Интегралы геометрической теории динамики гиростата Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 2 (10)

УДК 531.381:531.9

Интегралы геометрической теории динамики гиростата

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Получены условия существования частных интегралов и инвариантов уравнений движения гиростата вокруг неподвижного полюса в однородном поле силы тяжести, действующем в псевдоевклидовом пространстве и на плоскости Лобачевского.

Ключевые слова: гиростат; интеграл; псевдоевклидово пространство; потенциальное силовое поле.

Введение

Рассматривается задача о движении гиростата с постоянным гиростатическим моментом в псевдоевклидовом пространстве % С метрическим тензором gij, отнесенным к пространству конфигураций, компоненты которого gll = g22 = -1, gз3 = 1 и gij = 0 при 1 ф ] (1, j = 1, 2, 3). Гиростат движется в однородном параллельном гравитационном поле так, что его носитель вращается вокруг неподвижного полюса О. При этом предполагается, что все точки гиростата расположены внутри изотропного конуса пространства %3, а неподвижный полюс - в вершине этого конуса. Тогда радиусы-векторы точек гиростата являются собственными векторами, для которых г/ = gij Гц Гц > 0. Определения основных динамических величин для неевклидовых пространств даны в работе [1].

Известно, что задача о движении твердого тела вокруг неподвижного полюса в пространстве 1%3 в силу существующего изоморфизма эквивалентна задаче о движении материальной фигуры на плоскости Лобачевского П (гиперболической плоскости) кривизны р 2, где р - радиус кривизны этой плоскости. Все точки такой фигуры расположены на сфе-

© Макеев Н. Н., 2012

ре действительного радиуса р. Согласно геометрической интерпретации, основанной на проективной модели Э. Бельтрами - Ф. Клейна, плоскость П в этом случае представлена внутренними точками абсолюта гиперболической плоскости с уравнением

(х х) = - (Х1)2 - (Х2)2 + (Х3)2 = 0.

На плоскости П два главных момента инерции тела являются моментами инерции сдвига и один - главным моментом инерции вращения относительно центра инерции [2].

Как в пространстве 1%3, так и на плоскости П, силовые поля могут быть трех характерных типов. Пусть s - направляющий орт однородного параллельного гравитационного поля. Тогда собственному, идеальному, и несобственному силовым полям плоскости П соответствуют времениподобное, пространственноподобное и изотропное силовые поля пространства 1%3. При этом для данного пространства имеем соответственно |^|2 = (1, -1,

0) [2]. На проективной модели Э. Бельтрами -Ф. Клейна эти силовые поля могут быть представлены пучками соответственно первого, второго и третьего рода

В дальнейшем постулируется, что в пространстве 1%3 и на плоскости Лобачевского справедливы основные аксиомы и принципы классической динамики Ньютона, принятые для евклидова пространства %3.

1. Предварительные положения

Введем правый координатный ортобазис Ох1х2х3, неизменно связанный с носителем, оси которого совмещены с главными осями тензора инерции гиростата, отнесенного к полюсу О.

Обозначим Aj - диагональные элементы матрицы тензора инерции гиростата; к (к;) -постоянный гиростатический момент; ю (юJ) -

угловую скорость носителя; г (г;-) - радиус-вектор центра масс гиростата; 8 (я) - направляющий орт силового поля; Р - вес гиростата. Здесь j = 1, 2, 3, две оси Ох}- (главные оси инерции гиростата) являются идеальными и одна -собственной [2]. При этом каждый главный момент инерции гиростата на плоскости П представлен в виде алгебраической суммы соответствующего планарного момента массы М и аддитивно входящей величины Мр2.

Движение гиростата, когда его носитель движется вокруг неподвижного полюса в пространстве %3, определяется эволюционной динамической системой [3, 4]

Ф1 - Wl(ю) - Р(^ - ^3) = 0 (1, 2, 3),

• •

6*1 — ^2^3 — ^3^2 , ^2 = ^3^1 — ^1^3 , (1)

^ — ^2^1 — ^1^2 ,

где

Ж1 (ю) = А1 (о1 + (А2 + А3 )ю2ю3 + к3<п2 + к2а3,

Ж2 (ю) = А2 со2 — (А1 + А3 )ю3ю1 — к1а3 — к3а1, (2) Ж3 (ю) = А3 а>3 + (А1 — А2)ю1ю2 — к2а1 + к1а2.

