Неустойчивость скользящего термофрикционного контакта жесткого тела с упругим покрытием, содержащим пьезокерамическую прослойку Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.3 : 531.3 : 531.44

DOI 10.18522/0321-3005-2015-4-56-62

неустойчивость скользящего термофрикционного контакта

жесткого тела с упругим покрытием, содержащим пьезокерамическую прослойку*

© 2015 г. В.Б. Зеленцов, Б.И. Митрин, С.М. Айзикович, Л.Л. Кэ

Зеленцов Владимир Борисович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, руководитель ресурсного центра коллективного пользования научно-образовательного центра «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: vbzelen@gmail.com

Zelentsov Vladimir Borisovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Researcher, Head of Scientific Equipment Joint Use Center, Research and Education Center «Materials», Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: vbzelen@gmail.com

Митрин Борис Игоревич - младший научный сотрудник, Mitrin Boris Igorevich - Junior Researcher, Functionally Graded

лаборатория функционально-градиентных и композиционных материалов научно-образовательного центра «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: bmitrin@dstu.edu.ru

Айзикович Сергей Михайлович - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, заведующий лабораторией функционально-градиентных и композиционных материалов научно-образовательного центра «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, e-mail: saizikovich @gmail. com

Ляо Лян Кэ - кандидат наук, доцент, кафедра механики, факультет гражданского строительства, Пекинский транспортный университет, ул. Шанюаньцунь, 3, округ Хайдянь, Пекин, 100044, КНР, e-mail: llke@bjtu.edu.cn

and Composite Materials Laboratory of the Research and Education Center «Materials», Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: bmitrin@dstu.edu.ru

Aizikovich Sergei Mikhailovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Senior Researcher, Head of Functionally Graded and Composite Materials Laboratory of the Research and Education Center «Materials», Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: saizikovich @gmail. com

Liao-Liang Ke - Ph.D., Associate Professor, Department of Mechanics, Faculty of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Shangyuancun, 3, Haidan District, Beijing, 100044, China, e-mail: llke@bjtu.edu.cn

При эксплуатации триботехнических устройств неустойчивость скользящего контакта приводит к возникновению нештатных ситуаций. Для их предотвращения применяются системы мониторинга, в том числе на основе пьезодатчиков. Процесс мониторинга описывается задачей о скользящем термофрикционном контакте жесткого тела с упругим покрытием, содержащим пьезокерамическую прослойку, при этом покрытие сцеплено с жесткой подложкой. Предварительный анализ полученных решений проводится на основе решений сопутствующих задач.

Ключевые слова: неустойчивость термофрикционного контакта, диагностика, электроупругость, пьезокерамика, термоупругость.

Operation offrictional joints is subjected to sliding instability, which leads to incidents and faults. To prevent this, monitoring systems are used, including those based on piezosensors. In this paper, such system is studied in contact problem on frictional sliding of a rigid body with an elastic coating on a piezoceramic interlayer, bonded to a rigid foundation. Frictional heat generation is taken into account. Some introductory analysis of obtained solutions is carried out, based on solutions ofparticular problems.

Keywords: sliding thermoelastic instability, diagnostics, piezoelasticity, piezoceramics, thermoelasticity.

плоскости I по поверхности упругого покрытия, сцепленного с электроупругой прослойкой конечной толщины, жёстко соединенной с недеформируемой подложкой в виде полуплоскости II (рис. 1). Полуплоскость I в процессе скольжения внедряется в упругое покрытие по нормали к его поверхности. Скольжение между теплоизолированной недеформируемой полуплоскостью I и поверхностью упру-

Постановка задачи

В целях исследования степени влияния термофрикционного скользящего контакта, возникающего между жёстким телом и упругим покрытием, на пьезоэлектрическую прослойку рассматривается нестационарная контактная задача термоупругости о скольжении с постоянной скоростью жёсткой полу-

*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 14-08-91166-ГФЕН_а, № 15-38-20790-мол_а_вед). Участие Б.И. Митрина поддержано стипендией Президента РФ для молодых ученых и аспирантов № СП-137.2015.1.

