Задача восстановления в динамике твёрдого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 1(13)

МЕХАНИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 531.381:531.9

Задача восстановления в динамике твёрдого тела

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24 [email protected]; (845) 272-35-33

Рассматривается задача построения системы уравнений движения твёрдого тела вокруг непо-движного полюса в центральном ньютоновском гравитационном поле. Построение проводится по заданной полной системе независимых алгебраических первых интегралов, находящихся в инволюции. На тело, движущееся в псевдоевклидовом пространстве , действует система стационарных гироскопических сил. Приводится случай задачи с заданными кинематическими связями.

Ключевые слова: твёрдое тело; восстановление и замыкание динамической системы; псев-доевклидово пространство.

Введение

Рассматривается движение абсолютно твёрдого тела в псевдоевклидовом пространстве Я1 с метрическим тензором gij, отнесённым к пространству конфигураций, компоненты которого £ц = g22 = _1, gзз = 1 и gy = 0 при /' Ф / (/',7 = 1, 2, 3). Тело вращается вокруг неподвижного полюса О в центральном ньютоновском гравитационном поле, центр притяжения которого находится на расстоянии Я от неподвижного полюса тела О. При этом предполагается, что все точки твёрдого тела расположены внутри изотропного конуса пространства Л], а неподвижный полюс - в вершине этого конуса. Тогда радиу-сы-век-торы точек тела являются собственными векторами, для которых г/ = gp г\ г\,> 0. Определения основных динамических величин для неевклидовых пространств даны в работе [1].

Известно, что задача о движении твёр-

© Макеев Н. Н., 2013

дого тела вокруг неподвижного полюса в пространстве , в силу существующего изоморфизма, эквивалентна задаче о движении материальной фигуры на плоскости Лобачевского (гиперболической плоскости) л кривизны р 2. Все точки такой фигуры расположены на сфере действительного радиуса р, вложенной в пространство В}ъ. Согласно геометрической интерпретации, основанной на проективной модели Э.Бельтрами - Ф.Клейна, плоскость л в этом случае представляется внутренними точками абсолюта гиперболической плоскости с уравнением (хх) = - (х1)2 -

- (х2)2 + (х3)2 = 0. На плоскости л два главных момента инерции тела являются моментами инерции сдвига и один — главным моментом инерции вращения относительно центра инерции [2].

В пространстве В}ъ и на плоскости л силовые поля могут быть трёх типов. Пусть в

— направляющий орт силовых линий поля гравитации. Тогда собственному, идеальному и несобственному силовым полям плоскости л соответствуют времениподобное, про-

пространства Я3. Для К3 имеем, соответственно, |в[|2 = (1, -1, 0) [2]. На проективной

модели Э.Бельтрами - Ф.Клейна эти силовые поля могут быть представлены пучками первого, второго и третьего рода соответственно.

1. Предварительные положения г! /‘

Введём правый координатный ортобазис Ох^хз, неизменно связанный с телом, оси которого совмещены с главными осями тензора инерции данного тела, отнесённого к неподвижному полюсу О.

Обозначим: А] - диагональные элементы матрицы тензора инерции тела; со (йг) -

угловая скорость тела; г(г; ) - радиус-вектор

центра масс тела; я (л -) - направляющий орт

силовых линий поля; Р- вес тела. Здесь всюду у = 1, 2, 3; две оси Ох^ (главные оси инерции данного тела) являются идеальными и одна -собственной [2].

Предполагается, что расстояние от центра притяжения гравитационного поля до полюса О достаточно велико по сравнению с характерными размерами тела. Тогда потенциал гравитационного поля V может быть представлен выражением

гУ(8) = -Р(г.8)--А2(8Г-18)+<ЗСГ2), (1)

2

где 3 = <Иа% (Ах, А2, А3) - матрица тензора инерции тела, отнесённого к полюсу 0\кф 0 -характерный гравитационный параметр.