Система уравнений (1) имеет первые алгебраические интегралы [3]:

11 = < А;®2 > +2Р(—г1я1 — г2я2 + г3я3) — 2h,

12 = < (А]а] + к}) • > — Н, (3)

/3 =| |8|| = —я12 — 52 + 5з — 1 (j = 1, 2 3),

существующие при любых начальных условиях. Здесь < ... > - символ суммирования указанных величин по индексу у; к, Н - постоянные интегрирования; I = 1, -1, 0 в случаях, когда орт 8 - соответственно собственный, идеальный и изотропный.

В системе (3) интеграл энергии /1 выра-

жает свойство гироскопичности моментно-силового воздействия на гиростат; интеграл проекции кинетического момента I2 порожден группой симметрий. Интеграл I3 выражает свойство инвариантности относительно действия группы поворотов по отношению к силовым линиям поля с направляющим ортом s, порождающим векторное поле этой группы.

При этом фазовое пространство Ф5 = R3a х Г2 определено в R6 тривиальным интегралом I3.

Система уравнений (1), (2) и ее первые интегралы (3) являются аналогами уравнений Л.Эйлера - Н.Жуковского и их интегралов для тяжелого гиростата в евклидовом пространстве R3. В частности, при k = 0 из данной системы следуют уравнения движения твердого тела в пространстве 1R3 [5].

2. Постановка задачи

Согласно теории последнего множителя Якоби [6] для полной интегрируемости системы (1), (2) необходимо наличие дополнительного по Уиттекеру [7] к системе (3) независимого частного интеграла (инварианта) данной системы, находящегося в инволюции. В связи с этим ставится следующая задача: для системы уравнений (1), (2) найти ограничения, налагаемые на структурно-динамические параметры гиростата и силового поля, при которых для данной системы имеет место независимый частный интеграл (инвариант). Предполагается, что множество, на котором может существовать искомый инвариант, заведомо не является пустым.

Система первых интегралов, содержащая подсистему (3) и полученный дополнительный частный интеграл (если он существует), должна являться полной инволютивной системой, обусловливающей интегрирование исходной динамической системы гиростата.

Далее рассматриваются условия существования дополнительных интегралов системы уравнений (1), (2), соответствующих известным классическим случаям интегрируемости уравнений движения твердого тела в евклидовом пространстве. Этим случаям соответствуют случаи интегрируемости системы уравнений (1), (2), порождающие гиро-статические аналоги (ГА) в псевдоевклидовом пространстве 1R3. При этом наименования этих аналогов приводятся в терминах, принятых в работе [8].

3. Дополнительные интегралы уравнений движения гиростата в однородном поле силы тяжести

3.1. Гиростатический аналог случая Л. Эйлера - Н. Жуковского

Пусть G (Gj) — кинетический момент гиростата с компонентами: Gj = AjWj +kj (j = 1, 2, 3). Составим выражение

|| G112 = -G^ - G2 + G32 = IG2 (I = 1, -1, 0), (4)

где G = const, и пусть < aj •bj > — сумма произведений указанных величин по индексу j.

Утверждение 1. Для того чтобы выражение (4) являлось частным первым интегралом системы уравнений (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

rOl, Г2, Гз , ) = 0 .

Доказательство. Достаточность. Представим уравнения системы (1), (2) в компонентах Gj (j = 1, 2, 3) и пусть выполняется условие (5). Тогда, составляя форму вида < Ф у (G) • Gj >, согласно уравнениям (1), (2)

получаем интегрируемую комбинацию, порождающую соотношение (4).

Необходимость. Из выражения (4), в силу уравнений системы (1), (2), представленных в компонентах Gj (j = 1, 2, 3), получаем тождество по переменным Wj , Sj , удовлетворяющееся для их произвольных допустимых значений лишь при условии (5). ■

Интеграл (4) выражает инвариантность нормы вектора кинетического момента гиростата в пространстве 1R3 и соответствует ГА случая Л.Эйлера - Н.Жуковского в евклидовом пространстве R3 [9, 10].

При k = 0 из равенства (4) следует известное выражение данного интеграла для твердого тела в пространстве 1R3 [5], соответствующее аналогу случая Эйлера - Пуансо в пространстве R3 [6, 10].