гого покрытия осуществляется с учётом кулонов-ского трения, но без учёта степени износа. Поток тепла, образующийся за счёт трения на контакте, направлен в упругое покрытие, сцепленное по нижней своей поверхности с пьезоэлектрической прослойкой конечной толщины. Прослойка, в свою очередь, сцеплена с недеформируемой подложкой в виде полуплоскости II, а её грани покрыты электродами с подведенной разностью потенциалов. Так как покрытие и электроупругая прослойка до начального момента находились в покое, то упругие смещения и их скорости в покрытии и в прослойке в начальный момент времени равны нулю, как и начальная температура.

Рис. 1. К постановке контактной задачи об упругом покрытии с пьезокерамической прослойкой

Сформулированная задача приводит к следующим граничным условиям: механическим

х = И , н(й,Г) = -Д(0, аху(к,0 = -/стхх(к,0,( 1)

х = 0, м(0,О = «1(0,0, сг1т(0,0 = о-1п.(0,0, и>(0,0 = ^(0,0, <7„(0;О = <71,,,(0,0 (2)

х = —Н, ;/1(-Я,О = 0, М'1(-Я,0 = 0;

температурным

x=lu K^h!l = -ß-(Txx0hth

(3)

прослойки; Д(0 - закон внедрения полуплоскости I в упругое покрытие; /- коэффициент трения; К -коэффициент теплопроводности; V - скорость скольжения полуплоскости I по поверхности покрытия; 2 V (0 - разность потенциалов между электродами электроупругой прослойки.

Изменение а(х,t) и и(х,/) описывается в покрытии уравнением движения динамической теории упругости

да д2и .

-р—г = 0, 0<х<А, />0 ,

дх

с =

dtz л

о".

V /

(5)

где и, ^ - смещения в покрытии.

Изменение аг(х, 0 и их(х, 0 в прослойке описывается уравнением

СЛ7i и ui „ , „

—1--р1—^ = 0, 0<х< А, />0 ,

д2и

дх

А dt2

\

<т

lxx

(6)

где оу

<тЬл. - нормальные и касательные напряжения в прослойке; и, ^ - смещения в прослойке.

Температура Т(х, 0 в покрытии описывается уравнением теплопроводности (при нулевой в ненапряженном начальном состоянии)

д2Т

дх

2 к dt

0 < х < h, t > 0 .

(7)

где к - коэффициент температуропроводности материала покрытия.

Электрическая индукция Бх (х, Г) и напряженность электрического поля Е(х, 0 в прослойке описываются уравнениями вынужденной электростатики [1]

dD„

= 0, Е = —

ду/

-Н<х< 0, />/.,

(8)

дх

х = 0, Т{0,0 = 0, электрическим

х = 0, у(0,О = Г0(О, (4)

х = -Н, у/(-Н, О = -Г0(О где сгхх(хЛ), ст1хх(хЛ), а,у(х.1). сг1ху(х,1) , н(х,О,

М'(х,/), Щ(хЛ) , М'1(х,0 , Г(х,/), - нор-

мальные и касательные напряжения в покрытии и прослойке; вертикальные и горизонтальные смещения в покрытии и прослойке; температура в покрытии; электрический потенциал в электроупругой прослойке; И - толщина покрытия; Н - толщина

ох дх

Связь между <тхх (х. I). п(х. I). Г(х,/), а также <тху(х. I). м'(х,/) в покрытии устанавливается формулами [2]

, ч 2/л{\-у) ди 2//(1 + 1') ^ ч

axv(x,t) = //

l-2v

dw

дх

1 - 2v

(9)

' Гл-

где л, V, а - модуль сдвига, коэффициент Пуассона, коэффициент линейного теплового расширения материала покрытия соответственно.

Соотношение между сг1а.(х,0 , Н\(х.1), <//( х. I) в прослойке из пьезокерамики устанавливается формулой

u

u

с, =

u

w

1 дщ d33 dlи

(10)

T (x, t) =

я

1 + v ah 2т г R(z)

D(z)(\- Ml(z)) +

ezt dz,

Щ(z)l(x, z) О <x<h, t> 0,

NT (x, z) = Vz (1 - y2z) ch{yz){-Jzxh~l), /(x,z) = ch(yza*H*)sh(-J~zxh~l), m(z)=1~y2z cfa-Jz-yvShyz-y-Jz sh-Jz , 2//(l -.')

