11. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях идентификации неоднородных пороупругих характеристик полого цилиндра // Проблемы прочности и пластичности. 2016. № 1. С. 22-29.

12. De Ryck L., Groby J.P., Leclaire P., Lauriks W., Wirgin A., Depollier C., Fellah Z. Acoustic wave propagation in a macroscopically inhomogeneous porous medium saturated by a fluid // Appl. Phys. Lett. 2007. № 90.

13. Liao-Liang Ke, Yue-Sheng Wang, Zi-Mao Zhang. Love waves in an inhomogeneous fluid saturated porous layered half-space with linearly varying properties // Soil Dyn. аМ Earthquake Eng. 2006. № 26. P. 574-581.

14. Coussy O. Mechanics and Physics of Porous Solids, Wiley, 2010. 296 р.

15. Калиткин Н.Н. Численные методы. М. : Наука, 1978. 512 с.

16. Ватульян А.О., Гусаков Д.В. Колебания неоднородного пористоупругого слоя // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2014. № 4. С. 21-28.

17. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М. : Наука, 1979. 320 с.

References

1. Rayleigh J.W. The theory of sound. London, Macmillan, 1877, 370 p.

2. Lamb H. The dynamical theory of sound. London, E. Arnold, 1910, 328 p.

Поступила в редакцию /Received_

3. Grinchenko V.T., Meleshko V.V. Garmonicheskie kolebaniya i volny v uprugikh telakh [Harmonic oscillations and waves in elastic bodies]. Kiev, Naukova dumka, 1981, 284 p.

4. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media. J. Acoustic. Soc. Am. 1962, No. 34, pp. 1254-1264.

5. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. J. Acoustic. Soc. Am. 1956, No. 28, pp. 168-191.

6. Zheng C., Kouretzis G.P., Sloan S.W., Liu H., Ding X. Vertical vibration of an elastic pile embedded in poroelastic soil. Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2015, No. 77, pp. 177-181.

7. Chen S., Abousleiman Y. Stress analysis of borehole subjected to fluid injection in transversely isotropic poroelastic medium. Mechanics Research Communications. 2016, No. 73, pp. 63-75.

8. Cowin S.C. Bone poroelasticity. J. of Biomechanics. 1999, No. 32, pp. 217-238.

9. Svanadze M., Scalia A. Mathematical problems in the coupled linear theory of bone poroelasticity. Comput. Math. Appl. 2013, No. 66, pp. 1554-1566.

10. Vatul'yan A.O., Lyapin A.A. Ob obratnykh koeffitsientnykh zadachakh porouprugosti [On inverse coefficient problems of poroelasticity]. Izv. RAN MTT. 2013, No. 2, pp. 114-121.

11. Vatul'yan A.O., Nesterov S.A. Ob osobennostyakh identifikatsii neodnorodnykh porouprugikh kharakteristik pologo tsilindra [On the features of identification of heterogeneous poroelastic characteristics of a hollow cylinder]. Problemy prochnosti i plastichnosti. 2016, No. 1, pp. 22-29.

12. De Ryck L., Groby J.P., Leclaire P., Lauriks W., Wirgin A., Depollier C., Fellah Z. Acoustic wave propagation in a macroscopically inhomogeneous porous medium saturated by a fluid. Appl. Phys. Lett. 2007, No. 90.

13. Liao-Liang Ke, Yue-Sheng Wang, Zi-Mao Zhang. Love waves in an inhomogeneous fluid saturated porous layered half-space with linearly varying properties. Soil Dyn. and Earthquake Eng. 2006, No. 26, pp. 574-581.

14. Coussy O. Mechanics and Physics of Porous Solids. Wiley, 2010, 296 p.

15. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Nauka, 1978, 512 p.

16. Vatul'yan A.O., Gusakov D.V. Kolebaniya neodnorodnogo poristouprugogo sloya. Ekol. vestn. nauch. tsentrov ChES. 2014, No. 4, pp. 21-28.

17. Vorovich I.I., Babeshko V.A. Dinamicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti dlya neklassi-cheskikh oblastei [Dynamic mixed problems of the theory of elasticity for nonclassical domains]. Moscow, Nauka, 1979, 320 p.

3 марта 2017 г. /March 3, 2017