CC BY
36
МЕХАНИКА MECHANICS
УДК 519.6:534-18 DOI 10.12737/20215
Математические модели динамических систем, включающих слоистые обводненные
*
пористоупругие основания
Е. А. Усошина1, Т. В. Суворова2, А. Н. Соловьев3
1 ООО «Еврогрупп», г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
2 Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
3 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
Mathematical models of dynamic systems that include layered watered poroelastic foundations *** E. A. Usoshina1, T. V. Suvorova2, А. N. Solovyev3**
1 Eurogroup" LLC, Rostov-on-Don, Russian Federation
2 Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russian Federation
3 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation
Целью работы является изучение новых математических моделей, включающих в себя генератор колебаний и полуограниченное неоднородное по глубине основание, обладающее пористостью, флюидонасыщенностью, вязкоупругостью. В качестве основания рассмотрены пористоупругий слой, насыщенный смесью жидкости и газа, гетерогенный слой с вязкоупругим покрытием, гетерогенный слой с заглубленным жидким слоем. Основание пакета слоев — жесткое. Действие поверхностного осциллятора представляется в виде ряда Фурье и решается задача с установившимся режимом колебаний. Применение интегрального преобразования Фурье к уравнениям, описывающим сплошные среды, при удовлетворении граничным условиям позволило построить интегральные формулы, описывающие напряженно-деформированное состояние в пакете слоев. Предложен численный алгоритм для изучения зависимости распространения поверхностных волн от механических и геометрических характеристик задачи. Описанные модели широко применяются в геофизике, сейсморазведке, строительстве, проектировании железнодорожных магистралей, конструировании новых материалов.
New mathematical models including an oscillation generator and semi-bounded non-uniform in depth foundation possessing porosity, fluid saturation, and viscoelasticity, are considered. The foundation is represented by a poroelastic layer saturated with gas-liquid mixture, a heterogeneous layer with a viscoelastic coating, and a heterogeneous layer with a subsurface liquid sheet. The foundation of the pack of layers is hard. The operation of the surface oscillator is represented as Fourier series, and the problem of steady-state oscillatory conditions is solved. Applying the Fourier integral transform to the equations that describe continuous media under satisfying boundary conditions allows the construction of integral formulas describing the stress-strain condition in the layer package. A numerical algorithm to study the dependence of the ground-wave propagation on the mechanical and geometrical characteristics of the problem is proposed. The models described are widely used in Geophysics, seismic exploration, construction, railway design, and new material designing.
Keywords: heterogeneous layered medium, wave field, propagation of vibrations, embedded liquid layer.
2
В Введение. Моделирование сложных технических динамических систем, содержащих сосредоточенные и
СЛ
g непрерывно распределенные параметры, представляет научный интерес с точки зрения использования в геологии, сейсморазведке, строительстве, проектировании железнодорожных и автомагистралей. Применение таких моделей ■g позволяет совершенствовать биотехнологии, конструировать новые материалы с заданными свойствами. Следует Sg отметить, что требования к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических про-^ цессов растут. В связи с этим возникает необходимость изучения новых математических моделей динамических процессов, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующих воздействие генера-
J3
Ключевые слова: гетерогенная слоистая среда, волновое поле, распространение колебаний, заглубленный жидкий слой.
* Работа выполнена в рамках инициативной НИР. E-mail: usoshina_elena@mail.ru, suvorova_tv111@mail.ru, solovievarc@gmail.com 10 The research is done within the frame of the independent R&D.
тора колебаний, и дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поведение полуограниченного основания. В качестве основания в настоящей работе рассматриваются случаи гетерогенного слоя (задача А), гетерогенного слоя с вязкоупругим покрытием (задача В), гетерогенного слоя с заглубленным жидким слоем (задача С).
Основная часть.
1. Рассматривается плоская задача о колебаниях гетерогенного слоя (задача А), гетерогенного слоя с вязко-упругим покрытием (задача В), гетерогенного слоя с заглубленным жидким слоем (задача С). Полагаем, что действие генератора колебаний представлено в виде ряда Фурье. Поэтому к лицевой поверхности составного слоя приложена нагрузка Р(х)ею', -а < х < а, у = Ну , осциллирующая с частотой ю.