«j!(z)=-

l-2v

- yzH * )m(z),

m2( z) =

2M(1-v)

yzH* sh(yza*H*) [( y2z jjh -Jz ch yz

\-2v

-yVCh'fz sh yz-yyfz sh-Jz ch yz Mk(z) = mk(z)R0\z) , к = 1,2,

(12)

d

Rq(z) = m2 (z) -R{z)Rx (z), N{z) = 2-f- shO^tf.)

s33

R( z)= {-y2 z chJ~z sh yz — -yvChJz ch jz-fVz sh-Jz sh jz-1 ,

l + d33b

(z) = sh(yzaM*) - -

где а* = а!с, Н*=Н!h .

-yza*H* ch()za*H ■*),

Xt ) = -—J

¿m г

D( z)

Nu (z) R( z)

-M1( z ( x, z)

в которой 533, ^з - электрическая податливость (определяемая при постоянном значении электрического поля), пьезоэлектрическая постоянная соответственно.

К дифференциальным уравнениям (5)-(8) необходимо добавить нулевые начальные условия на и, м>, щ, м>1, у/, Д

ди(х,0) бм1(х,0)

и(х,0) =-=и^х,0) = —1-=

3/ 5/

- м\х,0) =-=м,1(х,0) = —;-= 0, (11)

5/ 5/

Г(х,0) = 0, ц/(х,0) = 0, А(0) = 0 .

Решение задачи

Для решения динамической начально-краевой задачи (1)—(11) интегральное преобразование Лапласа [3] применяется к дифференциальным уравнениям (5)—(8) и граничным условиям (1)—(4) с учётом начальных условий (1 1 ), и после несложных преобразований её решения Т (х, /), и(х, /), сгхх(х,/), и^х,/), сг1хх(х,/), ^/(х,/) записываются в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа

1-у уУ 1 ¡Ыт(х,г)

-V0{t)^-(\-M2{z))U{x,z)

ezt dz.

0<х</г, />0,

(x, z) = y2z jjh-Jz sh {pch~l -j — yV (¡hffzxh'1 ßh yz — y-Jz sh-Jz sh {pch'1 -j -ch ^(A-x)A"1],

U(x, z) = |^»?(z) sh^z/r'x) - R(z) - yV ch(yzh^x) --yVch(4^h-lx)R(z)\ R-i{z)

f A 1 r

D( z)

fNl{z) R(z)

-Mi( 2)Ъ(х, z)

Rx{z)

e dz , 0<x<h, t> 0:

(x, z) = ^ |[- ^2z cji-Jzch {¡pch 1 yF {(-Jz Vzch -j sh ([zxhT1 cji/z ^ sh /z(A -

H(x, z) = J?(z) ch(^zA *x) -

(1 - 2v)h

R{z) - yV sh yzh~lx -yV sh(7zA^x)Ä(z)] Ä_1(z),

x, t ) = j

2m

D( z)M 1( z)

sh(yza*(H + x)h ) sh (yza*H*)

-V0(t)^±(\-M2(z))Sh(]*a*(H + x)h~ }

R,(z) — H < x< 0 , t>ta

2яг p

sh(yza*.H*)

N(z)

ezt dz .

(13)

D(z)M1 (z)S| (x, z) + K0 (0 ^^ E2 (x, z)

e2tdz,

-H < x< 0 , />/a, =

1 + d33b ' в~

2

- JZütHH

сЫ>а*(Я+x) ) i/33b

sh^aÄ^, 1 + d33b2 jzatH*

E2 (x, t) =-<- M2 (z) yf '

s33 sh (yzaM*)

-2

d^b

yza* (-M2(z)

ЧЬ^а*//*) 1 ^a*

yza-M* s33 ih(]za*H*) '

9 1 Г

ИХ о =-ьi

— H < x< 0 , />/„

1

33

E

s

33

E

s

s

33

33

y/2(x,t) = (\-M2(z))

sh ^я* (H + x)h 1 sh ^

- cÛ\(yza*H* )(1 - M 2 (z) th (yza-M* )) — +M2 (z) -

H

. 1 + d33b 1 +-

d33b

2 Л

yza-M* ch(yza-tH*)

