Динамические системы, том 1(29), №1 (2011), 145-155 УДК 531.38
О прецессионно-изоконических движениях гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
Е. К. Щетинина
Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М.Туган-Барановского Донецк 83050. E-mail: elena-0607@bk.ru
Аннотация. В работе дан обзор результатов, полученных в исследовании изоконических и прецессионных движений в динамике твердого тела, изучен класс прецессионно-изоконических движений гиростата и представлен анализ годографов угловой скорости для данных движений. В качестве физической модели системы твердых тел — гиростата с неподвижной точкой в поле потенциальных и гироскопических сил — использована модель, которая описывается дифференциальными уравнениями Кирхгофа-Пуассона.
Ключевые слова: гиростат, годограф вектора угловой скорости, прецессионное движение, изо-коническое движение.
1. Введение
С помощью метода годографов, основанного на уравнениях П.В.Харламова [1], может быть получена полная картина движения твердого тела во многих случаях интегрируемости уравнений динамики [2, 3].
Изоконические движения твердого тела характеризуются симметричностью подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости относительно касательной к ним плоскости. Изоконические движения в классической задаче о движении тяжелого твердого тела обнаружены в решениях Стеклова [4-6], Лагранжа [7], Жуковского [8], Гесса-Сретенского [9], Гриоли [10].
В задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой регулярные прецессии относительно вертикали геометрически симметричного волчка (гироскопа Лагранжа) служат классическим примером прецессионного движения. Теоретическое изучение прецессий несимметричных тел проводилось Г. Г. Аппель-ротом [11], Д. Гриоли [12] и другими авторами (см. обзоры [9, 13, 14]). Общий метод исследования прецессий в классической задаче и ее обобщениях впервые был предложен в работах [9, 13]. Поскольку в книге [14] не рассматриваются свойства годографов угловой скорости в случае прецессионно-изоконических движений, то представленные в статье результаты дополняют исследования [141.
© Е. К. ЩЕТИНИНА
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о движении гиростата с неподвижной точкой, описываемую уравнениями Кирхгофа-Пуассона [15]
х = (х + Л) х ах + ах х Би + ^ х V + V х СV, V = V х ах, (1)
которые допускают три первых интеграла
ах • х - • V) + (СV • V) = 2Е, V • V = 1, (х + Л) • V - 2(Бv • V) = к. (2)
Рис. 1.
Здесь E и k произвольные постоянные. Отметим. что
x = (xi,X2,x3) — вектор момента количества движения; v = (vi,v2,v3) — единичный вектор оси симметрии силового поля; a = (aj) — гирационный тензор; Л = (A1;A2,A3) — вектор гиростатического момента; s = (s1, s2, s3) — вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; B = (Bij), C = (C\j) — постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными обозначает относительную производную по времени t.
Пусть v — единичный вектор вертикали, w = ax — угловая скорость тела, Oxyz подвижная система координат (см. рис. 1). Движение гиростата называют прецессией относительно вертикали [12-14], если постоянен угол 9 между вектором a,
v
Прецессионное движение (рис. 1) может быть охарактеризовано инвариантным соотношением [14]
a • v = a0, a0 = cos 90, 90 = Z(a, v), (3)
где а — единичный вектор, неизменно связанный с телом. Вектор а направляем по оси Ог: а = (0, 0,1).
Для угловой скорости имеем разложение [14]
ш = ф а + ф V. (4)
Здесь ф, ф — скорости собственного вращения и прецессии гиростата. В работах [9, 13, 14] показано, что компоненты векторо V и ш таковы
vi = a0 sin ф, v2 = a0 cos ф, v3 = a0, a0 = y 1 — a0 = sin 90, (5)
ш1 = ip(t)a0 sin p(t), ш2 = ip(t)a0 cos p(t), ш3 = ip(t)a0 + p(t). (6)
Уравнения неподвижного годографа по методу П. В. Харламова [1] найдем на основании соотношений (5), (6)
щ = ip(t) + aop(t), ш2 = a02ip2(t), (шр = a0,ip(t)^ , a = ip(t) + ao, (7)
a0
Необходимым и достаточным условием существования изоконического движения гиростата является инвариантное соотношение [16]
ш • (v — e) = 0, (8)
где e = (ei,e2,e3) — единичный вектор, неизменно связанный с телом. Вообще говоря, e = а.
