Аналитические линейчатые поверхности и их полная классификация Текст научной статьи по специальности «Химические науки»

2020. 16(2). 131-138 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings

HTTP://JOURNALS.RUDN.RU/STRUCTURAL-MECHANICS

Теория тонких оболочек Theory of thin elastic shells

DOI 10.22363/1815-5235-2020-16-2-131-138 УДК 514.8:539.3:72.01

АНАЛИТИЧЕСКИМ ОБЗОР

Аналитические линейчатые поверхности и их полная классификация С.Н. Кривошапко

Российский университет дружбы народов, Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 krivoshapko-sn@rudn.ru

История статьи:

Поступила в редакцию: 22 ноября 2019 г. Доработана: 12 января 2020 г. Принята к публикации: 7 февраля 2020 г.

Для цитирования

Кривошапко С.Н. Аналитические линейчатые поверхности и их полная классификация // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2020. Т. 16. № 2. С. 131-138. http://dx.doi.org/ 10.22363/1815-5235-2020-16-2-131-138

Аннотация

Цель работы - предоставить материал, способный расширить кругозор проектировщиков и архитекторов, проектирующих объекты в форме традиционных и неканонических линейчатых поверхностей. Эти поверхности имеют ряд неоспоримых преимуществ с точки зрения их формообразования, конструирования и изготовления изделий и сооружений в форме линейчатых поверхностей и методов расчета. Методы. При подборе линейчатых поверхностей для классификации используются способы их задания в векторной, параметрической, явной и неявной формах, предлагаемых в дифференциальной геометрии. Рассматриваются только аналитические линейчатые поверхности, которые уже описаны и представлены в научно-технической литературе. Результаты. Представлены в графической форме все известные на настоящее время линейчатые поверхности. Даны определения некоторых малоизвестных линейчатых поверхностей, а в списке литературы указаны источники, в которых эти поверхности исследуются, рассматриваются вопросы их применения в реальных сооружениях или изделиях, дается методика определения напряженно-деформируемого состояния оболочек с соответствующими срединными поверхностями.

Ключевые слова: аналитическая поверхность, косая линейчатая поверхность, развертывающаяся поверхность, классификация поверхностей, дифференциальная геометрия

Введение

Поверхность называется линейчатой, если через каждую точку этой поверхности можно провести хотя бы одну прямую и эта прямая имеет с поверхностью общий отрезок. Самую полную информацию об аналитических линейчатых поверхностях можно получить из энциклопедии [1], где они выделены в отдельный класс. Линейчатые поверхности имеются практически в каждом из 38 классов

Кривошапко Сергей Николаевич, доктор технических наук, профессор, профессор департамента строительства Инженерной академии; ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-9385-3699, eLIBRARY SPIN-code: 2021-6966.

© Кривошапко С.Н., 2020

_ This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0

© I International License

https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/

аналитических поверхностей нулевой (К = 0) и отрицательной (К < 0) гауссовых кривизн. Например, прямой геликоид можно одновременно включить в класс линейчатых поверхностей и минимальных поверхностей, однополостный гиперболоид вращения входит также в класс поверхностей вращения, цилиндричекую поверхность можно считать поверхностью прямого переноса, односторонняя линейчатая поверхность (лист Мебиуса) входит и в класс односторонних поверхностей и т. д.

В энциклопедии [1] все аналитические поверхности разделены на 38 классов. Естественно, линейчатых поверхностей нет среди поверхностей положительной (К > 0) гауссовой кривизны. Их нет также среди поверхностей Веронезе, Безье, Кунса и среди афинно-минимальных поверхностей.

Некоторые геометры считают, что все многообразие линейчатых поверхностей можно охарактеризовать, сгруппировав их в три группы: линейчатые поверхности с тремя, двумя и одной направляющими. Другие предлагают все поверхности разделить только на два класса: линейчатые и нелинейчатые поверхности.

Известны работы [2-4], где дается общая классификация известных аналитических поверхностей в графической форме, куда входят и линейчатые поверхности. Но эти классификации не полны, так как не дают всеобъемлющей информации о линейчатых поверхностях и содержат сведения только о поверхностях, нашедших применение в архитектуре, строительстве и машиностроении.

