CC BY
48
УДК 531.36
Н.Н. Макеев
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ДВУХСТЕПЕННЫМ ШАРНИРОМ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
Исследуется движение абсолютно твердого тела, скрепленного с неподвижным основанием двухстепенным шарниром, в однородном потенциальным поле, силовые линии которого направлены параллельно неподвижной оси шарнира.
Рассматриваются случаи интегрируемости динамических уравнений тела, определяется характер малых движений в окрестности его положения равновесия, находятся условия устойчивости равновесия по линейному приближению. Получены условия существования стационарного движения тела и его устойчивости в потенциальном поле. Проведено редуцирование уравнений движения. Исследованы в линейном приближении бифуркации отслоения инвариантных многообразий стационарных состояний тела при воздействии на него гироскопических сил.
N.N. Makeyev THE MOVEMENT OF A SOLID BODY WITH TWO-DEGREE ARTICULATION JOINT IN A CONSERVATIVE FIELD
The article deals with the movement of an absolutely solid body with two-degree articulation joint in the homogeneous conservative field of forces. The lines of forces activity are parallel to the immovable axis of the articulation joint for this field.
The properties the integration of dynamic’s equations of a solid body, its small movements in the neighborhood of stable equilibrium position. The conditions of stable equilibrium for linear approximation were discovered. The conditions of the stationary movement of the body and its of stability in the conservative field were received. The order of differential equations movement system was reduced. The research of bifurcation invariant of manifolds of a solid body stationary position under the influence of gyroscopic forces was carried out.
Введение
Динамический анализ движения твердого тела с двухстепенным шарнирным закреплением в силовом поле является составной частью формализованного описания действия механических звеньев роботосистем. К узлам таких систем относятся, в частности, манипуля-
ционные захваты и конструкционно близкие им узлы . В связи с этим, вопросы, решаемые в поставленной здесь задаче, представляют практический интерес. Полученные результаты позволяют оценить динамические нагрузки, возникающие при различных режимах движения систем с шарнирными закреплениями, а также определить области локальной устойчивости. Этим и обусловлена актуальность темы данной работы.
1. Основные предпосылки
Рассмотрим пространственное движение абсолютно твердого тела, связанного с неподвижным твердым основанием идеальным (без трения) двухстепенным шарниром со взаимно перпендикулярными осями.
Введем правые координатные ортореперы: неподвижный ОХ, и подвижный Ох, (/=1,2,3), неизменно связанный с твердым телом. Неподвижный полюс О находится в точке пересечения осей шарнира; оси ОХ3, Ох1 направлены по неподвижной и подвижной оси шарнира, соответственно. Ориентация подвижного репера относительно неподвижного определяется углами а, в, заключенными между осями ОХ1, Ох1, а также между осью Ох2 и плоскостью ОХ1Х2, соответственно.
Применяя стандартную матрицу перехода от неподвижного орторепера к подвижному
[1], можно выразить элементы матрицы данной задачи через углы а, в, принимаемые в дальнейшем за обобщенные координаты (^1=а, #2=в).
Твердое тело движется в потенциальном силовом поле, в общем случае любой природы, характеризуемым силовой функцией и(а, в) из класса С1(а, в). Уравнения движения в форме Лагранжа имеют вид
d
dt
í \ dL
dL=0 (=1, 2), (i)
дЧг
кд Ъ J
• •
где функция Лагранжа Ь = Т (в, а, в) + и (а, в), а кинетическая энергия твердого тела
Р(Р)а2 + Ли P2
-С(Р)аР . (2)
Здесь и всюду далее точка сверху обозначает дифференцирование по времени t. В равенстве
(2) обозначено
p(p)=A22 sin2 в + A33cos2 в- A23sin2P , (3)
О(Р)= Л12 sin в + A13 cos в ,
где Ajj (/,/=1,2,3) - элементы матрицы тензора инерции твердого тела, отнесенного к полюсу
O.
2. Постановка задачи
Динамическая система (ДС) (1) в силу выражения (2) в координатах а, в принимает
вид
P(в)а-О(0)р+ Р'(0)ар-Q'(P)P2 = Uа , (4)
Здесь и всюду далее верхние номера ссылок относятся к соответствующим номерам пунктов комментария.
• • •• 1 •
Л в-0 (в)а--Р’(3)а2 = ир.
Здесь и всюду далее иа, ив - частные производные от и по а, в; штрих обозначает дифференцирование по в.
Система уравнений (4) обладает интегралом энергии
Р (в)а2 + Л„ в2
- 0 (в)а в- и (а, в) = И . (5)
Для ДС (4) ставится ограниченная задача: определить ограничения, налагаемые на структурно-динамические параметры твердого тела и структуру силового поля, при которых данная ДС интегрируема в квадратурах. Поскольку ДС (4) является гамильтоновой с функцией Гамильтона Ч1, то, согласно теореме Бура - Лиувилля [3], эта система интегрируема в квадратурах, если существует ее первый интеграл, дополнительный по Уиттекеру [4] к интегралу энергии (5) и находящийся с ним в инволюции. Сходная по постановке задача рассмотрена в работе [5] для однородного поля силы тяжести.
Таким образом, поставленная задача в общем случае сводится к нахождению первого
• •
дополнительного алгебраического по а, в интеграла ДС (4), если он существует, и доказательству его инволютивности совместно с интегралом энергии. Помимо этого, в некоторых частных случаях решение данной задачи может достигаться редуцированием ДС (4) к некоторому определяющему уравнению.