Wiix,t) =

sh fça*. (H + x)h sh * ^

>

H

Параметры a, b, c, формулами

Y, V, t , tK, ta задаются

a =

2//(l-v)

p{\-2v)

b =

i

^33 (1 ^33 )

t

~ t., '

i- =■

/7^

К

433 h

ta=-, a

p43(1-4)

(14)

ah

jVa 2ju(l + v)h

К 1 —2У

Исследование подынтегральных функций в (12), (13) показывает, что все они мероморфны в комплексной плоскости переменной интегрирования г = ^ + т.е. имеют в качестве изолированных особых точек только полюсы. Параметр d подбирается таким образом, что все полюсы лежат левее Г в комплексной плоскости.

При вычислении контурных квадратур в (1 2), (13) методами теории функций комплексного переменного необходимо знание полюсов подынтегральных функций, что является достаточно трудоёмкой задачей. Для решения поставленной задачи предлагается исследовать частные задачи: при H=0 (электроупругая прослойка нулевой толщины) и при Н = со (пьезокерамическая прослойка в виде полуплоскости). Решение частных задач можно получить предельным переходом при Н->О и И—»со в (12), (13), либо поставить эти задачи и, получив их решение, также сравнить с предельным переходом.

Замечание. В граничных условиях задачи (1)-(4) вертикальные смещения u(x,t) не зависят от горизонтальных смещений w(x,t) и определяются независимо от них. Горизонтальные смещения w(x,t) зависят от вертикальных u(x,t) через второе условие в граничном условии (1). Так как ведущая роль в описании напряженно-деформированного состояния в рамках рассматриваемой задачи принадлежит вертикальным смещениям u(x,t), то горизонтальные смещения w(x,t) здесь не рассматриваются.

Постановка частной задачи (Н = О)

Рассматривается задача плоской деформации о скольжении с постоянной горизонтальной скоростью V жесткой полуплоскости I по поверхности

упругого покрытия толщины к. Жесткая полуплоскость I в процессе скольжения внедряется в покрытие по нормали к его поверхности. Нижняя грань покрытия жестко соединена с недеформируемой подложкой в виде полуплоскости II. Постановка задачи в плане схематично изображена на рис. 2. Скольжение недеформируемой полуплоскости I по верхней грани упругого покрытия происходит с учетом кулоновского трения, но без учета его износа. Движущаяся полуплоскость I теплоизолирована, а поток тепла, образующийся за счет трения, направлен в покрытие. На нижней поверхности упругого покрытия поддерживается нулевая температура. Так как покрытие до начального момента находилось в покое, то его смещения и скорость смещений в начальный момент нулевые, как и начальная температура.

Рис. 2. К постановке частной задачи (H = 0)

Сформулированная задача приводит к начально-краевой задаче со следующими механическими и температурными граничными условиями:

х = h , н(й, t) = - Д(0, К dT(h't} = /I <T,.,.(h-1),

дх

<Jxv{h,t.) = -faxx{h,t),

(15)

x = 0 , u(0,t) = 0, T(0J) = 0, м'(0,0 = 0, где crxx(xj), axv(x,t), u(pc,t), w(x,t), T(x,t) - нормальные и касательные напряжения, вертикальные и горизонтальные смещения и температура в покрытии. Закон внедрения Л (7) принимается в виде

Л(0 = Д0[(-1 + **)H(t)H(te -t) + H(t -te)], £> 0, />0 , tE> 0, (16) с нулевым начальным условием

"л(0) = 0, ' (17)

где !.. - 1п 2 - момент окончания активного промежутка внедрения полуплоскости I в упругое покрытие по закону Дп(-1 + е^) с последующим при t > !.. удержанием полуплоскости I на достигнутом

2

1

с =

заглублении Д0 (Д0 < К). При заданном Д0 и начальной скорости внедрения \-(| = Д(0) = ¿Д0 параметр г = у0/Д0 ; К — коэффициент теплопроводности материала покрытия; Н(/) — функция Хевисайда.

Изменение смещений и(х,/) и напряжений (тхх(х.1) в покрытии описывается уравнением движения динамической теории упругости (5), а температуры Т (х,/) (при нулевой в ненапряженном начальном состоянии) — уравнением теплопроводности (7).

