О прецессионно-изоконических движениях гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

Динамические системы, том 1(29), №1 (2011), 145-155 УДК 531.38

О прецессионно-изоконических движениях гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил

Е. К. Щетинина

Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М.Туган-Барановского Донецк 83050. E-mail: elena-0607@bk.ru

Аннотация. В работе дан обзор результатов, полученных в исследовании изоконических и прецессионных движений в динамике твердого тела, изучен класс прецессионно-изоконических движений гиростата и представлен анализ годографов угловой скорости для данных движений. В качестве физической модели системы твердых тел — гиростата с неподвижной точкой в поле потенциальных и гироскопических сил — использована модель, которая описывается дифференциальными уравнениями Кирхгофа-Пуассона.

Ключевые слова: гиростат, годограф вектора угловой скорости, прецессионное движение, изо-коническое движение.

1. Введение

С помощью метода годографов, основанного на уравнениях П.В.Харламова [1], может быть получена полная картина движения твердого тела во многих случаях интегрируемости уравнений динамики [2, 3].

Изоконические движения твердого тела характеризуются симметричностью подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости относительно касательной к ним плоскости. Изоконические движения в классической задаче о движении тяжелого твердого тела обнаружены в решениях Стеклова [4-6], Лагранжа [7], Жуковского [8], Гесса-Сретенского [9], Гриоли [10].

В задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой регулярные прецессии относительно вертикали геометрически симметричного волчка (гироскопа Лагранжа) служат классическим примером прецессионного движения. Теоретическое изучение прецессий несимметричных тел проводилось Г. Г. Аппель-ротом [11], Д. Гриоли [12] и другими авторами (см. обзоры [9, 13, 14]). Общий метод исследования прецессий в классической задаче и ее обобщениях впервые был предложен в работах [9, 13]. Поскольку в книге [14] не рассматриваются свойства годографов угловой скорости в случае прецессионно-изоконических движений, то представленные в статье результаты дополняют исследования [141.

© Е. К. ЩЕТИНИНА

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о движении гиростата с неподвижной точкой, описываемую уравнениями Кирхгофа-Пуассона [15]

х = (х + Л) х ах + ах х Би + ^ х V + V х СV, V = V х ах, (1)

которые допускают три первых интеграла

ах • х - • V) + (СV • V) = 2Е, V • V = 1, (х + Л) • V - 2(Бv • V) = к. (2)

Рис. 1.

Здесь E и k произвольные постоянные. Отметим. что

x = (xi,X2,x3) — вектор момента количества движения; v = (vi,v2,v3) — единичный вектор оси симметрии силового поля; a = (aj) — гирационный тензор; Л = (A1;A2,A3) — вектор гиростатического момента; s = (s1, s2, s3) — вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; B = (Bij), C = (C\j) — постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными обозначает относительную производную по времени t.

Пусть v — единичный вектор вертикали, w = ax — угловая скорость тела, Oxyz подвижная система координат (см. рис. 1). Движение гиростата называют прецессией относительно вертикали [12-14], если постоянен угол 9 между вектором a,

v

Прецессионное движение (рис. 1) может быть охарактеризовано инвариантным соотношением [14]

a • v = a0, a0 = cos 90, 90 = Z(a, v), (3)

где а — единичный вектор, неизменно связанный с телом. Вектор а направляем по оси Ог: а = (0, 0,1).

Для угловой скорости имеем разложение [14]

ш = ф а + ф V. (4)

Здесь ф, ф — скорости собственного вращения и прецессии гиростата. В работах [9, 13, 14] показано, что компоненты векторо V и ш таковы

vi = a0 sin ф, v2 = a0 cos ф, v3 = a0, a0 = y 1 — a0 = sin 90, (5)

ш1 = ip(t)a0 sin p(t), ш2 = ip(t)a0 cos p(t), ш3 = ip(t)a0 + p(t). (6)

Уравнения неподвижного годографа по методу П. В. Харламова [1] найдем на основании соотношений (5), (6)

щ = ip(t) + aop(t), ш2 = a02ip2(t), (шр = a0,ip(t)^ , a = ip(t) + ao, (7)

a0

Необходимым и достаточным условием существования изоконического движения гиростата является инвариантное соотношение [16]

ш • (v — e) = 0, (8)

где e = (ei,e2,e3) — единичный вектор, неизменно связанный с телом. Вообще говоря, e = а.