3. Интегрирование основной динамической системы
Рассмотрим случаи интегрирования ДС (4) в квадратурах, при которых существуют ее дополнительные первые интегралы. Полагая
^22 = Л33 , ^23 = 0 , (6)
приведем ДС (4) и ее интеграл (5) к виду
Л
А33 а- 0(в)в
= и а , А в-0(в)а = и. , (7)
2
Л33 а2+Ли в2 I-0 (в)ав- и (а, в) = И . (8)
33
V
Из первого уравнения ДС (7) следует, что в случае, когда и=и(в), выражение, находящееся в квадратных скобках, является первым интегралом данной ДС. Этим характерным свойством обладает и в общем случае, вне условий (6), первое уравнение ДС (4).
3.1. Силовое поле с потенциалом и=и(в)
В силовом поле с потенциалом данного вида ДС (4) интегрируема по Лиувиллю (термин [6]). В этом случае величина ¥1 не зависит от угла а и, следовательно, обобщенная координата а - циклическая. В силу этого обобщенный импульс У2 = сь/д а, соответствующий координате а, есть первый интеграл ДС (4), который следует также из первого уравнения данной системы
ч - р ©а- е (в)в=н , (9)
где Н=сопб1. Равенство (9) является интегралом проекции кинетического момента тела на ось ОХ3, полученным в работе [5] для частного случая - однородного гравитационного поля.
Наличие первых интегралов (5), (9), находящихся в инволюции, позволяет свести интегрирование ДС (4) к квадратурам2.
Исключая из равенств (5), (9) величину а, получаем
р ,----
г - г0 =±{Л/^(Х), (10)
Ро
где
0.(в)=к(р){р(Р)[(р)+И]-н2} , К(Р)=Л„Р(.)-02(), (11)
причем в0=в(г0). Знак в правой части равенства (10) должен совпадать со знаком величины в * 0 или со знаком функции
5 (в) = 2Р2 (в)и'(.) + Н2Р'(в) * 0
••
при в = 0. Если в = 5 = 0, то данная ДС стационарна по координате .. Квадратурное равенство (10) неявно определяет зависимость вида Р=.(г).
Постулируя обратимость зависимости (10), (11), в силу интеграла (9) получаем
0
г0
н ±.0 (г)
■Дм
(12)
Р(Г )
Здесь г=в(г) - функция, полученная обращением зависимости (10); а0=а(г0).
Таким образом, равенство (12) и обращенная зависимость (10), (11) определяют полное решение поставленной задачи.
Другой случай интегрируемости ДС (4) для потенциала данного вида имеет место при условиях (6), когда второе уравнение ДС (4) в силу интеграла (9) приводится к виду
•• 1 ^
К(в)Р+—К’(Р)в2 = Лг,р'(в) . (13)
Здесь, согласно условиям (6), К (.) = Л11Л33 - 02 (.).
Для ДС (13) при в * 0 существует первый интеграл
К (Р)Р2 = С + 2Л„ и (Р) , (14)
• •
где С = К0 в2- 2Л33и0, а К0,и0,в0 соответствуют значениям г0, .0. Из равенства (14) следует
Р .-----
г - г0 = ±|^/в2(5) ds , (15)
.0
где
в.2 (Р)= К (Р)[С + 2Л„ и (Р)]-1 , (16)
а значения . ограничены условием
и (в)* и0 -(2 Л„ )-1 К0 в .
Полагая, что зависимость, определяемая соотношениями (15), (16), обратима, в силу интеграла (9) получаем равенство вида (12), в котором величина G1 заменена на G2 согласно выражению (16).
Таким образом, ДС (4) интегрируема в квадратурах для принятых ограничений не только в случае однородного поля силы тяжести [5], но и для произвольного потенциального поля любой природы.
3.2. Маятниковое движение в однородном силовом поле
Совместим оси репера Oxj с главными в полюсе O осями инерции твердого тела. Тогда Ajj=Aj, Ajj=0 (/,/=1,2,3; i/ и ДС (4), а также интеграл энергии (5) принимают вид
•• • • •• 1 *
P(в)а+ P'(p) ар = Ua , A! р-2Р'(в)а2 = Uр , (17)
P (в)а2 + A в2 - 2U (а, в) = 2h , (18)
где, согласно (3),
P(в) = A2sin2в + A3cos2в, P'(p) = (A2 -A3) sin2P . (19)
Из интегралов (9), (18) следует
A1 в2 = 2 [U(в) + h]-H2P4 (в) = A1Ф(в) ,
t -t0 = ± J [ф (s)] ds . (20)
во
Наличие квадратуры (20) при возможности ее обращения приводит в силу интеграла (9) к явной зависимости вида а(^.
Полагая
A2 = A3 , (21)
приведем уравнения ДС (17) и интеграл (18) к виду
A3 а = иа, A в = Up , (22)
A3 а2 + Aj в2 - 2U (а, в)= 2h . (23)
Интеграл (23) непосредственно следует и из равенства (8)3.
Представим потенциал U для ДС (17) в виде тригонометрического полинома
U (а, в) = au cos а + a12 sin а + a23 sin в + a33 cos в +
+ ( sin а + a22 cos а) cos в + ( sin а + a32 cos а) sin в,
(24)
где а^ (/,/=1,2,3) - заданные постоянные параметры, связанные с характеристиками силового поля. Выражению (24) можно поставить в соответствие матрицу коэффициентов А = [агу ] (3 х 3), в которой а13=0. Такое представление отражает структуру принятой модели
У
4
силового поля .
Пусть при условии (21) и=и(а). Тогда для выражения потенциала (24) имеем
аиа12 * 0, ац = 0 (/ = 2, 3; у = 1, 2, 3) . (25)
Условия (21), (25) соответствуют обобщенной структурно-динамической симметрии твердого тела по Лагранжу [10] и структурной симметрии силового поля.
