CC BY
33
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
УДК 534.232
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
DOI 10.23683/0321-3005-2018-2-23-29
АНАЛИЗ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕИСТВИЯ ПЬЕЗОАКТУАТОРА И УПРУГОГО СЛОЯ В РЕЖИМЕ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СОСРЕДОТОЧЕННЫХ УСИЛИЙ*
© 2018 г. А.А. Ляпин1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
ANALISYS OF CONTACT INTERACTION OF PIEZOELASTIC ACTUATOR AND ELASTIC LAYER IN TERMS OF STEADY OSCILLATIONS ON BASIS OF PIN-FORCED METHOD
A.A. Lyapin1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Ляпин Александр Александрович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: [email protected]
Alexander A. Lyapin - Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Laboratory ofMechanics of Deform-able Bodies and Constructions, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Stachki Ave., 200/1, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]
Применение электроупругих актуаторов для возбуждения акустического сигнала в упругих телах является одной из основных методик неразрушающего контроля. Математическое моделирование процессов взаимодействия актуа-тора и среды позволяет разрабатывать более точные и современные методы диагностики упругого состояния тел. В рамках статьи проведен анализ контактного взаимодействия электроупругого актуатора и упругого слоя в осе-симметричной постановке режима установившихся колебаний. Решение построено на основе инженерного подхода, основанного на замене актуатора сосредоточенными усилиями по границе контакта, а также методом конечного элемента. Моделируется полная задача взаимодействия актуатора и среды. При решении задачи методом конечного элемента применяются специальные методики для моделирования бесконечных сред. Корректность моделирования волновых полей при таком подходе проверена на основе решения задачи о распространении волн в упругом слое методом обращения интегрального преобразования Ханкеля. Амплитуды сосредоточенных усилий определены путем интегрирования контактных нормальных и касательных напряжений по области контакта. Итоговые волновые поля, полученные представленными методами, сравниваются друг с другом для различных частот.
Ключевые слова: неразрушающий контроль, пьезоактуатор, распространение волн, метод конечного элемента, метод сосредоточенных сил.
Application of piezoelastic actuators for generation of acoustic signal while scanning elastic bodies is one of the basic methodic of non-destructive testing. Mathematical modeling for interaction processes of actuator and media allows developing more accurate and modern methods for health monitoring of elastic bodies. In terms of paper presented the calculation of contact interaction of piezoelastic actuator and elastic layer in case of axisymmetric steady-state oscillations is performed. The solution is constructed on the basis of engineering approach, based on description of an actuator as concentratedforces placed along the contact edge and the finite element method for simulation the full problem of an actuator and a media interaction. While performing the finite element simulation the special methodic for dealing with infinitive bodies is used. The correctness for such wave field solutions is checked with known solutions for wave distribution in an elastic layer based on the inverse Hankel integral transformation. Amplitudes for concentrated forces are determined by integration of normal and tangential contact stresses along the contact area. Resulted wave fields are compared for various vibration frequencies.
Keywords: non-destructive testing, piezoelastic actuator, guided waves, finite element method, pin-force method.
* Работа выполнена при поддержке государственного задания Министерства образования и науки Российской Федера-
ции № 3.9997.2017/5.2, № 9.4726.2017/8.9.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGi
Бегущие упругие волны хорошо зарекомендовали себя как инструмент идентификации повреждений при мониторинге всевозможных промышленных объектов. Для неразрушающего контроля в качестве генераторов высокочастотных волн применяются пьезокерамические актуаторы. Построение моделей взаимодействия механических конструкций и пьезокерамических актуаторов для понимания электромеханического динамического поведения таких систем является важной задачей для развития техник неразрушающего контроля и мониторинга состояния конструкций, в том числе из композитных материалов, которые находят все большее применение в авиастроении, химической промышленности, трубопроводных системах и т.д.
Одной из основных проблем при эффективном использовании пьезоактуаторов является корректное описание процессов распространения генерируемых упругих волн и, в частности, связанное электроупругое поведение области между актуато-ром и объектом. Построение модели упругих сред с расположенными на поверхности пьезоактуато-рами является необходимым условием разработки новых и оптимизации существующих систем неразрушающего контроля, приводит к более глубокому пониманию электромеханического динамического поведения структуры и характера распространения волн.