[0,| х| > а,
Ц (х, у, 0| , (1)
[Р(х)е-ю',|X < а
где Ц(х, у,г) = {о , о} — вектор напряжений в верхнем слое.
В верхнем гетерогенном слое нагрузка приложена по типу «непроницаемый поршень», нижний слой лежит на недеформируемом основании.
Вязкоупругое покрытие слоя описывается уравнениями Ламе [1], коэффициенты которого являются величинами с малой комплексной частью в соответствии с гипотезой внутреннего трения Сорокина:
д 2 и
цД и, +(*. + ц), г = Р—+; / = 1,2 . (2)
Для учета пористости среды, ее газонасыщенности и водонасыщенности чаще всего применяется модель Био — Френкеля [2, 3], уравнение перемещения для которой имеет вид:
д2 и д\. ,
Р11 1* + Р12 О? + '
(д и, д V, Л
д дt
= с у.'.
■<2.. Г-,.. п \
д2и, д2V' ,
р12 + Р 22 ЦТ - 6
д и, д V,
ч д д ,
= О /,'.;' = 1,2, (3)
где ui (х, у, г, г), V {(х, у, г, г) '= 1,2 — компоненты векторов перемещений упругого скелета и флюида, р12 < 0 — коэффициент динамической связи упругого скелета и жидкости.
Коэффициенты динамической плотности выражаются формулами:
р„ = (1- - р12,
Р22 = (1 - т)Р/ - Р12,
где Р*, р / — плотности сред упругого скелета и жидкости, т — пористость среды, Ь = Пт , п — коэффициент
к "о
вязкости жидкости, ко — коэффициент проницаемости.
Смешанная краевая задача для пористой среды другой модели рассматривалась в [4].
Связь между тензором полных напряжений Г * и деформациями упругой е* и жидкой е * фаз выражается в
виде:
с* = Ае5 * + 2 Же* + 0е 5 *, о /= 0 + Яе,
9 = d'vu, е = d'vv, (4)
Г, = с * + ^ с /, '■ у = 1>2,
где 5у — символ Кронекера, 5, = 1,5 и = 0 ' ф у ; о * — тензор напряжений, действующих в упругом скелете; о/ —
./у • ^
напряжения, действующие на жидкость в порах; А, Ж, 0, Я — механические характеристики гетерогенной среды, за- к
К
висящие от скоростей распространения волн в упругом скелете и в жидкости. 3
_ ' ' к
Вектор перемещений w\wj (х, у, г)| и давление в идеальной жидкости заглубленного слоя выражаются через ^
волновой потенциал ф (х, у, г):
Р0(х У, О =-Р0 д w(x, y, г) = grad ф(х y, г) . (5)
д
й о тз
"¡3
и >
Так как режим колебаний предполагается установившимся, отделим временной множитель и (х, у, /) = и*(х, у)ею'. В дальнейшем опускаем знак * и рассматриваем амплитудные значения соответствующих величин.
В задаче А на нижней границе слоя равны нулю нормальное перемещение и касательные напряжения, а также выполнено условие непроницаемости нижней границы:
и2(х,у) 1у=_Й2 = Мх,у) |у=_Й2 = 0; и2(х,у) |у=Н? =у2(х,у) |у=Н =°;|х\^а, (6)
аИ (х, у) 1у=_Л2 = 0; ' * 1.
В задаче В на границах раздела слоев задаются условия сцепления, для гетерогенного и вязкоупругого слоев с номерами к, к +1 соответственно граничные условия имеют вид:
йк (х, у) I , = йк+1(х, у) I , ;
4 (Х, у) |у= (Х, У)у=-Нк ;
<2к (х у) 1у=_Нк = ^ у) 1=-Нк;
.л , _/1)Yl I _ (7)
(a*f (X, у) + / (X, y)) =
к+1
= ^ (X, у) ■
В задаче С на границе заглубленного жидкого слоя и пористоупругой среды предполагается свободная фильтрация жидкости через границу. При этом требуется:
(1 -m)u2(Xу) |у=0 + mv2(Xу) |у=0 = W2(Xу) |у=0,
(^ (X, У) + (X, у)) |у=0 = (m -1)Po |у=0, (8)
°22k (X, y)) |y=0 =-mP0 |y=0; ^ (X y) ly=-h =
2. Волновые поля поставленных задач находятся применением преобразования Фурье:
__ад .
U (а, у) = J u (x, y)elaxdx .
