Геометрическая интерпретация движения сложной механической системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

2010

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА________________

Математика. Механика. Информатика Вып.4(4)

УДК 531.381:531.395

Г еометрическая интерпретация движения сложной механической системы

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН, Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24 [email protected]; (845) 272-35-33

Приводится геометрическая интерпретация движения по инерции подобно изменяемой сложной механической системы (СМС), неизменяемая основа которой движется вокруг неподвижного полюса. Получены аналоги классических интерпретационных теорем Л. Пуансо [1] и Дж. Сильвестра [2].

Ключевые слова: интерпретация; сложная механическая система; подобно изменяемая система.

1. Предварительные положения

Л. Пуансо [1] была предложена геометрическая интерпретация сферического движения неизменяемого абсолютно твердого тела в интегрируемом случае Л.Эйлера.

Дж.Сильвестром [2] доказана аналоговая теорема, интерпретирующая движение этого тела при условиях Эйлера-Пуансо [Sylvester. Phil. Trans. 1866. Works. Vol.2. P.577]. Представляет интерес вопрос о существовании аналогов данных истолкований для механических объектов более сложной структуры, в частности для СМС.

Под СМС здесь понимается механический объект, структурная модель которого в общем случае предполагает непрерывное во времени изменение конфигурации и состава массы объекта, задаваемое априорно построенной для te [0,+да) = T управляющей программой (программным массивом [3]). Эта программа определяет для teT упорядоченное многоуровневое иерархическое множество структурно-динамических параметров объекта (в том числе и управляющих) так, что система его уравнений движения аналитически замкнута относительно компонент вектора мгновенной угловой скорости. При этом ограничения, налагаемые на управляющие параметры объекта, называются управляющими связями, устанавливающими определенный

© Н. Н. Макеев, 2010

режим состояния данного объекта.

Таким образом, программы (или подпрограммы), содержащиеся в данном массиве, реализуются в виде зависимостей, определяющих характер относительного (по отношению к неизменяемой основе СМС) переноса рабочего тела при изменении состава массы и конфигурации СМС. Согласно такому представлению тела переменного состава и конфигурационно изменяемые тела (системы) являются частными видами СМС [3].

Принимая предложенную структурную модель СМС [3], введем следующие обозначения. Пусть G, Gr - кинетический и гиродинами-ческий (для рабочего тела) моменты СМС относительно неподвижного полюса О; J(t) - оператор инерции СМС, отнесенный к полюсу О; ю, юг - мгновенные угловые скорости: абсолютная для неизменяемой основы СМС и относительная для базиса главных в полюсе О осей инерции системы по отношению к ее неизменяемой основе; й - абсолютная угловая скорость базиса главных в полюсе О осей инерции СМС; X -приведенная (эффективная) угловая скорость. В дальнейшем нулевой верхний индекс относится к значениям величин в начальный момент времени t = 0.

Примем следующие предпосылки, выполняющиеся для любого значения te Т.

1. Система движется так, что ее неизменяемая основа (абсолютно твердое тело) движется вокруг полюса О, неподвижного относительно инерциальной системы отсчета.

2. Результирующий вектор-момент внешних сил, приложенных к СМС, включая реактивные силы, обусловленные изменением состава массы системы, тождественно равен нулю.

3. Программно заданные зависимости, определяющие изменение состава массы СМС и ее конфигурации (т.е. изменение структуры системы), являются гладкими явно (или параметрически) заданными функциями времени необходимой степени гладкости.

4. Данная СМС обладает определенным характерным структурно-динамическим свойством, заданным для teT на полном множестве программных зависимостей.

Согласно предпосылкам 1-3 движение СМС в системе ортогональных осей координат, совпадающей с базисом главных в полюсе O осей инерции системы, определяется уравнением Н. Жуковского [4]

G+ J-1G х G + X х G = 0, (1)

где

G = J(fi - X), X = wr - J-1Gr, fi = w + wr.

Динамическая система (1) обладает первым алгебраическим интегралом [5]

||G|| = H (H = const > 0) (2)

и относится к классу систем с инвариантной нормой вектора кинетического момента СМС.

