Контактная задача для упругого параллелепипеда при наличии трения и износа Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

УДК 539.3

Б01 10.23683/0321-3005-2017-2-32-37

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ И ИЗНОСА*

1,2

С.А. Данильченко1'2, А.А. Ляпин1

© 2017 г. М.И. Чебаков1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия

CONTACT PROBLEM FOR ELASTIC BLOCK TAKING INTO ACCOUNT FRICTION AND WEAR

M.I. Chebakov1'2, S.A. Danilchenko1'2, A.A. Lyapin1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia

Чебаков Михаил Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; Ростовский государственный университет путей сообщения, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов-на-Дону, 344038, Россия, e-mail: chebakov@math.sfedu.ru

Данильченко Сергей Александрович - инженер-проектировщик, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; Ростовский государственный университет путей сообщения, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов-на-Дону, 344038, Россия, e-mail: sergey.a.danilchenko@gmail.com

Ляпин Александр Александрович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: lyapin@ sfedu.ru

Mikhail I. Chebakov - Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor, Head of Laboratory for Mechanics of Deformable Bodies and Constructions, Vorovich Institute for Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Stachki Ave., 200/1, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Rostov State Transport University, Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq., 2, Rostov-on-Don, 344038, Russia, e-mail: chebakov@math.sfedu.ru

Sergey A. Danilchenko - Design Engineer, Laboratory for Mechanics of Deformable Bodies and Constructions, Vorovich Institute for Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Stachki Ave., 200/1, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Rostov State Transport University, Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq., 2, Rostov-on-Don, 344038, Russia, e-mail: sergey.a.danilchenko@gmail.com

Alexander A. Lyapin - Candidate of Science in Physics and Mathematics, Senior Researcher, Laboratory for Mechanics of Deformable Bodies and Constructions, Vorovich Institute for Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Stachki Ave., 200/1, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: lyapin@ sfedu.ru

Одним из решающих факторов, влияющих на срок службы узлов трения, является износ их компонентов. Поэтому прогнозирование износа представляется важной задачей в машиностроении. В литературе описано достаточно много различных моделей износа. Их математические выражения варьируются от простых эмпирических соотношений до сложных уравнений, опирающихся на физические понятия и определения. Параметры и переменные, используемые в них, часто действительны только для конкретных случаев.

Рассмотрена нестационарная контактная задача об изнашивании упругого неоднородного основания конечных размеров в форме параллелепипеда под воздействием движущегося по поверхности жесткого штампа. Скорость износа рассчитывалась согласно модели Аркарда. Представлены результаты расчетов величины износа при различных параметрах изнашивания модели Аркарда и двух вариантов неоднородности основания.

* Постановка задачи, написание программы и макроса APDL ANSYS, моделирование и расчеты методом конечных элементов выполнены М.И. Чебаковым и С.А. Данильченко за счет гранта Российского научного фонда (проект № 16-19-10467) в Ростовском государственном университете путей сообщения. Расчеты выполнены А.А. Ляпиным при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках проекта № 16-08-00852 в Южном федеральном университете.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

Рассмотрены случай наличия тонкого приповерхностного слоя на однородном основании и случай, когда модуль упругости основания изменяется по глубине согласно заданному линейному закону. Расчеты производились на основе метода конечных элементов и программного комплекса ANSYS. Проведено сравнение полученных результатов расчета в частном случае с известным аналитическим решением контактной задачи с учетом износа для относительно тонкого бесконечного слоя. При соответствующих параметрах задачи показано хорошее совпадение результатов.

Ключевые слова: износ, трение, контактное взаимодействие, математическое моделирование.

One of the most important factors varying exploitation time for friction units is wear. Thus, simulation for such process is vital problem of mechanical engineering. In literature one can find a lot of information on various wear models. Mathematical formulation of such models varies from simple empiric to complex equation, basing on physical definitions. Parameters and variables, used in such models, frequently are valid only for certain cases.

Presented article is devoted to non-stationary contact problem on wear of solid nonhomogeneous foundation of finite size in the shape of block under the action of moving rigid indentor. The wear speed was calculated on the basis of Archard model. There presented various results for wear amount for different Archard model parameters and two types of base non-homogeneity.

There studied special cases for thin layer based on homogeneous foundation and case for linear function of elasticity modulus. Simulation was performed using finite element method and ANSYS software. Results are compared for particle case and well known analytical solution for contact problem with wear for thin infinite layer. There demonstrated good satisfaction for both solutions.

Keywords: wear, friction, contact interaction, mathematical modelling.