Более полные классификации только аналитических линейчатых поверхностей в графической форме приведены в работах [5-7], но их тоже нельзя назвать полными, так как здесь классифицируются подклассы или группы линейчатых поверхностей.

Как показали последние геометрические исследования, многообразие аналитических поверхностей, в том числе и линейчатых, и способов их образования увеличивается, поэтому создать строгую и полную классификацию поверхностей не представляется возможным.

1. Цель исследования

Линейчатые поверхности благодаря множеству способов их конструирования, простоте изготовления изделий и сооружений в форме этих поверхностей, способности линейчатых поверхностей нулевой гауссовой кривизны разворачиваться на плоскость без разрывов и складок пользуются большой популярностью среди архитекторов [8; 9] и машиностроителей [10]. Особенно часто можно видеть изделия и сооружения в форме конусов [11], цилиндров, гипаров, однополостных гиперболоидов вращения [12], коноидов [13].

Значительно реже применяются невырожденные торсовые поверхности, несмотря на их ярко выраженные преимущества [5; 9; 14]. Зная это, исследователи-механики разрабатывают новые методы их статического и динамического расчета в криволинейных неортогональных координатах [14] или предлагают к применению торсовые оболочки, заданные в линиях кривизн [15].

Приведенные в статье сведения и представленный вариант полной классификации линейчатых поверхностей расширит кругозор архитекторов-строителей и машиностроителей и может привлечь их внимание к редко используемым линейчатым поверхностям. Исследователи-механики могут выбрать темы для дальнейших изысканий в области стати-

ческого и динамического расчета оболочек с линейчатыми срединными поверхностями.

2. Метод исследования

Приведем краткие сведения из дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей.

При изучении аналитических линейчатых поверхностей считают, что векторное уравнение линейчатой поверхности можно представить в виде

г = г (и, V) = а (V) + иЪ(у),

где а^) - радиус-вектор направляющей кривой; Ъ^) - направляющий вектор прямолинейной образующей.

Линейчатые поверхности, за исключением плоскости и прямого геликоида, не могут иметь постоянную среднюю кривизну. Прямолинейные образующие являются асимптотическими линиями.

Невырожденные торсовые поверхности образовываются касательными к своему ребру возврата, то есть это - линейчатые поверхности с одной направляющей. Поверхность касательных называют касательным торсом. Любую пространственную кривую можно принять за ребро возврата, касательные к которому будут образовывать торсовую поверхность. Торсовую поверхность, если известно уравнение ребра возврата, удобно задавать в векторной форме:

г = г (и, V) = а (V) + и1 (V),

где а^) - текущий радиус-вектор ребра возврата, /(V) - единичный касательный вектор, заданный в каждой точке ребра возврата; координатные линии и совпадают с прямолинейными образующими.

У конуса ребро возврата вырождается в точку -вершину конуса, а у цилиндрической поверхности эта точка удаляется на бесконечность.

Уравнение торса можно получить, не определяя предварительно уравнений ребра возврата. Если задана пара направляющих кривых Г1 = г ¡(и) и г2 = гг^) относительно общего полюса О, то, вычислив зависимость V = v(u), уравнение торса можно представить в виде

г(и, А) = г\(и) + Цгг(у) - п(и)] = г1(и) + Ат(и),

где 0 < А < 1, причем угол между координатными линиями и, А не зависит от параметра А.

Поверхности одинакового ската - это линейчатые поверхности, имеющие постоянный угол между своими прямолинейными образующими и соответствующими главными нормалями плоской направляющей кривой.

о а

О X

X

о

СП

О

О л

■ Цилиндро-коническая винтовая полоса

■ Эллиптический цилиндр

■ Параболический цилиндр

■ Цилиндрическая винтовая полоса • Гиперболический цилиндр

■ «Восьмерка» и еще 29 поверхностей

• Линейчатая поверхность с прямыми образующими, проходящими через логарифмическую спираль

и пересекающими фиксированную ось под постоянным углом

• Поверхность, образованная бинормалями гелисы

• Линейчатая поверхность траектории движения прямых образующих торса-геликоида при его параболическом изгибании

• Спиральная поверхность с прямыми образующими в плоскостях пучка

• Линейчатые ротативные поверхности с К < О •Линейчатые спироидальные поверхности с К< О

