ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ В ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПУАНСО КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИСТОЛКОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Gorr G.

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ В ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПУАНСО КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИСТОЛКОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Г.В.Горр,

доктор физ.-мат.наук, профессор, Донецкий национальный университет,

г. Донецк, УКРАИНА

Запропоновано пгдхгд у тлумаченш руху тша, що мае нерухому точку, заснований на теорем1 Пуансо. Показано, що рух тша можна представити коченням без ковзання рухомого годографа вектора, кол1неарного вектору кутовог швидкост1 тша, по неру-хомому годограф1 цього вектора, що лежить у деякт площит в простор1.

Ключовi слова: теорема Пуансо, р1вняння Харламова, шнематичне тлумачення.

Постановка проблемы. Общеизвестна роль геометрических объектов в элементарной и высшей математике, а также во многих научных областях (физике, аналитической механике и др.). Свойства многих геометрических образов, изучаемых в аналитической и в дифференциальной геометрии, находят широкое применение в научных дисциплинах. Наглядным примером таких образов может служить годограф вектор-функции одной или двух переменных.

Французский ученый Л. Пуансо в книге «Элементы статики», вышедшей в 1803г., разработал теорию векторов, которой пользуются при рассмотрении сил, действующих в различных направлениях. Он внес большой вклад в аналитическую механику. На основе годографов вектора угловой скорости тела с неподвижной точкой Л. Пуансо доказал знаменитую теорему о представлении движения тела посредством качения подвижного годографа вектора угловой скорости по неподвижному годографу этого вектора [13]. Он показал, что движение тела с неподвижным центром масс можно интерпретировать, как качение без скольжения эллипсоида по неподвижной в пространстве плоскости. Результат Л. Пуансо приводится практически во всех учебниках по механике.

Важность геометрических методов отмечал Н.Е. Жуковский [6]: «Можно гово-

рить, что математическая истина только тогда должна считаться вполне обработанной, когда она может быть объяснена всякому из публики, желающему ее усвоить. Я думаю, что если возможно приближение к этому идеалу, то только со стороны геометрического толкования или моделирования».

Это высказывание выдающегося ученого, прежде всего, подчеркивает актуальность научно-методических исследований, посвященных разработке и внедрению в учебный процесс школ и вузов приемов углубленного изучения геометрических дисциплин, в частности методов, позволяющих достичь требуемой наглядности для школьников и студентов [1, 2, 5, 7, 9].

Метод годографов, основанный на теореме Пуансо, отвечает высокой наглядности в представлении движения тела и занимает ведущее место среди геометрических методов динамики твердого тела, благодаря получению П.В. Харламовым уравнений неподвижного годографа [10]. С помощью этих уравнений накоплена обширная информация о свойствах движения тела [3, 4, 11, 12].

Анализ актуальности исследования. В силу того, что подвижный годограф вектора угловой скорости, в общем случае лежит на некоторой, достаточно сложной линейчатой поверхности, а неподвижный годограф, как правило, не является плоским,

Didactics of mathematics: Problems and Investigations. - Issue # 38. - 2012.

то использова всегда приводи жения тела.

Однако он измененного применении те< Целью ста для геометрич графов вектор угловой скорос годограф выби сти в пространс Это означ; такой методич зволяет движен кой представит некоторой кри ной в неподви лучить некото Пуансо в случа Изложени дача о движен

е метода годографов к наглядной картине д

ожет лечь в основу ви гтодического подхода емы Пуансо. и является использова кого истолкования го коллинеарного вект I. При этом неподвижн

юй плоскости, то есть .ш аналог представле! вободного твердого те >сновного материала.

© Оогг О.

На рис. 1 указаны подвижный и неподвижный годографы вектора Ь (г). Очевидно, что, как и в случае годографов угловой скорости, подвижный и неподвижный годографы вектора Ь (г) имеют общую касательную и в силу ёЬ (г )ш( г) = ё Ь (г )ш( г)

длины дуг, описанных за одинаковый промежуток времени концом вектора Ь на подвижном и неподвижном годографе, равны. Следовательно, за основу кинематического истолкования можно взять годографы вектора Ь (г) и движение тела, имеющего неподвижную точку, представить качением без скольжения подвижного годографа вектора Ь (г) по неподвижному.

Покажем, что функцию Ь(г) можно выбрать так, чтобы неподвижный годограф вектора Ь (г) находился в некоторой, неподвижной в пространстве, плоскости.

Рассмотрим вектор-функцию (3).

