Приведённая система геометрической динамики твёрдого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

2013

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(21)

УДК 531.38:531.9

Приведённая система геометрической динамики твёрдого тела

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Приводятся структурные свойства интегрального многообразия динамической системы твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижного полюса в центральном ньютоновском гравитационном поле псевдоевклидова пространства .

Ключевые слова: твёрдое тело; интегральное многообразие; псевдоевклидово пространство.

Введение

Рассматривается движение абсолютно твёрдого тела в псевдоевклидовом пространстве R c метрическим тензором gij, отнесённым к пространству конфигураций, компоненты которого gil = g22 = -1, g33 = 1 и gj = 0 при i Ф j (i, j = 1, 2, 3). Тело вращается вокруг неподвижного полюса О в центральном ньютоновском гравитационном поле, центр притяжения которого находится на расстоянии R от неподвижного полюса тела О. При этом предполагается, что все точки твёрдого тела расположены внутри изотропного конуса

пространства R3, а неподвижный полюс — в

вершине этого конуса. Тогда радиусы-векторы точек тела являются собственными векторами, для которых r,2 = gij r's Гs > 0. Определения основных динамических величин для неевклидовых пространств даны в работе [1].

В пространстве R3 существуют силовые поля трёх типов: собственное, идеальное и изотропное силовое поле. Пусть s — направляющий орт силовых линий поля гравитации. Тогда собственному, идеальному и изотропному (несобственному) силовым полям соответствуют такие направляющие орты s, что,

© Макеев Н. Н., 2013

соответственно, 2 = (1, -1, 0). На проективной модели Э.Бельтрами - Ф.Клейна эти силовые поля могут быть представлены пучками первого, второго и третьего рода соответственно.

1. Предварительные положения

Введём правый координатный ортоба-зис 0х\х2х3, неизменно связанный с телом, оси которого совмещены с главными осями тензора инерции данного тела, отнесённого к неподвижному полюсу О.

Обозначим: Ау — диагональные элементы матрицы тензора инерции тела; ю (ю}-) — угловая скорость тела; г (г}-) — радиус-вектор центра масс тела; 8 (5у) - направляющий орт

силовых линий поля; Р - вес тела. Здесь всюду у = 1, 2, 3; две оси Ох}- (главные оси инерции данного тела) являются идеальными и одна — собственной [1].

Предполагается, что расстояние от центра притяжения гравитационного поля до полюса О достаточно велико по сравнению с характерными размерами тела. Тогда потенциал гравитационного поля и может быть представлен выражением

и(8) = - Р (Г • 8) - - Я2 (8 Т • Js) + О (Л 2 ), (1)

2

где J = diag (А1, А2, А3) - матрица тензора инерции тела, отнесённого к полюсу О; А Ф 0 — характерный гравитационный параметр. Для дальнейшего положим

г = 0. (2)

Движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса О в пространстве Я3 в силу соотношений (1), (2) определяется динамической системой

А1 сд 1 =- (А3 + А2)(а2 со3 - XXs2 s3), А2сд2 = (А1 + А3)(а3а1 - Xs3s1), (3) А3сд3 = (А2 - А1)(а1а2 - XXs1 s2).

Аналогами уравнений Пуассона в пространстве R3 являются уравнения [3]

первых трёх слагаемых является квадратом модуля вектора кинетического момента тела в

пространстве R3. Сумма величин с коэффициентом А соответствует потенциалу силового поля, притягивающего точки твёрдого тела неподвижной плоскостью силами, пропорциональными по модулю расстояниям точек тела до этой плоскости. Этот потенциал относится к одному из силовых полей типа видоизменённых полей Д.Н.Горячева [7].

Полагая XX = (А1А2 А3) 1 к2, представим интегралы 11 (5), 14 (6) в виде 11(ю, s) = < А) а2 > +

+ к2

2

А 2 А3

-+■

А3 А1

- + ■

А1 А2 У

= К,

s2 = а3 s1 - а1 s 3,

s 3 = а2 s1 - а1 s 2.