Пусть на твёрдое тело, движущееся в

пространстве В-1, действует система сил, результирующий вектор-момент которой М представлен в виде

М(са) = Гш, (2)

где : -.г -;

0 -къ -к-к,

о

ч

з

к2 -кх 0 заданные постоянные пара-

*,(./ = 1,2,3) метры.

В силу представления (2) вектор-момент М(Му ) имеет следующие компоненты:

А/, (е>) = - к3 сог - к2 со3, М2( со) = кхсо3 + к3 со,, Мъ((и) = к2 о\ - кхсо2.

(3)

Система сил, характеризующаяся вектор-моментом (2), является гироскопической системой (термин У.Томсона и Тэта [3]), а характерная кососимметрическая матрица Г -гироскопической, элементами которой являются гироскопические параметры

Движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса О в пространстве -й3! при воздействии силовых факторов (1), (3) согласно принципам динамики определяется эволюционной динамической системой

Ajd>j

:Wj(m) (j = 1,2,3). (4)

В уравнениях (4) обозначено 1 ~ *

Щ((о) = -(А3 + А2)со2со3 -късо2 -к2со3 + Ц, W2((a) = (A] + А3)со3а>х + кх0)ъ + к3щ + L2, (5)

W3((o) = (А2 - Ax)a>xco2 + к2сох- кхсо2 + L3,

где

Z] = P(r3s2 — r2s3) + X (А3 + Л2) s2s3,

L2 ~P(j\s3 v3sx)~-X (Ax + A3)s3sx, (6)

L3 = P(r2sx — f\s2) — Я (A2 — Ax)sxs2.

Здесь kj = const (j = 1,2,3) - заданные гироскопические параметры.

Аналогами уравнений Пуассона в пространстве Rl являются уравнения [4]

iSi —C02S3 C03S2 •—U-i,

3 2 • &>, LV3

(7)

S3 = C02 - COx S2=u3,

которые следует присоединить к системе (4)-

(6). Здесь и всюду далее точка сверху обозначает дифференцирование по времени Г.

Система уравнений (4)-(7) имеет независимые алгебраические первые интегралы

/, (ю, s) е < Aj (со2 + Я2 s2) > +2P(-rxsx -~r2s2 + r3s3)-hx =0,

/2(ш, s) = <(/(.+kj)-Sj >-h2= 0,

/3(s):

4

(8)

■£ = 0

(7 = 1,2,3),

существующие при любых начальных условиях. Здесь <...>- символ суммирсзанзя указанных величин по индексу у; • 'с - -> стоянные интегрирования; / = I, - з :_з-

чаях, при которых орт s - собственный, идеальный и изотропный соответственно.

В системе (8) интеграл энергии 1\ выражает свойство гироскопичности моментно-силового воздействия на твёрдое тело; интеграл проекции кинетического момента /2 порождён группой симметрий. Интеграл /3 выражает свойство инвариантности относительно действия группы поворотов по отношению к силовым линиям поля с направляющим ортом s, порождающим векторное поле этой группы. При этом фазовое пространство определено в R6 тривиальным интегралом /3.

Система уравнений (4)—(7) и её первые интегралы (8) являются аналогами уравнений Л. Эйлера - Н. Жуковского и их интегралов для тяжёлого твёрдого тела в евклидовом пространстве R3. В частности, при к = 0 из данной системы следуют уравнения движения твёрдого тела в пространстве R], на которое не действуют гироскопические силы.

2. Постановка задачи

Исходная динамическая система в общем случае не имеет независимого алгебраического интеграла, дополнительного к системе (8). Этот интеграл может существовать лишь в некоторых частных случаях как частный интеграл. В связи с этим ставится следующая задача.

Пусть вектор-функция F (ю, s):

• определена и непрерывна на открытом множестве 3’ пространства вектор-функций сo(t), s(t);

• удовлетворяет условиям теорем существования и единственности решения на замкнутом ограниченном множестве I

Введём автономную динамическую систему ..