Связь между сгхх(х,1), н(х. I). Г(х,/), а также между о- (х,/), И х. I) устанавливается формулами (9).

Начальные условия на и(х,/), Т(х,/) нулевые: 8и(х, 0)

и(х, 0) = -

dt

- = 0, Т(х,0) = 0, 0<x<h. (18)

T(x,t) =

1 + v ah 2m

^D(z)NT 4ißxpz7dz , (19)

0<x<A, />0.

¿(x,t) = —— {D(z)Nu X, zR 1 ^3XP, 2tzz r

0<x<A, />0.

cr(x,t) =

2/zG-v)

(20)

2 л? г

(1-2v)h 0 <x<h, t> 0,

И—1

Aö1JD(z) = z"4exp(z^>l> + < " ^ > <"exp( < -stKl:h NT(x,z) = -Jz y2 z ^hyz sh([z xh'1 R(z)= 1~y2z chjz sh yz — - yVCh-Jz ch yz -y*Jz sh-Jz sh yz -1 Nu (x, z)= 1~y2 z chyiz 3h{%xhT1 -j yV ^h i[zxhTl ßh yz -

- y-Jz sh-Jz sh {pch 1 j ch - x)h

(21)

(22)

(23)

(24)

Na (x, z) = 7z^°(x,z)sh^-ch^xA_1^X N0(x, z)= 1~y2 z ^hVzch{%xh~ yV^-Jz (¡-[Jzchjgxlr1 ^sh (fzxlr1 <^vyz ^

Решение частной задачи (Н = 0)

Решение нестационарной начально-краевой контактной задачи с дифференциальными уравнениями (5), (7), граничными (15)—(17) и начальными (18) условиями записывается в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа 1-у ¿V 1

— вЬ^/г-х)/;

Д^О^С (25)

+ * „ \Ъ±х / где ----; (ас= — ; контур ин-

я

тегрирования Г = J^:-iж + dtк,iж + dtк ; /. /д.. г,. у.

V, а указаны в (14). Внеинтегральные слагаемые в (20) получены после регуляризации квадратуры с помощью выражения 1) ^ З'1 С^'/' ' 1 £ •

Исследование подынтегральных функций в (19), (20), составленных из (20)—(25), показывает, что все они мероморфны в комплексной плоскости переменной интегрирования г = ^ + г г/ и имеют в качестве изолированных особых точек только полюсы. Контур интегрирования Г находится правее всех полюсов подынтегральных функций.

Замечание. Функции, стоящие под интегралами в (19), (20), имеют при г = 0 и г = у 2 устранимые особые точки [3].

Анализ решений.

Область неустойчивых решений

После вычисления контурных квадратур в (19), (20) методами теории функций комплексного переменного [4] решение задачи в динамической постановке записывается с помощью бесконечных функциональных рядов

Т(х, t) = -

1 + v а h k=i 0 <x<h, t> 0.

2

(26)

u

к=1

0 <x<h, t> 0,

2ß 1~v A0

er x.t =---- x

\-2v h

x, o+z iCOs? 1 k t

-t.

s<

SK

(27)

1

0 <x<h, t> 0, в которых Sk (x. I). ¿ = 1,2 даются формулами

Sl{x,t) = G{x,t) + sl{x,t), (28)

S2(x,t) = G(x,/)-2G(x,t—tä'c) + s2(x,t),

г

-l

>

к=1

0

(х, 7) = К i^S, X, 7 У К{О, х,0), 52 (х, 7) = ¿Г(0, х,0), K(z, X, 7) = exp ^7 /T(z, X, 7) = exp ^7

K(Q,x,0) = lim , 0(z)=-

где R'(z) есть производная по z; s„(x,t) даны после (25). Под z^ и zk в (29) понимаются нули R{z) из (20), а в (27) - нули Rjz) из (25). При вычислении Sk (x, t) к = 1,2 в (26), (27) вместо N(x, z) подставляются NT (x, z), Nu (x, z), Na(x,z), определенные формулами (22)-(25). Формулы для S102 (x, t) имеют вид

