CC BY
22КОМПЬЮТЕРНАЯ ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКИ
Г. В. Горр,
доктор физ.-мат.наук, профессор, Донецкий национальный университет,
Е.К. Щетинина, доктор физ.-мат.наук, профессор, Донецкий национальный университет экономики и торговли
им. Михаила Туган-Барановского, г. Донецк, УКРАИНА
Викладаються тдходи застосування засобгв комп'ютерних технологт у викладанш курЫв геометры i мехатки у вищт школ1, як1 дозволяють добитися наочног в1зуал1заци основних властивостей до^джуваних об'eктiв. Розглянутi конкретш областi вико-ристання даних пiдходiв в аналтичнт геометры, диференщальнт геометры i теоретичны механщ.
Ключовi слова: комп'ютерна вiзуалiзацiя, аналтична i диференщальна геометрiя, механжа.
Постановка проблемы. В обучении математике вопросам создания и использования средств наглядности придается большое значение [3, 4, 12, 13]. К ним относят и знаково-символьный подход, позволяющий формировать визуальную культуру учащихся в процессе обучения математике, что, несомненно, является одним из факторов математического развития школьников [11]. В настоящее время проблема визуализации математических объектов приобрела новое наполнение с развитием информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в обучении. Например, они интенсивно используются в эвристическом обучении математике в школе [12], поскольку оно в большей мере направлено на формирование учебно-познавательной и исследовательской деятельности ученика. Компьютерная графика, как средство наглядности в процессе обучения геометрии, используется для создания динамических изображений, особенно стереометрических объектов [11, 15].
Рассматриваются различные педагогические программные средства для решения
математических задач, среди которых и задачи курса аналитической геометрии [9].
Однако методы использования компьютерных технологий, посвященные компьютерной визуализации различных свойств геометрических объектов в преподавании математики в высшей школе, применяются не в полной мере.
Анализ актуальности исследования. В высшей школе большое внимание уделено геометрическим курсам (аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, проективной геометрии), в которых очень часто приходится применять компьютерную графику для более полного визуального восприятия студентами изучаемого объекта. В теоретической механике и других разделах аналитической механики также в значительной степени используют методы визуализации в изложении многих свойств механических систем. Русский ученый Н.Е. Жуковский отмечал [8]: «Можно говорить, что математическая истина только тогда должна считаться вполне обработанной, когда она может быть объяснена всякому из публики, же-
®
лающему ее усвоить. Я думаю, что если возможно приближение к этому идеалу, то только со стороны геометрического толкования или моделирования». Эти слова были сказаны на заседании, посвященном 25-летию Московского математического общества. В своих трудах Н.Е. Жуковский большое внимание уделял применению геометрических методов (см. обзор [5]).
В настоящее время в связи с появлением персональных компьютеров значительно расширились не только возможности общего геометрического толкования математических фактов, но и их демонстрация на мониторах компьютеров и экранах других приборов. Это относится как к изложению геометрических курсов в высшей школе, так и курсов по теоретической механике.
Целью статьи является изложение авторских подходов в применении компьютерной визуализации геометрических объектов в аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и механике.
Изложение основного материала. Остановимся вначале на изложении подходов в визуализации геометрических свойств объектов по аналитической геометрии. Аналитическая геометрия состоит из двух разделов: теории кривых и теории поверхностей.
При изложении теории кривых используют различные приемы [1, 2, 10]. Если у студентов, как правило, нет затруднений в понимании таких объектов, как прямая и окружность, то при исследовании эллипса им может помочь его компьютерная визуализация. Для ее реализации необходимо показать движение точки по эллипсу с сохранением суммы расстояний от этой точки до двух данных точек. При этом отрезки от данной точки до фокусов целесообразно выделить, например, с помощью контрастного изображения. Кроме этого при пара-
2 2 x y
метризации эллипса — + — = 1 в виде
a b
x = a cos t, y = b sin t студенты не всегда понимают роль параметра t . Поэтому с помощью компьютерной визуализации
двух окружностей с радиусами а и Ь можно легко изложить геометрический смысл параметра ^ [2].