Поскольку G = const, возможна простейшая параметризация выражений для Gj (j =

1, 2, 3) в позиционных параметрах носителя гиростата, определенных в инерциальном базисе.

Пусть параметры в,^,^ - аналоги в

1R3 соответствующих углов Эйлера, определенных в пространстве R3. Тогда соответствующие им позиционные параметры в пространстве 1R3 есть 3 = р1в,у,ф и согласно

выражениям для компонент орта Sj в параметрах 3,у,ф [5] имеем Gj = G(pu,pv,-q),

G2 = G (-qu, - qv, p), G3 = G (-v, u,-1) e . Здесь применено обозначение параметров: (p, q) = (shS, chS),(u, v) = (sin <p,cos q>), G = |G |. Приведенная параметризация дана в случаях, когда орт s - соответственно собственный, идеальный и изотропный. Данная параметризация позволяет выразить углы в,у,ф через компоненты Gj.

Представим интеграл (4) при I =1 в безразмерных переменных Wj = G 1 Gj (j =1, 2, 3):

— Wi — w2 + W3 — 1

и введем переменные Дарбу

х = w2 — iwx

(5)

1 — wQ

1 w2 + iw1

1 + w.

1 + w.

(6)

(7)

Y 1 — w,

Величина X является координатой точки экваториальной плоскости единичной сферы (6), стереографическая проекция которой на эту сферу имеет такие координаты: Wj (/' = 1,

2, 3).

Обращение зависимостей (7) приводит к соотношениям

(Wj, w2, w3 ) — (X—Y) '[i(1 — XY),

— (1 + XY), X + Y]

(8)

удовлетворяющим уравнению (6). Величины Wj (8) являются переменными Дарбу - Римана, применяемыми для полного интегрирования исходной динамической системы.

3.2. Г иростатический аналог случая Ж.Лагранжа - П.Харламова

Примем условия

A1 — A2 — A, Vj — kj — 0, r3 Ф 0,

(j —1,2).

(9)

Утверждение 2. Для того чтобы выра-

жение

со3 (t) — Q (Q — const)

(10)

являлось дополнительным к системе (3) независимым первым интегралом системы уравнений (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (9).

w2 + iWj

w2 — iWj

Доказательство. Достаточность этого утверждения очевидна в силу условий (9) и уравнения Ф3 — 0 системы (1), (2).

Необходимость. Пусть выполняется соотношение (10). Тогда из уравнения Ф3 — 0 следует тождество по переменным Ш/ , я/ (/ = 1, 2), которое в случае произвольных значений этих переменных удовлетворяется только при условиях (9). ■

Система условий (9) и дополнительный интеграл (10) определяют ГА случая Ж.Ла-гранжа - П.Харламова, существующего в пространстве 1%3 [4]. Ему соответствует ГА одноименного случая, существующего в пространстве %3 [11]. Интеграл (10) имеет место и для твердого тела в пространстве 1%3 [5].

Очевидно, что система первых интегралов (3), (10) является инволютивной, в силу чего исходная динамическая система гиростата вполне интегрируема.

3.3. Гиростатический аналог расширенного случая Ж.Лагранжа - П.Харламова

Введем условия

А1 — А2 — А, к1 — к2 — 0, к3 ф 0 (11)

и предположим, что гиростат движется в консервативном силовом поле с потенциалом вида

и (8) = —т < И/ • Я/ >. (12)

Здесь И/ (/ = 1, 2, 3) - заданные постоянные, т Ф 0 - характерная постоянная данного поля.

Положим, что помимо поля с потенциалом (12) на гиростат действует силовой момент М (пИ2, - пИ1, 0), где п Ф 0 - заданная постоянная. Тогда результирующий силовой момент L (8), действующий на гиростат, имеет компоненты

А— и3^2 — и 2 *3 + М1 (1,2,3), (13)

где и/ — диIбя/, а М/ (/ = 1, 2, 3) - компоненты вектора М.

Соотношения (13) получены согласно определению векторного произведения векторов для пространства 1%3. Если а х Ь — с, то к-я координата произведения есть ск = е1/к а'Ь или

к к \т/ ">

С — 8//аЬ , причем 8ф - 3-вектор с существенной компонентой е123 = 1.

Согласно соотношениям (2), (12), (13) система уравнений движения гиростата принимает вид

W (ш) = N2 (ms3 + n) - N3ms2,

W2(m) = N3msl -Nr(ms3 + n), (14)

W)(ro) = m(NjS2 - N2sj).