-ад
Представления вектора перемещений в виде вихревой и потенциальной части и использование свойств преобразования Фурье и дифференциальных операторов позволяют свести решение систем уравнений (1)-(8) к волновым уравнениям. Для описания упругой среды достаточно двух потенциалов, для пористоупругой необходимы 3 потенциала среды. Подробнее эти преобразования описаны в работах [5], [6].
Определяя произвольные постоянные из граничных условий, приходим к описанию перемещений в составной полосе. Однако полученные соотношения должны быть преобразованы к виду, подходящему для дальнейшего решения задач о составной полосе, не иметь неопределенностей и обеспечивать устойчивый счет для достаточно больших значений аргумента. Описанный алгоритм громоздких преобразований реализован в пакете Maple с помощью операций матричной алгебры linalg:
1
u (x, у) = — J G (а, у) Q(a)e-axda; (9)
2п ш1
__ад .
Q(a, у) = J q (x, y)elacdx .
Элементы подынтегральных матриц-функций О (а, у) в представлении (9) являются осциллирующими, убывают на бесконечности степенным образом, в комплексной плоскости — мероморфные, имеют вблизи вещественной оси счетное количество полюсов с малой мнимой частью.
Контур интегрирования выбирается в соответствии с принципом излучения [5], обходя регулярные положительные особенности подынтегральной функции в нижней комплексной полуплоскости.
ад
. . А 0 (а)
Ввиду громоздкости элементов матрицы О (а, у) приведем значение для элемента О22 (а) = 4 7 , необходимое для вычисления вертикальных перемещений составной полосы в случае нормально приложенной нагрузки. Задача А (гетерогенный слой):
=у) а2 - к 2; к„ = V-, п = 1,2,3; (10)
Уп
А(а)/2 = (У!3 ^^П^ - Я2 + 2 ^ ^33 ((т! - 1) Сп^2 -
-(т2 - 1)с12^ )«2с13 + (81*2 (т2 - 1) - 82^ (т1 - 1))s4с11c12^ ;
А0 (а) = (т2 - т1 )к^*1*2*12Р(а);
g1 = 2Ъъ*ч - к2т,+2. т,+2 = 9п + 912 - 2933 +(912 + 922)т,' ' = Ъ 2 ; *1г = 1 - ехр(-2*гА); с1г = 1 + ехр(-2*гА); 9П = (А + 2Ж)/Н, 9120 / Н, 922 = Я / Н, 96 = 2Ж / Н, Н = А + 2Ж + 0 + Я,*4 = * 3 + а2, у13 = 1 + у12 /у22. Здесь V, — скорости распространения волн трех типов в гетерогенной среде.