Парабола изучается и в средней и в высшей школе. Поэтому у студентов возникает мнение о тривиальности данного геометрического объекта. Однако при исследовании свойств данной кривой возникают трудности. Для изучения параболы следует при компьютерной динамической визуализации не только подчеркнуть традиционное ее свойство (равенство расстояний от данной точки до фокуса и директрисы), но и на экране показать, что парабола -единственная кривая, для которой поднормаль постоянна в каждой точке параболы. Это позволит указать связь курса аналитической геометрии и курса математического анализа.
При изучении гиперболы можно использовать тот же подход, что и при изучении эллипса.
Теория поверхностей в аналитической геометрии также нуждается в использовании компьютерной визуализации. При изложении поверхности шара следует на основе компьютерной визуализации ввести как сферические координаты, так и географические. Кроме этого необходимо показать параллели и меридианы, что позволит студентам в дальнейшем при изучении дифференциальной геометрии более полно понять роль координатных линий.
Особенно эффективен метод компьютерной визуализации при изучении гиперболического параболоида и однополостно-го гиперболоида («поверхности Шухова»). Это позволит студентам более четко понять строение гиперболического параболоида в точке, в окрестности которой поверхность располагается по разные стороны от касательной плоскости. При изображении однополостного гиперболоида необходимо при динамической визуализации использовать только прямые (или отрезки прямых) и при его анализе подчеркнуть практическое применение для построения конструкций в виде однополостных гиперболоидов только прямолинейных конструкций.
При изучении эллипсоида методом компьютерной визуализации необходимо с помощью демонстрационных средств показать аналоги параллелей и меридианов, а также ввести эллиптические координаты. Но наиболее принципиальным для приложений является подход, в котором на экране показывается линия пересечения эллипсоида и плоскости, проходящей через центр эллипсоида. Изменяя на экране положение плоскости, можно показать, что существует сечение, являющееся окружностью. Этот факт находит применение в динамике твердого тела [6] в теории геометрии масс и способах закрепления твердых тел в неподвижной точке [7].
Когда изучается двуполостный гиперболоид, то с помощью компьютерной визуализации следует показать, что в окрестности каждой точки эта поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости.
Поверхности цилиндр и конус наиболее полно воспринимаются студентами визуально. Тем не менее, следует в динамике показать на экране все сечения плоскостью конуса, объяснив возможность изучения плоских кривых второго порядка на основе конических сечений.
Принципиальное отличие курса «Дифференциальная геометрия» от курса «Аналитическая геометрия» состоит в том, что в курсе «Дифференциальная геометрия» кривые изучаются локально. Поэтому при использовании методов визуализации в дифференциальной геометрии следует во вводной части привести примеры кривых и поверхностей глобально, а затем дать информацию о разнообразии форм поверхности локально в окрестности обыкновенной точки.
Рекомендуется вначале студентов ознакомить с известными плоскими кривыми (циклоидой, винтовой линией, лемнискатой Бернулли, улиткой Паскаля, астроидой и др.). Это позволит студентам понять, что разнообразие изучаемых кривых значительно больше, чем в аналитической геометрии.
При изучении кривых произвольной
формы целесообразно построить трехгранник Френе, используя компьютерную визуализацию по частям (касательная, главная нормаль, бинормаль). Указав на экране движение трехгранника Френе, последить за изменением касательной и бинормали по отношению к кривой и вектора угловой скорости трехгранника. Так, например, при изображении плоских кривых показать, что все бинормали между собой параллельны и свойство кривой можно определить только с помощью кривизны. Интерпретацию этого понятия пояснить на рисунке, в котором указать скорость вращения касательной. Это позволит, вернувшись к рассмотрению пространственной кривой, ввести определение понятия кручения как скорости вращения единичного вектора бинормали. Далее целесообразно рассмотреть простейшие классы кривых (окружности, винтовой линии, линии постоянной кривизны, линии Бертрана), подчеркнув на экране геометрические свойства их инвариантов - кривизны и кручения.