6 = F(co,s) (9)

и соотношение

/4 (со, s) -/г4 = О, (10)

где /4 - некоторая функция, определённая и дифференцируемая по всем переменным в заданной в замкнутой области Q(co, s), удовлетворяющая условиям неособости [5]; h4 -фиксированная постоянная интегрирования, определяемая заданными начальными значениями, принадлежащими области возможных значений.

Ставится задача: построить динамическую систему (9) по заданным первым интегралам (8) и условно заданному частному интегралу (10), где функция /4 - такая, что интегралы систем (8), (10) являются независимыми, а вектор-функция я(1:) е С1 и удовлетворяет уравнениям системы (7).

Данная задача является задачей восстановления динамической системы по заданному интегральному многообразию 7, (со, я) (7 = 1,..., 4), где при 7 = 3 имеем А3 = €. Это многообразие для аналитически замкнутой системы уравнений (4)—(7) обусловливает решение задачи замыкания системы уравнений

(7) с точностью до некоторой произвольной аддитивной вектор-функции [5].

Поставленная задача относится к классу обратных задач динамики. Значительный вклад в разработку и развитие этого направления механики внесён А.С. Галиуллиным [6].

3. Восстановление динамической системы

Решение поставленной задачи проводится на основе аналитической теории, построенной Н.П. Еругиным [5].

Введём ненулевые векторы и (Му), (м/у),

с (<ту) (7 = 1, 2, 3) и обозначим

А = - А2 А3и^{ - А3Ахи^2 + А}А2иъм>3 Ф 0,

а,=Рг1-л1я2.ч, (/ = 1,2),

8 = &\ в3 = Рг3 + А3 Я2 53, (11)

ъ=тТ, «=1>/ а=1,2,з),

о, = - < (Лу ©у + &у)Му > (7 = 1,2,3),

СУ 2 ■— С/1 их "Ь ( ^2 03 М3,

<?3 = - (щъ>\ + ЩЩ + ие^з)>

сг4 = - гх щ - ггиг + г3и3,

(7 = 1,2,3), /

' о со ,

Щ - ^ (* = 4,5,6),

где компоненты Му вектора и определяются равенствами (7).

Вектор О, содержащийся в системе (11), определяется равенством - , , л

(} = 5Мо, > /' (12)

где М = [ту ] (/, 7 = 1,2,3) - матрица с компонентами

Щ\ = А2 со2 м>3 - А3со 3™2>

Щг = А3я3м>г - 4^2 м>3,

т2\ = А30)Зм>, -4®, ™3,

т22 = А^у?з - 45 з

Щ\ = 4 Щ ™2 - А2а> 2^1»

т32 = 45 2™1 — 4 5, ^2,

= - А2 А3 щ , т23 =- '44м:

т33 = 4 А2и3.

Применяя известный приём [5], в силу соотношений (11)—(13) получаем динамическую систему типа (9)

<Ь = <3 + Ф. (14)

Здесь Ф (со, в) - присоединённая вектор-функция, такая, что Ф = 0 всюду на интегральном многообразии

/Дсо, 8) = 0(у = 1,..., 4).

Переходя к фазовому представлению движения твёрдого тела, положим, что фазовая точка находится на фазовой поверхности интегрального многообразия 1к = 0 (к = 1, ... , 4). Тогда, требуя тождественного совпадения уравнений динамической системы (14) с соответствующими уравнениями системы (4)-(6), в результате получим

(у = 1,2,3). (15)

Тождества (15) выражают необходимое и достаточное условие существования совокупности первых интегралов (8), (10) для объединённой системы уравнений (4)-(7).

Следуя работе [6], найдём структурные и динамические условия, при которых для системы уравнений (4)-(7) существуют заданные первые интегралы (8), (10).