Следует отметить, что при А ^ да, ^ =с1г- = 1 , формулы (10) для слоя вырождаются в формулы для гетерогенного полупространства с непроницаемой границей. Задача В (двухслойная среда):
А(а) = d2 З^ + d15з + d0, А0 (а) = ^З^ + d5 53 + d4 )Р(а),
d0 = (Ь11Ь22 + и 2 Ь12Ь21)З 21З 22, d1 = [(е3Ь2 + о1Ь3Ь11 + о2Ь4Ь22 )З1 + (е3Ь1 + о2Ь3Ь22 + о1 Ь4Ь11 )З2 ]5152,
d2 = еЗ 2 + [-01 о 2 (Ь3 + Ь42 ) + 2а2 ЬЬ ]Й15 2 + е2 З2,
ег = а2Ьг2 - 01 02Ь3 Ь4 ;'' = 1, 2 , е3 = а2 (Ь12 - Ь21),
d4 = -01 е4 (Ь3З2 + Ь4З1 )З1 З2, d6 = 4о1 (Ь4е1З2 + Ь3е2З1 ),
d5 = Ь22 (е1З 2 + е2З2 ) + ^ З2е4, (11)
е4 = Ь22(Ь32 + Ь42)о1 о2 + 4Ь3Ь4Ь11 (о1 )2 + 2а2Ь1Ь2Ь22 + 2о1 е3(Ь2Ь4 + Ь1Ь3), Ь11 =(2933*3/4 + у13(941 -942)) а2 + (/1 -12)*3,
Ь12 = 2((*2 - )У13 +14 ) а2 + 2/3 -к3^, ¿21 = -/1Т13 - 213 933 +11 -12;Ь22 = 13 ,
З3 = (/1 -12 )(а2 + ) - 2/1У13 - 4/3, 11 = 2933 а2 (*2 - ) - 941*2 + 942,
12 = 2933а2 (*2т2 - *1т1) - 941*2т2 + 942*1т1, /3 = *1*2*3 (т1 - т2 ), /4 = (т2 -1)*2 - (т1 -1),
Ь = 2(у С-С+ - О1 О2С2С+ ), Ь2 = 2(уС-С+ - О1 02С-С+ ), Ь3 = 0 2 с1- с2 , Ь4 = 0 2,
З1 = У2 с1-4 - и201 02с1+ , З2 = У2 с2 с1+ - и201 02с1-4 ,
__ 2
С'±= 1 ±е~2о'А, у = и2 + о22 ок = ^а2 -02; 02 = — , к = 1,2.
Ук
Здесь Ук — скорости продольных и поперечных волн. Задача С (гетерогенный слой с заглубленным слоем жидкости):
й И К X а X к
Д(а) = г\г21 -г2г22 + г3г23; Д0(а) = (-^ад г4252 + >фА +(г18 +г25)сп +
+(г24 " 18)с21"а2 /Убг32с31)Да); Г21 = Г5Г7 - ГбГ8 + Г9; Г22 = Г4Г7 + «2(гбг10 + Г11 ^ Г23 = -Г4Г8 + - Г12^
Уз+г = <б 2 - К2 (<4 + <5т, X ' = 1,2 <б+г =-К2 (<12 + <22тг);
гшр 0 тк ?с/йу 0 (1 - т + тт2 ) П 7 2
У 7 = —--3 У0 2 „-- ,Уа =4а - к22 ;К = ;
2Уо <8 Н
У8 = (<7У5 - <8 14) / (<е % X У9 = (<8 - '"Уз )Т7) / ('И<6 ) Д = «1,- / ^;
<4 = <11 + <12 - <б; <5 = <12 + <22; тг1 = 1 - тг (12)
гх = а2 + ) + у6у853, г2 = у4сп + <79у5с12 + ; г3 = + т2/2^д + от31у853, г4 = а2(у75252 / у6 -■с13) + у9 53;
Г5 = (Т5Т7С12 +<бУ9с13 -а25з<б^)/Тб;
г23+г = гЛтй - а 53г3,' = 1>2;
Г6 = ('»217277^2 +'"3179^3 -'"з1«2с1з)/Гб; _ 1у+1я- ... /- ■
'40+; -1- ^ <9'2; +У7 ' Уб'З;-
Г7 =ОТ21С12 ~'нПсП- г8 = У 4^1 ~У552-Г9 ='н21У451с12 "'"пУб^П' . ,,¿+1 ,
__ - ~ _ ~ - _ .Г42+,=(~1) У8'2,+У9/Уб'3г
Г10 ~ С12+С11"ГП ~ т2>С\2С\\'Г\2 ~ У451С12 У252С11 -Г18 ~ Г1Г6 Г3Г4-
Здесь У0 — скорость распространения волн в жидкости.
Подынтегральные функции (10)—(12) представлены как отношения целых функций в виде, обеспечивающем устойчивый счет интегралов на полубесконечном промежутке. Нули дисперсионных функций — знаменателей подынтегральных функций определяют скорость волн рэлеевского типа, распространяющихся по лицевой поверхности среды.