Si(xJ) =2Re X^Îm^'Ci

, x, t

k=1

Формула для С/' / из (29) может быть записана в следующем виде, удобном для её анализа

С(х, 0 = (х, 0 + 0, (31)

(х, /) = 6( х, 2^X1+ |]В(х, , 2{)е~ 4),

к=1

S (x, t) = b ( x, z0 )(1 + ^B(x, zk, z0 )e k=î

( z^z0)t

), (32)

bx,

> ... ^ ЛЧ'- VI' '

Постановка и решение частной задачи ( H = со )

В случае, когда H неограниченно возрастает ( H —> оо ), электроупругая прослойка толщины H превращается в электроупругую полуплоскость. Постановка такой задачи сводится к заданию граничных условий: механических

X = h , Ы(й,0 = - Д(0, ст^(й,о = -f(7xx(h,0 , (33) х = 0, м(0,0=^(0,7), 0^(0,0 = 0^(0,0, ^(0,0 = ^(0,0, о„

^(0,0 = 0-1^(0,0:

температурных

x = h

(34)

Эх

х = 0 , Г(0,0 = 0 и электрических

х = 0, у/(0,О = Г0(О. (35)

При этом добавляются условия на бесконечности ^(-оо,/) = , а смещения , н,1(х,0 и напря-

жения (Т| ,.,.(л-./ ). сГ| ,;1.(л'./) исчезают при .с х .

Таким образом, постановка частной задачи (Н = со определяется дифференциальными уравнениями (5)-(8), граничными (33)-(35), начальными (1 1 ) и условиями на бесконечности. Решение рассматриваемой задачи строится в виде контурных квадратур (12), (13), в которых необходимо тк(2) и Я^) заменить на следующие:

-я'С ' b^wZ

Учитывая, что Re(z^) > Re(z^+1) > 0, к = 1,2,3,... и zk+1 <zk < 0 , к- 0,1,2,... при V > 0, то бесконечные ряды в (32) являются сходящимися при любых значениях t. Однако коэффициенты е2'' и е:"! при

S+(x,t) и S(x.I) в (31) при больших t вызывают неограниченный рост амплитуды Т(х.1) и а(х.1) (О<x<h) на частоте Imfr,1)/2тк.. начиная со сколь угодно малых значений V > 0 в первом слагаемом и при V > 2 во втором слагаемом (31). Это говорит о том, что область неустойчивых решений [5] задачи в динамической постановке находится

при F>0 и 7>0, в которой 1ипГ(х,0 и

t—><»

lim cr(x, 0 не существуют.

t—>00

Замечание. Методика вычисления полюсов подынтегральных функций (нулей R(z)) подробно излагается в [6]. В [7-9] рассматриваются аналогичные по постановке задачи.

2M(l-v)

m, (z) = —-jzm(z),

l-2v

2//(l-v) m2(z) = —-yz

1~y2z c,h-J~z ch yz —

\-2v

yV <hV7 ch yz — yjz s hj~z ch yz ^

Tza*,

s33

а также отбросить слагаемые, содержащие У^). Подынтегральные функции будут многозначными, содержащими точку ветвления алгебраического типа при г — 0.

В этом случае при вычислении интегралов получим бесконечные функциональные ряды и интегралы по разрезам от 0 до - со. Здесь формулы для 7 (х. I). и(х,7), о"1;1.(х. /) не выписываются ввиду их громоздкости. Другие методы решения рассматриваемых задач приводятся в [10-12].

В заключение заметим, решение поставленной задачи термоупругости о скольжении с постоянной скоростью жесткой полуплоскости I по поверхности упругого покрытия, сцепленного с электроупругой прослойкой конечной толщины, жестко со-

единенной с недеформируемой подложкой в виде полуплоскости II. при произвольном значении Н (О <Н < оо) можно получить по формулам (26), (27) в соответствующих обозначениях (12).

С.М. Айзикович благодарит Министерство образования и науки РФ за финансовую поддержку в рамках выполнения работы «Организация проведения научных исследований» Госзадания.

Литература

1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. Киев, 1989. 134 с.

2. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. Киев, 1965. 204 с.

3. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М., 1975. 409 с.

4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. 648 с.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1965. 331 с.