Обозначая
a11 = A3 n cos y, a12 = A3 n sin y, n = A3-1^/a2 + a22 , представим ДС (22) в виде
•• ••
a+ n sin (a-y) = 0, P = 0 . (26)
Полагая 9=a-y, приведем первое уравнение (26) и интеграл (23) к форме
••
9+ n sin 9 = 0 , (27)
92 - 2 n cos 9 = 2 h1 ,
где
h1 = A3
( 1 • ^
1 h - - Aj P02
Угол у определяется по заданным начальным значениям из равенства
• г • ^
2n cos (a0 -y) = a^+A3-1 Ax P0 - 2h
V
Равенство (27) является уравнением маятникового типа для силового поля с потенциалом (24) при условиях (25). В частности, для случая однородного поля силы тяжести отсюда получаем уравнение [10, 11]. Уравнение (27) интегрируется в эллиптических функциях для любого режима движения ([4, с.87]; [10, с.217]).
Согласно второму уравнению ДС (26)
P = Po t + во . (28)
Таким образом, движение твердого тела в силовом поле с потенциалом (24) при условиях (21), (25) является суперпозицией вибрационного движения по углу a с периодом
T = 2у <— и равномерного вращения по углу в, определяемому равенством (28).
/ Vn
4. Малые движения
Если положение равновесия (ПР) ДС (17)
(a, P) = (a., P.) fa, р] = (о,о) (29)
существует, то имеет место система условии
иа = Ц = 0 при а = а* , в = в* .
Для дальнейшего постулируются следующие предпосылки.
1. Существуют малые по а,в движения ДС (17) в окрестности 50 ее положения а=в=0.
2. Положение равновесия (29) содержится внутри окрестности 50.
3. В заданной окрестности 5*^50 ПР (29) существуют малые по р1,р3 (одинакового порядка малости) движения данной ДС, где отклонения
р1 = а - а*, р3 = в - в* , (30)
такие, что 0< |рг | <вг<8 (=1,3), в=шах (в1,в3). Здесь б1, в3 - заданные числа, определяющие окрестность 5*.
Рассмотрим малые угловые движения твердого тела в окрестности 5о при воздействии на него силового поля с потенциалом (24). Выражение (24) в 50 - окрестности представимо в виде
и (а ,в ) = - 2 (п1а2 + п3в2) + а31 ав + да1а + т3 в + 8р А , (31)
где
ш-у — û?i2 + a21, тз — ^23 + 0^2, SpA — ац + а^ + 033.
Линеаризуя уравнения ДС (17), в силу равенства (31) получаем •• ••
А3 а+ n1 а-а31 в — ш1, A1 в-а31 а + п3 в — ш3, (32)
где ni, n3, a3i - коэффициенты жесткости (квазиупругости) данной системы осцилляторов [12], п1п3^0. При
031 = 0 (33)
ДС (32) распадается на два независимых линейных осциллятора.
Если
А — n1n3 - а^ ^ 0 , (34)
то ПР (29) для ДС (32) определяется равенствами
а, — А-1 (ш1 n3 + ш3 а31 ), Д, — А-1 (ш3 n1 + ш1 а31 ) . (35)
В частности, при условиях (33), (34) имеем а, — , в, — Ш/ •
/ n1 / n3
Пусть выполняются условия кососимметричности матрицы A: ш1=ш3=0. В силу соотношения (31) эти условия представимы в виде
иа = Up = 0 при а = в = 0 . (36)
В этом случае ПР (29) совпадает с началом а=в=0, что соответствует нулевому положению равновесия (НИР) ДС (32).
В отклонениях (30) ДС (32) имеет вид
p+ Bp — °, p — [Р1Р3], В — [bi}.] (i, j — 1, 2) , (37)
где элементы матрицы B
Ь11 — V 1, Ь12 — -А3 031’ Ь21 — -A1 а31’ Ь22 — V3 .
Здесь v1, v3 - парциальные частоты данной ДС, существующие при n1>0, n3>0, равные
п1
, V 3 — A3
п3
A
1 V
Характеристическое уравнение ДС (37) есть
°2 +(п + ¿22 ) 0 + Ь11 Ь22 - Ь12 Ь21 = 0 , (38)
где 0=Х ; X - характеристический показатель .
При условии (33) ДС (37) распадается на два независимых свободных линейных осциллятора
Р]+у]Р] = 0 ( =1, 3), (39)
каждый из которых является гармоническим при и1>0, п3>0, соответственно. Характерно, что условие (33) имеет место при внутреннем резонансе
О1 = О3 , (40)
где 01, 03 - действительные корни уравнения (38).
Исследуем характер малых движений, совершаемых системой осцилляторов (37) в 5* -окрестности ее ПР (29). К такого рода движениям относятся и малые колебания осцилляторов относительно данного ПР. Как известно [14], эти колебания характеризуются настолько малыми амплитудами, что при этом возбуждаются только основные частоты, тогда как более высокие гармоники практически не проявляются. Малые колебания могут совершаться как в резонансном, так и в нерезонансном режимах.
Условие существования внутреннего резонанса (40) в системе осцилляторов (37), представимое согласно уравнению (38) в виде
Б = {Ьп - ¿22) + 4 ¿12 Ь21 = 0 , (41)
приводит к соотношениям
V2 =^2, «31 = 0, (42)
из которых последнее - условие (33).
Кратные корни характеристического уравнения (38) в силу соотношений (42) есть
(Х12 , Х34 )=± V! =± V , (43)
где г - мнимая единица. Отсюда в резонансном режиме, существующем при условиях (42), малыми движениями осцилляторов (37) для п1>0, п3>0 являются незатухающие колебания, происходящие вблизи их ПР. Такого же рода малые движения данные осцилляторы совершают и в нерезонансном режиме.
В нерезонансном режиме согласно уравнению (38)
(п„ 03 ) = 2 [-( + ь1г )±4о ] , где Б - дискриминант (41), представимый в виде
Б = (V2 -,уз) + 4(Л А3) «31 . (44)
В силу выражения (44) имеем Б>0. Отсюда при заданных условиях и п1<0, п3<0 осцилляторы (37) совершают апериодические движения, отличные от финитных (термин [15]), неограниченно удаляясь от ПР (29).
