CC BY
9РОЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПРЕПОДАВАНИИ СПЕЦКУРСОВ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Г.В. Горр
доктор физ.-мат. наук, профессор, Донецкий национальный университет,
Е.К. Щетинина, доктор физ.-мат. наук, профессор, Донецкий национальный университет экономики и торговки
им. М. Туган-Барановского, г. Донецк, УКРАИНА, e-mail: himtem. dep@donnu. edu. ua
-i.......i-
Досл1джено значения геометричних метоЫв в моделюванш pyxie мехашчних систем. Запропоновано комплекс застосувань в спещальних курсах з математичного мо-делювання сучасних пiдxодiв юнематичного тлумачення pyxiв твердого тша з нерухо-мою точкою. Розглянуто модифтащю метода годогpафiв Пуансо, застосування новог формули для до^дження нерухомого годографа, застосування nаpаметpiв Родрига-Гамшьтона i вектора сшнченного повороту.
Ключовi слова: математичне моделювання, мехатчна система, тверде тшо з не-рухомою точкою.
Постановка проблемы. В настоящее время курс «Аналитическая механика» не входит в перечень нормативных дисциплин учебных программ университетов Украины. Однако, современный специалист в области исследования движения технических объектов (роботов, манипуляторов, спутников и др.) должен не только знать основные законы механики, но и уметь с помощью этих законов и математических методов проводить моделирование движений указанных механических систем. Поэтому в ряде вузов Украины (в частности, в Донецком национальном университете) теоретическая механика и элементы аналитической механики преподаются в рамках специальных курсов. При этом в процессе чтения спецкурсов необходимо уделить внимание различным разделам указанных дисциплин. Опыт преподавания в ДонНУ спецкурсов по математическому моделированию движений механических систем показывает, что изучение многих спецкурсов (например, спецкурсов по устойчивости движений, управляемости, наблюдае-
мости) требует применения современных математических методов, которые излагаются в широком спектре математических дисциплин университетов. Геометрические методы в силу ограниченности часов по спецкурсам и требований применения специальных приемов изложения материала не всегда преподаются в необходимом для студента объеме. Это отражается на общем уровне подготовки выпускников университетов. В данной статье предложена система преподавания геометрических методов в специальных курсах по математическому моделированию движений твердого тела с неподвижной точкой. Она основана на модификации метода годографов Пуансо [1], применении новой формулы для исследований неподвижного годографа [2], использовании параметров Родрига-Гамильтона и вектора конечного поворота [3].
Анализ актуальности исследования. Развитию научно-методических приемов преподавания геометрических методов в средней школе посвящена значительная литература (см., например, [4-6]). Во мно-
гих научных областях в толковании итоговых результатов используются геометрические методы. Так выдающийся механик Н.Е.Жуковский отмечал [7], что с помощью методов математического моделирования и геометрического истолкования можно добиться того, что математический результат будет понятен «всякому из публики, желающему его усвоить». При изложении геометрических методов аналитической механики в первую очередь рассматриваются геометрические методы в динамике твердого тела с неподвижной точкой. Они основаны на известной теореме Л. Пуансо [1], согласно которой движение твердого тела с неподвижной точкой можно представить посредством качения без скольжения подвижного годографа вектора угловой скорости по неподвижному годографу. Изложению результатов по кинематическому истолкованию движений в динамике твердого тела посвящена книга [3]. В частности, в ней рассмотрены основные достижения в динамике твердого тела в применении геометрических методов. Поэтому представляется актуальным при чтении курсов по математическому моделированию движений твердого тела использовать современные подходы в истолковании движения (в том числе и компьютерную визуализацию геометрических объектов [8] - подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости).
Целью статьи является разработка в спецкурсах по моделированию движений механических систем комплексной методики применения современных подходов кинематического истолкования движения твердого тела с неподвижной точкой.
Изложение основного материала. Поскольку в Донецком национальном университете чтение спецкурсов по математическому моделированию движений механических систем начинается с курса «Введение в динамику твердого тела», то изучение геометрических методов необходимо начинать именно в этом спецкурсе.