3. Регулярные прецессионно-изоконические движения

Рассмотрим класс регулярных прецессионно-изоконических движений. В этом случае из (5), (6), (8) имеем e = а = (0, 0,1), ф = ф = n = const соотношения (5)-(7) примут вид

vi(t) = a0 sinnt, v2(t) = a0 cos nt, v3(t) = a0, (9)

ui(t) = J0n sin nt, u2(t) = a0n cos nt, ш3 = n(a0 + 1), (10)

щ = n(a0 + 1), шр = a0n , a = nt. (11)

Из уравнения (10), (11) вытекает, что подвижный и неподвижный годографы конгруэнтны и представляют собой окружности. Подвижный аксоид вектора угловой скорости гиростата имеет вид, изображенный на рис. 2. Движение тела является периодическим с периодом 2п/п.

Рис. 2.

4. Полурегулярные прецессионно-изоконические движения первого типа

Рассмотрим полурегулярные прецессионно-изоконические движения первого типа: ip = m (ф = mt), a = е. Поскольку a = (0, 0,1), то подвижную систему координат можно выорать так, чтобы е = (el; 0,e3). Тогда из соотношений (5), (6), (8) получим

vi = а0 sin p(t), v2 = а0 cos p(t), v3 = a0, (12)

ш1 = a0msin p(t), ш2 = a0m cos p(t), ш3 = m (a0 + b0 + c0 sin p(t)), (13)

p(t) = m (b0 + c0 sin p(t)), (14)

где b0 = (a0e3 — 1)/(a0 — e3), c0 = a0ei/(ao — e3); очевидно, b0 = 1 + c0- Положим в формуле (14) m > 0 b0 > 0 c0 > 0, тогда из (14) получим

P<t) = 2arcta^T—0У , (15)

где u(t) = tan(mt/2) Причем sin p(t) = b0(sinmt + c0 cos mt — c0)/v(t), cos p(t) = (cos mt — c0 sinmt)/v(t). Здесь v(t) = b2 — c0(sin mt + c0 cos mt) > 0.

Подвижный годограф представляет собой плоскую кривую, полученную в результате пересечения плоскости c0ui — a0(u3 — a0m — b0m) = 0 и цилиндра ш"2 + = a02m2 (рис. З.б). Вид подвижного аксоида вектора угловой скорости представлен на рис. З.а.

(а)

(б)

Рис. 3. (а0 =0.5 т = 3 с0 = 0.5) Уравнения неподвижного годографа в силу (7), (15) имеют вид

= т(а0Ь0 + аоОо вт р(Ь) + 1), шр

\а'0Ьот\ V®

а = тЬ + а0.

(16)

Соотношения (12)-(16) легко привести к безразмерным переменным, для этого достаточно положить т =1.

Описываемое движение является периодическим с периодом Т = 2п/ш (при ш =1 Т = 2п). Подвижный и неподвижным годографы представляют собой эллипсы.

5. Полурегулярные прецессионно-изоконические движения второго типа

Для полурегулярных прецессионно-изоконических движений второго типа имеем [14]

п

(р = п = сопвЬ (р = пЬ), ф = --;-, (17)

ф = 2 аГ^ап

Ь0 + с0 вт пЬ

ьогВо• Ф(0) = 0' шй = 'апт- (Ь2 = 1+(18)

Уравнения подвижного годографа имеют вид

Ш1

а0п вт пЬ Ь0 + с0 вт пЬ'

Ш2

а0п сов пЬ Ь0 + с0 вт пЬ'

шз

п 1 +

а0

Ь0 + с0 вт пЬ

(19)

В случае полурегулярной прецессии второго типа вид подвижного аксоида вектора угловой скорости представлен на рис. 4.а. Подвижный годограф представляет собой плоскую кривую, полученную в результате пересечения поверхностей (рис. 4.6)

(а) (б)

Рис. 4. (ао = 0.875 n = 25 cq = 0.25)

aoоош\ + aLboUz = aLn(ao + bo), uft + — ^ 2 (шэ — n)2 = 0. (20)

a0

Неподвижный годограф также является плоской кривой, так как он описывается уравнениями

ис = nlao ^^——-- ), ^р = \a0,n\, a(t) = ф(Ь) + ao, (21)

у bo + Co sin nt Í

где ф(t) имеет вид из (18).

n

лагать bo > 0 Co > 0. Чтобы избежать особенностей в применении формулы для a(t) из (21), ее можно преобразовать к виду

co + bo sin nt — co cos nt

a = arcsin------. (22)

bo(bo + co sin nt)

К безразмерному времени в соотношениях (18), (19), (21). (22) можно перейти, положив n = 1. Тогдa a = a(t) является периодической функцией с периодом T = 2п.