Зададим величину k, и пусть k (t)eC 0(T ), ^(t)eC :(T ) - некоторые ограниченные величины, связанные зависимостью [5]

М=«р\*>*. (3)

Из полного множества программно заданных зависимостей, определяющих изменение структуры СМС, выделим подмножество, для всех элементов которого при teT выполняются следующие структурно-динамические условия [5]:

J-1(t) • J0 = ¡u(t)E, X(t) = Mt)X°, (4)

где E - единичная матрица, а величина ^ определяется равенством (3).

Соотношения (4) выражают свойство структурно-динамического подобия СМС как объекта с изменяемыми во времени конфигурацией и составом массы. Они определяют реономно-гомотетический закон изменения параметров J(t), X(t). В силу структурного подобия системы согласно первому условию (4) эллипсоиды инерции СМС, отнесенные к по-

люсу O, в каждый момент времени te T образуют в конфигурационном пространстве го-мотетические фигуры с центром гомотетии в

полюсе О и реономным коэффициентом -JU . При этом параметр k (t), определяемый согласно равенству (3) как

k(t) = u - U (t e T),

такой, что его модуль является некоторым аналогом коэффициента скорости относительной "деформации" системы.

В дальнейшем под подобно изменяемой СМС понимается механический объект, параметры которого на множестве T удовлетворяют соотношениям (4). В соответствии с этим предпосылку 4 следует отнести к подобно изменяемой СМС, а под упомянутым в ней характерным структурно-динамическим свойством следует понимать свойство, определяемое условием (4).

2. Г еометрическая интерпретация движения подобно изменяемой механической системы

Динамическая система (1) при условиях подобия (4) обладает, помимо интеграла (2), первым алгебраическим интегралом [5] в форме

(G • J-1G) + 2(X • G) = uh2, (5)

где h = const. Условия (4) выражают критерий существования квазиэнергетического инте-

грала (5) [5].

В силу условий (4) система (1) и первый интеграл (5) приводимы по А.М. Ляпунову. Полагая

t

fi (t) = u(t)W, t = J u(s)ds, (6)

0

где W = (J0)-1G + X0, приведем соотношения (1), (2), (5) к виду

J°W' + W х J0(W - X0) = 0, (7)

||j0(W-X°)| = H , (w• J0w) = h2, (8)

где Hh Ф 0. Здесь и всюду далее штрих обозначает дифференцирование по т.

Соотношение (7) является динамическим уравнением движения по инерции вокруг неподвижного полюса O некоторого гиростата. Это движение реализуется в масштабе приведенного времени т согласно равенству (6) с угловой скоростью его неизменяемой

основы W. При этом оператор инерции данного гиростата, отнесенный к полюсу О, есть J 0, а гиростатический момент Gr=- J 0Х0. Такой гиростат назовем приведенным гиростатом (ПГ), соответствующим данной подобно изменяемой СМС.

Таким образом, ПГ - это механический объект, для которого выполняются соотношения (7), (8). Имеет место следующее свойство: движения неизменяемой основы подобно изменяемой СМС и несущего тела (термин [6, с.80]) ее ПГ диффеоморфны по (й, 0^^, т) в классе функций С1(Т) [5].

Приведем аналог геометрической интерпретации Л.Пуансо для подобно изменяемой СМС.

Пусть апекс N - точка пересечения луча, исходящего из полюса О коллинеарно вектору W, с центральным эллипсоидом инерции Q, построенным для СМС и отнесенным к этому полюсу. Этот эллипсоид касается плоскости Пуансо П [7] (плоскости Лапласа [8]) в точке N. Обозначим: гм - радиус-вектор точки N при полюсе О, 5 = |г^|, I - постоянный масштабный коэффициент в уравнении эллипсоида Q. В дальнейшем под управляющими связями понимаются ограничения, наложенные на управляющие параметры СМС X , Gr.

Теорема 1. Если для СМС, подчиненной динамической системе (1), имеют место управляющая связь

Сг (г) = ^г ^ Ц0 = 0 (г е Т), (9)

и первое структурное условие (4), то ее ПГ движется так, что плоскость Пуансо П в каждый момент времени ге Т ортогональна вектору С и перемещается поступательно в направлении вектора С. При этом

ад = S0y[^(Г), ге T, (10)

где ё 0 = ИН-1 с точностью до сомножителя -масштабного коэффициента I, а величина л определяется равенством (3).