(4)

14 (ю, s) = - (Ас)2 - (А2а2)2 + (А3Ю3)2 -Л ^ а-1 „2

к2 < А-1 s 2 > = К.

(7)

Здесь и всюду далее точка сверху обозначает дифференцирование по времени t.

Система уравнений (3),(4) имеет независимые алгебраические первые интегралы

2. Приведённая система

11 (ю, s) = < А} (а С + XX s2) > = К,

12 (ю, 8) = < А)а) • > = Н,

13($) =1 $112 = -S12 - Я22 + Я32 - I = 0

(5)

() = 1, 2, 3), существующие при любых начальных условиях. Здесь < ... > — символ суммирования указанных величин по индексу ); К, Н — постоянные интегрирования; I = 1, —1, 0 в случаях, при которых орт $ — собственный, идеальный и изотропный соответственно.

Для системы уравнений (3), (4) имеет место дополнительный первый квадратичный интеграл [2]

14^ Ю = - (А1с1)2 - (А2с2)2 + (А3с3)2 - дова пространства R3, следуя известному

Интеграл 13 (5) выражает свойство инвариантности относительно действия группы поворотов по отношению к силовым линиям поля с направляющим ортом б, порождающим векторное поле этой группы. При этом пространство переменных а, (j = 1, 2, 3) есть пятимерное многообразие

М5 = £2 х R3, а динамическая система, определяющая движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в конфигурационном

пространстве R3, задаётся системой уравнений (3), (4).

Проведём анализ структуры интегрального многообразия данной системы для случая собственного силового поля псевдоевкли-

- XX (А2 А3 я2 + А3 А1 Я 2 + А1А2 Я 32) = К,

(6)

где К — постоянная интегрирования.

Соотношение (6) является аналогом интеграла А.Клебша [4] для твёрдого тела в пространстве Я3, существующем в пространстве Я3. В некоторых литературных источниках интеграл типа (6), отнесённый к евклидову пространству Я3, связывают с именами М.Тиссерана [5] и Ф.Бруна [6], получившими этот интеграл позднее А.Клебша.

В равенстве (6) алгебраическая сумма

подходу [8].

Выполним преобразование ю (ш) ^ 8 (Я)) в силу уравнений системы (4). На

множестве переменных, определяемом интегралом 12 (5), преобразование, обратное данному, является единственным и представляется системой соотношений

ю = D 1[Нб + F (Б, 8)], (8)

где обозначено

F ($, 8) = [^ F1 Fз]T,

8) = - (А2 Я2 + А3 Я3 Я2 ),

2

2

Я

Я

2

3

Л\ = со2 Я 3 - со3 Я 2

F2 (8, 8) = А3 53 51 + А153,

^(8, 8) = А1 52 - А2 52 , В = <А;Л2 > (у = 1,2,3).

Равенства (8), (9) являются аналогами кинематических соотношений Г.В.Колосова, имеющих место для евклидова пространства Л3 [9].

Соотношения 11, 14 (7), выраженные через переменные 5 у, 5 у (у = 1, 2, 3) по формулам (8), примут вид соответственно

Р (Н, 8, 8) = К, Q (Н, 8, 8) = К. (10)

Здесь Р, Q - алгебраические функции компонент указанных векторов.

В силу тождества 13 = 0 пространство переменных 5у, 5у (у = 1, 2, 3) является касательным расслоением Т ^ 2) единичной сферы 13

(5).

Применяя к системе уравнений (3), (4) преобразование (8), в результате получим систему уравнений второго порядка относительно переменных 5у (у = 1, 2, 3), определяющую на касательном расслоении Т ^2) векторное поле V. Известно [10], что векторное поле такого рода в некоторой симплекти-ческой структуре является гамильтоновым, генерированным гамильтонианом Н = Р (10).

Векторное поле V, для которого скобка Пуассона [Р, Q] = 0 является приведённой системой [8], определяющей движение орта 8 собственного силового поля относительно базиса, неизменно связанного с твёрдым телом. В силу этого данное поле определяет движение тела с точностью до его вращения вокруг оси с собственным направляющим ортом 8, проходящей через неподвижный полюс О.