6. Прецессионно-изоконические движения общего вида: первый класс

В [16] показано, что прецессионные движения общего вида могут обладать условием изоконичности только в двух случаях: 1) a = е; 2) ^(t) = ^p(t). Рассмотрим первый класс прецессионно-изоконических движений общего вида, для

которого a = e. Пусть выполняются условия [14]

ф = Ро + qo sin ф, ф =

ф

bo + Со sin ф

В случае (23) параметры Ь0 и с0 принимают прежние значения и Ь0 Зависимость ф(р) найдем из второй формулы системы (23)

ф = 2 arctan

tan ф (bo + Со tan ф^

22

Из первого соотношения системы (23) имеем равенство

(23)

1 + с0-

(24)

t-tn

dp

Ро + qo sin ф

(25)

Р0

При обращении интеграла (25) можно найти зависимость ф = ф(Ь). Здесь значения р0, д0 не обязательно связаны условием р2 = 1 + Поэтому при интегрировании (25) возможны три варианта [14].

Вместо формулы (24) целесообразно использовать соотношение

. . b0 sin ф + С0 — С0 sin ф

ф = arcsin------.

bo(bo + Со sin ф)

Подвижный годограф задается уравнениями

aL sin ф(£) . . aL cos ф(Ь) , .

"i = о „Г p(t), = p(t), =

(26)

1 + ^(t).

a(t) ¿ a(t) ó V ^(t)

В (27) введены обозначения a(t) = ьо + со sin ф^), ¡i(t) = ро + q0 sin ф^).

(27)

a) qo = 5

б) qo = 10 Рис.5 a = 0.295 со = 0.01 ро = 10)

в) qo = 70

р

На рис. 5 представлены характерные виды подвижного аксоида вектора угловой скорости в зависимости от изменения параметра qo.

Неподвижный годограф характеризуется соотношениями

1 \ / . bo sin p(t) + Со - Со eos p(t)

- ) y(t), Шр = \a'o^(t)\, а = aresin--——-,

a(t) J boo(t)

(28)

где p(t) определяется из формулы (25). Hanример, при p^ = 1 + q0 (p0,q0 не пропорциональны b0,c0), имеем

p0 (sin t + q0 eos t — q0) eos t — q0 sin t

sin p(t) = —2--¡—.-г, eos p(t)

p0 — q0(sint + q0 eos t)' p0 — q0(sint + q0 eos t)

Эти выражения удобно использовать в формулах (28).

Остановимся на нахождении зависимости p(t) из интеграла (25). Начальное значение при t = 0 перемени ой p возьмем равным p0. Пуст ь p0 > 0 p2 — q2 > О, тогда

p п \ (p0 + q0)S(t) + Г0 tan {^t — f)

taV2 J r0 — (p0 — q0)6(t)tan (f — f) ' (29)

где r0 = \Jp0 — q0, S(t) = tan yt. Если принять p0 = 0, то из (25) получим формулу

p0(q0 eos r0t + Г0 sin r0t — q0)

sin p = -:-;-г •

p0 — q0(q0 eos r01 + r0 sin r0t)

Тогда

p0r¡2 r0 (r0 eos r0t — q0 sin r0t)

p0 + q0 sin p = pg — „(» eos r01 + r0 sin r0t)' e°8 p = p¡, — „(» eos r01 + r0 sin r0t)

Эти формулы можно использовать в соотношениях (28).

Рассмотрим случай p0 < q0, p0 > 0. Если при t = 0 p = 0, то из (25) имеем

tan (Р — 4) = ÍÍÍíÍPI^ <3°>

r0 2

Здесь через ^обозначено r0 = \J q0 — p0-q0 = p0

tan Р = —p0—. (31)

2 2 — p0t v ;

Из соотношений (30), (31) следует, что при t ^ ж p ^ Щп.