Доказательство достигается известным классическим приемом [7, 9, 10] на основе соотношений (6), (8) с применением очевидных равенств

Гм (г) = НИ 25 (г^,

(12)

гм = 1И 1Л/ІЙW, (гм ■ J%)= ц!2.

Теорема 2. Движение СМС, подчиненное динамической системе (1), существующее при условиях (4) на управляющей связи (9), интерпретируется как качение без скольжения (и верчение) эллипсоида инерции Q по плоскости Пуансо П. При этом

где величина ё определяется равенством (10).

Доказательство этого утверждения также достигается по типу, приведенному в [7, 9, 10]. Оно основано на известном классическом приеме с учетом того, что при фиксированных значениях параметра ё точка N является мгновенным центром скоростей для материализованного эллипсоида Q. При этом "лучевая" скорость точки NеQ, обусловленная структурно-подобным изменением СМС, коллинеарна нормали, проведенной к этому эллипсоиду в любой его точке.

Соотношение (12) непосредственно следует из равенств (10), (11).

Теоремы 1, 2 обобщают известный результат Л. Пуансо [1] для подобно изменяемых СМС. Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из этих теорем.

Пусть

Ф± (0 = | 1 ±1|£0| г

(13)

где k (г) - величина, входящая в соотношение (3) и в локальное равенство [5]

■^Р = £р(г,г) (г е Т, г е D).

(14)

(11)

В равенстве (14) р - величина локальной плотности рабочего тела СМС - сплошной среды, совершающей циклические движения в области D. Показано [5], что ограничение

(14) порождает структурное подобие СМС, определяемое первым равенством (4).

Следствие 1. Из соотношений (3), (10)

•

непосредственно следует £(г) = 5(г) > 0 (геТ).

Следствие 2. Если для ге Т имеют место условия /л > Ф+, £ > 0 или /л < Ф-, £ < 0, то ••

5 > 0 (геТ). При условиях л < Ф-, £> 0 или

••

при л > Ф , £ < 0 для ге Т имеем 5 < 0 . Здесь величины Ф+, Ф- определяются равенством (13).

Представим второе ограничение (4) в

виде

(15)

Следствие 3. На стационарной управляющей связи

С ' (г) = (с ' )0 (г е Т), (16)

2

0

совместимой с наложенными в теореме 1 ограничениями, в силу управления (15) имеем

юг (?) = (юг)° и(?) (? е Т). (17)

Таким образом, на связи (16) параметр юг подчиняется закону структурного подобия (17) с реономным коэффициентом подобия ¡X.

Пусть К - кинетическая энергия СМС; V г - относительная скорость частиц рабочего тела системы, занимающего область D, по отношению к ее неизменяемой основе,

= с2с2 = h2-(ог)° •(J°)-1 (Gг)°,

21 »(V)

К = 2} »V

2 D

Имеет место зависимость [5]

к=\(о • з-1о)-2 (ог • з-1ог)+кг , (18)

где Кг - кинетическая энергия рабочего тела СМС в его движении по отношению к неизменяемой основе системы.

Применяя к равенству (18) интеграл (5) и условие структурного подобия (4) на управляющей связи (9), приходим к следствию из теоремы 1.

Следствие 4. При условиях теоремы 1 на управляющей связи (16) имеет место зави-

{ х\2

симость

К = Кг +

5_

5*

V * у

(? е Т), (19)

где величина 3 определяется равенством (1°).

Таким образом, согласно соотношению (19) величина 3 (К- Кг)-1/2 при заданных структурно-динамических ограничениях является инвариантом.

Распространим геометрическую интерпретацию Дж. Сильвестра на подобно изменяемые СМС. Для этого введем понятие тела сравнения (ТС) по отношению к данной СМС. Под ТС понимается абсолютно твердое тело с изменяемой структурой, являющееся "однородным материальным эллипсоидом" [1, 2] Р, конгруэнтным эллипсоиду инерции Q ("эллипсоидальный волчок" Р - термин Л. Пуансо [1°]).

В дальнейшем предполагается:

- центр О эллипсоида Р является полюсом, неподвижным относительно инерци-ального пространства;

- для ТС при ?еТ выполняются условия (4), причём начальная скорость (ю г)°=°;

- при движении ТС безотрывно контактирует с некоторой абсолютно шероховатой плоскостью П , которая для каждого значения ?е Т ориентирована в инерциальном простран-

стве одинаково с плоскостью П (здесь и затем далее индекс * относится к параметрам и элементам ТС).