3. Регулярные прецессионно-изоконические движения
Рассмотрим класс регулярных прецессионно-изоконических движений. В этом случае из (5), (6), (8) имеем e = а = (0, 0,1), ф = ф = n = const соотношения (5)-(7) примут вид
vi(t) = a0 sinnt, v2(t) = a0 cos nt, v3(t) = a0, (9)
ui(t) = J0n sin nt, u2(t) = a0n cos nt, ш3 = n(a0 + 1), (10)
щ = n(a0 + 1), шр = a0n , a = nt. (11)
Из уравнения (10), (11) вытекает, что подвижный и неподвижный годографы конгруэнтны и представляют собой окружности. Подвижный аксоид вектора угловой скорости гиростата имеет вид, изображенный на рис. 2. Движение тела является периодическим с периодом 2п/п.
Рис. 2.
4. Полурегулярные прецессионно-изоконические движения первого типа
Рассмотрим полурегулярные прецессионно-изоконические движения первого типа: ip = m (ф = mt), a = е. Поскольку a = (0, 0,1), то подвижную систему координат можно выорать так, чтобы е = (el; 0,e3). Тогда из соотношений (5), (6), (8) получим
vi = а0 sin p(t), v2 = а0 cos p(t), v3 = a0, (12)
ш1 = a0msin p(t), ш2 = a0m cos p(t), ш3 = m (a0 + b0 + c0 sin p(t)), (13)
p(t) = m (b0 + c0 sin p(t)), (14)
где b0 = (a0e3 — 1)/(a0 — e3), c0 = a0ei/(ao — e3); очевидно, b0 = 1 + c0- Положим в формуле (14) m > 0 b0 > 0 c0 > 0, тогда из (14) получим
P<t) = 2arcta^T—0У , (15)
где u(t) = tan(mt/2) Причем sin p(t) = b0(sinmt + c0 cos mt — c0)/v(t), cos p(t) = (cos mt — c0 sinmt)/v(t). Здесь v(t) = b2 — c0(sin mt + c0 cos mt) > 0.
Подвижный годограф представляет собой плоскую кривую, полученную в результате пересечения плоскости c0ui — a0(u3 — a0m — b0m) = 0 и цилиндра ш"2 + = a02m2 (рис. З.б). Вид подвижного аксоида вектора угловой скорости представлен на рис. З.а.
(а)
(б)
Рис. 3. (а0 =0.5 т = 3 с0 = 0.5) Уравнения неподвижного годографа в силу (7), (15) имеют вид
= т(а0Ь0 + аоОо вт р(Ь) + 1), шр
\а'0Ьот\ V®
а = тЬ + а0.
(16)
Соотношения (12)-(16) легко привести к безразмерным переменным, для этого достаточно положить т =1.
Описываемое движение является периодическим с периодом Т = 2п/ш (при ш =1 Т = 2п). Подвижный и неподвижным годографы представляют собой эллипсы.
5. Полурегулярные прецессионно-изоконические движения второго типа
Для полурегулярных прецессионно-изоконических движений второго типа имеем [14]
п
(р = п = сопвЬ (р = пЬ), ф = --;-, (17)
ф = 2 аГ^ап
Ь0 + с0 вт пЬ
ьогВо• Ф(0) = 0' шй = 'апт- (Ь2 = 1+(18)
Уравнения подвижного годографа имеют вид
Ш1
а0п вт пЬ Ь0 + с0 вт пЬ'
Ш2
а0п сов пЬ Ь0 + с0 вт пЬ'
шз
п 1 +
а0
Ь0 + с0 вт пЬ
(19)
В случае полурегулярной прецессии второго типа вид подвижного аксоида вектора угловой скорости представлен на рис. 4.а. Подвижный годограф представляет собой плоскую кривую, полученную в результате пересечения поверхностей (рис. 4.6)
(а) (б)
Рис. 4. (ао = 0.875 n = 25 cq = 0.25)
aoоош\ + aLboUz = aLn(ao + bo), uft + — ^ 2 (шэ — n)2 = 0. (20)
a0
Неподвижный годограф также является плоской кривой, так как он описывается уравнениями
ис = nlao ^^——-- ), ^р = \a0,n\, a(t) = ф(Ь) + ao, (21)
у bo + Co sin nt Í
где ф(t) имеет вид из (18).
n
лагать bo > 0 Co > 0. Чтобы избежать особенностей в применении формулы для a(t) из (21), ее можно преобразовать к виду
co + bo sin nt — co cos nt
a = arcsin------. (22)
bo(bo + co sin nt)
К безразмерному времени в соотношениях (18), (19), (21). (22) можно перейти, положив n = 1. Тогдa a = a(t) является периодической функцией с периодом T = 2п.