Итак, малыми движениями ДС (37) в 5* - окрестности ПР (29) при определенных условиях могут являться как незатухающие периодические осцилляции, так и апериодические движения, эволюционирующие к движению с неограниченным удалением системы осцилляторов от ее ПР.
5. Устойчивость положения равновесия
Определим достаточное условие устойчивости ПР (29) для ДС (17) в силовом поле с потенциалом (24). Необходимое условие существования этого ПР определяется системой
/ (а) + /2 (а)с^ в-/3 (аЬт в = 0 , (45)
где обозначено
/4 (а)соБ в- /5 (а^т в = 0
/(а) = -ansin а + a12cos а* 0 ,
/2(а) = a21 cos а - a22 sin а , /3 (а) = a32 sin а- a31 cos а ,
f4 (а) = a23 +‘д^3, f5 (а)= a33 -/ •
да да
Из системы (45) следует уравнение
[4 (а)]2 + [5 (а)]2 = [Л (а)/4 (а) - f2 (а)/5 (а)]2 L/1 (а)]-2 , (46)
решение которого существует и есть а=а*. Если а* определено, то, в силу одного из уравне-
ний (45) находится и значение Р=Р*. В частности, для а=0 уравнение (46) в силу условий (36) обращается в тождество, а из системы (45) следует Р=0, что соответствует НПР.
В 50 - окрестности НПР а=Р=0, где а, в принимаются малыми одинакового порядка малости, система (45) имеет решение (35) при условии (34).
Обозначим
А = (ф. + Х*)ф* - (/2 sin Р* + f3 cos Р*)2 , (47)
ф:
= /4 sin Р.+ /5 cos Р*, X* =Ф1 - (a23 sin p. + a33 cos Р.),
. 4 .
Ф'(“)=-%- А-= //-/2/5 * 0.
Здесь /р/а*) (/=2,...,6), Ф1=Ф1(а*), а sin Р*, cos Р* в силу системы (45) и условия А**0 определяются равенствами
(sin Р*, cos Р„) = ./5).
Пусть П(а,Р) - потенциальная энергия, соответствующая потенциалу (24), и пусть Ф*=Паа(а*,Р*). Тогда для ПР (29)
D* =Ф*ПРР(а*, Р*)-[ПаР(а*, Р*)]2 , откуда и следует соотношение (47). При этом
Ф. = A-fl^/4-/-/s'1 / +Ф, . (48)
V да да )
Итак, устойчивость ПР (29) характеризуется следующими признаками.
Если D*>0, Ф*>0, где D*, Ф* определяются равенствами (47), (48), то, в силу теоремы Лагранжа - Дирихле [16], ПР (29) устойчиво по обобщенным координатам а,Р и по обоб-• •
щенным скоростям а, Р .
В случае, когда D*>0, Ф*<0, согласно теореме Ляпунова [17], данное ПР неустойчиво. При D*=0 равновесие положения (29) является безразличным (термин [14, с.358]). Итак, состояние равновесия положения, характеризуемого системой уравнений (45), определяется знаками дискриминантных величин D*, Ф* и может быть как устойчивым, так и неустойчивым.
В малой 50 - окрестности НПР интеграл энергии (18) может быть представлен в виде
1 ( • •Л
А3 а2 + A1Р2 +П(а, Р) = h , (49)
^2 + А^2 V )
где потенциальная энергия в силу выражения (31) с точностью до аддитивной постоянной равна
П(а,Р) = 2(а2 + п3Р2)-а31аР-m1 а-т3 Р . (50)
При этом область реализуемых малых движений системы осцилляторов (32), аппроксимирующих движение данного твердого тела в потенциальном силовом поле, согласно интегралу (49) определяется условием h>П(a,Р), (а,Р)е50.
Согласно выражению (50), если А>0, ni>0, где А определяется равенством (34), то в
••
силу теоремы Лагранжа - Дирихле НПР устойчиво по переменным а, Р, а, Р .
При А>0, п1<0 в соответствии с теоремой Ляпунова о неустойчивости равновесия [17] состояние НПР неустойчиво.
В случае, при котором А<0, НПР данной системы осцилляторов является безразличным (нейтральным)6.
6. Стационарное движение
Допуская возможность существования стационарного режима для ДС (4), выделим из множества возможных состояний класс ее стационарных состояний, при которых
а = ш1, Р = ю2 (и2 + »2 * 0) , (51)
где и1, ю2 - постоянные, значения которых определяются в дальнейшем.
Структурная особенность ДС (4) обусловлена тем, что коэффициенты квадратичной формы (2) не зависят от а. Поэтому в дальнейшем рассмотрим режим (51) для силового поля с потенциалом Ц=Ц(Р). Здесь ДС (4) имеет циклический интеграл (9) и для режима (51) интегралы (5), (9) представимы в виде
V1 - 2 [12 + А1 — ]-бОР)®1И2 - U(fi) = h,
V - р(Р)ю1 - е(Р)ю2 = H.
Составим интегральную связку по Четаеву [13] в силу данных интегралов
V = ю 2 , Р)-^2 (Ю1, Ю 2 , Р) , (52)
где ^*0 - неопределенный множитель Лагранжа .
Согласно необходимым условиям существования условного экстремума функции Р(ю1,ю2,Р) (52), имеем
IV
r,=f~ ш P(Р)(ю1-^)-Q(Р)ю, = 0 , (53)
дю1
д V
Г2 = l - -Q (Р)(ю1 -^)+ А11Ю2 = 0 ,
дю2
r = ^ -1 Р’(Р)-2 -QO»»--^[Р’(Р)-1 -Q’faK]-U’(Р)= 0. (54)
дР 2
В равенстве (54), согласно выражениям (3)8,
Р(Р) = (А22 - А33 )sin2Р- 2А23 cos 2Р, Q,(p) = А12 cosР - А13 sin Р.