Пусть Г, Г - системы ортогональных осей координат, совпадающие с главными в неподвижных полюсах осями инерции СМС и ее ТС соответственно. Положим, что движение ТС в каждый фиксированный момент времени ?еТ тождественно движению соответствующей ему СМС, если в этот момент времени:

- ориентация систем осей Г, Г одинакова (Г=Г*);

- абсолютные угловые скорости систем осей Г, Г* одинаковы (й = й*).

Обозначим L результирующий момент внешних сил, действующих на ТС, относительно полюса О . К этим силам, в частности, относятся квазиреактивные силы [5] и сила контактной реакции плоскости П*.

Имеет место следующий аналог интерпретационной теоремы Дж. Сильвестра.

Теорема 3. Для того чтобы ТС, движущееся по абсолютно шероховатой контактной плоскости, совершало для ?еТ движение, тождественное движению данной СМС, происходящему при условиях теоремы 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Г = Г*, 0° = (о*) при ? = °,

^ • L) = °. при ? > °. (2°)

Таким образом, теорема 3 утверждает, что если для ?еТ выполняется условие (2°) и при ? = ° движение ТС является тождественным в указанном смысле, то оно будет оставаться таким и при ? > °. Условие (2°) выражает равенство нулю результирующего момента указанных сил относительно оси, проходящей через полюс О* и точку касания эллипсоида Р с контактной плоскостью.

Доказательство. Необходимость.

Обозначим

W* = W + а °, а ° =3 °* )-1 (ог)° и представим уравнения движения ТС в виде

(з*)°(w*) +(w* - а°)х(з*)° W* = и_1Ь. (21)

Так как при ? > ° в тождественном движении имеем й = й* , то, исключая из уравнений (7), (21) производную функцию по Т и умножая полученный результат скалярно на W, получаем

F( W) = W • (з *)° (3 ° )-1 • (з ° W х w)J=

= и-^ • L).

Поскольку квадраты длин главных полуосей эллипсоида инерции Q пропорциональны соответствующим элементам матрицы тензора з-1 [2], то имеем Е = °. Отсюда следует условие (2°).

Достаточность. Пусть параметр W* относится к ТС при условиях й Ф й , ?еТ. Тогда из уравнения (21) согласно условиям (2°) следует

W* •З*)° (w* )= °. (22)

Применяя к уравнению (7) при = °

последовательно операторы (з°)-1, (3 )° и ум-

ножая результат скалярно на W, согласно равенству Е = ° получаем

W •(з*)° W' = °. (23)

При выполнении условия (2°) для ? = ° в силу уравнений (22), (23) имеем W* = W.

3. Расширение геометрической интерпретации

Распространим предложенную геометрическую интерпретацию движения по инерции СМС на один из видов ее безынерционного движения.

Рассмотрим движение СМС, при котором выполняются принятые ранее предпосылки 1, 3, 4, а вместо предпосылки 2 примем следующее условие. Пусть результирующий вектор-момент внешних сил, действующих на эту систему, представляется в виде

Ь(?) = -т(?)С (? е Т), (24)

где т(?)еС 0(Т ) - ограниченная, определенно положительная функция. Зависимость (24) устанавливает коллинеарность векторов L , С и является распространенной в динамике систем [1°, с. 111]. Здесь предполагается, что эти векторы для любых значений ?еТ остаются векторами неизменного направления по отношению к инерциальному пространству.

Движение СМС, отнесенной к координатному ортобазису Г, под воздействием вектор-момента (24) определяется уравнением

С+ з-1С х С + X х С = -тС. (25)

Здесь сохранены обозначения, принятые для уравнения (1).

К уравнению (25) применим прием, предложенный М.Ш.Аминовым [11] для твердого тела переменного состава. Положим,

?

С = f(t) Ъ, Ц?) = f(t) п(?), т = | f(s)ds . (26)

Здесь f(?)еС 1(Т ), п(?)еС 0(Т ), и предполагается, что f(?) Ф ° для ?еТ.

Применяя к уравнению (25) преобразование (26), приведем его к виду

ъ'+з-1ъ х ъ+п х ъ = °. (27)

В уравнении (27) штрих обозначает дифференцирование по Т согласно зависимости (26).