Пусть W ^ Т^2) - подмножество, определяемое равенствами (10), представляющее интегральную поверхность приведённой системы. Это подмножество для всех значений параметров К, К является гладким двумерным многообразием. При этом, если Ж не является пустым множеством, то каждая её связная компонента диффеоморфна двумерному тору, движение на котором — условно-периодическое [8].

Можно показать, что в случае собственного силового поля для достаточно больших значений параметров (К, К) > 0 имеет место режим быстрых вращений тела, в силу чего

данная приведённая система может быть интерпретирована как возмущение соответствующей приведённой системы для аналога слу-(9) чая Эйлера-Пуансо в пространстве Л3. В этом случае дополнительный интеграл 14 (7) в фазовом пространстве "отделяется" от интеграла, выражающего инвариантность модуля вектора кинетического момента тела для случая интегрируемости Эйлера-Пуансо.

Введём интегральное отображение [8]

Q х Р : Т($2) ^Я2.

(11)

Для движения твёрдого тела в пространстве Л3 в случае Эйлера-Пуансо отмечено [11], что все некритические интегральные многообразия имеют связные компоненты. Это свойство имеет место и в случае собственного силового поля пространства Л3.

При этом, согласно теореме Морса [12], это свойство сохраняется при малых возмущениях интегрального отображения (11).

Таким образом, рассмотренные свойства интегрального многообразия уравнений движения твёрдого тела в собственном силовом поле пространства Л3 идентичны соответствующим свойствам, существующим в аналогичной динамической задаче для евклидова пространства [8].

3. Кинематические соотношения

В задачах динамики твёрдого тела для пространства Л3 иногда целесообразно вместо зависимостей (8) пользоваться соотношениями вида

ю = ю (Ф, Ф). (12)

Здесь Ф = [5, (р]Т - вектор параметров ориентации — аналогов углов Эйлера [3], причём Ф = [5, (]Т .

Выполняя в аналоговых равенствах (8) преобразования

} ^ {5, (}, {5у} ^ {5, 5, (} (13)

(у = 1, 2, 3), получим зависимости вида (12)

а у = а у (5, 5, () (у = 1,2,3). (14)

Соотношения вида (13) для каждого силового поля пространства Л3 (собственного, идеального и изотропного) известны [13]. В силу преобразований (13) зависимости (14) представляются равенствами

ю = В- G (Ф, Ф). (15)

Здесь обозначено

G(Ф,Ф) = [Gj G2 G3]t,

причём

Gj = f (- ch 3) sh 3 sin p + 3 p2 (5) cos p, G2 = f (- ch 3) sh 3 cos p - 3 pj (3) sin p,

1 • T

G3 = - 3г (p) sh 23- p f (p) sh2 3- H ch 3

2

(16)

- для собственного силового поля (i = 1); G1 = - f (sh 3) ch 3 sin p + 3 q2 (3) cos p,

G2 = - f (sh 3) ch 3 cos p - 3 q1 (3) sin p,

G3 = -3 г(p) sh 23 - pf (p) ch2 3 + Hsh 3

2

(17

- для идеального силового поля (i = — 1); G1 = [f (с) cosp - (A2 + A3 )3 сsinp]с,

G2 =- [f (c)sinp + (A3 + A1)3<7cosp]c,(18)

G3 =[3г(p)c-pf2(p)c + H]с

- для изотропного силового поля (i = 0).

В равенствах (16)—(18) обозначено

f1 (p) = A1 sin2 p + A2 cos2 p, f2 (p) = A1 cos2 p + A2 sin2 p,

4. Частные решения

Приведём некоторые частные решения системы уравнений (3), (4) для твёрдого тела

в пространстве Я3, подчинённые заданным структурно-динамическим ограничениям. В силу вводимых ограничений задача поиска данных решений рассматривается как ограниченная задача с заданными связями.

4.1. Случай линейных кинематических связей

Из полного многообразия возможных движений, порождаемых динамической системой (3), (4), выделим движения, совместимые с линейным кинематическим условием

б = Ш, (21)

где N = diag (п1, п2, п3) и п1п2п3 Ф 0. Здесь постоянные п■ подлежат определению.