Вторая часть дифференциальной геометрии позволяет в значительно более широких диапазонах использовать компьютерную визуализацию. Особенно она важна при введении координатных линий. Возможность различных способов задания координатных линий можно осуществить визуально на плоскости, приняв две системы координат - прямоугольную и полярную. Визуальное введение координатных линий позволяет в этом же направлении построить касательную плоскость и вектор нормали к поверхности.
Так как при дальнейшем изложении дифференциальной геометрии используются кривизны нормальных сечений, то на основе компьютерной визуализации необходимо рассмотреть нормальную плоскость к поверхности для произвольной кривой, проходящей через данную точку. Изобразив сечение данной плоскости и поверхности, ввести сечение, которое называется нормальным сечением.
Для иллюстрации метода изучения строения поверхности в окрестности обыкновенной точки необходимо в динамике
рассмотреть примеры, характеризующие различные свойства нормальных сечений (например, нормальные сечения для плоскости, сферы, кругового цилиндра, гиперболического параболоида в седловой точке, двуполостного гиперболоида). Такой подход позволяет легко ввести понятие главных кривизн, как экстремальных значений нормальной кривизны, а направления, в которых осуществляются эти значения, назвать главными направлениями. После этого целесообразно вернуться к рассмотренным поверхностям, показав главные направления и нормальные сечения, им соответствующие. В качестве комментария к указанным рисункам легко ввести классификацию точек поверхности на основе полной кривизны K = кх ■ к2, где к1 и к2 -главные кривизны. Следует привести примеры поверхностей с положительной, отрицательной и нулевой постоянными гауссовыми кривизнами.
Для более глубокого применения средств визуализации можно на касательной плоскости к поверхности построить индикатрису Дюпена, которая служит для классификации точек поверхности. Компьютерную визуализацию, использованную для демонстрации разнообразия нормальных сечений плоскости, сферы, цилиндра, можно применить для интерпретации формулы Эйлера
кп = kj cos2 j + к2 sin2 j, где j - угол между касательной, определяющей главное направление, и касательной, характеризующей произвольное направление. В заключение целесообразно привести примеры поверхностей с постоянной полной кривизной и отметить, что полная кривизна не изменяется при изгибании без деформации поверхности.
Рассмотрим пример применения метода компьютерной визуализации в механике. Как было отмечено выше, по мнению Н.Е.Жуковского в теоретической механике полученный результат всегда необходимо сопроводить геометрической интерпретацией. В динамике твердого тела с одной неподвижной точкой имеет место теорема
Пуансо о представлении движения тела качением подвижного годографа угловой скорости по неподвижному. Эта теорема дает возможность показать тесную связь механики и дифференциальной геометрии. Применить методы визуализации к теореме Пуансо стало возможным после того, как П.В. Харламов [14] вывел новую форму уравнений неподвижного годографа. Обзор результатов, полученных в этом направлении, можно найти в книге [5].
Поскольку в теореме Пуансо используются свойства пространственных кривых, то на начальном этапе может быть предложен подход компьютерной визуализации прецессионно-изоконических движений твердого тела с неподвижной точкой. Это обусловлено тем, что для изоко-нических движений подвижный годограф симметричен неподвижному относительно касательной к ним плоскости, т.е. применение метода компьютерной визуализации позволяет построить два конгруэнтных годографа. Тогда применение теоремы Пуан-со для интерпретации изоконических движений, осуществленной визуально на экране, позволяет наглядно представить движение гиростата. Условия существования прецессионно-изоконических движений, можно найти в книге [6]. Используя, изложенные там результаты, легко построить годограф угловой скорости в конкретных случаях интегрируемости уравнений динамики твердого тела.
Эффективными примерами визуализации движений гиростата могут быть, наряду с прецессионными движениями, асимптотически-равномерные движения (неподвижный годограф является спиралью), периодические движения (кривые замкнутые, их длины соизмеримые) и другие движения.
Выводы. Таким образом, в статье рассмотрены конкретные области применения компьютерной визуализации геометрических объектов в преподавании курсов геометрии и механики в высшей школе.