• Спироидальные линейчатые поверхности Рачковской ■ Харабаева

• Винтообразная предварительно закрученная полоса

• Линейчатая поверхность Скидана

■ Торс с двумя параболами, оси которых пересекаются

■ Торс с двумя параболами, лежащими в пересекающихся плоскостях, но с параллельными осями

■ Торс с двумя эллипсами, лежащими в параллельных плоскостях, и с параллельными осями

■ Торс с двумя параболами, имеющими общую ось, но лежащими в пересекающихся плоскостях

• Торс с двумя параболами 2-го и 4-го порядка, лежащими в параллельных плоскостях, и с параллельными осями

• Торс с параболой и окружностью в параллельных плоскостях

■ Торс с параболой и эллипсом в параллельных плоскостях

■ Торс с гиперболой и параболой в параллельных плоскостях

■ Торс с двумя эллипсами, лежащими во взаимно перпендикулярных плоскостях, оси которых совпадают с координатными осями

■ Торс с двумя кубическими параболами в параллельных плоскостях

■ Развер тывающийся конический геликоид

• Развертывающийся геликоид с ребром возврата на параболоиде вращения

• Параболический торс

• Торс с ребром возврата на эллипсоиде вращения

• Торс с ребром возврата на однополостном гиперболоиде вращения

■ Торс с ребром возврата, заданном в виде х ~ е' eosf; у = е' sin/, z - е 1

■ Торс с ребром возврата х = v • ЛЗ; у = v2; z = c(v +

• Торс с ребром возврата в форме линии пересечения двух цилиндров с перпендикулярными осями

• Торс с ребром возврата в виде гиперболической винтовой линии

• Торс с заданной линией кривизны в форме параболы 2-го порядка

• Развертывающаяся винтообразная поверхность с углами наклона прямых образующих от 0° до 90°

Цилиндрические поверхности

Конические поверхности

Плоскость

А.

А.

Линейчатая коническая улитка вращения

Торсовые поверхности

Касательные торсы

Разверт ывающиеся поверхности (А" = 0)

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЛИНЕИЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Топографическая поверхность с заданными эллиптическими сечениями

Линейчатая квазиэллипсоидная поверхность

Косые линейчатые поверхности {К < 0)

Поверхности Эдлингера

Линейчатая цилиндрическая винтовая улитка

Поверхность вращении

И

Поверхности одинакового ската

к

Минимальная линейчатая поверхность

Винтовые линейчатые поверхности

Прямой геликоид

Косые линейчатые поверхности 2-го порядка

' 3-го

i юр:н i к; j • 4-го порядка

Косые линейчатые поверхности выше 2-го порядка и неалгебраические косые линейчатые поверхности

Поверхности Каталана

Г

■ Косой г и пар

• Прямой гипар

■ Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид вращения

• Поверхности косого перехода

• Поверхности косого клина

* Дважды косой коноид

* Поверхности косого цилиндра

► Дважды косой трохоидный цилиндроид ■ Линейчатая ротативная поверхность Лусты

Цилиндроиды

Коноиды

• С направляющей параболой

• С направляющей цепной линией

• С ребром возврата на однополостном гиперболоиде вращения

• С направляющим эллипсом

• С направляющей кривой в форме эвольвенты окружности

• Конический геликоид одинакового ската

• С ребром возврата на параболоиде вращения

• Цилиндрическая линейчатая ротативная улитка

Косой геликоид (К < 0)

Торс-геликоид (К — 0)

Псевдо-развертывающийся геликоид

Конволютный геликоид

• Цилиндроид с двумя направляющими эллипсами

• Цилиндроид с двумя направляющими окружностями во взаимно перпендикулярных плоскостях

»Цилиндроид Фрезера

► Цилиндроид Болла

1 Цилиндроид с параболой и синусоидой на параллельных торцах

► Линейчатый роторный цилиндроид

• Непрерывно-топографическая линейчатая поверхность с распределяющим эллипсом

• Параболический коноид

• К оном. с_ на прав ля ю щ ейок щжн остью

• Коноид с направляющей цепной линией

• Прямой синусоидальный коноид

• Пдямой кон оид_с ^ащ>ав лшющей _п ара бо л ой,. _ось которой вд^^ьна_рси_коноида

• К оноид □ лю_кке_ра

• Коническая кромка Уоллиса

• Коноид Циндлера

• Эвольвентный коноид

Гиперболический параболоид (гипар, косая плоскость, дважды косая плоскость)