Зададим функцию /4 для интеграла (10) в виде

/4 (ю) = || + к||2 = — (Ахй>1+ кх )2 -

— (А2 С02 *2 (4 ^3 ^3 ) ’

Тогда из системы уравнений (14) следует

г] — 0 (у = 1,2,3), Л = 0. (16)

Уравнения системы (4)-(6) при ограничениях (16), согласно применяемой классификации [7], являются динамическими уравнениями гиростатического аналога случая

Л. Эшера - Н.Жуковского для однородного гравитационного поля в пространстве

Если положить /4 (со) = со3, то аналогичным образом из той же системы уравнений получаем условия

А1=А2, Г/ =к1 - 0 (г = 1,2). (17)

Структурно-динамические условия (17) соответствуют гиростатическому аналогу случая Ж.Лагранжа - П.Харламова в ньютоновском гравитационном поле конфигурационного пространства .

Полагая

/4 (©, в) = - (4 сох )2 - (А2 сог )2 + (А3 со3 )2 -

- Л2 (А2 А3 5]2 + А3 Ах ^2 + 4 А2 s3), в результате получаем

г = к = 0. (18)

Условия (18) характеризуют аналог случая А.Клебша - М, Тиссерана [8, 9] для твёрдого тела в центральном гравитационном поле пространства /?].

Рассмотрим необходимые условия, при которых система уравнений (4)-(7) допускает существование линейного интеграла

/4 (о) = < А;а>} > (7 = 1,2,3). (19)

Если интеграл (19) существует, то система тождеств (15) принимает вид

сг, (г2 Сйъ - г3 С02) + о2 Оз 52 - г2 53) + с4 Щ = 0. (20)

Остальные тождества данной системы могут быть получены из равенства (20) путём циклической перестановки индексов 7 = 1, 2,

3, относящихся к величинам а., г,, Ж..

Равенства (20) выполняются в нескольких случаях. В частности, если гъ Ф 0, то они выполняются при условиях (17). В случае, при котором

г3 — к2 — 0, г2Ф 0, (21)

система тождеств, содержащая равенство (20), сводится к соотношению

(А, + А3)(а>]а>3 -^+ кхсоъ + к3а>1 =0,

которое при 1 = 0 удовлетворяется в каждом из следующих случаев:

*, = 0, щ = ®з°, (А, + А3)®3 +*3=0, к3 =0, сох = сох, (Д + А3)сох + *1 =0.

В равенствах (22) о>{ со\ ф 0; верхний нулевой индекс относится к значениям величин при г = 0.

Условия (21), (22) при л = 0 соответствуют гиростатическому аналогу случая Д. Бобылёва - П.Харламова для однородного силового поля в пространстве Щ [7, 10].

Система соотношений (20) выполняется и в случае, при котором

АХ(А3 + Л2)г,2 + А3(А2-Ах)г2 = 0, (23)

г2 = к2 = 0, гх къ +гъкх - 0, Я = 0,

что соответствует гиростатическому аналогу случая В.Гесса - Л.Сретенского для однородного гравитационного поля в конфигурационном пространстве [7, 10]. При условиях (23) для гхг3 ф 0 имеем А\ > Аг и векторы г, к коллинеарны, причём /г4 = 0.

Обозначим

К( со) = - (А3 + А2 )гх со2 со3 + (Ах + А3 )г2 соъ +

, ^ +(А2-Ах)г3сохсо2,

П(со) = (г2к3 + г3к2)сох- (г3кх + г,к3)а>2 --(гхк2-г2кх)соу

Из системы соотношений (20) следует " < г] > <т4 = 0 (у = 1,2,3),

откуда при г Ф 0 в случае, для которого бари- -центрический вектор г не ортогонален вектору и, получаем следующие уравнения кинематических связей:

и (со, в) = 0, (24)

^(со) + П(со)-Я2^(8)-0. (25)

Из соотношения (24) следует скалярное

представление

СОх С02 (03 „

•ол:;ла. — = — = — = &> (0-0). (26)

|^1 *^2

' * Кинематическая связь с уравнением (26) допускает перманентное вращение твёрдого тела вокруг оси с направляющим ортом в, происходящее с угловой скоростью со. Связь, определяемая уравнением (25). соответствует классу перманентных вращений тела в центральном ньютоновском силовом поле пространства Я],

Уравнение (25) при /. = 0 определяет в пространстве ^ поверхность, несущую на-

правляющую кривую конуса осей перманентного вращения твёрдого тела. Эта поверхность касается в начале координат плоскости П = 0. В пределе при к —> 0 данный конус переходит в аналог конуса Штауде в пространстве ЯІ с уравнением К = 0. Этот конус при X = 0 является асимптотическим конусом поверхности с уравнением (25).