1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии / П. С. Александров. - М. : наука,
©
1968. - 912 с.
2. Бахвалов С.В. Аналитическая геометрия / С.В. Бахвалов, Л.И. Бабушкин, В.И. Иваницкая. -М.: Просвещение, 1970. - 376с.
3. Болтянский В.Г. Как развивать «графическое мышление» / В.Г. Болтянский //Математика в школе. -1978. - № 3. С. 16-23.
4. Вопросы теории и практики создания и использования средств наглядности для обучения учащихся: Сб. научн. тр. /Подред. Т.К. Молчановой и Т. С. Назаровой. - М. : НИИ шк оборудования и техн. средств обучения, 1980. -168 с.
5. Горр Г.В. Классические задачи динамики твердого тела / Г.В. Горр, Л.В. Кудряшова, Л.А. Степанова - К. : Наук. думка, 1978. - 294 с.
6. Горр Г.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в динамике систем связанных твердых тел / Г.В. Горр, А.В. Мазнев, Е.К Щетинина. - Донецк: ДонНУ, 2009. - 222 с.
7. Горр Г.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку /Г.В. Горр, А.В. Мазнев. -Донецк: ДонНУ, 2010. - 364 с.
8. Жуковский Н.Е. О значении геометрического истолкования в теоретической механике / Н.Е. Жуковский //Математический сборник. - Т. 8. - Вып. 1. -1896. - С. 37.
9. Кобильник Т.П. Програмування в середо-вищ MAPLE для розв 'язування задач аналтичног геометрп / Т.П. Кобильник // Дидактика математики: проблеми i дошдження: М1жнар. зб.
наук. робт. - 2006. - № 26. - С. 160-164.
10. Павлов О.Л. Аналтична геометр1я / О.Л Павлов. - Донецьк: ДонНУ, 2007. -175 с.
11. Симан СМ. Комп 'ютерна граф1ка як за-абунаочнення наурокахгеометрп/СМ. Симан// Дидактика математики: проблеми i дошдження: МЛжнар. зб. наук. робт. - 2007. -№ 28. - С. 149 -153.
12. Скафа О.1. Комп 'ютерно-ор1ентован1 уроки в евристичному навчанн математики: навчаль-но-методичний пос1бник / О.1. Скафа, О.В. Тутова. - Донецьк: Вид-во «Вебер» (Донець-ка фтя), 2009. - 320 с.
13. ТарасенковаН.А. Використання знаково-символ1чних засоб1в у навчанн математики / Н.А. Тарасенкова. - Черкаси: В1длуння-Плюс, 2002. - 400 с.
14. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела /П.В. Харламов. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1965. - 221 с.
15. Якимович В.С. Методика индивидуализированного обучения решению стереометрических задач на построение с использованием ППС «Визуальная стереометрия» / В.С. Якимович // Дидактика математики: проблемы и исследования: Междунар. сб. научных работ. - 2007. - № 28. -С. 100 -104.
Резюме. Горр Г.В., Щетинина Е.К. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОЙ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ПРЕПОДАВАНИИ КУРСОВ ПО ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКЕ. Рассматриваются вопросы компьютерной визуализации геометрических объектов в преподавании различных курсов в высшей школе. Даны конкретные практические рекомендации в выборе свойств геометрических объектов по курсам аналитической и дифференциальной геометрии, по теоретической механике.
Ключевые слова: компьютерная визуализация, аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, теоретическая механика.
Abstract. Gorr G., Shchetinina E. THE APPLICATION OF METHODS OF COMPUTER VISUALIZATION OF GEOMETRICAL OBJECTS IN THE TEACHING OF GEOMETRY AND MECHANICS. The questions of computer visualization of geometric objects in teaching of various courses at higher school are considered. Concrete practical recommendations in the choice of properties of geometrical objects on the courses of analytical and differential geometry, on theoretical mechanics are given.
Key words: computer visualization, analytical geometry, differential geometry, theoretical mechanics.
Надшшла доредакцп 14.09.2010р.