» Зо]т1к_Уит11_и_1 зонтик Кщугана)

■ Прямой архимедов геликоид (прямой геликоид, прямой винтовой коноид)

■ Гиперболический параболоид

• Седло в барабане

• Эллиптический геликоид »Поверхность Кэли

• Кубическая поверхность^ + ху^ +2 = 0

• Спиральная линейчатая поверхность с прямой образующей, перпендикулярной к оси направляющей конической спирали и к касательной этой же спирали

■ Прямая геликоидальная поверхность с переменным шагом » Псевдоразвертывающаяся винтообразная поверхность

с переменным шагом

• Прямой сферический геликоид

Рис. 1. Классификация аналитических линейчатых поверхностей

■ Cylindrical surface "Eight" • Cylindrical helical strip

■ Elliptical cylinder

■ Parabolic cylinder

»Hyperbolic cylinder

' Lemniscate cylinder and 29 surfaces else.

• Ruled surface with straight generatrixes passing through a logarithmic spiral and intersecting the fixed axis under constant angle

• Helical surface generated by binomials of a cylindrical helix

■ Ruled surface of the trajectory of movement of straight generatrix of an evolvent helicoid in the process of its parabolic bending

1 Spiral surface with straight generatrixes in the planes of pcncil

■ Ruled rotational surfaces of negative total curvature

■ Ruled spiroidal surfaces of negative Gaussian curvature

■ Spiroidal ruled surfaces of Rachkovskaya - Kharabaev

• Helix-shaped preliminarily twisted strip

■ Ruled surface of Skidan

■ Torse with two parabolas with intersecting axes

• Torse with two parabolas lying in intersecting planes but with parallel axes

■ Torse with two ellipses lying in parallel planes and with parallel axes » Torse with two parabolas having one common axis and lying

in intersecting planes » Torse with two parabolas of the second and forth order placed in parallel planes and with parallel axes

■ Torse with parabola and circle in parallel planes

■ Torse with parabola and ellipse in parallel planes

■ Torse with hyperbola and parabola in parallel planes

■ Torse with two ellipses placed in mutually perpendicular planes

■ Torse with two parabolas lying in mutually perpendicular planes

and with the apexes on the same coordinate axis {synonym is parabolic torse)

• Torse with two cubic parabolas lying in parallel planes

■ Developable conic helicoid

• Developable helicoid with a cuspidal edge on the paraboloid of revolution

■ Parabolic torse

1 Torse with an edge of regression on the ellipsoid of revolution

■ Torse with an edge of regression on one sheet hyperboloid of revolution

■ Torse with an edge of regression given asi = e"'cost;y = e"'sin/, i = e"'

• Torse with an edge of regression as a' = v vV3; y = v2\z- a{v + vJ/3)

■ Torse with an edge of regression in the form of a line of intersection of two cylinders with the perpendicular axes

» Torse with an edge of regression in the form of hyperbolic helical line

■ Torse with a given line of curvaturc in the form of the 2™1 order parabola

■ Developable helical surface with slope angles of straight generators from 0° till 90°

Cylindrical Surfaces

Conic Surfaces

Plane

Topographic surface with the given elliptical cross sections

\

J.

Ruled conic limaçon of revolution

J_

Torse Surfaces (Torses) -^

Tangential Torses

Developable Surfaces (K

ANALYTICAL RULED SURFACES

Oblique Ruled Surfaces (A"< 0)

z

Ruled quasi-ellipsoidal surface

Edlinger's Surfaces

Ruled cylindrical helical limaçon

The Surface of Revolution

The Minimal Ruled Surface

Ruled Helical

Surfaces

Oblique Ruled Surfaces of the 2nd Order

■ Oflhe_3ri_order ■Ofthe 4thorder

Oblique Ruled Surfaces above the 2nd Order and Non-Algebraic Oblique Ruled Surfaces