1. Вначале лектор знакомит студентов с основной кинематической формулой V = ш х г, где ш - угловая скорость тела, г - вектор, направленный из неподвижной
точки в рассматриваемую точку тела, v -скорость данной точки. При этом изложении следует подчеркнуть, что вектор ш полностью определен скоростью двух точек тела, не лежащих на одной прямой с неподвижной точкой. Для наглядности результата можно привести векторную формулу , v 2). Используя геометрическое истолкование формулы для v, нужно доказать, что в теле имеется такая ось (ось мгновенного вращения), скорости точек которой равны нулю. Введение вектора угловой скорости позволяет дать определение подвижного и неподвижного годографов этого вектора и сформулировать теорему Пуансо о том, что движение тела с неподвижной точкой можно представить качением без скольжения подвижного годографа по неподвижному. Лекция по этому пункту читается в течение 2 часов.
2. На следующей лекции целесообразно для геометрического истолкования движения (первоначальные сведения указаны в п. 1) ввести углы Эйлера. Лектор должен в краткой форме, используя известную картину взаимного расположения подвижного и неподвижного базисов, пояснить способ введения углов Эйлера и выписать компоненты вектора угловой скорости ш , задающего подвижный годограф
Oj = \j/sin0sin(|) + 0cos(|),
ш2 = \j/sin 0 cos ф - 0 sin ф, (1)
ш3 = \j/ cos 0 + ф, где в, р, щ - углы Эйлера. Далее формулируется основная цель механики - нахождение функций в(), p(t), y(t). Подчеркивается, что функции в(), p(t), iy(t) позволяют найти с помощью углов Эйлера положение подвижного базиса относительно неподвижного базиса в любой момент времени t. В заключение лекции целесообразно выписать формулы для ю^ , юл ,
С (компонент неподвижного годографа вектора ш):
СС>5 = 0COS\|/ + <j)SÍn0SÍn\|/,
со = 0 sin \|/ - ф sin 0 COS \|/, (2)
со^ = \¡/ + фсоэв.
Подводя итог результатов лекции, необходимо подчеркнуть, что функции 0(t), p(t), iy(t) дают возможность из соотношений (2) найти компоненты неподвижного годографа о (t), о (t), о (t) и
тем самым применить теорему Пуансо.
Отметим, что, как правило, в учебниках и монографиях по механике представление движения тела с помощью углов Эйлера не связывают с представлением движения методом Пуансо.
Предлагаемый выше подход (п.1, 2) в кинематическом истолковании движения тела позволяет слушателю на начальном этапе изучения геометрических методов получить полную информацию об основных способах представления движения тела.
3. После введения углов Эйлера необходимо рассмотреть традиционный материал, посвященный понятию относительной и абсолютной производной, что позволит сделать вывод о том, что относительная и абсолютная производные вектора угловой скорости совпадают
r dw d W ^
V
dt dt
а относительная производная неподвижного в пространстве вектора V равна:
d V
dt
= V X w .
Далее следует отметить, что компоненты векторов v и ш находятся в результате интегрирования уравнений
dV dШ ч
= v х ш —— = F(v, ш). (3) dt dt
Записывая решение уравнений (3) в виде
V (t) = V1 (t) э1 + V2 (t) э2 + ^3 (t) э3.
(4)
ш (t) = а\ (t)э1 +œ2 (t)э2 + о)3 (t)э3, на лекции подчеркивается, что Э (i = 1,2,3) - единичные векторы подвижной системы координат.
Отмечается также, что на основании формул (4) можно ввести окружную ско-
рость для вектора w(t) и получить уравнения неподвижного годографа П.В. Харламова [9].
О (t) = о (t)cos a (t),
шл (t) = ор(t)sina(t),
a,(t) = w(t). v (t), (5)
(t )=о2 (t )-©2 (t),
t y
t0 р V /
В заключение рассмотрения данного пункта приводятся примеры кривых, задающих подвижный и неподвижный годографы (4) и (5) [3]. При этом внимание слушателей необходимо направить на вариант, когда подвижный и неподвижный годографы являются замкнутыми соизмеримыми кривыми, так как в этом случае движение тела будет периодическим.