Уравнение (27) идентично по структуре уравнению Н.Жуковского (1), что и обусловливает возможность применения предложенной интерпретации к движению СМС, подчиненной условиям подобия.

Действительно, принимая здесь условия структурно-динамического подобия в форме первого соотношения (4) и равенства

п(?) = и(?) п° (? еТ), на управляющей связи п° = ° получаем Ъ = f '(з °W). В силу этого при данных предпосылках возможно применение теорем 1-3. При этом предполагается, что однозначная непрерывная зависимость вида ? = ?(т) может быть получена путем обращения последнего соотношения (26).

Комментарий

Динамическая система (1) является системой с инвариантной нормой вектора С (термин применен М.Атансом и П.Фалбом [12]). Это понятие относится к непрерывным детерминированным системам типа (1) с линейно входящим управлением ,Д(?). Автономные динамические системы этого типа рассмотрены в работах [13, 14] и в ряде других источников. Следует ожидать, что и для подобно изменяемых СМС других типов, движение которых описывается также динамическими системами с инвариантной нормой, может быть построена геометрическая интерпретация движения, аналогичная интерпретации Л. Пуансо и Дж. Сильвестра.

Помимо систем с собственно инвариантной нормой существует подкласс динамических систем, приводимых к ним. К приводимым системам относится и система (25), для которой моментно-силовая нагрузка (24) удовлетворяет условию L(?)хG(?) = ° (?еТ). Это условие определяет режим автономного управления, при котором управляющий момент L для ?еТ коллинеарен кинетическому моменту СМС. Реализация этого режима достигается функционированием САУ следящего типа, являющейся замкнутой системой с регулированием по отклонению. Выходной сиг-

нал этой системы является управляющим для вектора L.

Таким образом, моментно-силовая нагрузка вида (24) может трактоваться не только как внешнее "формально диссипативное" воздействие, но и как некоторое видоизменение моментно-силового фактора в известной задаче Фабри-Граммеля для неизменяемого твердого тела [15]. Свойства движения СМС, находящейся под воздействием нестационарного силового момента, коллинеарного вектору ее кинетического момента, рассмотрены в работе [16].

Список литературы

1. Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation d'un corps // Liouville Journal de mathématique. 1851. Vol.16. Ser.1. P.9-130; 289-336.

2. Ламб Г. Теоретическая механика. В 3 т. Т.3. М.; Л.: ОНТИ. 1936. С.121-122.

3. Макеев Н.Н. Асимптотика вращений сложной механической системы // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Перм. ун-т. Пермь, 2004. С.52-73.

4. Макеев Н.Н. О некоторых движениях гиростата переменной массы в случае типа Эйлера // Проблемы механики управляемого движения / Перм. ун-т. Пермь, 1974. С.71-78.

5. Макеев Н.Н. Интегралы сложных систем на управляющих связях / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, 1989. 122 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.89, N1656-B89.

6. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. 292 с.

7. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. В 2 ч. М.: Наука. Ч.2, 1966. 332 с.

8. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 655 с.

9. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957. 408 с.

10. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. В 2 т. Т.2. М.: Наука. 1983. 544 с.

11. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы // Тр. Казан. авиац. ин-та. Казань, 1959. Вып. 48. 118 с.

12. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

13. Горр Г.В., Илюхин А.А. Случаи постоянства модуля момента количества движения гиростата // Мех. тверд. тела. Киев, 1974. Вып. 6. С.9-15.

14. Troilo R. Moti del solido pesante in cui e' constante il modulo del momento delle quan-tita' di moto // Rend. Semin. mat. Univ. poli-tech. Torino. 1974-1975 (1976). Vol.33. P.337-347.

15. Grioli G. Generalized precessions // Revue roumaine des sciences techniques. Ser. Mecan. appl. 1970. Vol.15, №2. P.249-255.

16. Макеев Н.Н. Вращательное движение космического аппарата в режиме авторегулирования // Космические исследования. 1994. Т.32, №2. С.125-126.

The geometrical interpretation of motion complicated mechanical system

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences,

Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24 [email protected]; (845) 272-35-33

It is given the generalization of a geometrical interpretation for inertial motion of the complicated mechanical system with a similarly change structure. An invariable foundation of this system is rotate around of a motionless pole.

Key words: interpretation; complicated mechanical system; similar change of a system.