T

Oblique hyperbolic paraboloid Right hyperbolic paraboloid One-sheet hyperboloid

One-sheet hyperboloid of revolution

■ Surfaces of oblique transition 1 Surfaces of oblique wedge

■ Twice oblique conoid

■ Surfaces of oblique cylinder

■ Twice oblique trochoid cylindroid

■ Ruled rotational surface of Lusta

Cylindroid

• Cylindroid with two directrix ellipses

• Cylindroid with two directrix circles lying in mutually perpendicular planes

• Ball's cylindroid

• Cylindroid with a parabola and a sinusoid lying on the parallel ends

• Frezier's cylindroid

• Ruled rotor cylindroid

Surfaces of Constant Slope

Right helicoid

■ With directrix parabola

• With directrix catenary

» With an edge of regression on one sheet hyperboloid of revolution 1 With directrix ellipse

■ With directrix curve in the form of evolvent of the circle

• Conical helicoid of constant slope

' With an edge of regression on a paraboloid of revolution

■ Cylindrical ruled rotational limaçon

Oblique helicoid (K < 0)

Evolvent helicoid (K= 0)

Pseudo-developable helicoid

Convolute helicoid

* Parabolic_conpid

* Conoidwith a directrix circle

* Conoid with a directrix catenary ■ Right sinusoidal conoid

* Rightj»npidjvjth a directrix parabola the axis whichjs paxaile.Uo.the.axis ofconoid

* Evolvent conoid

* Plucker_conpld

* Wallis's conical edge

* Zindler's conoid

* Continuous topographic ruled surface with distributing ellipse

of

> Hyperbolic paraboloid (hypar, oblique plane, twice oblique plane)

• ^hltney_umbrel!a_[synonym is Catjjin_urri_breJ]aj

• Right helical conoid (synonym is Right helicoid)

• Hyperbolic paraboloid (synonym is hypar)

• Saddle in the drum

• Elliptic helicoid

• Caylev-Suilace

• Cubic surfacejr3J-jty_+ r

• Spiral ruled surface with straight generatrix perpendicular to an axis of a directrix conic spiral and to the tangent of the same spiral

• Right helicoidal surface with variable pitch

• Pseudo-developable helix-shaped surface with variable pitch

• Right spherical helicoid (synonym is spherical helicoid)

• Right waving helicoid

Figure 1. Classification of analytical ruled surfaces

Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны называют также косыми линейчатыми поверхностями, или линейчатыми седловы-ми поверхностями, или неразвертываемыми линейчатыми поверхностями.

Приведем определения некоторых косых линейчатых поверхностей, которые можно увидеть в очертаниях промышленных изделий. Определения взяты из энциклопедии [1]. «Поверхность косого перехода - это линейчатая поверхность с тремя направляющими, из которых две - дуги окружностей одинакового радиуса, лежащих в параллельных плоскостях, а третья - прямая линия, перпендикулярная плоскостям окружностей и проходящая через середину отрезка прямой, соединяющего центры этих дуг окружностей. Поверхность косого перехода применяется в архитектуре и строительстве. Поверхность косого клина образовывается движением прямолинейной образующей по трем направляющим, расположенным в параллельных плоскостях, причем две криволинейные направляющие - гладкие кривые, а третья - прямая линия. Эта поверхность используется при создании крыла летательного аппарата. Поверхность дважды косого коноида содержит три направляющие, из которых одна направляющая - кривая линия, а две другие - прямые. Поверхность косого цилиндра образовывается движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим. Дважды косой цилиндроид - линейчатая поверхность, образованная при трех направляющих, из которых две - кривые, а третья - прямая линия».

3. Результаты

На рис. 1 представлены в графической форме все известные на настоящее время линейчатые поверхности. В тексте статьи даны определения некоторых малоизвестных линейчатых поверхностей, а в списке литературы указаны источники, в которых эти поверхности исследуются, рассматриваются вопросы их применения в реальных сооружениях или изделиях, дается методика определения напряженно-деформируемого состояния оболочек с соответствующими срединными поверхностями.

Согласно энциклопедии [1] в научно-технической литературе встречаются описания 34 цилиндрических поверхностей. В некоторых работах цилиндрические поверхности разделяют на цилиндрические поверхности с пространственной направляющей кривой и с плоской направляющей кривой. Последние делят на прямые и наклонные цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности по-прежнему широко используются на практике

[5; 16].

Учитывая, что конические поверхности хорошо известны, конкретные конические поверхности в общую спецификацию также не включены. Например, в энциклопедии [1] перечислены и даны уравнения 20 конических поверхностей. Для сведения приведем отдельную класификацию конических поверхностей, в которой отмечены общепринятые названия конических поверхностей (рис. 2). За образец взята схема, приведенная в работе [5].