6. Зеленцов В.Б., Митрин Б.И., Васильев А.С., Волков С.С. Термоупругодинамическая неустойчивость решения контактной задачи для покрытия с учетом тепловыделения от трения // Вестн. ДГТУ. 2014. Т. 14, № 4. С. 17-29.

7. Afferrante L., Ciavarella M., Barber J.R. Sliding ther-moelastodynamic instability // Proc. R. Soc. A. 2006. Vol. 462. P. 2161-2176.

8. Afferrante L., Ciavarella M. A note on thermoelastody-namic instability (TEDI) for a 1D elastic layer: Force control // Int. J. Sol. Struct. 2007. Т. 44. С. 1380-1390.

9. Afferrante L., Ciavarella M. Thermo-elastic dynamic instability (TEDI) in frictional sliding of two elastic half-spaces // J. Mech. Phys. Sol. 2007. Vol. 55. P. 744-764.

10. Ke L. L., Yang J., Kitipornchai S., Wang Y.-S. Friction-less contact analysis of a functionally graded piezoelectric layered half-plane // Smart Mater. Struct. 2008. Vol. 17, №. 2.

11. Elloumi R., Guler M.A., Kallel-Kamoun I., El-Borgi S. Closed-form solutions of the frictional sliding contact problem for a magneto-electro-elastic half-plane indented by a rigid conducting punch // Int. J. Solids Struct. 2013. Vol. 50, № 24. P. 3778-3792.

12. Zhou Y.-T., Lee K.Y. Investigation of frictional sliding contact problems of triangular and cylindrical punches on mo-

noclinic piezoelectric materials // Mech. Mater. 2014. Vol. 69, № 1. P. 237-250.

References

1. Grinchenko V.T., Ulitko A.F., Shul'ga N.A. Elektroupru-gost' [Electroelasticity]. Kyiv, 1989, 134 p.

2. Kovalenko A.D. Vvedenie v termouprugost' [Introduction to thermoelasticity]. Kyiv, 1965, 204 p.

3. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Operatsionnoe ischislenie [Operational calculus]. Moscow, 1975, 409 p.

4. Gurvits A., Kurant R. Teoriya funktsii [Theory of functions]. Moscow, 1968, 648 p.

5. Pontryagin L.S. Obyknovennye differentsial'nye uravne-niya [Ordinary differential equations]. Moscow, 1965, 331 p.

6. Zelentsov V.B., Mitrin B.I., Vasil'ev A.S., Volkov S.S. Termouprugodinamicheskaya neustoichivost' resheniya kontakt-noi zadachi dlya pokrytiya s uchetom teplovydeleniya ot treniya [Thermo elastic dynamical instability of the solution of the contact problem for coverage based on heat from friction]. Vestn. DGTU, 2014, vol. 14, no 4, pp. 17-29.

7. Afferrante L., Ciavarella M., Barber J.R. Sliding thermoe-lastodynamic instability. Proc. R. Soc. A, 2006, vol. 462, pp. 2161-2176.

8. Afferrante L., Ciavarella M. A note on thermoelastody-namic instability (TEDI) for a 1D elastic layer: Force control. Int. J. Sol. Struct, 2007, vol. 44, pp. 1380-1390.

9. Afferrante L., Ciavarella M. Thermo-elastic dynamic instability (TEDI) in frictional sliding of two elastic half-spaces. J. Mech. Phys. Sol., 2007, vol. 55, pp. 744-764.

10. Ke L. L., Yang J., Kitipornchai S., Wang Y.-S. Friction-less contact analysis of a functionally graded piezoelectric layered half-plane. Smart Mater. Struct., 2008, vol. 17, no 2.

11. Elloumi R., Guler M.A., Kallel-Kamoun I., El-Borgi S. Closed-form solutions of the frictional sliding contact problem for a magneto-electro-elastic half-plane indented by a rigid conducting punch. Int. J. Solids Struct., 2013, vol. 50, no 24, pp. 3778-3792.

12. Zhou Y.-T., Lee K.Y. Investigation of frictional sliding contact problems of triangular and cylindrical punches on mo-noclinic piezoelectric materials. Mech. Mater., 2014, vol. 69, no 1, pp. 237-250.

Поступила в редакцию 26 августа 2015 г.