4. Задача восстановления с ограничениями

Зададим линейные кинематические связи, наложенные на твёрдое тело, определяемые системой [11, 12]:

, в = Асо + с, , , (27)

где в = ]‘, со = [<У7■]', с = [су]г (у = 1,2,3),

ахх 0 0

А - 0 а2Х «22

0 «31 а32

В равенстве (27) ац, с, (/, у = 1, 2,3) -

вещественные постоянные величины, подлежащие определению и удовлетворяющие условиям

ахх Ф 0, О — а2ха32 — а22азх Ф 0. (28)

Соотношения (28) определяют условия невырожденности преобразования (27).

Задачу, поставленную в п. 2, видоизменим следующим образом: построим систему динамических уравнений вида (9) по заданным первым интегралам (8), кинематическим уравнениям (7) и заданным связям с уравнениями (27).

Из систем уравнений (7), (27) при условиях (28) получаем следующую систему динамических уравнений, необходимую для решения задачи восстановления с заданными кинематическими связями:

Щ ~ а\ \ (а3\®2 ~ а22 +Сз2®2®3 + ". г

"Ь с3 (Х>2 с2 со3).

со2 = /Г1 (ЪХ2 озх 0)2 + Ъх 3 щ оз3 +ЬХ(01 +

+ Ь2со2 + Ъ3со3),

6)ъ = (Ьгх а>2 сох + Ъ2 з а>3 сох +Ь^сох +

+ Ь5а>2+ Ь6СОъ). ^ ^ 1

В уравнениях (29) обозначено

^12 = «22С21 ~"«31«32> ^13 = «32С13 «22>

Ь\ = <з22 с2 — «32 с3, Ъ2~ — а22 С], Ь3 = а.у2 с)

^21 = «31 ■*" «21С12> ^23 = «31 С31 — «21 «22’

Ь4 = а31с3 — а2Хс2, 65 =а21с1, Ъ6= — азхсх,

С12 = «11 ~ «21 = С13 = «И ~ «32’ С21 = «21 — «11 ’

С31 = «32 ~ «11 > С32 = «32 — «21 •

Для того чтобы система уравнений (29) допускала существование первых интегралов

(8), должны выполняться следующие условия:

«31 — ^ (4 ^ 4 )«11 «21 ] =

«22 [4 ^ (4 + 4 )«11 «32 ] = О»

4 С32 ■*” (4 4 )«11 0 _ ^ &1) = 4 «зз = «11 (4 + А2)§2+Щ-к3 ],

Д с2 = «и[- Л2(А3 + A2)gi + 1Щ + к21

Л (А3 ■+■ А2 )с2 с3 + /??3 = 0,

А2 Ьи - (А, + Аъ )(1 - Я2 а,, а32 )£> = 0,

Д&]2 + (Д Д )Я «] ] «3] = 0,

Д + [Я2 (Д + Д )«,! с3 + Рг3 ах ] - &3 ]£> = 0,

Д £2 + а31[Я2(Д + А3)сх - = 0,

Д й3 + [Я2 (Д + Д )а32^ - /V, а32 -&,]£> = 0,

Я2(Д + Д)с,с3 + Р(с,г3 -с3г,) = 0, - .