3. В ближней зоне интегралы вычисляются интегрированием по комплексному контуру. В области, дальней от приложения нагрузки, соотношение (9) можно вычислить по вычетам [7]. При этом значения полюсов находится численно из решения дисперсионного уравнения Д(а) = 0. Первый полюс порождает распространяющуюся по поверхности волну, которая переносит наибольшую долю энергии. Величина полюса определяет скорость распространения волны.
Численный анализ проводился при следующих механических характеристиках, определяющих вязкоупругую и гетерогенную среду [8-10], что соответствует водонасыщенному песчанику:
р = 1700 кг / м3, V = 120 м / с, Гр = 208 м / с; к1 = 0,4 м, Ь2 = 0,1 м, а=1 м;
р, = 2100 кг / м3, V = 160 м / с, У2 = 277 м / с;
0 = 0,5585 ■ 107 па, R = 0,174б • 107 па;
■2 А = 0,4272 ■ 108 па, N = 0,4311-107 па, р г = 1000 кг / м3.
С о
Для всех типов оснований численный анализ дисперсионных соотношений выявил определенные закономер-й ности. При увеличении жесткости скелета обводненного основания скорость распространения поверхностных волн
и
увеличивается. Увеличение пористости гетерогенной среды, увеличение плотности флюида, насыщающего поры, напротив, приводят к уменьшению скорости распространения волн по поверхности среды. Эти закономерности иллю-^ стрирует рис. 1.
Рис. 1. Изменение полюса двухслойного основания при изменении жесткости подстилающего гетерогенного полупространства и плотности жидкости в порах го/
Наличие жидкого слоя значительно увеличивает динамичность среды, особенно при низких частотах. На рис. 2 представлены графики, иллюстрирующие распространение волн по поверхности гетерогенного слоя с заглубленным жидким слоем — верхние кривые, и гетерогенного слоя на жестком основании — нижние кривые. По вертикальной оси отложены безразмерные перемещения, по горизонтальной оси — безразмерное расстояние от области приложения нагрузки.
u д. 0,025*
Рис. 2. Зависимость действительной (сплошная линия) и мнимой (штриховая линия) части вертикальных перемещений поверхности среды и от расстояния х до области приложения нагрузки
Описанный метод решения задач применим и к соответствующим задачам в пространственной постановке.
Выводы. При изменении геометрических и механических характеристик любого из составляющих слоев основания, обладающего пористостью, флюидонасыщенностью, вязкоупругими свойствами, изменяется волновое поле на поверхности пакета слоев. Применение простейших моделей оснований типа полупространства Винклера приводит к искажению качественной картины динамического процесса и не может использоваться при моделировании проблем динамики.
Авторы выражают благодарность профессору ЮФУ М. А. Сумбатяну за внимание к работе.
Библиографический список
ей
1. Горшков, А. Г. Теория упругости и пластичности / А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский. к — Москва : Физматлит, 2002. — 440 с. $
2. Био, М. А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде / Jj М. А. Био // Механика. Период. сб. переводов иностр. статей. — 1963.— Т. 6, № 82. — С. 103-134.
3. Bumdge, R. Poroelasticity equations derived from microstructure / R. Burridge, J.-B. Keller // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1981. — Vol. 70, № 4. — P. 1140-1146.
4. Scalia, A. Contact problem for porous elastic half-plane / A. Scalia, M. A. Sumbatian // Journal of elasticity. — 2000. — Vol. 60, № 32. — P. 91-102.
5. Суворова, Т. В. Колебания составного гетерогенного слоя / Т. В. Суворова, Е. А. Усошина // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2010. — № 2. — С. 74-79.
6. Колесников, В. И. Моделирование динамического поведения системы «верхнее строение железнодорожного пути — слоистая грунтовая среда» / В. И. Колесников, Т. В. Суворова. — Москва : ВИНИТИ РАН, 2003. — 232 с.
7. Свешников, А. Г. Теория функций комплексной переменной / А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. — Москва : Наука, 2004. — 336 с.