4. На четвертой лекции целесообразно связать методы истолкования движения тела с помощью углов Эйлера и теоремы Пуансо, в которой используются уравнения (5). Прежде всего, необходимо рассмотреть формулы, дающие возможность нахождения углов Эйлера через компоненты векторов (4). Для того чтобы показать инвариантность итоговых соотношений целесообразно применять векторный подход, основанный на формулах (4). Вначале лектор приводит соотношения
Vj = v • э = cos 0,
v2 = v • э2 = sin 0 cos ф, (6)
V = v • э3 = sin 0 sin ф, которые показывают возможность нахождения функций 0(t), p(t) в виде
0( t ) = arccos ( v (t )• э (t)), ж/ч v (t )• эз (t) (7)
ф( t )=arctg4wt) ■
Затем он обращается к формулам (1) и на основе равенств (6) записывает соотношение
■ (w (t)х эз (t))•(v (t)х эз (t(8)
(v (t)х эз (t))2 ^
Таким образом, формулы (7), (8) позволяют по известным функциям v(t) и w(t)
w
(t ) = í
найти функции e(t), p(t), y(t). Далее необходимо сопоставить формулы (5) и (7), (8) и сделать вывод о том, что подинте-гральная функция в последней формуле (5) зависит от производных вектор-функции ш(|) из (4). Тем самым обосновывается актуальность задачи нахождения аналога формулы из (5), в которой не содержались бы указанные производные. Отмечается, что такая формула получена лишь в последнее время [10]. При записи ее применяется также векторный подход
(ш (t )Х V (t ))•( V (t )Х Э3 )
а = а0 + arctg-
+
(ш (t )х V (t )\ I (ш(t)xЭ3НV(t)xэ3) dt
к (V (t )Х э3 )2
+
(9)
В заключение изложения данного пункта отмечается связь формул (8), (9).
5. В этом пункте мы предлагаем рассмотреть классический случай Эйлера движения твердого тела вокруг центра масс. При этом не обязательно приводить решение Эйлера через эллиптические функции. Достаточно отметить, что подвижный годограф вектора угловой скорости является линией пересечения двух эллипсоидов с центрами в неподвижной точке, а подвижный годограф - плоской кривой. Следовательно, движение тела в случае Эйлера представляется качением эллипсоида по плоскости. Для наглядности изложения можно привести рисунок, на котором изображены эллипсоид и плоскость, которая является касательной плоскостью к данному эллипсоиду. Далее со ссылкой на книгу [3] приводится краткая информация о том, что в общем случае неподвижный годограф не является плоской кривой. Это обстоятельство снижает наглядность в представлении движения тела и возникает необходимость в модификации метода. Задавая вектор ) так, чтобы выполнялось равенство
Ь(г) = Ъ(г )ш(г) (Ъ(г) > 0), (10) лектор доказывает, что в качестве метода истолкования движения тела может быть использован метод, основанный на качении без скольжения подвижного годографа вектора Ь(^) по неподвижному годографу
этого вектора
Ь(/) = Ъ( к >х + ш^ )12 + ^ ()3), (11) где 1Х, 12, 13 = ) - неподвижный базис. Получение неподвижного годографа вектора Ь(^) (11), который лежит в плоскости, ортогональной вектору V(), может основываться на следующем выборе функции Ь(^)
Ъ (' ) = 7Т^ Ы' )> 0). (12)
шс(г)
Тогда в силу (12) неподвижный годограф Ь(г) (11) примет вид
шД0 • , шД0 .
1, +-— 12 + 1 3. (13)
b(t) =
c(t) 1 c(t)
23
(I ) ш £ \ т 1
Он лежит в плоскости £ = 1. Подвижный годограф Ь(^) получим из (4)
= Ш (К +ш2 (Ф 2 +Ш3(К)- (14)
В заключение изложения данного материала отмечается, что получены явные формулы для вектора Ь(^) (13), (14), которые используются в кинематическом истолковании. Можно подчеркнуть, что используемый выше метод, позволил автору статьи [10] для решения В.А. Стеклова (см. обзор [3]) получить следующий результат -движение гироскопа Стеклова можно представить качением без скольжения одного эллипса по другому.
6. В качестве заключительного пункта в изложении геометрических методов кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой следует рассмотреть применение параметров Родрига-Гамиль-тона. Необходимо ввести вектор конечного поворота
к
c = 2a tg—, 2
(15)
где a - единичный вектор оси вращения, а к - угол поворота вокруг него, и отметить, что с помощью вектора c можно осуществить поворот тела из начального его положения в конечное положение. Далее следует привести выражение для вектора a :
a = cosаэ1 + cos (э 2 + cos^3, (16) где а, (, у - углы, которые образует вектор a с векторами э1, э 2, э 3 , и способ
©
введения параметров Родрига-Гамильтона
À, À, À, À
- К . .К
An = cos —, A, = cos a sin—, 0 2 1 2
= cos P sin-^, = cos y sin .