Так как
Р(в)> 0, ^(р) = 4,Р(Р)-02(Р)> 0 (55)
в силу положительной определенности квадратичной формы (2), то система уравнений (53) однозначно разрешима относительно Ш1,Ш2. Пусть
А22 ^ А33, А23 ^ 0, 2Р ^ 2 А23 (А22 — А33) . (56)
Тогда Р'(в)^ 0 и из системы (53), (54) следует9
®, = X = ±(— 2[Р(Ро)]—1и'(Ро)), ®2 = 0 . (57)
Выражение (57) для о1 имеет место при
Р'(Р0) и '(Р0 )< 0 . (58)
Таким образом, в данном движении позиционная координата в и циклическая ско-
рость 0)1 сохраняют постоянные значения, равные начальным10.
Уравнения системы (53), (54) можно интерпретировать как множество преобразования Лежандра (ПЛ) (контактного преобразования или инволюции Лежандра [3]) вида (,о2,в) —— (,г2,г3). Тогда многообразие стационарных вращений в новых переменных задается соотношениями
Г = 0 (I = 1, 2, 3) . (59)
При этом в исходных переменных многообразие (59) совпадает с ядром данной системы ПЛ11.
Определитель Якоби ПЛ в силу соотношений (53), (54) и второго равенства (57) приводится к виду
U '(Р)~ Г(Р)_
Согласно равенствам (57), (60) для уравнений стационарности
j (ß) = - к (ß)p' (ß)
(60)
J (ßo )= 1 K (ßo )P (ßo )(fflf )'= 0 ,
в силу чего группа ПЛ - вырожденная. Это соответствует вырожденному перманентному вращению
Qi = ± П , ш2 = 0 . (61)
Здесь постоянная П>0 определяется начальным значением ш1 = а и связана с ß0 первым ра-
венством (57).
Таким образом, стационарным движением твердого тела вида (51) при условиях (56), (58) является вырожденное состояние (61)12.
Примером силового поля, в котором реализуется движение (61), является поле из класса возможных с потенциалом
U (ß) = - 2 П2 P (ß)< 0 , (62)
представимым в виде
и (ß)=1 П2 [ - A33)cos 2ß + 2 A23 sin 2ß]. (63)
При этом должны выполняться первые два ограничения (56) и ctg 2 ß ^ -2A23 (A22 - A33) 1.
На множестве допустимых значений р0 тригонометрический полином (63) можно трактовать как отрезок ряда Фурье для потенциала с периодом 2п, удовлетворяющий условию (58).
7. Устойчивость стационарного движения
Исследуем устойчивость состояния (61) по Раусу - Ляпунову [19, 20]. Так как переменные а, о1 =а - циклические, то, исключая из выражения (2) величину о1 в силу циклического интеграла (9), представим аддитивную часть функции Рауса - функцию позиционных координат - в виде
К(в)=—[2Р(Р)]-1Н2 <0 . (64)
Здесь Н^0 в силу соотношений (9), (51), (61).
Для потенциальной энергии Ж приведенной по Раусу механической системы согласно (64) имеем
Ж (Р)=П(Р)-Л0 (Р)=[2Р (Р)Г Н2 — и (Р) . (65)
Тогда необходимое условие существования стационарного движения твердого тела в силу равенства (65) будет
— Ж'(Р0 )-[2 Р2 (р0 )] Н 2Р' (Р0)+и’ (р0 )= 0 . (66)
Это уравнение определяет для функции (65) критическую точку Р=Ро.
Коэффициент устойчивости Пуанкаре, знак которого определяет устойчивость состояния (61), равен
с* = Г' (р0) , (67)
где
Ж' (р)= [ (р)]1 Н2 {2 Р (р)]2 - Р (р)Р' (Р)}- и (р) . (68)
Выберем силовое поле с потенциалом (62), для которого исключен уровень интеграла (9) Н=0. В силу соотношений (56), (62), (66) имеем
Р (р0) = ± О-1 Н , (69)
где знак выбирается согласно первому условию (55). Применяя равенства (56), (62), (67) -(69), получаем с*>0, что соответствует локальному минимуму функции W(Р)в стационарном движении. Кроме того, корни определяющего уравнения (66) для потенциала (62) непрерывно зависят от характерных параметров Н, О. В силу этого, согласно теореме Рауса - Ляпунова [19], стационарное движение (57), (61) устойчиво на множестве переменных #={р,ш1,ш2}.
Поскольку циклический интеграл непрерывен на множестве N равномерно по I, то в силу теоремы об устойчивости [21] устойчивость данного стационарного движения на этом множестве является равномерной.
8. Редукция уравнений движения
Уравнения ДС (4) обладают сильной нелинейностью, что существенно затрудняет получение их точных частных решений. Процедурой, способствующей поиску и получению
этих решений, является редукция данной ДС к определяющему уравнению для одной из обобщенных координат а,р.
Поскольку общего алгоритма редуцирования ДС такого типа не существует, рассмотрим некоторые частные случаи, обусловленные особенностями структуры силового поля.
В силу условий (55) ДС (4) приводится к виду
К (р)ст - Л(р) Г = 0 ,
(70)
где
ст = [а р]г, Л (р) =
' А 0 (в)
0 (в) р (в).
а,р,а,р I = иа -Р’(р)ар+ 0’(р)р2,
[а,р,а I = ир + -Р'(р)а2, ёе1 Л = К(р)> 0.