Контактные задачи о движении штампа с учетом износа для полуограниченных тел аналитическими методами в различных постановках рассматривались в работах Л.А. Галина, И.Г. Горячевой, В.М. Александрова, Е.В. Коваленко, В.Ф. Комо-горцева и других (см. работы [1-4] и др.). Обзор работ, посвященных контактным задачам с учетом износа, приведен в [5].

Частично работа была доложена на Международной конференции «Механика и трибология транспортных систем» [6].

Постановка задачи. Рассмотрим упругий неоднородный параллелепипед (блок) (— Ь < х < Ь; 0 < у < \; — < г < ), закрепленный по основанию у = 0. На границу у = ^ действует жесткий штамп в форме параллелепипеда (— а < х < а;

< у < ; — ¿2 < г < ^2), с нижним основанием, совпадающим с границей блока у = \, и нагруженный нормальным равномерно распределенным по линии в направлении оси г вдоль всего штампа усилием интенсивности Р (рис. 1).

При этом общее усилие на штамп равно .

Боковые грани и поверхность блока у = Ъ^, не взаимодействующие со штампом, свободны от напряжений, поверхность блока у = 0 закреплена. Штамп совершает возвратно-поступательные движения вдоль направляющей Ог с постоянным модулем скорости V, при этом между штампом и блоком задано кулоновское трение с коэффициен-

том к и штамп не поворачивается относительно осей х = 0 и г = 0.

Будем считать, что на поверхности блока в области контакта со штампом возникает износ, при этом сам штамп не изнашивается.

Рис. 1. К постановке задачи / Fig. 1. To the problem statement

Решение задачи. Для решения данной задачи были использованы метод конечных элементов и специальный программный комплекс ANSYS. Для улучшения сходимости алгоритма расчета задачи и сокращения времени вычислений решение осуществлялось в два этапа. На первом решалась статическая контактная задача теории упругости о вдавливании жесткого штампа в упругое основание. На втором - нестационарная задача скольжения штам-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

па по поверхности основания с учетом трения и

износа. Скорость износа w рассчитывалась согласно модели Аркарда (Archard) [7]:

W = KKiP™ ,

(1)

где К - коэффициент износа; Н - твердость материала; Уге1 - относительная скорость скольжения; р - контактное давление; т, п - положительные числа.

Конечно-элементная сетка строилась с использованием 20-узловых упругих элементов SOLID186. С помощью специальных макросов APDL ANSYS было обеспечено присвоение этим элементам различных постоянных значений модуля Юнга.

Для моделирования контактного взаимодействия между поверхностью основания и штампом создавалась контактная пара, определяемая элементами СООТА174 и TARGE170. Контактный элемент СО№ГА174 покрывал границу у = \, а ответные элементы TARGE170 задавались как не-деформируемая поверхность плоской формы, соответствующая основанию штампа.

Для решения нестационарной задачи были установлены минимальное и максимальное количество подшагов, максимальное количество итераций для каждого подшага, а также параметры, позволяющие пакету определять оптимальный шаг по времени при расчетах.

Результаты расчетов. Численные расчеты производились для двух типов задач: 1 - блок состоял из двух слоев, обладающих различными физико-механическими характеристиками; 2 - блок выполнен из материала, обладающего градиентными свойствами. В обоих случаях использовались одинаковые геометрические параметры блока и штампа, а также скорость, время движения, нагрузка и коэффициент трения. Так, длина блока

= 0,3 м; ширина 2Ь = 0,4 м; толщина = 0,05 м; длина штампа ^ = 0,6 м; ширина 2а = 0,2 м. Скорость движения штампа V = 0,15 м/с; величина вдавливающей силы Р = 0,2 МН; коэффициент трения к = 0,05. Время одного цикла движения штампа «туда-обратно» - 1 с; общее время движения t = 10 с (10 циклов). Соотношение К/Н также считалось постоянным и равнялось

К / Н = 0,5 -10-13 .

В первом варианте задачи нижнему слою (-Ь < х<Ь; 0 < у < к1 -ксл ; -Ь1/2 < г < Ц/2) присваивались постоянные значения модуля Юнга

и коэффициента Пуассона (Еосн = 2 -105 МПа,

оосн = 0,3). Для верхнего слоя Есл = 5 -105 МПа и исл = 0,33. Был произведен расчет данной задачи при различных значениях толщины верхнего слоя ксл . Показатели т и п в формуле (1) брались равными 1. Из полученных результатов следует, что при увеличении толщины приповерхностного слоя величина износа незначительно уменьшалась, а контактное давление увеличивалось.