Д &23 + Я (Д — Д )Я] ] а22 =0, (30)

Д^21 "*■ (4 ~ 4)0 ^ «п°2\)В — о,

А3Ь4 + [Я2(Д - Д)аис2 -Рг2аи -к2]В = 0,

Д й5 + [Я2 (Д - Д )а2] с, + Ргх а21 + ^ ]/) = 0,

, , Д Ьй + а22 [Я2 (Д - Д )с, + Рг, ]£> = 0,

Я2 (Д - Д )с, с2 + Р(с2 Г\ ~ С\ )= 0,

^1 = а21 «32 + «22 а31, g2 — а21 с3 + а31 с2,

Яз = «22сз + «згс2, щ = Р(а21 г3 - а3, г2), т2 = Р(а32г2 - а22г3), т3 = Р{с2г3~с3г2).

Положим а22а3]с1Ф0. Тогда условия (30) тождественно удовлетворяются, если принять выражения для параметров

аи =А1[Л2(А3 +А2)а21] \ Д>4 = Лф 0,

«21 = (.рп)~Х (А2 г3 кг - А2 г2 к2), (31)

«22 - (Рпу1 4 4 т> С2 - (Л2А3 у1 Рг2, ; . „

«31— — «22? «32 ~ «21 ’ С3= — (ЛА2) Рг3,

п = (Дг3)2 - (А2г2)2, т-г2к3-г3к2.

Наряду с ограничениями (31) следует принять структурно-динамические условия

г, = А:] = 0, Д = Д + Д, л2[(Д£3)2-(4*2)2]=^2- (32)

В ограничениях (32) согласно условиям (28) имеем ;

п ф О, (А.ъкг)2 - (А2к2)2 ф 0 (33)

и, кроме того, тф 0, где параметры п, т определяются равенствами (31).

Параметр кинематической связи (27) с\ системой уравнений (30) не определяется. Для нахождения его выражения подставим в соотношение для интеграла /3 (8) представления (27) в компонентах и при со = 0 получим

с2 = пV2 -1, у= Р(Л2А3А2)~1,

откуда следует п > £и~2.При этом должно выполняться условие (33) для п.

Из остальных интегралов системы (8) при со -0 следует

г. : Нх = -[Л2А,1 + Ру{А2г2 + А3г2)1

^2 “ (А2г2к2 - А3г3к3)у.

Условие Д = Д + Д, содержащееся в системе (32), выполняется либо для твёрдого тела с односвязными полостями, полностью заполненными жидкостью, либо для бесконечно тонкой плоской пластинки. В первом случае величины Д (у = 1,2,3) являются

приведёнными по Н.Е.Жуковскому [11] главными в полюсе О осевыми моментами инерции тела. Это утверждение для тела в евклидовом пространстве было дано Е.И.Харла-мовой [12]. Можно показать, что данное условие имеет место и для твёрдого тела в пространстве 4.

Положим теперь «22 = «31 = 0, с, Ф 0. Тогда В силу условий (28) имеем Йп«21«32 ^ 0. В

результате первые три условия (32 и соотношения (33) сохраняются, причём

т = 0, (Якз)2 - (Рг- г = и.

ап = Ах кг [Ргъ (А3 - .-4-)]“', а21 = кз(Рг3У\ Лг3 = 0.

Параметры а32,с2,е3 системы (30) Опрсдслл-ются равенствами (31).

Если при а22 = аЪ1 = 0 положить с- = 0 (/ = 1,2, 3), то условия (30) тождественно удовлетворяются для ограничений

Р^ = -г~хк, = 0 О' = 1,2,3).

Здесь Яг,- / 0 и параметры .4 Г/ = 1. 2. 3) могут принимать любые допустимые значения. Этот случай соответствует перманентному вращению твёрдого тела в пространстве Я-,.

Заключение

Задача восстановления динамической системы (обратная задача динамики) по заданным свойствам движения твёрдого тела, представленным системой первых интегралов, играет доминирующую роль в выборе динамической модели исследуемого механического объекта.