2
Система уравнений (70) редуцируема к определяющему уравнению для координаты р в случае, когда потенциал силового поля с точностью до произвольного ненулевого постоянного множителя имеет вид
и (а, р)= а[Р(р)]-1. (71)
Действительно, второе уравнение ДС (70) в силу равенств (5), (71) приводится к виду
К(р)р+ 2К'(р)р'2 = 0|)+ИР'(р) .
(72)
Уравнение (72) интегрируемо в квадратурах путем сведения его к линейному по р2 уравнению первого порядка с интегрирующим множителем К(р) (55).
Зависимость (71) истолковывается как комбинированный потенциал, построенный путем суперпозиции в виде
и (а, р) = а [и0 (р)Г2 .
Здесь
и 0 (р) = а23вт р + а33еов р (73)
- аддитивная часть потенциала (24), в которой с точностью до общего произвольного ненулевого сомножителя положено а23 = -^А22, а33 = ^А33, причем А22А33 - А^ = 0, что соответствует известным инерционно-геометрическим свойствам [22]. В этом случае твердое тело -плоская пластина.
Другой случай редуцирования связан с уравнением (13) для потенциала вида и=и(р) при условиях (6)13.
Пусть силовое поле имеет потенциал вида и=и(р), в силу чего ДС (4) обладает интегралом (9). Исключая из второго уравнения этой ДС величину а в силу данного интеграла, получаем
•• 1
K (р)р- - Q (P)
S'(P)+
Q (P)'
P GÜ
p (р)
P2 = F (p)
(74)
где
(Р)=Н- РЦ+р (в) и(р).
В главных осях тензора инерции редуцированное уравнение (74) упрощается и принимает вид
Л,Р (р)р = Р0 (в) . (75)
Уравнения (74), (75) также интегрируемы в квадратурах.
Проведем редуцирование ДС (7), которая в силу соотношений (55) приводится к виду
К (р)ст - Л*(р) Г *= 0, (76)
где А* = Л при Р(в)=Лзз,
ир]г, ^(а, в, ¿1 = и„+й’(в)Р!, к (в)= Л„Лзз - О2 (р)> 0.
Система (76) допускает редуцирование в случае силового поля с потенциалом вида
и (а, ¿) = В а + |Ф2 (р) ё р , (77)
где В=сопБІ;^0, Ф2(Р)є С0 - произвольная функция, определенная на множестве допустимых
т Д4
значении потенциала U .
Действительно, для выражения (77) второе уравнение ДС (76) приводится к виду
•• • к (в)в- QШ (в)в2 = Аф (в)+BQ(в) ,
интегрируемому в квадратурах, где
Ф - (в)= a-з cos в - a33 sin в . (78)
Рассмотрим случай редуцирования ДС (17). Исключая из второго уравнения этой сис-
темы в силу интеграла (18) величину а, получаем
Ai Р+
p (в)
p (в)
А в2-U(а,р)-h
= р) ,
(79)
где Р(р), Р' (р) определяются равенствами (19).
Если и=и(р), то уравнение (79) является определяющим для р и процедура редуцирования на этом завершается. В более общем случае данное уравнение, приведенное к виду
•• 1 ^
¿(р) = Р (р)р+ - Р (р)р2 = А-' Ф(а, р) , (80)
где
Ф(а, р) = др[Р (р) и (а, р)]+ИР' (р) , др
является определяющим для р в случае, при котором потенциал силового поля представлен в виде
U(а,р)=[Р(р)]-1 [Фі(а)+|Ф-(р) dp] .
Здесь Ф1, Ф2 - произвольные функции из классов Ф1 (а) є C1 Ф 2 (р) є C0.
Редуцированное уравнение относительно р в силу соотношения (80) для силового поля с потенциалом вида (81) будет
Ь(р) = Аг‘[ф2(р)+ИР'(р)] , (82)
где Ь - дифференциальный оператор, содержащийся в уравнении (80). Уравнение (82) также интегрируемо в квадратурах15.
9. Бифуркации отслоения инвариантных многообразий стационарных состояний
при гироскопическом воздействии
Пусть твердое тело совершает малые движения в 5* - окрестности ПР (29) при воздей-
• •
ствии силового поля с потенциалом (24) и линейного по а, р гироскопического момента. Линеаризуя в этой окрестности уравнения ДС (17) при данных условиях, получим ДС в отклонениях
•• • •• •
р1 - кр3 + Ъ-р! = 0 , Р3 + крг + Ь22р3 = 0 . (83)
В уравнениях (83) (Ъ11,Ъ22)<0 - коэффициенты, входящие в ДС (37), в которой Ъ12=Ъ21=0 со-
гласно принятому здесь условию (33); £=соп81;^0 - гироскопический параметр.
Систему уравнений (83) можно рассматривать как линейную ДС (37), стабилизируемую гироскопическими силами [13] в рамках данной задачи, и имеющую ПР
р^Рз,р^ р3р 0 (84)
которое в силу равенств (30) является образом ПР (29).
Известно [13], что ДС типа (83) обладает независимыми первыми интегралами
2Р = р2 + р32 + Ъир1 + Ъ22р32 = И , (85)
Г = к (Ъцр^ + Ъ22р32 )+ 2 [Крг р3 - Ъ22р3 р1 ^ +
[ • • ^
2 2 2 2
+ С р1 - р3 + Ъ11р1 - Ъ22 р3
V
= Н,
где И, Н - постоянные, 2кс=Ъ22-Ъ11.
Поскольку порождающим интегралом для ПР (84) может являться каждый из интегралов (85), то данное ПР представляет собой особое стационарное решение ДС (83).