Подставляя выражения (21), представленные в компонентах векторов, в уравнения системы (3), (4), получим условия совместности соответствующих подсистем в виде

А1 (п2 - п3) = (А3 + А2 )(1 - XX п2 п3 )п1, А2 (п1 - п3) = (А1 + А3 )(1 - XX п1 п3 )п2, (22)

pl (3) = At sh2 3 + A3 ch2 3, (19) A3(n1 - n2) = (A2 - A1)(1 - ЛЛn1 n2)n3. qt (3) = At ch2 3 + A3 sh2 3, £ (3) = [sh3, - ch 3, с (3)],

Система уравнений (22) относительно величин nj (j = 1, 2, 3) имеет решение

г (p) = 1(A1 - A2) sin 2p (i = 1,2),

2

1

n = —

^ лМ

f [ g (3)] = H + A3pg (3), с(3) = exp(- 3). где обозначено

а,

(1, 2,3),

(23)

Для соотношения (15) в случае собственного, идеального и изотропного силовых полей имеем, соответственно,

D = с^З]Т + А3[сЬ23 т,

D = [f2(p) + A3] с2,

(20)

где D = DE, причём Е — единичная матрица; о (3), fj определяются равенствами (19).

Соотношения (15)—(18), полученные на основе преобразования Г.В.Колосова, отличаются от известных аналогичных уравнений

для пространства Я3 [13] тем, что в приведённых соотношениях компоненты Ш) вектора ю не зависят явно от величины скорости прецессии щ.

аг = 1 + Аг с ^ = 1, 2), а3 = 1 - А3 с. (24)

Здесь с Ф 0 - произвольный параметр, такой, что а) Ф 0 () = 1, 2, 3) и, кроме того,

(а1 - а2) (а2 - а3 )(а3 - а1) Ф 0. (25) В соотношениях (22), (23) предполагается, что А1 Ф А2, X Ф 0.

Система уравнений (3) в силу соотношений (22)-(24) приводима к виду

а1а1 = (а3 - а2)ю2 ю3, a2á2 = (а1 - а3)ю3ю1,

(26)

a3á3 = (а1 - а2)ю1ю2 и имеет независимые алгебраические первые интегралы

222 - а1ю1 - а2ю2 + а3ю3 = h 1,

а2 а3

- (ас)2 - (а2 с2)2 + (а3с3)2 = Н1 (27) (Н1 = ^ - сН л/а1 а2 а3 ).

Здесь Н1, Н1 - постоянные интегрирования, Н - постоянная интеграла 12 системы (5).

Исключая из системы (27) величину ю3, в результате получаем

а1(а3 - а1)ю12 + а3(а2 - а3)с2, = Н0, (28) где обозначено

Н0 = с (Л3 h1 - Н у]а1 а2 а3 ) ^ 0.

В фазовом ю-пространстве уравнение (28) соответствует цилиндрической поверхности, которая в силу условия (25) не является распадающейся.

Введём геометрический инвариант 10 = а1 а3 (а2 - а3 )(а3 - а1) ^ 0.

При 10 > 0 цилиндр (28) является эллиптическим, а при 10 < 0 - гиперболическим. В первом случае уравнению (28) относительно ю1, ю2 удовлетворяет решение

с1 = B1 cos u,

с2 = B2 sin u, (29)

а во втором - решение с = B ch u,

с2 = B2 sh u.

(30)

В соотношениях (29), (30) обозначено

B =

H

a1 (a3 - a1)

B2 =

H

a3(a2 - a3)

а u - новая (промежуточная) переменная.

Уравнению (28) удовлетворяет также решение, представленное в эллиптических функциях Якоби

с1 = BjCn u, с2 = B2sn u, (31) имеющее место при I0 > 0.

Из первого равенства системы (27) в силу соотношений (29) следует a3 с32 = a1 B12 cos2 u + a 2 B22 sin2 u + h 1. (32)

Аналогичные выражения имеют место и для решений (30), (31).