Анализом колебаний связанных систем типа ак-туатор - объект и разработкой эффективных моделей описания электроупругих актуаторов начали заниматься уже давно. Стоит отметить значительный вклад отечественных ученых по данной проблематике [1-3]. Для решения прикладных инженерных задач неразрушающего контроля зачастую применяются упрощенные модели актуаторов, основанные на моделях балок и пластин [4-10]. Однако границы применения таких моделей жестко ограничены небольшим частотным диапазоном, где длины волн значительно больше характерных размеров объекта.
Для более сложных структур аналитическое и численно-аналитическое моделирование становится крайне сложным или невозможным. В таком случае в качестве одного из методов решения может быть использован метод конечного элемента (МКЭ), хорошо зарекомендовавший себя при анализе электроупругих структур [11, 12]. Однако и конечно-элементные модели обладают рядом ограничений, особенно для случаев тел больших размеров и высокочастотных колебаний, где соответственное число элементов приводит к значительному времени расчета.
r. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
Целью данной статьи является исследование свойств взаимодействия пьезоактуатора и упругого слоя в режиме установившихся колебаний. Задача рассмотрена в осесимметричной постановке, что отвечает случаю актуатора цилиндрической формы - наиболее распространенной и применяемой в техниках неразрушающего контроля. Математическое моделирование процесса взаимодействия актуатора и слоя осуществлено на основе МКЭ. Корректность описания волновых процессов в слое обоснована сравнением КЭ -решений для слоя с решениями, сформулированными методами математического аппарата теории упругости - на основе обращения интегральных представлений решений. В дополнение к КЭ-ре-шениям волновые поля, генерируемые актуато-ром, построены на основе метода сосредоточенных усилий, который заключается в эффективной замене актуатора системой сосредоточенных сил, расположенных по границе контактной зоны. Полученные решения сравниваются и анализируются для различных частот колебаний.
Построение решений для упругого слоя
Для математического моделирования волновых полей, генерируемых пьезоактуатором в слое, необходимо корректно строить решение для задачи об установившихся колебаниях упругого слоя под действием системы нагрузок на части поверхности. Такое описание свойств распространения волн может быть реализовано различными способами, в том числе МКЭ с применением специальных техник для моделирования бесконечно удаленной границы.
Для проверки корректности КЭ волновых полей упругого слоя необходимо построить эталонные решения известными методами теории упругости. Пусть рассматриваемый упругий слой толщины h находится под воздействием системы нормальных и касательных напряжений, действующих на круглом пятне радиуса a на верхней поверхности слоя z=h.
Решение задачи об установившихся колебаниях упругого слоя строится известным способом через представления Ламе и интегральное преобразование Ханкеля. Приведем вкратце схему построения решения. Геометрия задачи и граничные условия представлены на рис. 1.
Рассматривается упругий слой в цилиндрической системе координат: r е [0, да) ; z е [-h,0] ; ре[0,2ж]. Нагрузка представлена заданными нормальными с zz и касательными с zr напряжениями на части границы z = 0, r е [0, a].
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
, г - ось симметрии
<Ur), (Tir)_________--- ____________ и Свободная граница г
Упругий слой 1 j ------Г Бесконечная
------ 1 длина
Защемленная граница
Рис. 1. Рассматриваемая область и граничные условия / Fig. 1. Problem area and boundary conditions
Уравнения колебаний среды представляют собой классические уравнения Ламе
VV- uVxVx u + 0,2u = 0,
0\
где d2=a2a2/v2, в22=ю2а2/г2,
р = 1 для сгг (г, г); контур Г+ - с учетом обхода особенностей подынтегральной функции.
В таком случае уравнения Гельмгольца (3) после преобразования Ханкеля принимают вид
к2 + вф = о, и2 +в2т =о.
&2 &2
Решение для слоя будем строить в виде суперпозиции решений для двух полуплоскостей (рис. 2).
Тогда решения уравнений Гельмгольца должны убывать на бесконечности для каждой из соответствующих полуплоскостей. Представим построение решения для полуплоскости, направленной вниз.
ф = С1(к) ехрС^], у = С2(к)ехр[с2 г],
(1)
^ Чк2-ej- j =1,2
Ур = ^(Я + 2М)/р, Г8 =Щ~р .
Определяющие соотношения для тензора напряжений: о = + ЛШге .