6. Прецессионно-изоконические движения общего вида: первый класс
В [16] показано, что прецессионные движения общего вида могут обладать условием изоконичности только в двух случаях: 1) a = е; 2) ^(t) = ^p(t). Рассмотрим первый класс прецессионно-изоконических движений общего вида, для
которого a = e. Пусть выполняются условия [14]
ф = Ро + qo sin ф, ф =
ф
bo + Со sin ф
В случае (23) параметры Ь0 и с0 принимают прежние значения и Ь0 Зависимость ф(р) найдем из второй формулы системы (23)
ф = 2 arctan
tan ф (bo + Со tan ф^
22
Из первого соотношения системы (23) имеем равенство
(23)
1 + с0-
(24)
t-tn
dp
Ро + qo sin ф
(25)
Р0
При обращении интеграла (25) можно найти зависимость ф = ф(Ь). Здесь значения р0, д0 не обязательно связаны условием р2 = 1 + Поэтому при интегрировании (25) возможны три варианта [14].
Вместо формулы (24) целесообразно использовать соотношение
. . b0 sin ф + С0 — С0 sin ф
ф = arcsin------.
bo(bo + Со sin ф)
Подвижный годограф задается уравнениями
aL sin ф(£) . . aL cos ф(Ь) , .
"i = о „Г p(t), = p(t), =
(26)
1 + ^(t).
a(t) ¿ a(t) ó V ^(t)
В (27) введены обозначения a(t) = ьо + со sin ф^), ¡i(t) = ро + q0 sin ф^).
(27)
a) qo = 5
б) qo = 10 Рис.5 a = 0.295 со = 0.01 ро = 10)
в) qo = 70
р
На рис. 5 представлены характерные виды подвижного аксоида вектора угловой скорости в зависимости от изменения параметра qo.
Неподвижный годограф характеризуется соотношениями
1 \ / . bo sin p(t) + Со - Со eos p(t)
- ) y(t), Шр = \a'o^(t)\, а = aresin--——-,
a(t) J boo(t)
(28)
где p(t) определяется из формулы (25). Hanример, при p^ = 1 + q0 (p0,q0 не пропорциональны b0,c0), имеем
p0 (sin t + q0 eos t — q0) eos t — q0 sin t
sin p(t) = —2--¡—.-г, eos p(t)
p0 — q0(sint + q0 eos t)' p0 — q0(sint + q0 eos t)
Эти выражения удобно использовать в формулах (28).
Остановимся на нахождении зависимости p(t) из интеграла (25). Начальное значение при t = 0 перемени ой p возьмем равным p0. Пуст ь p0 > 0 p2 — q2 > О, тогда
p п \ (p0 + q0)S(t) + Г0 tan {^t — f)
taV2 J r0 — (p0 — q0)6(t)tan (f — f) ' (29)
где r0 = \Jp0 — q0, S(t) = tan yt. Если принять p0 = 0, то из (25) получим формулу
p0(q0 eos r0t + Г0 sin r0t — q0)
sin p = -:-;-г •
p0 — q0(q0 eos r01 + r0 sin r0t)
Тогда
p0r¡2 r0 (r0 eos r0t — q0 sin r0t)
p0 + q0 sin p = pg — „(» eos r01 + r0 sin r0t)' e°8 p = p¡, — „(» eos r01 + r0 sin r0t)
Эти формулы можно использовать в соотношениях (28).
Рассмотрим случай p0 < q0, p0 > 0. Если при t = 0 p = 0, то из (25) имеем
tan (Р — 4) = ÍÍÍíÍPI^ <3°>
r0 2
Здесь через ^обозначено r0 = \J q0 — p0-q0 = p0
tan Р = —p0—. (31)
2 2 — p0t v ;
Из соотношений (30), (31) следует, что при t ^ ж p ^ Щп.