Из соотношений (29), (32) в силу уравнений системы (26) следует, что зависимость вида u (t) выражается в эллиптических функциях времени. Действительно, из первого уравнения (26) в случае собственного силового поля для переменной w = cos u следует квадратура вида

г dw

I , = = ct + a. (33)

V(1 - w 2)(c1 w2 + c 2)

грал в равенстве (33) приводится к эллиптическому интегралу первого рода [14].

Обращая соотношение (33), получаем явную зависимость и(0 в виде эллиптической функции Якоби.

Аналогичная задача поиска частных решений системы уравнений движения твёрдого тела в евклидовом пространстве рассмотрена в работе [15].

4.2. Случай плоских движений

Под плоскими движениями твёрдого тела в различных силовых полях пространства

Я3 понимаются аналоги собственно плоского движения тела в пространстве Я3, подчиняющиеся условиям ф = у = 0. Характер данных движений обусловлен видом силового поля, под воздействием которого происходит движение тела.

Учитывая выражения для компонент Юу (у = 1, 2, 3) в зависимости от параметров ориентации 3, у, ф [13], для данных движений получаем следующие представления.

• Орт s - собственный. Здесь имеем (51, s2,53) = ^3,0, - Л3), со1 = со3 = 0, (34)

со2 = - 3.

В этом случае система (3) сводится к определяющему уравнению

p + да2 sh p = 0,

(35)

где обозначено

p = 23, m1 = Ад/ A2-1( A1 + A3). • Орт s - идеальный. В этом случае по-

лучаем

^2, 53) = (- ch 3,0, sh 3),

и выражения (34) для Юу, а также уравнение (35) сохраняются.

• Орт s - изотропный. Здесь имеют место соотношения

(^, ^2, ^3) = (0, - а, а), с = - 3, с2 = с3 = 0, где а = ехр (- 3) согласно обозначениям (19). В силу этого система (3) сводится к определяющему уравнению

(36)

Здесь с, с1, с2 - постоянные, выраженные через параметры соотношений (26), (29), (32); а - постоянная интегрирования. Инте-

р - т2 ехР(- Р) = °

где обозначено

(Л3 + Л2). Таким образом, плоские движения тела

в силовых полях пространства R3 определяются уравнениями (35), (36). Интегрирование этих уравнений стандартными приёмами сводится к квадратурам, которые для уравнения (35) являются эллиптическими, а для уравнения (36) с точностью до аддитивной постоянной представляются в виде

t = F [exp(- pXL

где F - известная элементарная функция. В силу этого характер плоских движений твёрдого тела при заданных условиях в собственном, идеальном и изотропном силовых полях полностью определён.

4.3. Случай осевой кинетической симметрии

Выполним интегрирование уравнений системы (3), (4) при условии

A1 = A2 = A (37)

для различных видов силовых полей.

Из последнего уравнения системы (3) при условии (37) следует с3 = Q = const. Обозначим

(hx, k2, k3) = A- (h, H, A3),

h 1= k1 - k 3 Q2 + Л21.

В силу условия (37) представим интегралы I1, I2 системы (5) в виде

с2 + с22 + Л2(1 + k3)s32 = h 1, (38)

с1 s1 + с2 s2 + k3 Q2s3 = k2.

Для дальнейшего используются известные зависимости вида

Cj (3, p; 3, у, p), Sj (3, p) (j = 1, 2, 3)

для каждого типа силовых полей пространства R3 [13].

• Случай собственного силового поля. В этом случае имеют место соотношения

с + с2 = (у sh 3)2 + 32,

с1 sin p + с2 cos p = y sh 3, в силу чего интегралы (38) приводятся к виду

(у sh 3)2 + 32 + Л2(1 + k3)ch23 = h 1, (39)

у sh2 3- k3Q2ch 3 = k2. Исключая из соотношений (39) величину у и полагая ch 3 = w, в результате получим w2 = b 1 w4 + b 2 w2 + b3 w + b4 = CP(w). (40)

Уравнение (40) является определяющим для величины w , причём

Ь1 =-XX (1 + к 3), Ь 2 =-(Ь1+ к32 + К1),

Ь 3 = -2к 2 к 3 Ь 4 =-(к 22 + К1). (41) Согласно [14] в силу уравнения (40) получаем