8. Chao-Lung, Yeh. An assessment of characteristics of acoustic wave propagation and attenuation trough eleven different saturated soils / Yeh Chao-Lung, Lo Wei-Cheng, Jan Chyan-Deng // American Geophysical Union. Fall Meeting. — 2006. — № 12. — P. 31.
9. Sumbatyan, M. A. Dynamic Contact Problem for a Heterogeneous Layer with a Liquid Sheet on a Non-Deformable Foundation [Электронный ресурс] / M. A. Sumbatyan, A. Scalia, H. A. Usoshina // Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications (PHENMA 2015) : Abstracts & Schedule оf 15 International Conference / Southern Federal University. — Azov, 2015. — Режим доступа: http://phenma 2015.math.sfedu.ru. — P. 239-240 (дата обращения : 16.07.16).
10. Hofmann, M. Parameter identification for partially saturated soil models / M. Hofmann, T. Most, G. Hofstetter // 2nd International Conference on Computational Methods in Tunneling / Ruhr University Bochum. — Bochum : Aedificatio Publishers, 2009. — Р. 1-4.
References
1. Gorshkov, А^., Starovoytov, E.I., Tarlakovskiy, D.V. Teoriya uprugosti i plastichnosti. [Theory of elasticity and plasticity.] Moscow: Fizmatlit, 2002, 440 p. (in Russian).
2. Bio, М.А. Mekhanika deformirovaniya i rasprostraneniya akusticheskikh voln v poristoy srede. [Mechanics of deformation and propagation of acoustic waves in porous medium.] Mechanics. Periodic coll. of translations of foreign papers. 1963, vol. 6, no. 82, pp. 103-134 (in Russian).
3. Burridge, R., Keller, J.-B. Poroelasticity equations derived from microstructure. The Journal of the Acoustical Society of America, 1981, vol. 70, no. 4, pp. 1140-1146.
4. Scalia, A., Sumbatian, M.A. Contact problem for porous elastic half-plane. Journal of elasticity, 2000, vol. 60, no. 32, pp. 91-102.
5. Suvorova, TV., Usoshina, E.A. Kolebaniya sostavnogo geterogennogo sloya. [Oscillation of composite heterogeneous layer.] Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea economic cooperation, 2010, no. 2, pp. 74-79 (in Russian).
6. Kolesnikov, V.I., Suvorova, T.V. Modelirovanie dinamicheskogo povedeniya sistemy «verkhnee stroenie zheleznodorozhnogo puti — sloistaya gruntovaya sreda». [Simulation of dynamic behavior of the system "track structure -layered soil ground".] Moscow: VINITI RAN, 2003, 232 p. (in Russian).
7. Sveshnikov, А^., Tikhonov, A.N. Teoriya funktsiy kompleksnoy peremennoy. [Complex variable theory.] Moscow: Nauka, 2004, 336 p. (in Russian).
8. Chao-Lung Yeh, Lo Wei-Cheng, Jan Chyan-Deng. An assessment of characteristics of acoustic wave propagation and attenuation trough eleven different saturated soils. American Geophysical Union. Fall Meeting. 2006, no. 12, p. 31.
9. Sumbatyan, M.A., Scalia, A., Usoshina, H.A. Dynamic Contact Problem for a Heterogeneous Layer with a Liquid Sheet on a Non-Deformable Foundation. Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications (PHENMA 2015): Abstracts & Schedule оf 15 International Conference. Southern Federal University. Azov, 2015. Available at: http://phenma
g 2015.math.sfedu.ru. pp. 239-240 (accessed: 16.07.16).
3 10. Hofmann, M., Most, T., Hofstetter, G. Parameter identification for partially saturated soil models. 2nd Interna-
ls tional Conference on Computational Methods in Tunneling. Ruhr University Bochum. Bochum: Aedificatio Publishers, 2009, ° pp. 1-4.
Й
и
> Поступила в редакцию 04.05.2016 ^ Сдана в редакцию 04.05.2016 £ Запланирована в номер 07.07.2016