Предположим, что — (г) не изменяет своего знака при г е [0, <*>). Тогда из (3) вытекает, что в качестве вектора Ь (г) можно взять вектор

г / \ — ^)- — (г)_ _

Ь (г ) = -^г Э1 э + Э3. — (г) 1 — (г)2 3 (7)

Следовательно, функция Ь ('

и подвижный годограф Ь (г) определим из первой формулы системы (2)

Ъ (г) = —1—(Щ (Г) 1+ — ({) 12 + —(г)Тз). (8) — (I)

Из формулы (7) следует, что неподвижный годограф вектора Ь (г) лежит в плоскости £ = 1 . Поскольку касательные векторы к (7) тоже лежат в этой плоскости, то движение тела можно представить качением без скольжения кривой (8) по плоской кривой (7). Таким образом, получили некоторый аналог теоремы Л. Пуансо о представлении движения свободного тела.

Случай В.А. Стеклова [8]. Это решение имеет место для уравнений (1) в случае,

когда Р(Ш,Р) = А^Х^+Цё ХУ)[11]. Используя результаты работы [12], запишем подвижный и неподвижный годографы вектора V (г) через эллиптические формулы Якоби

V (I) = р0епхг • 1 - д^пхг • 12 + г0ёпхг • 13, (9)

ш( г) = г0ёпхг • э + q0snxt • э2 - р0спХ • э3 (10) где р0, q0, г0, х - постоянные параметры, зависящие от параметра Г и компонент еi

вектора е. Отметим, что формула (10) получена на основе уравнений (2), (4), (5).

Поскольку, эллиптическая функция ёпхг не обращается в нуль ни при каких г, то в качестве функции Ь (г) выберем функ-1

цию

ёпхг

. Тогда подвижный и непод-

вижный годографы вектора Ь (г) таковы

Ь (г ) =

Ь (г):

р0спхг — q0snxt Т

ёпхг

ёпхг

12 + Г0 • ^ (И)

_ q(,smt _ рспхг _ „ ч

г0 • э1 --э2 --э3 (12)

ёпхг ёпхг

Из формул (11), (12) следует, что движение тела в случае Стеклова можно представить качением без скольжения плоской кривой (11) по плоской кривой (12). При этом данные кривые симметричны друг другу относительно касательной к ним плоскости. Очевидно, что данное истолкование движения тела более наглядно, чем истолкование [12].

Выводы. Основными задачами динамики твердого тела являются получение аналитических свойств движения тела и наглядного для наблюдателя визуального представления о движении тела в течение всего времени движения. Первая задача, как правило, разрешима в достаточно полном объеме, если построено решение уравнений движения. Решение второй задачи затруднительно в связи с тем, что в общем случае все геометрические методы (апекса, метод годографов, представление движения посредством параметров Родрига-Гамильтона и углов Эйлера) не используют

Didactics of mathematics: Problems and Investigations. - Issue # 38. - 2012.

визуального представления об изменении положения тела в пространстве на основе его геометрии (наблюдатель в процессе движения не «видит» тело). Геометрическое истолкование Л.Пуансо свободного твердого тела посредством качения без скольжения эллипсоида инерции по неподвижной в пространстве плоскости является наглядным, поскольку использует простые геометрические объекты в теле и в подвижном пространстве. В статье показано, что для геометрического истолкования движения тела в пространстве можно выбрать плоскость, содержащую годограф некоторого вектора, коллинеарного вектору угловой скорости. Этот подход дает возможность обосновать актуальность решения двух задач.

Первая задача состоит в изучении движения тела в области пространства, которая представляет интерес для исследователя. Для ее решения необходимо аналитическое задание поверхности, на которой лежит неподвижный годограф вектора Ь (/).

На основании исследуемого решения можно построить подвижный годограф этого вектора, а затем для представления движения воспользоваться свойством, что это движение тела можно получить посредством качения подвижного годографа вектора Ь (/) по неподвижному. Случай, когда

неподвижный годограф лежит на плоскости, описан выше. Следует отметить, что для данного подхода целесообразно рассматривать простейшие поверхности: плоскость, сферу, эллипсоид, линейчатые поверхности (цилиндр, конус) и другие.

Вторая задача характеризуется тем, что для геометрического толкования выбирается геометрический образ, связанный с телом. Затем дается аналитическое описание этого образа и требуется, чтобы подвижный годограф вектора Ь (/) принадлежал

данному геометрическому объекту. Очевидно, что на первом этапе в качестве поверхностей, на которых лежит подвижный годограф, целесообразно рассматривать

плоскость, сферу, эллипсоид инерции, ги-рационный эллипсоид.