Л 3 = ^ + g 2, gз) - D2]-1, (42)

где wp - корень полинома Ф(^); ^ - символ эллиптической функции Вейерштрасса с инвариантами

g 2 = b 1 b 4 +— b L 12

g3 = " b 2 (b 1 b 4 b 2)b 1 b

6 36 16

(43)

D1, D2 - постоянные, определяемые равенствами

3 1 1

D1 = b 1 ^ + " b 2 wp + " b 3,

2 4

D2 = 6b1 w2 + b 2.

• Случай идеального силового поля. Здесь имеем тождества

C2 + с22 = (f ch 3)2 + 32, sin p + с2 cos p = - f ch 3, где f = p У, p - радиус опорной сферы для тела в пространстве R3 [3]. В этом случае интегралы (38) принимают вид

(f ch 3)2 + 32 + Л2(1 + k3)sh2 3 = h 1,

fch2 3 + k3 Q2sh 3 = k2.

(44)

Исключая из равенств (44) величину f и полагая sh 3 = w, получаем для w уравнение вида (40), в котором

b 2 = h 1 - (k3 Q2)2 - Л2(1 + k3),

а знаки величин k2, h 1 в выражениях (41) для этого случая изменены на противоположные.

• Случай изотропного силового поля. Для данного силового поля имеют место соотношения

с + с22 = (cf)2 + 32,

cos p- с2 sin p = cf. В силу этих зависимостей интегралы (38) принимают вид

32 + [f2 + Л2(1 + k 3 )]c2 = h 1,

(cf + k3 Q2)c = k 2.

(45)

Из системы (45) аналогично предыдущему получаем определяющее для с уравнение вида (40)

о2 = Ф(о), в котором для данного случая

2 \ 2

b 2 = h 1 - (k3 Я2)

Ь 4 =- k 22

а знак величины Ь3 противоположен знаку соответствующего выражения (41).

Выражение (41) для Ь1 в каждом из данных случаев сохраняется.

Таким образом, явная зависимость вида 3(1;) для каждого типа силовых полей выражается через эллиптические функции времени с заданными инвариантами (43) аналогично представлению (42).

При известной явной зависимости вида 3 ) функции у ), % ) могут быть получены из интегралов (39), (44), (45) соответственно. Для собственного силового поля зависимость вида ф ) с точностью до аддитивной постоянной определяется из аналога кинематического уравнения Эйлера [3]

ф = - (П + у/^ 3). (46)

В случае идеального и изотропного силовых полей соотношения типа (46), содержащие величину ф, не имеют места в силу структурных особенностей аналогов кинематических уравнений Эйлера для пространства

Я3. Отсюда положение тела в конфигурационном пространстве при воздействии этих силовых полей определяется с точностью до движения по углу ф.

Заключение

Механика неевклидовых пространств первоначально возникла на основе неевклидовой геометрии пространств постоянной ненулевой кривизны. Постоянность кривизны пространства проистекает из постулата однородности и изотропности (в среднем) мирового пространства Вселенной. Интенсивное развитие современной теории динамических систем инициировало распространение результатов решения задач классической динамики твёрдого тела на неевклидовы пространства.

Это обусловлено, в частности, тем, что познание динамических свойств объектов, движущихся в неевклидовых пространствах, способствует новому пониманию известных свойств движения в евклидовом пространстве. Например, по Л.Кронекеру, закон притяжения Ньютона, открытый для евклидова пространства, фактически является лишь частным про-

явлением универсальных аналитических законов, действующих в пространствах ненулевой кривизны [16, с. 24].

Некоторые положения евклидовой механики, воспринимаемые обычно как установившиеся очевидные знания, в реальности являются проявлением особых симметрических свойств евклидова пространства. Эти свойства исчезают при переходе к пространству ненулевой кривизны [16, с. 11].