Здесь постоянные m, n играют роль маркировочных коэффициентов для компонент Nj (j =

1, 2, 3).

Согласно уравнениям (14) результатом моментно-силового воздействия на гиростат является суперпозиция момента однородного параллельного силового поля и постоянного вектор-момента, ортогонального оси кинетической симметрии гиростата.

К динамическим уравнениям (14) следует присоединить кинематические уравнения Пуассона (1).

Утверждение 3. Для того чтобы выражение

A(m1s1 + о2s2) + А3о31 s3 + n | + k3s3 = K

I. m) (15)

(K = const)

являлось первым интегралом системы уравнений (2), (14), достаточно, чтобы выполнялись условия (11).

Доказательство. Пусть выполняются условия (11). Тогда, составив сумму <Wj • sj> (j = 1, 2, 3) в силу уравнений системы (2), (14), получим интегрируемую комбинацию, из которой непосредственно следует соотношение (15). ■

Рассматриваемый случай движения гиростата является ГА расширенного случая Ж.Лагранжа - П.Харламова в пространстве 1R3. При этом интеграл (15), соответствующий этому случаю, представляет собой ГА классического интеграла Желле. Для твердого тела (при k = 0) этот интеграл в пространстве R3 впервые получен в работе [12]. В частности, при N\ = N2 = 0 имеет место классический интеграл Ж. Лагранжа (10).

Введем квазиэнергетическую функцию

E(ш, s) = А(ю12 + о2) + А3о32 + 2cs3, (16)

где с - заданная характерная постоянная.

Функция (16) есть аналог энергетической функции для твердого тела в пространстве R3, приведенной в другой задаче [13], и не является первым интегралом системы (2), (14). Интенсивность ее изменения во времени в силу уравнений данной системы при условиях (11), может быть выражена так:

Е(ш, s) = csз + т < Qi • si > +— Q

т

а=і, 2,з),

где

а(ш) = Мз^2 - ^ (1,2,3).

^(ю1, ю3) = А1г1ю1 + А3г3ю3 = 0

являлось инвариантом системы уравнений (1), (2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (18), (19).

Доказательство. Достаточность. Пусть выполняются условия (18), (19). Составим комбинацию вида < Ф / Г/ > (/ —1,3) в силу динамических уравнений системы (1), (2), из которой согласно условиям (18) получаем

F + (Яг1г3F + к^3 + к3г)ю2 = 0 .

где F находится из равенства (20), а X определено далее.

Первое условие (18) при г1г3 Ф 0 имеет

вид

Аі — А9 А9 + А3 . .

1 2- 2 3 = Я, Я^ 0.

А3 гз

Тогда в силу условия (19) из уравнения (21) получим

F = F ехр

Яг1г3 |ю2 d^

(22)

Из соотношения (17) следует, что величина Е - ся3 сохраняется лишь при условии Q ^1, Q2, Q3) = 0. Это соответствует движению носителя гиростата, при котором векторы N ю коллинеарны.

3.4. Г иростатический аналог случая В.Гесса - Л.Сретенского

Зададим ограничения

А1(А2 + А3)Г12 — А3(А1 — А2)Г32 — 0, (18)

Г2 — к2 — 0 (А1 > А2 ),

и присоединенное к ним условие

к1г3 + к3г1 — 0 . (19)

Истолкования соотношений (18), (19) известны и аналогичны истолкованиям соответствующих условий для пространства %3 [4, 6].

Рассмотрим вопрос о существовании линейного по Ш/ инварианта системы уравнений (1), (2) при условиях (18), (19).

Утверждение 4. Для того чтобы выражение

где значение F 0 соответствует ^ = 0.

Из множества значений функции F согласно (22) выделим подмножество (полагая, что оно не пустое), для которого

F = const = F .

(23)

Тогда можно найти алгебраический инвариант (инвариантное соотношение [11]) при условиях (18), (19). Действительно, выражение (23) при условии (19) удовлетворяет уравнению (21), если F = 0, но тогда

Fи = 0.

(24)

Необходимость. Пусть данная система уравнений обладает линейным инвариантом вида

(а • ш) = — а1а1 — а2а2 + а3ю3 = т.