На основании уравнений (3)-(5) легко построить неподвижный годограф вектора Ь (/) и получить картину движения тела в

конкретном решении уравнений (1). Преимущество предлагаемого подхода по сравнению с общим методом годографов состоит в том, что он позволяет, например, для всех построенных решений уравнений Эйлера-Пуассона взять один и тот же геометрический объект (например, эллипсоид) и провести сравнительный анализ свойств движения тела. Он позволяет выполнить главную задачу механики - провести классификацию движений, во всех решениях с единых позиций.

Можно привести достаточно простой вариант выбора подвижного годографа.

Пусть конец вектора Ь (/) принадлежит

плоскости. Опустим из центра тяжести тела С перпендикуляр на эту плоскость, а основание его обозначим через К. Если через О обозначить неподвижную точку тела, то при истолковании движения тела на основе плоского подвижного годографа можно наглядно наблюдать за движением треугольника ОСК. Это позволит получить и дополнительную информацию о движении центра масс, что важно для получения всех свойств движения тела.

1. Болтянский В.Г. Как развивать «графическое мышление» / В.Г.Болтянский // Математика в школе. -1978. - № 3. - С. 16 - 23.

2. Вопросы теории и практики создания и использования средств наглядности для обучения учащихся: сб. научн. тр. / Под ред. Т.КМолчановой и Т.С.Назаровой. - М. : НИИ шк. оборудования и техн. средств обучения, 1980. -168 с.

3. Горр Г.В. Классические задачи динамики твердого тела / Г.В.Горр, Л.В.Кудряшова, Л.А.Степанова. - К.: Наук. думка, 1978. - 294 с.

4. Горр Г.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку / Г.В.Горр, А.ВМазнев. - Донецк: ДонНУ, 2010. - 364 с.

5. Горр Г.В. Компьютерная визуализация геометрических объектов в преподавании геометрии и механики /Г.В.Горр, ЕЖЩетинина //

© Gorr G.

Дидактика математики: проблемы и исследования: междунар. сб. научных работ. - 2010. -№ 34. - С. 34 - 38.

6. Жуковский Н.Е. О значении геометрического истолкования в теоретической механике /Н.ЕЖуковский // Собр. соч. : в 7 т. - М.-Л. : Гостехиздат, 1950. - Т. 7. - С. 9 -15.

7. Скафа Е.И. Эвристический подход в обучении математике / Е.И. Скафа // Дидактика математики: проблемы и исследования: междунар. сб. научных работ. - Донецк : Фирма ТЕАН, 2000. - Вып. 14. - 380 с.

8. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку /

B.А.Стеклов // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. -1899. - Т. 10, № 1. -

C. 1 - 3.

9. Тарасенкова Н.А. Використання знако-во-символ1чних засоб1в у навчанн математики

Резюме. Горр Г.В. ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ В ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПУАНСО КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИСТОЛКОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ. Предложен подход в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку, основанный на теореме Пуансо. Показано, что движение тела можно представить качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости тела, по неподвижному годографу этого вектора, лежащему в некоторой плоскости в пространстве.

Ключевые слова: теорема Пуансо, уравнения Харламова, кинематическое истолкование.

Abstract. Gorr G. ABOUT ONE APPROACH TO THE APPLICATION OF POINSOT THEOREM OF KINEMATIC INTERPRETATION OF THE MOTION OF A BODY WITH A FIXED POINT. This is offered an approach in the interpretation of the motion of a body with a fixed point, which is based on a Poinsot theorem. It is shown that the body motion can be presented by woobling without sliding of the mobile hodograph of vector, which is collinear to the vector of the angular velocity of a body, on the immobile hodograph of this vector, what is lying in some plane in space.

Key words: Poinsot theorem, Kharlamov equations, kinematic interpretation.

Стаття надйшла доредакци 11.09.2012р.

/НА.Тарасенкова. - Черкаси : Вгдлуння-Плюс, 2002. - 400 с.

10. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку /П.В.Харламов //Прикл. математика и механика. - Т. 28. - Вып. 3. -1964. - С. 158 -159.

11. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела /П.В.Харламов. - Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1965. - 221 с.

12. Харламова ЕИ. Интегродифференци-альное уравнение динамики твердого тела / Е.И.Харламова, Г.В.Мозалевская. - К. : Наук. думка, 1986. - 296 с.

13. Poinsot L. Theorie nouvelle de la rotation des corps / LPoinsot // J. Math. Pures et Appl. -1851. - Bd. 1, № 16. - P. 289 - 336.