Далее был произведен ряд расчетов при различных значениях показателей т и п . Полученные результаты свидетельствуют о том, что значение показателя степени при контактном давлении ( т ) оказывает большее влияние на величину износа, чем значение показателя степени при скорости скольжения ( п ). На рис. 2, 3 приведены графики

результатов для слоя толщиной ксл = 0,1 • 10

0,8

0,7

S 0,6

t °>5

2 0,4

*

й 0,3 'л 0,2 0,1 о

-3

м.

/ z'

✓ Y " *

*

/

У —

/ — —

—

— m=0,8 -m=1,0 -m=1,1

12 3

6 7 t,c

а /a

9 10 11

0.4

■ n=0,8

■ n=1,0 -n=1,1

6 7

б / b

10 11

Рис. 2. Износ в точке x = 0, y = h, z = 0 в зависимости от времени при n = 1 и различных m (а); при m = 1 и различных n (б) / Fig. 2. Wear amount for point x = 0, y = hi, z = 0 in time for n = 1 and various m (а); for m = 1 and various n (b)

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

а1 / a1

2,4

2

?

r- 1.6

- 1,2

X

£ 0.8

rO

0,4

/ /

—'

/ /

-t=lc -t=6c " t—11 с

б / b,

/

/

/

/ У

у

~t—lc t=6c ~t=llс

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 /, 10е-1м

а2 / a2

Рис. 3. Износ (а,) и контактное давление (б,), i=1, 0 < х < a, y = h1, z = 0 (i=2) при m / Fig. 3. Wear amount (а,) and contact pressure (b,), i= 0 < х < a, y = h1, z = 0 (i=2)

В задаче 2 моделировалось изменение модуля Юнга по глубине по зависимости Ey / Ej = f (y),

где f (y) = 2,5 +1,5 y / hj - закон изменения модуля Юнга по толщине hj. Для этого был записан специальный макрос APDL ANSYS, который обеспечивал формирование конечных элементов с различными постоянными значениями модуля Юнга,

4,6 4,2 3,8 С 3,4

£ з

я 2,6 =■2,2 1,8 1,4 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,10е-1 м

б2 / b2

2, вдоль линий х = 0, y = —L < z < L 0=1); =n=1 и в различные моменты времени 1, 2, along the line х = 0, y = h, — L < z < L 0=1); for various time moments, m=n=1

равными значениям функции f (y) в центральных точках элементов. Коэффициент Пуассона всюду считался постоянным и равным ц = 0,3,

E1 = 2 -105 МПа, m = 1, n = 1. Результаты расчета величины износа и контактных давлений при различных значениях коэффициента трения представлены на рис. 4.

а /a б / b

Рис. 4. Износ (а) и контактные напряжения (б) в зависимости от времени при различных значениях к / Fig. 4. Wear amount (а) and contact pressure (b) in time for various values of к

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

Для оценки точности конечно-элементных расчетов и выбора параметров проведено сравнение результатов для случая, когда блок состоит из однородного материала и a << 1. Аналитическое решение для бесконечного тонкого слоя относительно малой толщины описано в [8]. Согласно [8], для случая, когда штамп - плоский, величина износа д и контактное давление q определяются из следующих соотношений: aPt

S(t) =

2a

г л P q( x, t) =—,

2a

а = lkV.

(2)

результатов, полученных с помощью построенной модели. Необходимо отметить, что такое согласование достигается при lk = K / H.

Сравнение результатов расчетов с аналитическими / Comparison for numerical and analytical results

Результаты расчетов при различных значениях параметров скорости, коэффициента трения и нагрузки приведены в таблице, где через е(д) и е^) обозначена относительная погрешность в процентах для величин д и q, при / = 0,005 м, t = 10 с. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона равны E = 0,7-105 МПа и о = 0,36.

Как видно из таблицы, погрешность е(%) < 3 %, что свидетельствует о достаточно высокой точности

V, м/с k P, МН s(S) s(q)

0,05 0,05 0,2 1,80 3,01

0,05 0,1 0,2 1,65 3,01

0,05 0,2 0,2 2,03 3,01

0,1 0,05 0,2 1,65 3,01

0,15 0,05 0,2 2 3,01

0,05 0,05 0,1 1,20 2,55

0,05 0,05 0,4 1,65 2,62

На рис. 5 представлены графики распределения износа и контактного давления вдоль линий х = 0, у = /1, - Ц < г < Ц и 0 < x < a, у = /1, г = 0 в различные моменты времени для случая, когда блок состоит из однородного материала и /1 / а << 1.