(25)

Здесь а/ (/ = 1, 2, 3) - постоянные, подлежащие определению (а1а3 Ф 0); т - постоянная интегрирования.

Из соотношения (25) в силу уравнений системы (1), (2) следует тождество, удовлетворяющееся при условиях

а2 = Г2 = к2 = ^ а3(г , к1) + а1(г3, — к3) = 0,

(26)

(20)

где а/ — А/ 1а/ (/ = 1, 3). Тогда при произвольных значениях ш2 имеем

а3 (А1 — А2)й>1 —а1( А3 + А2)©3 — 0. (27)

Из ограничений (26) следует условие (19), а из соотношений (25), (27) получаем

т = 0, а1(А2 + Аз)г1 + аз(А1 — А2)гз = 0.

(28)

(21)

Первое из этих условий определяет ограничение (24). Согласно второму условию (26) равенство (28) примет вид конфигурационного условия (18). При этом инвариант (25) принимает форму (20). ■

Система условий (18), (19), (24) соответствует ГА случая В.Гесса - Л.Сретенского, а соотношение (20) является линейным инвариантом уравнений движения для этого случая в пространстве 1%3 [4]. Для твердого тела (к = 0) отсюда следуют представления, имеющие место в пространстве 1%3 [5].

3.5. Г иростатический аналог случая Г.Гриоли - М.Гуляева

Примем условия

(А2 + А3 )г12 - (А2 - А1 )r32 = 0 , (29)

r2 = k2 = 0 (А2 > А1 )

и присоединим к ним ограничение (19). Истолкование соотношений (29) известно и аналогично истолкованию соответствующих условий для пространства R3 [10, 14].

Рассмотрим вопрос о существовании линейного по Wj инварианта системы уравнений (1), (2)

F(о °3) = -r1°1 + r3°3 = т (30)

(m = const Ф 0)

при условиях (19), (29) и r1r3 Ф 0.

Из соотношений (29) следует

(А2 - А1 )r1 2 = (А2 + А3 )r3 2 = ( )

- 2 (31)

= (А1 + А3)r = М,

2 I I2 2 2 , г\

где r = г = r3 - r1 , М Ф 0 - маркировочный коэффициент, имеющий размерность массы.

В силу уравнений системы (1), (2) составим комбинацию вида <Фj r > (j = 1, 3),

из которой согласно соотношениям (31) получаем

F + МЛ (-r1o1 + r3o3) + k1r3 + k3r1]a2 = 0 , (32)

где функция F определяется равенством (20).

Из множества состояний гиростата, определяемых системой (1), (2) при условиях

(29), выделим подмножество (полагая, что оно не пустое), для которого существует условие

(30). Тогда равенство (32) принимает форму

F+ Qo2 = 0, (33)

где Q = м mr1r3 + k1r3 + k3r1.

В силу условий (19), (30) из соотношения (33) следует система уравнений

Oj = -nA_ jO 2 (j = 1,3), (34)

где n = mri (i = 1, 3). Сравнивая уравнения

системы (34) с соответствующими уравне-

ниями системы (1), (2), учитывая условия

(31), получаем

P rjS2 = (aj + М r2]°] )O2 (j = 1, 3), (35)

откуда

Рг2*2 — (А1 г1а1 + А3 г3а3 + D)a2. (36)

В равенствах (35), (36)

сг 1 — А3П1 — к1, СГ3 — А1П3 + к3,

D — А2 т — г1 г1 + г3 г3 — 0, или, в другой форме,

D — (^ г1 г3)— (А3к3г1 — А1 к1 г3).

Эти соотношения являются условиями эквивалентности системы уравнений (34) и подсистемы, состоящей из первого и третьего динамических уравнений системы (1), (2).

Таким образом, равенство (30) является инвариантом как для линейной системы (34), так и для исходной системы уравнений (1), (2) с учетом соотношений связи (35) или (36). В результате справедливо следующее.

Утверждение 5. Соотношение (30) при условиях (19), (29) и соотношениях связи (35) или (36) является инвариантом системы уравнений (1), (2).

Замечание. Условие (19), содержащееся в данном утверждении, не является обязательным для существования инварианта (30). Здесь оно принято исключительно с целью упрощения выражений (33)-(36).