Рассмотрим множество особых инвариантных многообразий (ИМ) (84), соответствующее ДС (83), и введем линейную связку интегралов по Четаеву
Г • Л
V
р.’р,
V у
ХР - Г (— 1, 3) , (86)
где Х^0 - множитель Лагранжа. Эта связка является максимальным порождающим интегралом (термин [23]) для ИМ (84), параметризованного параметром -<х><к<+<х> (к^0), а также служит порождающей функцией для множества ПР при -го<Х<+го (Х^0). В силу этого особому множеству ПР (84) можно сопоставить расслоение (в смысле [23]) - плоскость Хк. Тогда для каждого фиксированного значения к, соответствующего определенному ПР из данного множества, можно поставить в соответствие слой - ось Х, расположенную в плоскости Хк.
Достаточное условие стабилизируемости ПР ДС (83) на ИМ (84) при и1<0, п3<0 определяется соотношением
ф;(к) = к2 - п2 > 0
(87)
где
п = д; + дз, |д; =
п3
л;
- частоты, сопряженные парциальным частотам v;, v3 ДС (37).
Требуя обращения в нуль определителя Якоби для уравнений стационарности на многообразии (86), получим условие существования бифуркаций отслоения (термин [23])
X2 + 2 к X-О = 0, (88)
где
G(к, д1, д3) = к-2(дап)2 -2(^1 + ) , да = - д3.
Действительные значения Х, определяемые уравнением (88), существуют при
Ф1(к)ф2 (к)> 0 , (89)
где ф2(к)=к2-да2.
Условие (89) выражается через параметры данной задачи в виде
к2 + G (к, д1, д3 )> 0 . (90)
Из соотношения (90) следует, что бифуркации отслоения существуют для всех устойчивых стационарных состояний на выделенном многообразии при условии (87).
Из множества допустимых значений параметра к выделим подмножество, удовлетворяющее условию ф2(к)<0, из которого следует
-да < к < да . (91)
Соотношения (91) характеризуют множество неустойчивых стационарных состояний, для которых также существуют бифуркации отслоения.
Согласно [23], совокупность условий (88), (90) можно трактовать как отслоение от ПР (84) двух двумерных ИМ стационарных движений, определяемых системой
•• р1 - а2 р3 = а р3 + а1р1 = 0. (92)
Здесь
а = 2 Ь,
X, + 2 (-1)^1 ( = ;, 2), (93)
а Хр - действительные корни уравнения (88), существующие при условии (90). При этом параметр с интеграла Г (85) есть с=(2к)-;дап.
Система уравнений (92), порождающая систему, идентичную по структуре ДС (39), обладает первым интегралом
а;Р; + а2 Рз = к2
и при у2=а1а2>0 характеризует движение свободного гармонического осциллятора, что эквивалентно условию
(к X р ) -(дап)2 > 0 .
Здесь коэффициенты а определяются равенствами (93), Л2=сопб1 В этом случае ДС (92) является системой двух линейных осцилляторов с одинаковой частотой V, что имеет место при внутреннем резонансе. В этом же режиме ДС (92) при а;а2<0, согласно известной закономерности [24], обладает линейным интегралом, существующим на нулевом уровне.
Таким образом, в данной задаче проявляется бифуркационная закономерность [23], состоящая в следующем. Пусть имеет место бифуркация отслоения ИМ стационарных состояний. Тогда суммарная коразмерность отслаивающихся ИМ в фазовом пространстве ДС (83) совпадает с коразмерностью особого стационарного состояния, порождающего данную бифуркацию. При этом:
- от устойчивых стационарных состояний отслаиваются по два устойчивых вырожденных ИМ;
- от неустойчивых стационарных состояний для множества значений параметра к, определяемых неравенствами (91), отслаиваются по два неустойчивых вырожденных ИМ.
10. Комментарий
Следующие разъяснительные примечания отражают некоторые особенности положений данной статьи (см. ссылки в тексте).
1. Конструкционные образцы двухстепенных шарниров и модели движения твердых тел с двумя степенями свободы содержатся в работах [1, 2], а также в обзоре [25]. В этом обзоре (с.108-109) дано краткое описание конструкции двухстепенного подвесного шарнира для стабилизатора космического аппарата с гравитационной системой ориентации (системой Passive Gravitational Attitude Control System - PGAC).
2. Первый интеграл (9) является интегралом Э. Нетер, порожденным группой симметрий. Он непосредственно следует из одноименной теоремы [3] в силу существующего соответствия всякой однопараметрической группы диффеоморфизмов конфигурационного многообразия ДС (1), сохраняющих функцию Лагранжа, первому интегралу этой системы.
Поскольку скобка Пуассона [F1,F2]=0, то, согласно [7], интегралы (5), (9) находятся в инволюции. Это позволяет разделить переменные а,в и свести интегрирование ДС (4) к квадратурам.
3. Из соотношений (22), (23) следует, что данная задача изоморфна задаче о плоском движении свободной материальной точки с координатами а, в в силовом поле с потенциалом Ща,р) [4,8].
4. Выражение (24) можно интерпретировать как отрезок двойного ряда Фурье периодической функции и(а,в) с периодом 2п по а и в, интегрируемой в квадрате для -тс<(а,в)<тс. Такое аналитическое представление позволяет характеризовать как однородное гравитационное поле, так и его структурные аналоги - однородные стационарные поля с прямолинейными параллельными силовыми линиями: поле неподвижных электрических зарядов и поле сил светового давления (СД-поле).
Стационарное СД-поле здесь представляется как однородное силовое поле, порожденное световым потоком, образованным суперпозицией прямолинейных параллельных световых лучей одинаковой и постоянной интенсивности. Такое СД-поле при определенных условиях является потенциальным [9]. В частности, его потенциал, в соответствии с выражением (24), может быть представлен в виде и=и(а)или U=U(e), содержащем лишь линейную зависимость от функций sin, cos соответствующих углов.
Таким образом, потенциал вида (24) охватывает определенный класс аналитических представлений для стационарных однородных силовых полей.