Рис. 2. Классификация конических поверхностей

Figure 2. Classification of analytical conic surfaces

Краткую информацию о существующих методах расчета на устойчивость конических оболочек можно получить из работы [17]. Интересные результаты получены для цилиндрических и конических оболочек различной толщины при помощи программы ABACUS в статье [18].

Заключение

В некоторых работах, например [2; 5; 8; 11; 13; 19], предпринимались попытки выяснить наиболее популярные среди архитекторов аналитические поверхности, которые использовались для проектирования форм общественных, жилых и промышленных зданий. Особенно популярно использование аналитических поверхностей в параметрической архитектуре. Параметрическая архитектура -новый стиль в архитектуре, основанный на аналитических методах задания поверхностей, математическом и компьютерном моделировании. Этот стиль сформировался в начале XXI века. Самыми известными архитекторами, работавшими в этом стиле, считаются Заха Хадид и Патрик Шумахер. По-видимому, это связано с увеличивающимся интересом к проектированию объектов нетрадиционных некубических форм. Впервые это явление в архитектуре было отмечено в статье [20]. Н.В. Касьянов [21] подтверждает, что данная тенденция развивается и сегодня.

Нетрадиционные аналитические линейчатые поверхности могут найти широкое применение в прак-

тике проектирования строительных и машиностроительных объектов, поэтому составление их полной классификации расширит кругозор проектировщиков и даст импульс к наращению их применения.

При составлении классификации и в тексте статьи автор старался использовать все встречающиеся аналоги названий конкретных аналитических линейчатых поверхностей. Это вызвано тем, что геометры, архитекторы и машиностроители часто одну и ту же поверхность называют по-разному. Например, резную линейчатую поверхность Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверхностью в некоторых работах называют цилиндрической линейчатой ротативной улиткой, иногда она встречается под названием «фрагмент поверхности развертывающегося геликоида» (эвольвент-ного геликоида, торса-геликоида). Псевдоразвер-тывающийся геликоид и открытый прямой геликоид - два названия одной и той же линейчатой поверхности отрицательной гауссовой кривизны.

В полную классификацию не включены поверхности, в названии которых имеется слово «линейчатые», но они известны только математикам и встречаются в единичных публикациях. Например, это Swallow Surface, линейчатые поверхности Л.С. Понт-рягина, Г. Браунера (H. Brauner), ортоидные линейчатые поверхности с постоянным параметром распределения, алгебраическая конгруэнция 4-го порядка 2-го класса Д. Палмана (D. Palman) [1], линейчатые поверхности Петерсона [22] и некоторые другие.

Список литературы

1. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010. 560 с.

2. Mamieva I.A., Gbaguidi-Aisse G.L. Influence of the geometrical researches of rare type surfaces on design of new and unique structures // Строительство и реконструкция. 2019. № 5 (85). С. 23-34.

3. Гринько Е.А. Классификация аналитических поверхностей применительно к параметрической архитектуре и машиностроению // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. 2018. Т. 19. № 4. С. 438-456.

4. Мамиева И.А. О классификации аналитических поверхностей // Инженерные системы - 2011: тез. докл. международной научно-практической конференции. М.: РУДН, 2011. С. 63-65.

5. Mamieva I.A. Influence of the geometrical researches of ruled surfaces on design of unique structures // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 4. С. 299-307.

6. Кривошапко С.Н. Классификация линейчатых поверхностей // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2006. № 1. С. 10-20.

7. Белякова М.С. Повышение эффективности процессов конструкторско-технологического проектирования на основе разработки информационной системы моделирования поверхностей: автореферат дис. ... канд. техн. наук. М.: МГТУ Станкин, 2007.

8. Мамиева И.А., Разин А.Д. Параметрическая архитектура в Москве // Архитектура и строительство России. 2014. № 6. С. 24-29.

9. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Возможности применения торсов и торсовых оболочек в условиях Дагестана // Вестник Дагестанского государственного технического университета. 2011. № 3 (22). С. 118-127.

10. Кривошапко С.Н. Перспективы и преимущества торсовых поверхностей при моделировании машиностроительных и строительных конструкций // Вестник гражданских инженеров. 2019. № 1(72). С. 20-30.