Граничные условия на верхней границе слоя представлены функциями нормальных и касательных напряжений, нижняя граница жестко защемлена: \з1(г), 0 < г < а
I 0, г > а
Î Х',(г), Х',(г) „г «■„(г). о-„(Г) а
\ Полуплоскость (+) / / \
\ / + / \ — Упругий слой
-Il \ / / Полуплоскость (-) \
X ,(г) , Х ,(г)
Рис. 2. Схема суперпозиции полуплоскостей для построения решения для слоя / Fig. 2. Superposition scheme for half-planes in terms of layer solution
Трансформанты перемещений и напряжений в таком случае могут быть выражены в виде
ïï(k, z ) = Г* 1 = U(k, z )• C(k ),
^zz (r,0) = ■
^zr (r,0) =
\s2(r),0 < r < a I 0, r > a
t(k, г ) = \Zz U B(k, z )• C(k ),
(4)
(2)
ц(г,_А) = 0.
Решение строится в виде разложения волнового поля на потенциальную и вихревую составляющие:
и = Ц, иг }= V^ + Vx(тeф).
С учетом такого представления, дифференциальные уравнения (1) преобразуются в уравнения Гельм-гольца для определения неизвестных потенциалов:
U =
B
- к exp(^1z) -ст2ехр(ст2z)^ cr1exp(a1z) к ехр(ст2 z)
f п
Ç2 exp(CTjZ) 2ka2exp(a2z)
- 2ka1exp(CT1 z) -ç|exp(<r2 z)
+ = 0, Л^ + 022^ = 0 .
(3)
Решение уравнений (3) может быть построено на основе интегрального преобразования Ханкеля, которое для некоторой функции / (г) имеет вид
_ да
/ (к) = Н р [/ (г)]={ / (гУр (кг)Ыг, 0
/(г) = Н р1 [У (к )]= | / (к Ур (кг)кйк.
г+
Параметр р выбран для соответствующих напряжений следующим образом: р = 0 для (г, г) ,
$1 = к2 +С22.
Пусть на поверхности полуплоскости действует система нормальных и касательных напряжений
1 = <! гг\ = Х(г), г = 0, г е (0, да). Тогда неизвест-
С \
ные константы в решении (4) можно представить в
виде С(к) = В_1(к,0) • Х(к).
Трансформанты перемещений и напряжений для полуплоскости имеют вид
и(к,г) = Г* I = и(к,г) • В_1(к,0) • Х(к) = 0(к,г) • Х(к),
t(k, z) = j \ = B(k, z) • B-1 (k,0) • X(k) = G(k, z) • X(k).
z
zr
z
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
Тогда решение для слоя может быть представлено в виде
u(k, z ) =
= Q+ (k, z) • X+ (k) + Q" (k, z) • X" (k) ,
t (k, г ) = \1z \ = G+ (k, z) • X+ (k) + G " (k, z) • X- (k).
Верхний индекс (+,—) соответствует полуплоскости, направленной вниз и вверх соответственно.
Решения содержат не произвольные неизвестные константы, а некоторые функции, соответствующие распределённым напряжениям на границах полуплоскостей. Определение этих напряжений следует из удовлетворения граничным условиям исходной задачи:
адД^ЗД, <г2Г(к,0) = ЗД, П(к,-й) = 0.
Соответствующая система линейных алгебраических уравнений имеет вид
0
0 1 ßn(k ,-h) ßi+2(k -h)
vß2+i(k,-h) Ô2+2(k,-A)
Çi-(k,0) Gi-2(k,0)
G2-i(k,0) G2-2(k,0)
\
Qi- (k,-h) Ö2-i(k ,-h)
Qn(k~h) Qn(k ,-h)
Результаты моделирования для различных частот колебаний представлены на рис. 3 (сплошной и пунктирной линиями отмечены решения методом обращения интегрального преобразования, штрих-пунктирной и точечной - решения, построенные в пакете АШУБ).
Заметим, что для низкой частоты решение соответствует квазистатическому полю перемещений, что также подтверждается дисперсионными множествами - на низких частотах бегущие волны отсутствуют. Таким образом, можно заключить, что построенные решения для задачи о распространении волн в упругом слое за счет системы нагрузок на верхней границе МКЭ корректны. Следующим этапом является исследование свойств взаимодействия пьезоактуатора и упругого слоя.