Рассмотренный случай соответствует ГА случая Г.Гриоли - М.Гуляева в пространстве 1%3, а линейный инвариант (30) - инварианту Г.Гриоли. Полученные соотношения позволяют обобщить результаты решения задачи, поставленной в пространстве 1%3 для твердого тела [5], на случай гиростата.

Метод нахождения инварианта (30) в данной задаче основан на подходе, примененном М.Гуляевым при решении задачи о нахождении условий существования регулярной прецессии гиростата вокруг невертикальной оси в пространстве %3 и исследовании свойств этого движения [14].

3.6. Г иростатический аналог случая Д.Бобылёва - П.Харламова

Введем структурно-динамические условия

г1 — г3 — 0, г2 ф 0, к3 — 0 (37)

и обозначим

п — (А2 — А1 )^2 + к2 ф 0.

Из многообразия состояний {ю, 8}, определяемого системой уравнений (1), (2), выделим множество движений, на котором

Ч>2 = ®2 * 0,

®3 = 0.

(38)

H = 0

(Н - постоянная интеграла /2 системы (3)) для уравнений движения гиростата имеет место первый алгебраический интеграл третьей степени переменных Ш/. Условия (40) и этот частный интеграл соответствуют ГА Д.Горячева

- Л.Сретенского [15].

Можно показать, что условия (40) не являются необходимыми условиями существования первого алгебраического интеграла третьей степени для системы уравнений (1),

(2) в пространстве 1%3 и на плоскости П.

Действительно, представив двухпараметрическое выражение данного интеграла в произвольных структурно-динамических параметрах с произвольной постоянной Н в силу уравнений системы (1), (2) и ограничений

(40), получим тождество, порождающее про-

тиворечивое условие. Такое же утверждение имеет место и для твердого тела в пространстве 1%3 и на плоскости Лобачевского [5]. Аналогично условия

Согласно ограничениям (38) собственный вектор ю совершает в пространстве переменных Ш/ (/ = 1, 2, 3) движение в плоскости Ох1х2; при этом его подвижным годографом

является прямая а>2 — со°, не проходящая через начало координат. В изотропном случае такое движение не имеет места.

Из системы динамических уравнений

(1), (2) при условиях (37) на выделенном множестве движений (38) непосредственно следует инвариант

п«1 + Рг2 *1 —^«2 — 0. (39)

Система интегралов, составленная из соотношений (3), (39), является инволютивной, что обусловливает ее полное интегрирование.

Случай, определяемый приведенными условиями, соответствует ГА случая Д.Бобы-лёва - П.Харламова для пространства 1%3, а инвариант (39) - инварианту Д.Бобылёва [4]. Для твердого тела (при к1 = к2 = 0) инвариант

(39) принимает известный вид [5].

3.7. О гиростатических аналогах, соответствующих алгебраическим интегралам третьей и четвертой степени

В евклидовом пространстве при условиях А — А2, г — ку — 0 (1 — 2,3; / —1,2)

А = А = 2 А,

к1 = k2 = r3 = 0,

r1k3 * 0 ,(41)

(40)

характерные для ГА С.Ковалевской - П.Харламова в пространстве R3 [16], не являются необходимыми для существования однозначных решений системы уравнений (1), (2) при произвольных начальных условиях в пространстве 1R3 и на плоскости Лобачевского. Соответственно условия (41) не являются необходимыми для существования дополнительного по Уиттекеру [7, 17] первого алгебраического интеграла четвертой степени переменных Wj (обобщенного интеграла С.Ковалевской).

Однако следует ожидать, что для некоторых расширенных систем уравнений движения гиростата в пространстве 1R3 и на плоскости П , удовлетворяющих определенным условиям, первые алгебраические интегралы третьей и четвертой степени могут существовать. В этих случаях движение гиростата, по-видимому, может происходить в некоторых сложных силовых полях. Такой подход к проблеме интегрирования уравнений динамики твердых тел приводит к неклассической постановке задач.

4. Г иростатический аналог случая Р.Граммеля - Б.Смольникова

Рассмотрим вопрос о существовании линейного по Wj инварианта динамической системы гиростата, движущегося в режиме авторегулирования по Р. Граммелю [10, с. 154]. В этом случае уравнения движения гиростата принимают вид

Т, = W, (и)- Lj = 0 (j = 1,2,3),

(42)

где Lj = const (j = 1, 2, 3) - заданные компоненты результирующего вектор-момента внешних сил, а Wj определяются равенствами (2).