Симметричность - одно из фундаментальных свойств пространства и времени. В расширенном смысле симметричность есть свойство инвариантности отдельных сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований. В силу этого исследование свойств движения механических объектов в неевклидовых пространствах имеет кардинальное значение не только для механики неевклидовых пространств как самостоятельного научного направления, но и для классической механики, построенной в евклидовом пространстве.

Характерным транзитивным свойством механизма соотнесения евклидова и неевклидовых пространств является установленный факт: перенос положений евклидовой механики на механику неевклидовых пространств принципиально невозможен [16, с. 10]. С другой стороны, некоторые свойства движения твёрдых тел в неевклидовых пространствах можно трактовать как определённые аналоги соответствующих свойств, имеющих место в евклидовом пространстве [3].

Интерес к механике неевклидовых пространств обусловлен выбором неклассической модели, построенной на основе неевклидова пространства, для исследования свойств движения механического объекта. Этот выбор всегда носит эмпирически-гипотетический характер. По словам К.Ф.Гаусса: "... Мы не можем обосновать геометрию a priori ..." (письмо Ф.В.Бесселю от 27 января 1829 г.). И далее: " . пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписывать закона a priori" (письмо Ф.В.Бесселю от 9 апреля 1830 г.) (цитируется по тексту источника [17, с. 73]). В связи с этим А.Пуанкаре писал: "Никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая" (цитируется по тексту источника [18, с. 41]). Эти высказывания можно отнести и к механике в псевдоевклидовых пространствах.

Список литературы

1. Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С.196-207.

2. Макеев Н.Н. Задача восстановления в динамике твёрдого тела // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 1(13). С. 19-26.

3. Косогляд Э.И. Движение твёрдого тела под действием сил на плоскости Лобачевского // Изв. ВУЗ. Сер. Математика. 1970. № 9 (100). С. 59-68.

4. Clebch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flüssigkeit // Mathematische An-nalen. 1870. Bd. 3. S. 238-262.

5. Tisserand M.F. Sur les mouvements relatifs a la surface de la Terre // Comptes Rendus des séances de FAcademie des sciences. 1872. V. 75, № 26. P. 1567.

6. Brun F. Rotation kring on fix punkt // Ofver-sigt at Kongl. Svenska Vetenskaps Akad. Forhandlinger. Stokholm, 1893. V.7. P. 455-468.

7. Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твёрдого тела. Варшава, 1910. 62 с.

8. Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твёрдого тела в линейном поле сил // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 3. С. 419-428.

9. Колосов Г.В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твёрдого тела. СПб., 1903. 76 с.

10. Харламов М.П. Понижение порядка в механических системах с симметрией // Механика твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1976. Вып. 8. С. 4-18.

11. Харламов М.П. Интегральные многообразия приведённой системы в задаче о движении по инерции твёрдого тела с неподвижной точкой // Механика твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1976. Вып. 8. С.18-23.

12. Милнор Дж. Теория Морса / пер. с англ. М.: Мир, 1965. 184 с.

13. Макеев Н.Н. Квадратуры геометрической теории динамики гиростата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Перм. ун-т. Пермь, 2012. Вып. 44. С. 87-104.

14. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч. / пер. с англ. М.: Физматгиз. Ч. 2, 1963. 515 с.

15. Харламова Е.И. Некоторые решения задачи о движении тела, имеющего закреплённую точку // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 733-737.

16. Классическая динамика в неевклидовых пространствах: сб. статей / под ред. А.В. Борисова, И.С. Мамаева. М.; Ижевск. Ин-т компьютерных исследований: науч.-изд. центр рхд, 2004. 348 с.

17. Альберт Эйнштейн и теория гравитации: сб. статей / под ред. Е. Куранского. М.: Мир, 1979. 592 с.

18. Пуанкаре А. Наука и гипотеза / пер. с фр. Сер.: Из наследия мировой философской мысли. М.: Книжный дом Либроком, 2010. 240 с.

The transform system of geometrical dynamics of a rigid body

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

A structure properties of integral manifold dynamic system rigid body, moving about immovable a pole in central Newtonian field of gravity in the pseudo-Euclidean space R3 • are described in this article.

Key words: rigid body; integral manifold; pseudo-Euclidean space.