11. Мамиева И.А., Разин А.Д. Знаковые пространственные сооружения в форме конических поверхностей //

Промышленное и гражданское строительство. 2017. № 10. С. 5-11.

12. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Стержневые системы в форме однополостного гиперболоида вращения // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2011. № 11. С. 19-23.

13. Кривошапко С.Н. Применение коноида и цилиндроида при формообразовании зданий и сооружений обо-лочечного типа // Строительство и реконструкция. 2017. № 5 (73). С. 34-44.

14. Krivoshapko S.N. Static analysis of shells with developable middle surfaces // Applied Mechanics Reviews. 1998, December. Vol. 51. No. 12. Part 1. Рр. 731-746.

15. Алешина О.О. Исследования по геометрии и расчету торсовых оболочек одинакового ската // Строительная механика и расчет сооружений. 2019. № 3. С. 63-70.

16. Lee Y.S. Review on the cylindrical shell research // Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers, A. 2009. Vol. 33. No. 1. Рр. 1-26.

17. Ifayefunmi O., Btachut J. Imperfection sensitivity: a review of buckling behavior of cones, cylinders, and domes // Journal of Pressure Vessel Technology. Transactions of the ASME. 2018. Vol. 140. No. 5. Рр. 050801. https://doi.oig/10.1115/1.4039695

18. ShariyatM., Alipour M.M. Analytical bending and stress analysis of variable thickness FGM auxetic conical/ cylindrical shells with general tractions // Lat. Am. J. Solids Struct. 2017, June. Vol. 14. No. 5. Pp. 805-843. http://dx. doi.org/10.1590/1679-78253413

19. Гринько Е.А. Обзорные работы по геометрии, прочности, устойчивости, динамике и применению оболочек со срединными поверхностями различных классов // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2012. № 2. С. 15-21.

20. Bradshaw R., Campbell D., Gargari M., Mirmiran A., Tripeny P. Special structures. Past, present, and future // Journal of Structural Engineering. 2002, June. Pр. 691-701.

21. Касьянов Н.В. К проблеме эволюции пространственных форм архитектуры в контексте научно-технологических достижений // Academia. Строительство и архитектура. 2019. № 3. С. 34-43.

22. Бланк Я.П., Загайный Н.А. Линейчатые поверхности Петерсона // Украинский геометрический сборник. Вып. 10. Харьков: Изд-во ХГУ, 1971. С. 3-10.

ANALYTICAL REVIEW

Analytical ruled surfaces and their complete classification Sergey N. Krivoshapko

Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), 6Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation krivoshapko-sn@rudn.ru

Article history: Abstract

Received: November 22, 2019 The aim of the work - to give the possibility to expand mind of designers and

Revised: January 12, 2020 architects projecting structures in the form of traditional and non-canonical ruled

Accepted: February 7, 2020 surfaces. These surfaces have several unquestionable advantages with a point of view

of their forming, designing, and making of factory-made goods and erections in

Sergey N. Krivoshapko, DSc, Professor, Professor of the Department of Civil Engineering, Academy of Engineering; ORCID iD: 0000-0002-9385-3699, eLIBRARY SPIN-code: 2021-6966.

For citation

Krivoshapko S.N. Analytical ruled surfaces and their complete classification. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2020;16(2):131-138. http:// dx.doi.org/10.22363/1815-5235-2020-16-2-131-138. (In Russ.)

the form of ruled surfaces and analysis methods. Methods. Choosing ruled surfaces for classification, one can use methods of their determination by vector, paramet-rical, implicit, and in explicit equations. Only analytical ruled surfaces are considered which were examined and presented in scientific-and-technical literature. Results. All known at present time ruled surfaces are given in a graphic form. The determinations of some little known ruled surfaces are presented in a paper. The original sources, where these surfaces are examined or their application in real structures and erections are considered, or methods of determination of stress-strain state in thin-walled shells with ruled middle surfaces are presented, are given in references.

Keywords: analytical surface, oblique ruled surface, developable surface, classification of surfaces, differential geometry

References

1. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Switzerland, Springer International Publishing; 2015. DOI: 10.1007/978-3-319-11773-7.

2. Mamieva I.A., Gbaguidi-Aisse G.L. Influence of the geometrical researches of rare type surfaces on design of new and unique structures. Building and Reconstruction, 2019;5(85):23-34.