7. Прецессионно-изоконические движения общего вида: второй класс

Рассмотрим прецессионно-изоконические движения второго класса, для этого положим ф = ф = do + fo sin ф = д(ф), т.е. ф^) = ф^). Подвижный годограф при этом определяется соотношениями

Ш1 = aig^sin ф, Ш2 = aig^cos ф, шз = (1 + ао)д(ф). (32)

Для изучаемого движения зависимость может быть трех видов [14]. Подвижный годограф (32) вектора угловой скорости гиростата является линией пересече-

/2 / Г 1

2 I 2 ап 2 ап шз шч 1

ния конуса + ш2 = (1+ап)2 и поверхности, = (1+пап)^п 1+аП _ •

Для прецессионно-изоконического движения второго класса характерные виды подвижного аксоида вектора угловой скорости в зависисмости от значений параметра /0 представлены на рис. 6.

a) fo = 1

б) fo = 10

Рис.6 К = 0.17 do = 1)

Неподвижный годограф вектора угловой скорости для этого типа движений задается равенствами

uz = (1 + ao )g(p), up = \a/^g(p)\, a = ^(t) + c = ^(t) + c.

Таким образом, исследованы свойства подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости гиростата в случае прецессионно-изоконических движений определенных типов. Сделан вывод о том, что в случае прецессионно-изоконических движений следующих видов — регулярная прецессия, полурегулярная прецессия первого типа, полурегулярная прецессия второго типа — годографы вектора угловой скорости представляют собой плоские линии. В случае прецессионно-изоконических движений общего вида годографы являются пространственными кривыми.

Список цитируемых источников

1. Харламов П. В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку / П.В.Харламов // Прикл. математика и механика. — 1964. — Т. 28, вып. 3. - С. 502-507.

2. ГоррГ. В. О регулярной прецессии относительно вертикали в одной задаче динамики твердого тела / Г. В.Горр, Н. В. Курганский // Механика твердого тела. — 1987. — Вып. 19. - С. 16-20.

3. Харламов П. В. Современное состояние и перспективы развития классических задач динамики твердого тела / П. В. Харламов // Механика твердого тела. — 2000. — Вып. 30. - С. 1-13.

4. СтекловВ.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку / В.А.Стеклов // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. — 1899. — Т. 10, № 1. — С. 1-3.

5. FabbriR. Sopra una soluzione particolare delle equazioni del moto di un solido pesante ad un punto fisso / R. Fabbri // Atti. Accad. Naz. Lincei, Cl. Sei. Fis. Mat. e Nat. — 1934. - 19, № 6. - P. 407-415, 495-502, 872-873.

6. Харламова E. И. Исследование решения В.А.Стеклова уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку / Е.И.Харламова, Г.В.Мозалевская // Мат. физика. - 1968. - Вып. 5. - С. 194-202.

7. Харламов П. В. Разделяющие движения гироскопа Лагранжа / П.В.Харламов // Механика твердого тела. — 1979. — Вып. 11. — С. 17-22.

8. ВархалевЮ.П. К вопросу о классификации движений гиростата Жуковского / Ю.П.Вархалев, Г.В.Горр // Прикл. механика. — 1984. — Т. 20, №8. — С. 104-111.

9. ГоррГ. В. Методы исследования движений твердого тела и их приложение в классификации движений // Механика твердого тела. — 1982. — Вып. 14. — С. 54-74.

10. Харламова Е. И. Об одном движении тела, имеющего неподвижную точку / Е.И.Харламова // Механика твердого тела. — 1970. — Вып. 2. — С. 35-37.

11. АппелъротГ. Г. Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки / Г. Г. Аппельрот // Уч. зап. Моск. ун-та. отд. физ.-мат. наук. — 1894. — Т. 2, вып. 11. — С.1-112.

12. Griolt G. Esistenza е determinazione delle precessioni regolari dinámicamente possibili per un solido pesante asimmetrico / G. Grioli // Ann. di Matern, pura ed Applic. — 1947. — S. 4. — V. 24, f. 3-4. - P. 271-281.

13. ГоррГ.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел / Г. В.Горр // Прикл. математика и механика. — 2003. — Т. 67, вып. 4. — С. 573-587.

14. ГоррГ. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в динамике систем связанных твердых, тел / Г. В. Горр, А. В. Мазнев, Е. К. Щетинина. — Донецк: ДонНУ, 2009. - 222 с.

15. KirchhoffG.R. U/ber die Bewegung eines Rotationkörpers in einer Flüssigkeit / G. R. Kirchhoff // J. für die reine und angew. Math. - 1870. - Bd. 71. - S. 237-262.

16. ГоррГ.В. Изоконические движения в динамике твердого тела с неподвижной точкой / ГоррГ.В., СаркисьянцЕ.В., УзбекЕ.К. — Донецк: Ин-т прикл. математики и механики HAH Украины, 2001. — 30 с. — (Препринт / HAH Украины, Ин-т прикл. математики и механики; 03.01).

Получена 5.10.2010