Из многообразия движений гиростата, определяемого системой (42), выделим множество, на котором существует инвариант данной системы, линейный по компонентам Wj. При этом предполагается, что выделяемое множество не является пустым.

Найдем условия существования инварианта системы уравнений (2), (42) вида (25), где а2 = 0, aj (j = 1, 3) — постоянные, подлежащие определению.

Утверждение 6. Для того чтобы равен-

ство

F(^1, СО3 ) = —Alklal + А3к3®3 — 0

(43)

являлось инвариантом системы уравнений (2), (42), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

(к • L) = —k1L1 + k3L3 = 0, к2 = m = 0,

(44)

А1(А2 + А3 )к12 — А3(А1 — А2 )к32 — 0 (А1 > А2).

Доказательство. Необходимость.

Пусть система уравнений (2), (42) обладает инвариантом вида (25), где а2 = 0, а1а3 Ф 0. Из соотношения (25) в силу уравнений данной системы следует тождество, удовлетворяющееся при условиях

— а1 к , 1) + а3 (к1, £3) — 0,

к2 — т — 0,

А3(А2 + А3 )а12 — А1( А1 — А2)а3 — 0,

где а/ (/ = 1, 3) - величины, введенные в равенствах (26). Из данных соотношений в силу произвольности значений величин Ш/ непосредственно следуют условия (44).

Достаточность. Пусть выполняются условия (44). Составим комбинацию вида (—Ч к1 + Ч3 к3) в силу уравнений системы (2), (42), из которой согласно условиям (44) при к1 к3 Ф 0 имеем

( г \

F = F0 exp

vj co2 dr

(45)

где

v = ( A1k1)—11( Ai— A2)k3.

Поскольку F = т, то, в силу условия (44) для т, выражение (43) является инвариантом системы уравнений (2), (42). ■

Система условий (44) соответствует ГА случая Р.Граммеля - Б.Смольникова, а соотношение (43) является линейным инвариантом уравнений движения (2), (42) для этого случая в пространстве 1R3. Очевидно, что для твердого тела (при к = 0) инвариант (43) и условия (44) не имеют места.

Следствие. Из соотношений (44) при

к1 к3 Ф 0 имеем

А1(А2 + A3)L3 — А3(А1 — A2)L1 = 0

(46)

(А > А2).

Ограничения, аналогичные условиям

(44), (46), и соответствующая им форма инварианта (43) имеют место и для гиростата в пространстве R3. Эти соотношения получены при решении ряда задач [18-20]. При этом истолкования условий (44) остаются такими же, как и для евклидова пространства.

Заключение

В силу существующего изоморфизма задачи о движении твердого тела в пространстве 1R3 и на плоскости П могут быть динамически эквивалентны. Действительно, если все точки твердого тела расположены на одной из полостей сферы действительного радиуса р пространства R3, то тем самым инициируется задача о движении тела на плоскости Лобачевского в центральных силовых полях: собственном, идеальном и изотропном (несобственном). При этом собственному, идеальному и несобственному силовым полям плоскости П соответствуют времениподобное, пространственноподобное и изотропное силовые поля пространства 1R3, соответственно. Их соответствие непосредственно следует из известной интерпретации геометрии Лобачевского на сферах псевдоевклидова пространства и из основных принципов динамики.

Таким образом, задача о движении твердого тела вокруг неподвижного полюса в однородных параллельных силовых полях пространства 1R3 является более общей, чем соответствующая задача о движении тела в плоскости П.

Аналогично тому, как было установлено в работе [21] для твердого тела в пространстве R3, можно показать, что в задаче о движении гиростата вокруг неподвижного полюса в однородном гравитационном поле пространства 1R3 вопрос о нахождении полного множества инвариантов системы уравнений (1), (2) непосредственно связан с проблемой существования однозначных решений данной системы.

Анализ условий существования однозначных решений уравнений движения позволяет выявить условия существования дополнительных алгебраических интегралов и инвариантных соотношений, приводящих к ин-волютивной системе первых интегралов. Это, в свою очередь, обусловливает полную интегрируемость исходной динамической системы.