2,15

0,2 0,3 1,10е-1 м

/ ^2

(3

С

2,1

■ 2,05

/

/

0,1

0,2 0,3

и 10е-1 м

б2 / b2

-t=lc -t=6c t=llc

0,4

0,5

Рис. 5. Износ (а,) и контактное давление (б,), i=1, 2, вдоль линий x = 0, y = h, _ L < z < L (i=1); 0 < x < a, y = h, z = 0 (i=2) в различные моменты времени / Fig. 5. Wear amount (а,) and contact pressure (b,) along the line x = 0, y = h, _ L < z < L 0=1); 0 < x < a, y = h, z = 0 (i=2) for various time moments

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Выводы. Результаты расчетов показали, что увеличение упругих характеристик материала вблизи области контакта приводит к снижению величины износа. При этом толщина такого слоя незначительно влияет на результат.

Варьирование различных входных параметров привело к вполне ожидаемым результатам. Увеличение параметров скорости, нагрузки, коэффициента трения приводило к увеличению износа.

Проведенное сравнение с аналитическим решением контактной задачи с учетом износа для относительно тонкого слоя позволяет сделать вывод о том, что метод конечных элементов с использованием пакета ANSYS для этой задачи оказался весьма эффективным и дает возможность проводить исследования для различных значений входных геометрических и физико-механических параметров.

Литература

1. Александров В.М., Галин Л.А., Пириев Н.П. Плоская контактная задача при наличии износа для упругого слоя большой толщины // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 4. С. 60-67.

2. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости при наличии износа // ПММ. 1976. Т. 40, вып. 6. С. 981-986.

3. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М. : Машиностроение, 1988. 254 с.

4. Комогорцев В. Ф. Контакт движущегося штампа с упругой полуплоскостью при наличии её износа // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 2. С. 321-325.

5. Горячева И.Г., Солдатенков И.А. Контактные задачи с учетом износа // Механика контактных взаимодействий / под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. М. : Физматлит, 2001. С. 438-458.

6. Чебаков М.И., Данильченко С.А., Ляпин А.А. Математическое моделирование износа неоднородных оснований // Механика и трибология транспортных систем : тр. Междунар. науч. конф. 8-10.11.2016. Ростов н/Д. : РГУПС, 2016. С. 64-67.

Поступила в редакцию /Received

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2

7. Archard J.F. Contact and rubbing of flat surfaces // J. of Applied Physics. 1953. Vol. 24.1. P. 18-28.

8. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов н/Д. : ЦВВР, 2007. 114 с.

References

1. Aleksandrov V.M., Galin L.A., Piriev N.P. Ploskaya kontaktnaya zadacha pri nalichii iznosa dlya uprugogo sloya bol'shoi tolshchiny [A plane contact problem in the presence of wear for an elastic layer of large thickness]. Izv. ANSSSR. MTT. 1978, No. 4, pp. 60-67.

2. Galin L.A. Kontaktnye zadachi teorii uprugosti pri nalichii iznosa [Contact problems of the theory of elasticity in the presence of wear]. PMM. 1976, vol. 40, No. 6, pp. 981-986.

3. Goryacheva I.G., Dobychin M.N. Kontaktnye zadachi v tribologii [Contact problems in tribology]. Moscow, Mashinostroenie, 1988, 254 p.

4. Komogortsev V.F. Kontakt dvizhushchegosya shtampa s uprugoi poluploskost'yu pri nalichii ee iznosa [Contact of a moving stamp with an elastic half-plane in the presence of its wear]. PMM. 1985, vol. 49, No. 2, pp. 321-325.

5. Goryacheva I.G., Soldatenkov I.A. [Contact problems with allowance for wear]. Mekhanika kontaktnykh vzaimodeistvii [Mechanics of contact interactions]. Eds. I.I. Vorovich, V.M. Aleksandrov. Moscow, Fizmatlit, 2001, pp. 438-458.

6. Chebakov M.I., Danil'chenko S.A., Lyapin A.A. [Mathematical modeling of the wear of inhomogeneous bases]. Mekhanika i tribologiya transportnykh sistem [Mechanics and tribology of transport systems]. Proceedings of the International Scientific Conference, 810.11.2016. Rostov-on-Don, RGUPS, 2016, pp. 64-67.

7. Archard J.F. Contact and rubbing of flat surfaces. J. of Applied Physics. 1953, vol. 24.1, pp. 18-28.

8. Aleksandrov V.M., Chebakov M.I. Vvedenie v mekhaniku kontaktnykh vzaimodeistvii [Introduction to the mechanics of contact interactions]. Rostov-on-Don, TsVVR, 2007, 114 p.

31 января 2017 г. / January 31, 2017