После этого записываются формулы
0 IV +
— cos-
2 2
(17)
. G щ + p À = cos — cos -
(18)
, • G щ-p
À = sin — cos-,
2 2
À = sin-sin-,
2 2
, G . щ+p
À = cos — sin-
2 2
и делается вывод о том, что если будут найдены зависимости G(t), p(t), iy{t), то
по формулам (18) определяются параметры Родрига-Гамильтона, а из соотношений (17) можно получить cos а , cos ß , cos у . Компоненты вектора конечного поворота (15) находятся при рассмотрении скалярной формы векторов a и c и учета формулы (16).
Выводы. Таким образом, для того чтобы знания выпускников ДонНУ соответствовали современным требованиям специалистов в области моделирования движений механических систем необходимо усилить подготовку студентов в области геометрических методов в механике. В статье показано, что рассмотрение этих методов в рамках спецкурсов по математическому моделированию целесообразно проводить по указанной в данной статье системе, которая учитывает современные достижения в динамике твердого тела.
1. PoinsotL. Theorie nuovelle de la rotation des corps / L. Poinsot //J. Math. Pures et Appl. -1851. -Bd. I, № 16. - P. 289-336.
2. Го_pp Г.В. Об одном nодxодe в npuмeнeнuu meоpeмы Пу<лнсо кuнeмаmuчecкого ыстолкова-
ныя двuжeнuя mem с нenодвuжной точкой /Г.В. Го_pp //Дыдактыка маmeмаmuкu: npоблeмu i до-cлiджeння: мiжнаp. зб. наук. pобm / peдкол.: О.1.Скафа (наук. peд.) та т.; Донными нац. унт; 1нстытут ждаго^кы Акад. жд. наук y^arnu; Нацюнальнт жд. ун-т т. МП^агоманова. -Донщьк, 2012. - Bun. 3S. - С. 51-55.
3. Гaшeнeнко И.Н. Клaccuчecкue зaдaчu ды-нaмuкu mвepдого mem / И.H.Гaшeнeнко, r.Brpp, A.M.Ковaлeв. - Кшв: Наукова дyмкa. -2012. - 401 с.
4. Болтянскый В.Г. Как paзвывamь гpaфычe-cкоe мъшлeнue / В.Г.Болтянстй //Mamerntamum в школe. -1978. - № 3. - С. 16-23.
5. Волосы meоpыu u npaxmum созданыя u ucnользовaнuя cpeдcmв нaглядноcmu для обyчe-ныя yчaщuxcя: сб. научн. mp. / Под peд. Т.КМолчановой u Т.С.Haзapовой. - M. : НИИ шк. обоpyдовaнuя u mexrn cpeдcmв обyчeнuя. -1980. - 16S с.
6. Скафа Е.И. Эвpыcmuчecкый nодxод в обу-чeнuu мameмamuкe / Е.И.Скафа // Дыдактыка мameмamыкы: npоблeмы i доcлiджeння: мiжнap. зб. наук. pобim /peдкол.: О.1.Скафа (наук. peд.) та т.; Донщькый нац. ун-т; 1нстытут ждагоа-кы Акад. жд. наук y^yarnu; Нацюнальнт neà ун-т м. M.П.Дpaгомaновa. - Донщьк, 2000. -Bun. 14. - С. 34-39.
7. Жуковскый Н.Е. О знaчeнuu гeомempычe-ского ыстолкованыя в meоpemuчecкой мexaнuкe / Н.ЕЖуковскый // Со6p. соч. : в Z т. - М.-Л.: Гос-mexueàam, 1950. - Т. 7. - С. 9-15.
8. Го_pp r.B. Комnьюmepнaя вызyaлuзaцuя гeомempычecкыx объeкmов в npenодaвaнuu хо-мempыu u мexaиыкu /r.Brpp, Е.К Щemuиынa // Дыдактыка мameмamuкu: npоблeмu i дош-джeння: мiжнap. зб. наук. pобim / peдкол.: О.1.Скафа (наук. peд.) та т.; Донщькый нац. унт; 1нстытут ждаго^кы Акад. жд. наук y^arnu; Нацюнальнт жд. ун-т м M.П.Дpaгомaновa. -Донщьк, 2010. - Bun. 34. - С. 34-38.
9. Хapлaмов KB. Лeкцuu ПО дыномы^ mвep-дого meлa / ПBХapлaмов. - ^во^б^ж Изд-во новосыб. гос. ун-та. 1965. - 221 с.