3. Grinko E.A. Classification of analytical surfaces as applied to parametricalT architecture and machine building. RUDN Journal of Engineering Researches, 2018;19(4):438-456. (In Russ.)

4. Mamieva I.A. On classification of analytical surfaces. Engineering System - 2011: Abstracts of Papers of International Scientific-and-Practical Conference. Moscow, RUDN Publ.; 2011. pp. 63-65. (In Russ.)

5. Mamieva I.A. Influence of the geometrical researches of ruled surfaces on design of unique structures. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2019;15(4):299-307.

6. Krivoshapko S.N. The classification of ruled surfaces. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2006;(1):10-20. (In Russ.)

7. Belyakova M.S. Povyshenie effektivnosti prozessov konstruktorsko-tekhnologichesko proektirovaniya na osnove razrabotki informazionnoy sistemy modelirovaniya poverkhnos-tey [The increasing effectivness of processes of design-and-technological planning on the basis of informative system of surface modelling] (abstract of the dissertation of the Candidate of Technical Sciences). Moscow, MGTU Stankin Publ.; 2007. (In Russ.)

8. Mamieva I.A., Razin A.D. Parametrical architecture in Moscow. Architecture and Construction of Russia. 2014; (6):25-29. (In Russ.)

9. Krivoshapko S.N., Mamieva I.A. The opportunities of applications of torse surfaces and developable shells in Dagestan. Herald of Dagestan State Technical University. Technical Sciences. 2011;3(22):118-127. (In Russ.)

10. Krivoshapko S.N. Perspectives and advantages of tangential developable surfaces in modeling machine-building and building structures. Bulletin of Civil Engineers. 2019;1(72):20-30. DOI: 10.23968/1999-5571-2019-16-1-2030. (In Russ.)

11. Mamieva I.A., Razin A.D. Landmark spatial structures in the form of conic surfaces. Industrial and Civil Engineering. 2017;(10):5-11. (In Russ.)

12. Krivoshapko S.N., Mamieva I.A. Rod systems in the form of one-sheet hypeiboloid of revolution. Monta-zhnye i spetsialnye raboty v stroitelstve. 2011;(11):19-23. (In Russ.)

13. Krivoshapko S.N. The application of conoid and cylindroid in forming of buildings and structures of shell type. Building and Reconstruction. 2017;5(73):34-44. (In Russ.)

14. Krivoshapko S.N. Static analysis of shells with developable middle surfaces. Applied Mechanics Reviews. 1998;51(12, Part 1):731-746.

15. Aleshina O.O. Studies of geometry and calculation of torso shells of an equal slope. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2019;(3):63-70 (In Russ.)

16. Lee Y.S. Review on the cylindrical shell research. Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers, A. 2009;33(1):1-26.

17. Ifayefunmi O., Blachut J. Imperfection sensitivity: a review of buckling behavior of cones, cylinders, and domes. Journal of Pressure Vessel Technology, Transactions of the ASME. 2018;140(5):050801. https://doi.org/10.1115/L4039695

18. Shariyat M., Alipour M.M. Analytical bending and stress analysis of variable thickness FGM auxetic conical/ cylindrical shells with general tractions. Lat. Am. J. Solids Struct. 2017;14(5):805-843. http://dx.doi.org/10.1590/1679-78253413

19. Grinko E.A. Survey works on geometry, durability, stability, dynamics, and application of environments with middle surfaces of various classes. Montazhnye i spetsialnye raboty v stroitelstve. 2012;(2):15-21. (In Russ.)

20. Bradshaw R., Campbell D., Gargari M., Mirmiran A., Tripeny P. Special structures. Past, present, and future. Journal of Structural Engineering. 2002:691-701.

21. Kasyanov N.V. To the problem of the evolution of architectural spatial forms in the context of scientific and technological achievements. Academia. Architecture and Construction. 2019;(3):34-43. https://doi.org/10.22337/2077-9038-2019-3-34-43. (In Russ.)

22. Blank Ya.P., Zagayniy N.A. Linejchatye poverh-nosti Petersona [Ruled surfaces of Peterson]. Ukrainskiy geometricheskiy sbornik [Ukraine geometrical collection]. 1971;(10):3-10. (In Russ.)