Как было отмечено, системы ограничений (40), (41), соответствующие ГА случаев Д.Горячева - Л.Сретенского и С.Ковалевской

- П.Харламова, не составляют необходимых условий существования однозначных решений системы уравнений (1), (2) в пространстве 1R3 и на плоскости П . К этим аналогам следует отнести и ГА случая полной (центральной) кинетической симметрии гиростата, при которой Aj = A (j = 1, 2, 3). В этих случаях система интегралов уравнений движения является неинволютивной.

Для неинволютивной системы интегралов порядок исходной динамической системы может быть понижен на величину ранга пуас-соновой структуры. Этот ранг определяется максимальным числом независимых функций от первых интегралов, коммутирующих между собой. Понижение порядка системы уравнений может быть реализовано путем редуцирования.

Частным случаем пространства 1R3 является пространство Минковского (пространство-время специальной теории относительности), в котором метрика сигнатуры (1, 3) Лоренц-инвариантна. Известно, что метрика пространства Минковского индуцирует на псевдосфере (модели плоскости П ) метрику пространства Лобачевского; при этом гауссова кривизна пространства постоянна и равна (-р 2). Такого рода соответствие делает возможным применение динамики гиростата в псевдоевклидовом пространстве и на плоскости Лобачевского. Однако, помимо возможного применения, теория динамики твердого тела в неевклидовых пространствах имеет и самостоятельное значение - как часть продолжающего развиваться фундаментального направления механики.

Список литературы

1. Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Учен. зап. Казан. ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С. 196-207.

2. Крюков М.С. Движение твердого тела по инерции в плоскости Лобачевского // Учен. зап. Казан. ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С. 103-127.

3. Макеев Н.Н. Обратная задача динамики гиростата в псевдоевклидовом пространстве // Динамика систем: межвуз. сб. Горький, 1975. Вып 8. С. 62-71.

4. Макеев Н.Н. Малые колебания и сферическое движение гиростата в псевдоевкли-довом пространстве // Прикл. математика и механика. 1976. Т.40, вып. 3. С. 417-423.

5. Косогляд Э.И. О некоторых условиях существования однозначных решений уравнений движения твердого тела в псевдоевклидовом пространстве // Учен. зап. Казан. ун-та. 1970. Т. 129, кн. 6. С. 87-98.

6. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 656 с.

7. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

8. Макеев Н.Н. Резонансы и интегрируемость гиростатических систем // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Перм. ун-т. Пермь, 2007. С. 85-109.

9. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. 292 с.

10. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

11. Харламов П.В. Об алгебраических инвариантных соотношениях уравнений движения твердого тела // Механика твердого тела. Киев, 1974. Вып. 6. С. 25-33.

12. Jellett J.H. A treatise on the Theory of Friction. Dublin; London: Macmillan, 1872. 230 p.

13. Карапетян А.В., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных механических систем // Прикл. математика и механика. 1986. Т.50, вып.1. С. 43-49.

14. Гуляев М.П. О регулярных прецессиях тяжелого гиростата // Прикл. математика и механика. 1973. Т. 37, вып. 4. С. 746-753.

15. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // Вестн. Моск. ун-та. Сер.: Математика. Механика. 1963, № 3. С. 60-71.

16. Харламов П.В., Харламова Е.И. Новое решение уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку, при условиях С.В.Ковалевской // Докл. Акад. наук. 1969. Т. 189, № 5. С. 967-968.

17. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 320 с.

18. Макеев Н.Н. Управляемость и стабилизи-руемость вращательного движения космического аппарата // Проблемы механики и управления / Перм. ун-т. Пермь, 1999. С. 97-105.

19. Макеев Н.Н. Интегрируемость гиростати-ческих систем в магнитном поле // Проблемы механики и управления/Перм. ун-т. Пермь, 2003. С. 49-70.

20. Макеев Н.Н. Интегрируемость уравнений задачи Граммеля для гиростата // Проблемы механики и управления / Перм. ун-т. Пермь, 2008. С. 98-116.

21. Богоявленский А.А. О некоторых частных решениях задачи движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Прикл. математика и механика. 1958. Т.22, вып. 6. С.738-749.

Integrals of the geometrical theory of a dynamics gyrostat

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

It is description conditions existence of particular integrals and invariants of equations movement gyrostat about immovable a pole in homogeneous field of gravity, which take place in the pseudo-Euclidean space and on the plane Lobachevsky.

Key words: gyrostat; integral; pseudo-Euclidean space; conservative field offorce.