10. Го_pp r.B. Об одном nодxодe в npымeнe-ныы meоpeмы Пуансо кынeмamычecкого ыстол-кованыя двuжeнuя meлa с нenодвuжиой точкой / RBrpp // Mexaнuкa mвepдого meлa. - 2012. -Был. 42. - С. 26-36.
Резюме. Горр Г.В., Щетинина Е.К. РОЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ПРЕПОДАВАНИИ СПЕЦКУРСОВ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Исследовано значение геометрических методов в моделировании
движений механических систем. Предложен комплекс применения в специальных курсах по математическому моделированию современных подходов кинематического истолкования движения твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотрены модификация метода годографов Пуансо, применение новой формулы для исследований неподвижного годографа, использование параметров Родрига-Гамильтона и вектора конечного поворота.
Ключевые слова: математическое моделирование, механическая система, твердое тело с неподвижной точкой.
Abstract. Gorr G., Shchetinina E. THE ROLE OF GEOMETRIC METHODS IN THE TEACHING SPECIAL COURSES ON MATHEMATICAL MODELLING OF MECHANICAL SYSTEMS MOTIONS. Strengthening the students training in the field of geometric methods in mechanics is necessary that to make the knowledge of Donetsk National University graduates meet modern requirements of professionals in the field of modeling of mechanical motion systems. There are investigated the value of geometric methods in modelling the motion of mechanical systems. The complex of applications in special courses on mathematical modelling of modern approaches of kinematic interpretation of motion of a rigid body with a fixed point is proposed. The introduction of the Euler angles allows to find the components of the fixed hodograph and apply Poinsot theorem. This approach is a modification of Poinsot method of hodographs. Applying of a new formula that does not contain derivative of angular velocity vector for research the fixed hodograph is considered. A modified method of interpretation of body motions is based on the using special vector instead angular velocity vector. In conclusion, the application of Ro-drigues-Hamilton parameters and the vector of finite turn are considered.
Thus, consideration of these methods in a special courses on mathematical modeling should be carried out by the system specified in the article, which takes into account modern advances in rigid body dynamics.
Key words: mathematical modelling, mechanical system, a rigid body with a fixed point.
References
1. Poinsot L.Nuovelle theory of rotating body / L. Poinsot // J. Math. Pure and Appl. - 1851. - Bd. I, № 16. - P. 289-336.
2. Gorr G.V. An approach to the application of the Poinsot theorem of kinematic interpretation of the movement of the body with a fixed point / G.V. Gorr // DIDACTICS of MATHEMATICS: Problems and Investigations: International Collection of Scientific Works. - 2012. - № 38. - P. 51-55.
3. Gashenenko I.N. The classical problems of rigid body dynamics /I.N. Gashenenko, G. V. Gorr, A.M. Kovalev. - Kiev: Naukova Dumka. - 2012. -401 p.
4. Boltyansky V.G. How to develop a graphic thinking / V.G. Boltyansky / / Mathematics at school. -1978. - № 3. - P. 16-23.
5. The issues of theory and practice of creating and using visual aids for teaching students: collection of scientific papers / Ed. By T.K. Molchanova and T.S. Nazarova. - M. : Scientific Research Institute of school equipment and teaching aids. -1980. -168 p.
6. Skafa O. A heuristic approach to teaching mathematics / O. Skafa // DIDACTICS of MATHEMATICS: Problems and Investigations: International Collection of Scientific Works. - Donetsk: Company TEAH, 2000. - Вып. 14. - P. 34-39.
7.Zhukovsky N.E. The significance of the geometric interpretation in theoretical mechanics / N.E. Zhukovsky // Collected Works.: sn 7 volumes. - М.-L.: National technical publishing house. -1950. - V. 7. - P. 9-15.
8. Gorr G. V. The computer visualization of geometric objects in the teaching of geometry and mechanics / G.V. Gorr, Е.К. Shchetinina // DIDACTICS of MATHEMATICS: Problems and Investigations: International Collection of Scientific Works. - 2010. - № 34. - P. 34-38.
9.Kharlamov P. V. Lectures on the rigid body dynamics / P.V. Kharlamov. - Novosibirsk: Publishing House of Novosibirsk State. University. -1965. - 221 p.
10.Gorr G. V. An approach to the application of the theorem Poinsot kinematic interpretation of the movement of the body with a fixed point / G. V. Gorr // Mechanics of rigid body. - 2012. - Issue 42. -P. 26-36.
Стаття надшшла до редакцп 21.05.2013р.
®