Действительно, принимая априорно выбранную динамическую модель в данной задаче, как правило, невозможно учесть все существенные факторы, обуслсзлизг:-с:лке текущее состояние реального объекта (т.е. добиться адекватности принятой модели В силу этого решение детерминированной прямой задачи не гарантирует сохранение заданных свойств движения механического объекта. Для устойчивого сохранения этих свойств в течение характерного времени процесса движения необходимо осуществлять соответствующее управление его состоянием, добиваясь устойчивости движения относительно заданных показателей. Для этого, в свою очередь, необходимо решать обратную задачу динамики — задачу восстановления динамической системы по заданным свойствам движения, характеризующим одно из возможных движений. Этим определяются условия, при которых осуществимо движение с заданными свойствами.

Востребованность и акту альность теории обратных задач динамики обусловлены и

потребностями современной науки об управлении движением механических объектов.

С позиции обобщённых геометрических структур множеству первых интегралов, составленному из соотношений (8), можно поставить в однозначное соответствие некоторое линейное пространство над собственно псевдоевклидовым пространством параметров динамической системы (4)—(7), выбирая данные интегралы базисными.

Интеграл /4, присоединённый к системе основных интегралов (8), является дополнительным по Уиттекеру [13] первым интегралом исходной динамической системы. Поскольку данная система уравнений в общем случае неинтегрируема (согласно известному результату А.Пуанкаре), то, как известно [14], он может существовать только для отдельных определённых значений параметров этой системы и для её определённых начальных значений.

Список литературы

1. Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Уч. зап. Казан, ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С. 196-207.

2. Крюков М. С. Движение твёрдого тела по инерции в плоскости Лобачевского // Уч. зап. Казан, ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С.103-127.

3. Ламб Г. Теоретическая механика: в 3 т. М.; Л.: ОНТИ, 1936. Т. 3. 291 с.

4. Косогляд Э.И Движение твёрдого тела под действием сил на плоскости Лобачевского // Изв. вузов. Сер.: Математика. 1970. №9 (100). С. 59-68.

5. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16, вып. 6. С. 659-670.

6. Галиуллин А. С. Обратные задачи динамики, М.: Наука, 1986. 224 с.

7. Макеев Н.Н. Интегралы геометрической теории динамики гиростата // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 2 (10). С.26-35.

8. Clebch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flussigkeit // Mathematische An-nalen. 1870. Bd. 3. S. 238-262.

9. Tisserand M.F. Sur les mouvements relatifs a la surface de la Terre // Comptes Rendus

hebdomadaires des Se'ances de l'Acade'mie соч. М.; Л.: ОНТИ. 1936. Т. 3. С. 21-186.

des Sciences. Paris, 1872. Vol.75, №26. 12. Харламова Е.И Некоторые решения зада-

Р.760-763. ч :»л • -п . чи о движении тела, имеющего закреп-

10. Макеев НН. Малые колебания и сфериче- лённую точку // Прикл. математика и ме-

ское движение гиростата в псевдоевкли- ханика. 1965. Т. 29. вып. -. С. "33-737.

довом пространстве // Прикл. матем. и ме- 13. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика,

ханика. 1976. Т. 40, вып. 3. С. 417-423. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

11. Жуковский НЕ. О движении твёрдого тела, 14. Джакалъя Г.Е. Методы теории возмуще-

имеющего полости, наполненные однород- ний для нелинейных систем. М.: Наука,

ною капельною жидкостью // Поли. собр. 1 1979. 320 с.

Problem of the reconstruction in dynamics of a rigid body

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences Russia, 410028, Saratov, Rabochaya St., 24 , ,v % , , -

[email protected]; (845) 272-35-33 ... ' ’' Г ' ;-'V

It is description the problem about reconstruction of system equations movement of rigid body round a immovable pole in central Newtonian gravitational field. Reconstruction is grooving relatively full system of independent algebraic first integrals, which is in involution. At the body ш pseudo-Euclidean space is act system of stationary gyroscopic forces. It is consider case of problem ч

,j with kinematic constraints.

Key words: rigid body; reconstruction and closed circuit of dynamic system; pseudo-Euclidean space.

. V ~ ‘ 7 ^

Hr

.04iiS.0-.vf ' ;

■i". . .. ■