7. Прецессионно-изоконические движения общего вида: второй класс
Рассмотрим прецессионно-изоконические движения второго класса, для этого положим ф = ф = do + fo sin ф = д(ф), т.е. ф^) = ф^). Подвижный годограф при этом определяется соотношениями
Ш1 = aig^sin ф, Ш2 = aig^cos ф, шз = (1 + ао)д(ф). (32)
Для изучаемого движения зависимость может быть трех видов [14]. Подвижный годограф (32) вектора угловой скорости гиростата является линией пересече-
/2 / Г 1
2 I 2 ап 2 ап шз шч 1
ния конуса + ш2 = (1+ап)2 и поверхности, = (1+пап)^п 1+аП _ •
Для прецессионно-изоконического движения второго класса характерные виды подвижного аксоида вектора угловой скорости в зависисмости от значений параметра /0 представлены на рис. 6.
a) fo = 1
б) fo = 10
Рис.6 К = 0.17 do = 1)
Неподвижный годограф вектора угловой скорости для этого типа движений задается равенствами
uz = (1 + ao )g(p), up = \a/^g(p)\, a = ^(t) + c = ^(t) + c.
Таким образом, исследованы свойства подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости гиростата в случае прецессионно-изоконических движений определенных типов. Сделан вывод о том, что в случае прецессионно-изоконических движений следующих видов — регулярная прецессия, полурегулярная прецессия первого типа, полурегулярная прецессия второго типа — годографы вектора угловой скорости представляют собой плоские линии. В случае прецессионно-изоконических движений общего вида годографы являются пространственными кривыми.
Список цитируемых источников
1. Харламов П. В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку / П.В.Харламов // Прикл. математика и механика. — 1964. — Т. 28, вып. 3. - С. 502-507.
2. ГоррГ. В. О регулярной прецессии относительно вертикали в одной задаче динамики твердого тела / Г. В.Горр, Н. В. Курганский // Механика твердого тела. — 1987. — Вып. 19. - С. 16-20.
3. Харламов П. В. Современное состояние и перспективы развития классических задач динамики твердого тела / П. В. Харламов // Механика твердого тела. — 2000. — Вып. 30. - С. 1-13.
4. СтекловВ.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку / В.А.Стеклов // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. — 1899. — Т. 10, № 1. — С. 1-3.
5. FabbriR. Sopra una soluzione particolare delle equazioni del moto di un solido pesante ad un punto fisso / R. Fabbri // Atti. Accad. Naz. Lincei, Cl. Sei. Fis. Mat. e Nat. — 1934. - 19, № 6. - P. 407-415, 495-502, 872-873.
6. Харламова E. И. Исследование решения В.А.Стеклова уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку / Е.И.Харламова, Г.В.Мозалевская // Мат. физика. - 1968. - Вып. 5. - С. 194-202.
7. Харламов П. В. Разделяющие движения гироскопа Лагранжа / П.В.Харламов // Механика твердого тела. — 1979. — Вып. 11. — С. 17-22.
8. ВархалевЮ.П. К вопросу о классификации движений гиростата Жуковского / Ю.П.Вархалев, Г.В.Горр // Прикл. механика. — 1984. — Т. 20, №8. — С. 104-111.
9. ГоррГ. В. Методы исследования движений твердого тела и их приложение в классификации движений // Механика твердого тела. — 1982. — Вып. 14. — С. 54-74.
10. Харламова Е. И. Об одном движении тела, имеющего неподвижную точку / Е.И.Харламова // Механика твердого тела. — 1970. — Вып. 2. — С. 35-37.
11. АппелъротГ. Г. Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки / Г. Г. Аппельрот // Уч. зап. Моск. ун-та. отд. физ.-мат. наук. — 1894. — Т. 2, вып. 11. — С.1-112.
12. Griolt G. Esistenza е determinazione delle precessioni regolari dinámicamente possibili per un solido pesante asimmetrico / G. Grioli // Ann. di Matern, pura ed Applic. — 1947. — S. 4. — V. 24, f. 3-4. - P. 271-281.
13. ГоррГ.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел / Г. В.Горр // Прикл. математика и механика. — 2003. — Т. 67, вып. 4. — С. 573-587.
14. ГоррГ. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в динамике систем связанных твердых, тел / Г. В. Горр, А. В. Мазнев, Е. К. Щетинина. — Донецк: ДонНУ, 2009. - 222 с.
15. KirchhoffG.R. U/ber die Bewegung eines Rotationkörpers in einer Flüssigkeit / G. R. Kirchhoff // J. für die reine und angew. Math. - 1870. - Bd. 71. - S. 237-262.
16. ГоррГ.В. Изоконические движения в динамике твердого тела с неподвижной точкой / ГоррГ.В., СаркисьянцЕ.В., УзбекЕ.К. — Донецк: Ин-т прикл. математики и механики HAH Украины, 2001. — 30 с. — (Препринт / HAH Украины, Ин-т прикл. математики и механики; 03.01).
Получена 5.10.2010