и, т
0.0020
X+ (k ) 0.0015
X 2+ (k ) ,_ 0.0010
Xi- (k ) 0.0005
[X 2 (k ),
Si(k) S 2(k) 0 0
Определитель этой системы характеризует дисперсионные свойства упругого слоя. Для конкретного материала слоя и его размеров можно построить дисперсионные множества, определяющие динамические свойства распространения упругих волн.
Решение аналогичной задачи о распространении упругих волн в слое с заданными напряжениями на границе было построено на основе МКЭ в пакете ANSYS. Задача решена в стационарной осесиммет-ричной постановке с применением КЭ PLANE 182 (че-тырехузлового элемента с двумя степенями свободы в каждом узле и возможностью моделировать осесим-метричную деформацию) и моделированием бесконечно удалённой границы элементом INFIN257, который для динамических типов анализа удовлетворяет условию абсорбирующей границы, позволяющей избавиться в решении от отраженных полей.
Толщина слоя h для численных экспериментов выбрана 10 мм; материал слоя - сталь с параметрами: модуль Юнга - 2-1011 Па; коэффициент Пуассона - 0,31; плотность - 7850 кг/м3. В качестве нагрузки на части границы слоя z = 0, 0 < r < a , a=0,004 м задано нормальное распределенное усилие с амплитудой 8Д-1010 Па.
0.005 0.010 0.015
— ReU(lntegral) — ReU(ANSYS)
а / a
0.020 0.025 r, m
ImU(lntegral) ImU(ANSYS)
U, m
0.0010 0.0005
-0.0005 -0.0010
\
Г,.»— o.olo ~ O.Oli""" 0.020
- Rell(lntegral)
---- ReU(ANSYS)
б / b
ImU(lntegral) ImU(ANSYS)
Рис. 3. Поля вертикальных перемещений на верхней границе слоя для частоты 3 кГц - а, 400 кГц - б / Fig. 3. Vertical displacements fields along the top edge of layer for frequencies 3 kHz - a, 400 kHz - b
Решение задачи взаимодействия актуатора и слоя
Рассмотрим взаимодействие пьезоактуатора и упругого слоя в осесимметричной постановке и в режиме установившихся колебаний. Геометрия и граничные условия задачи представлены на рис. 4.
u
R
u
z
zr
r, m
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
jZ - ось симметрии
Электроды'
Бесконечная длина
Защемленная граница I
•-—_____—
Рис. 4. Геометрия и граничные условия / Fig. 4. Geometry and boundary conditions
Аналогично предыдущему решению моделирование напряженно-деформированного состояния слоя осуществлено на основе КЭ PLANE182 и элемента INFIN257 для моделирования бесконечно удаленной границы. Для описания свойств пьезоак-туатора использован элемент PLANE223, позволяющий моделировать электроупругие материалы. Размеры и материал упругого слоя выбраны аналогично предыдущим численным экспериментам. Ак-туатор представляет собой цилиндр диаметром 8 мм и толщиной 2 мм, выполненный из материала PZT-4, свойства которого описаны в таблице [7]. Нижняя граница актуатора заземлена, на верхней задан потенциал в 1 В.
Материальные свойства керамики PZT-4 / Material properties of ceramics PZT-4
Параметры матрицы постоянных Обозначение Величина
Упругие, Па Си 13,91010
С12 7,78-1010
С13 7,43-1010
Сзз 11,51010
С44 2,56-1010
С 66 3,06-1010
Диэлектрические, Ф/м Э11 6,4510-9
Э33 5,6210-2
Пьезоэлектрические, Кл/м2 ез1 -5,2
езз 15,1
615 12,7
Решение связанной задачи численно-аналитическими методами представляет собой достаточно сложную процедуру. В таких случаях применяется методика замены актуатора системой сосредоточенных нормальных и касательных усилий по границе контактной области. В случае, когда переходной слой между актуатором и средой стремится к нулю по толщине, касательные напряжения на интерфейсе сосредотачиваются в области границы актуатора [4, 13]. Следуя данной гипотезе, можно уйти от
решения задачи взаимодействия пьезоактуатора и упругого слоя и анализировать деформированное состояние упругого слоя под действием системы сосредоточенных усилий.