Однородное поле силы тяжести представляется потенциалом (24) с коэффициентами [5]
аг] = Мё]Гг J = 1 2 3) , «21 = -Mgir2, «32 = -Mg2Г3 .
Здесь М, гг - величина массы и координаты центра тяжести тела в осях Oxг, gj - координаты вектора ускорения силы тяжести в осях OXj.
Некоторые частные случаи выражения для потенциала (24) таковы. Потенциал U принимает вид и=и(а) или U=U(e), если aj=0 (г=2,3; j=1,2). При этом, если
а23 = а33 = 0,
ап + а12 Ф 0 ,
то имеет место первое представление; если
аи — а12 — 0, а23 + а33 Ф 0
то второе. Кроме того, возможно представление вида ^(а,р)=^1(а)^2(р), если а/1=а/3=0 (/=1,2; /=2,3) и для каждой из следующих групп условий в отдельности
а3/ = 0, а- + а- Ф 0,
а2/ = 0, а31 + а32 Ф 0
(/ = 1,2) .
5. Если Д=0, то характеристическое уравнение (38) имеет нулевой корень, что указывает на возможность существования линейного интеграла ДС (37) [13].
Действительно, если для ДС (37) существует линейный интеграл
С1 р1 + с3 р3 = И1 (с12 + с32 Ф 0) ,
где с1, с3, И1ф0 - постоянные, то в силу уравнений данной ДС имеем Д=0. Если
• •
Д = 0, И Ф 0, с1 а(0)+с3 р(0) = 0 ,
то из уравнений ДС (37) следует данный первый интеграл.
6. Эти утверждения непосредственно следуют из предыдущего, поскольку для НПР из соотношений (47), (48) при условиях (36) имеем Л=Д, Ф*=п1.
7. Интегральную связку (52) можно истолковать как некоторое линейное пространство первых интегралов над собственно евклидовым пространством переменных а,р, выбирая при этом интегралы (5), (9) за базисные.
8. Уравнения состояния (53), (54) совместно с уравнениями ДС (4) определяют возможные стационарные вращения твердого тела в силовом поле с потенциалом £/(р). Эти вращения можно определить как множество критических точек интеграла энергии V1 на уровне циклического интеграла V2.
9. Известно, что в ДС с циклическими координатами постоянные множители Лагранжа, применяемые в условно экстремальной задаче выделения стационарных движений, интерпретируются как величины, которые с точностью до знака равны циклическим скоростям в стационарных неособых движениях. В данном стационарном движении это проявляется в системе (53), (54), из которой следует Х=ш1. Такая особенность составляет характерное свойство неособых (регулярных) движений, тогда как особые стационарные движения таким свойством не обладают.
10. Другим выражением для ш1 при Нф0 в силу интеграла (9) при ш2=0 является
« = н [Рр )]-1 .
Это выражение для движения (61) идентично равенству (69).
11. Известно, что невырожденное ПЛ (преобразование соприкосновения) обратимо и аналитически устойчиво [3]. В силу этого стационарные состояния твердого тела, соответствующие невырожденному ПЛ, устойчивы по отношению к исходным переменным.
12. В случае вырожденного ПЛ, когда определитель Якоби (60) равен нулю, часть величин (59) определяет независимые переменные, полностью характеризующие совокупность состояний твердого тела. Эти состояния принадлежат данной вырожденной части многообразия его стационарных движений.
В силу этого в данных переменных можно исследовать аналитическую устойчивость всего множества вращений тела, содержащихся на этом подмногообразии [18]. Это утверждение исходит из содержания классической теоремы Рауса - Ляпунова об устойчивости [19].
13. Характерно, что дифференциальные операторы, содержащиеся в левых частях уравнений (13), (72), совпадают.
14. Зависимость для потенциала (77) интерпретируется как отрезок тригонометрического полинома (24)
Ul (a,ß) = ai2 sin а + U0 (ß), рассматриваемый для малых значений а, причем U0(ß) определяется равенством (73).
15. Если выражение (81) интерпретировать как некоторый комбинированный потенциал, связанный с потенциалом (24), то
Ф1 (а) = a11cosa + a12sina ,
причем Ф2ф) определяется равенством (78), а коэффициенты выражения (24), не входящие в Ф2, Ф2, равны нулю. Следовательно, поле с потенциалом (24) в частном случае коррелирует с силовым полем, комбинированный потенциал которого есть (81).
ЛИТЕРАТУРА
1. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. 622 с.
2. Шахинпур М. Курс робототехники. М.: Мир, 1990. 528 с.
3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.
432 с.
4. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.
5. Болотник Н.Н. Движение абсолютно твердого тела на двухстепенном шарнире в однородном поле тяжести // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 6. С. 908-915.
6. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 320 с.
7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. 468 с.
8. Аппель П. Теоретическая механика: В 2 т. Т. 1. М.: Физматгиз, 1960. 516 с.
9. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т. 30. Вып. 3. С. 312-320.
10. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 655 с.
11. Магнус К. Колебания. М.: Мир, 1982. 304 с.
12. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.
13. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 207 с.
14. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957. 408 с.
15. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.
527 с.
16. Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973. 207 с.
17. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
471 с.
18. Иртегов В. Д. Стационарные движения уравновешенного твердого тела и их устойчивость // Тр. Казан. авиац. ин-та. Казань, 1964. Вып. 83. С. 62-70.
19. Ляпунов А.М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости // Собр. соч. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 276-320.
20. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1983. 464 с.
21. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.
22. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. 294 с.
23. Иртегов В. Д. О смене устойчивости при бифуркациях // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991. С. 73-79.
24. Макеев Н.Н. Линейный интеграл и резонанс в сложной механической системе // Проблемы механики и управления. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1995. С. 113-121.
25. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. 223 с.
Макеев Николай Николаевич -
доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник
Института проблем точной механики и управления РАН