Остается неочевидным вопрос амплитуды таких сосредоточенных усилий. Одним из вариантов их определения может являться метод интегрирования нормальных и касательных напряжений по области контакта в задаче о взаимодействии актуатора и среды. В частности, значения напряжений в узлах КЭ-модели были интерполированы сплайном третьего порядка. Полученная интерполяционная функция проинтегрирована по границе контакта. Итоговые значения использованы в качестве амплитуд сосредоточенных нормальных и касательных усилий, расположенных в точке z=h, r=a. В результате можно построить волновые поля в слое методом обращения интегрального преобразования Ханкеля, если в качестве граничных условий (2) взять dzz (r,0) = A8(r - a), arz (r,0) = BS(r - a), где А и В - значения интегралов нормальных и касательных напряжений по области контакта актуа-тора и слоя.
Важным параметром задачи является частота колебаний. Проведем анализ для низких и средних частот, так как при частотах выше первой собственной частоты радиальных колебаний актуатора такая эффективная замена невозможна (рис. 5, 6).
Поля колебаний для всех представленных случаев совпадают достаточно точно.
Таким образом, МКЭ позволяет эффективно строить поля колебаний для бесконечных областей путем применения специальных команд. Такие решения продемонстрировали достаточную точность и скорость расчета, которая в случае интегрального подхода значительно ниже. Применение эффективной модели сосредоточенных усилий для описания пьезоактуатора - популярная методика неразруша-ющего контроля и мониторинга упругого состояния конструкций, но требующая информации о контактных усилиях на соответствующей частоте, что достаточно сложно определить без решения полной связанной контактной задачи.
Дальнейшее развитие полученных результатов будет направлено на учет особых свойств на контакте, что характеризует клеевой слой и требует особого внимания при изучении распространения волн в задачах неразрушающего контроля и мониторинга упругих структур.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
в / c
г / d
- Оу ----Oxy
Рис. 5. Действительная (а, в) и мнимая (б, г) части нормальных (сплошная линия) и касательных (пунктирная линия) напряжений для частоты колебаний 120 кГц и 400 кГц / Fig. 5. Real (a,c) and imaginary (b,d) parts for normal (solid line) and tangential (dashed line) stresses for frequencies 120 kHz and 400 kHz
в / c
■ Coupled (ANSYS)
----Pin-force (ANSYS)
г /d
Pin-force (Integral)
Рис. 6. Действительная (а, в) и мнимая (б, г) части вертикальных смещений по верхней границе слоя для связанного решения (сплошная линия), эффективного решения сосредоточенными усилиями, построенного в ANSYS (пунктирная линия), эффективного решения сосредоточенными усилиями, построенного интегральным методом (точечно-пунктирная линия) для частоты колебаний 120 кГц и 400 кГц / Fig. 6. Real (a, c) and imaginary (b, d) parts of vertical displacements along the top layer edge for coupled solution (solid line), effective ANSYS pin-force solution (dashed line), pin-force solution with integral approach (dot-dashed line) for frequencies 120 kHz and 400 kHz
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
Литература
References
1. Наседкин А.В., Шихман В.М., Захарова С.В. Конечно-элементный расчет высокотемпературных преобразователей акустической эмиссии // Дефектоскопия. 2011. № 7. С. 49-64.
2. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Evdokimov A.A. Distribution of the energy of a piezoelectric actuator between traveling waves excited in an elastic layer // J. of Applied Mechanics and Technical Physics. 2015. Vol. 56, № 6. P. 1007-1014.
3. Glushkov Y.V., Glushkova N.V., Seemann W., Kvasha O.V. The excitation of waves by piezoelectric patch actuators arranged symmetrically on both surfaces of an elastic layer // J. of Applied Mathematics and Mechanics. 2011. Vol. 75, № 1. P. 56-64.
4. Crawley E.F., de Luis J. Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures // AIAA J. 1987. Vol. 25, № 10. P. 1373-1385.
5. Sirohi J., Chopra In. Fundamental Understanding of Piezoelectric Strain Sensors // J. of Intelligent Material Systems and Structures. 2000. Vol. 11. P. 246-257.
6. Wood R.J., Steltz E., Fearing R.S. Optimal energy density piezoelectric bending actuators // Sensors and Actuators A: Physical. 2005. Vol. 119, № 2. P. 476-488.
7. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнито-упругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988, 470 с.
8. Lee C.K., Moon F.C. Laminated piezopolymer plates for torsion and bending sensors and actuators // J. Acoust. Soc. Am. 1989. Vol. 85. P. 2432-2439.
9. Tzou H.S., Gader M. Theretical analysis of a multi-layered thin shell coupled with piezoelectric shell actuators for disturbed vibration control // J. Sound Vibrat. 1989. Vol. 132. P. 433-450.
10. Crawley E.F., Lazarus K.B. Induced strain actuation of isotropic and anisotropic plates // AIAA J. 1991. Vol. 29. P. 944-951.
11. Detwiler D.T., Shen M.-H.H., Venkayya V.B. Finite element analysis of laminated composite structures containing distributed piezoelectric actuators and sensors // Finite Elements in Analysis and Design. 1995. Vol. 20, № 2. P. 87-100.
12. Sung Yi, Shih Fu Ling, Ming Ying Large deformation finite element analyses of composite structures integrated with piezoelectric sensors and actuators // Finite Elements in Analysis and Design. 2000. Vol. 35, № 1. P. 1-15.
13. Giurgiutiu V. Structural Health Monitoring with Piezoelectric Wafer Active Sensors. Academic Press: Burlington, MA, USA, 2007. 1024 p.
1. Nasedkin A.V., Shikhman V.M., Zakharova S.V. Konechno-elementnyi raschet vysokotemperaturnykh preobrazovatelei akusticheskoi emissii [Finite-element calculation of high-temperature acoustic emission transducers]. Defektoskopiya. 2011, No. 7, pp. 49-64.
2. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Evdokimov A.A. Distribution of the energy of a piezoelectric actuator between traveling waves excited in an elastic layer. J. of Applied Mechanics and Technical Physics. 2015, vol. 56, No. 6, pp. 1007-1014.
3. Glushkov Y.V., Glushkova N.V., Seemann W., Kvasha O.V. The excitation of waves by piezoelectric patch actuators arranged symmetrically on both surfaces of an elastic layer. J. of Applied Mathematics and Mechanics. 2011, vol. 75, No. 1, pp. 56-64.
4. Crawley E.F., de Luis J. Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures. AIAA J. 1987, vol. 25, No. 10, pp. 1373-1385.
5. Sirohi J., Chopra In. Fundamental Understanding of Piezoelectric Strain Sensors. J. of Intelligent Material Systems and Structures. 2000, vol. 11, pp. 246-257.
6. Wood R.J., Steltz E., Fearing R.S. Optimal energy density piezoelectric bending actuators. Sensors and Actuators A: Physical. 2005, vol. 119, No. 2, pp. 476-488.
7. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A. Elektromag-nitouprugost'p'ezoelektricheskikh i elektroprovodnykh tel [Electromagnetoelasticity of piezoelectric and electrically conductive bodies]. Moscow: Nauka, 1988, 470 p.
8. Lee C.K., Moon F.C. Laminated piezopolymer plates for torsion and bending sensors and actuators. J. Acoust. Soc. Am. 1989, vol. 85, pp. 2432-2439.
9. Tzou H.S., Gader M. Theretical analysis of a multi-layered thin shell coupled with piezoelectric shell actuators for disturbed vibration control. J. Sound Vibrat. 1989, vol. 132, pp. 433-450.
10. Crawley E.F., Lazarus K.B. Induced strain actuation of isotropic and anisotropic plates. AIAA J. 1991, vol. 29, pp. 944-951.
11. Detwiler D.T., Shen M.-H.H., Venkayya V.B. Finite element analysis of laminated composite structures containing distributed piezoelectric actuators and sensors. Finite Elements in Analysis and Design. 1995, vol. 20, No. 2, pp. 87-100.
12. Sung Yi, Shih Fu Ling, Ming Ying. Large deformation finite element analyses of composite structures integrated with piezoelectric sensors and actuators. Finite Elements in Analysis and Design. 2000, vol. 35, No. 1, pp. 1-15.
13. Giurgiutiu V. Structural Health Monitoring with Piezoelectric Wafer Active Sensors. Academic Press: Burlington, MA, USA, 2007, 1024 p.
Поступила в редакцию /Received
15 февраля 2018 г. / February 15, 2018
