CC BY
48
ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО (ДЕФОРМИРУЕМОГО) ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
К.В. Мануйлов, А-А. Курбатов, И.С. Гомонов
В работе построены уравнения Эйлера, описывающие движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, происходящее под действием внешних сил, заставляющих его центр тяжести двигаться по любой алгебраической (механической) пространственной кривой, а так же уравнения движения тяжелого деформируемого тела около неподвижной точки, и найдены все интегралы перечисленных движений и точные решения этих уравнений, а так же уравнения соответствующих эллипсоидов Пуансо.
Решение задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил в общем случае является чрезвычайно важным для построения аналитического описания движений трудно обозримого множества различных динамических систем, начиная от движения корабля на волнении [1] и кончая движением систем с большим числом степеней свободы. Кроме того, полные уравнения такого движения, описывающие поведение угловых скоростей, дают возможность построить решения чрезвычайно широкого класса нестационарных уравнений математической физики [2] и в том числе уравнений, описывающих движение жидкости, обтекающей движущееся в ней твердое тело [3]. Однако, как мы уже отмечали в работе [3], даже задача о движении тяжелого твердого тела относительно неподвижной точки в общем случае считается до сих пор неразрешимой в квадратурах (см.[4, 5]).
Выражение кинематических параметров, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки - угловые скорости о; и направляющие косинусы
агу, являющиеся решениями уравнений Эйлера
А,В®; + (Лк - 4)0к = Fg(Xjoазk - хкоаз]) , (1)(а)
Иа ;1 = -2 а ;3 --3а; 2
0(1 ; = -3а ;1 --1а ;3 , (1)(Ь)
Иа ;3 = -1а; 2 --2 а ;1,
где А; - моменты инерции, о; - угловые скорости относительно движущихся и неподвижных осей, а^ - направляющие косинусы, х;о - координаты центра тяжести, Fg - сила тяжести, а также уравнений,
3
4А- + (Ак - 4 )о j°к = XFl(Xj0а 1к - хк0аlj ) , (2)
I=1
где Fl - составляющие равнодействующей системы внешних сил, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки под действием общей системы внешних сил (см. [3]). (Аналогичные уравнения справедливы для угловых скоростей, определенных относительно неподвижных осей). Выражения кинематических параметров движения тяжелого твердого тела относительно неподвижной точки в общем случае представлены шестью нечетными тригонометрическими функциями алгебраической кривой рода два, задающими угловые скорости относительно движущихся и неподвижных осей, каковые суть отношения тэта-функций второго порядка от двух переменных вида
о е;е;(рьи2) - 9^+3(01,; = 123 (3)
=-, о; =-, ; = 1,2,3, (3)
; ее(иьи2) ; ее(иьи2) " ' ^
а направляющие косинусы ау - девятью четными:
к = 1,2,3, I = 4,5,6 . (4)
ек1ек1 и2 )
ее(и1, и 2)
Функции (3), (4) естественно входят в выражения шести классических интегралов движения:
£4го2 - 2£(Г)£хг0азг = И (а)
1=1 1=1 зз
£Д2го2 - 2Д(/)£х1оЕ1 азг = Н2 (Ъ)
1=1
1=1
(5.1)
£ д. шг агу = I
']=1
3
£ д 2 го а ]. = ь
1=1
£ а 2] = £ а 2 =£а2 =1 (а)
-] (а) ^ (Ъ)
(5.10
г=1
]=1
г=1
£а]а=0 (Ъ)
1]^=1
(5.2)
Интегралами движения также являются поверхность Куммера К2 , имеющая четвертый порядок по го. (агу), характеристическая поверхность, являющаяся поверхностью Ри-мана рода 2 шестого порядка К26, и многообразие Якоби /28 - восьмого порядка [3]. Дифференциальные уравнения Эйлера (1)-(2) получаются посредством прямого дифференцирования функций (3)-(5), т.е. в соответствии со следующим из общей теории конических сечений определением решения обыкновенного дифференциального уравнения [2].
Определение I. Решением обыкновенного дифференциального уравнения порядка п является функция, п-я производная от которой дает полное алгебраическое выражение данного дифференциального уравнения с точностью до размерных коэффициентов.
Действительно, производные от отношений четных тэта-функций второго порядка (4) [3] определены уравнениями
Дап = ш2а13 - Шзаг2 Ва12 = го3а11 - го1а13
В,а , = ш,а,0 - ш0а,,
(6)
совпадающими с уравнениями (1)(а) и (2), а производные от отношений нечетных тэта-функций второго порядка в общем случае, имеющие вид
99 с с 3
Вго1 = --—1 4 го2го3 -£
92 с,2
9 9 с с
92 92
1 =^ 2,1+3 3,1+3
а 12 а 13 а 1ГО 2 ГО3 + £в 123 а 12 а 13 1=1
Вго 2 =■
Вго3 = -
99 24 с 2 с 4
9 9 с с
14 34 1 3
9934 с 3 с 4
9 9 с с
14 24 1 2
го1го3
-£
22
92 с
22
7 3,1+3
1 91,1+39 2
а г1а 13 = а 2 го1го3
+£в
123 а 11а 13
1=1
ГО1ГО 2 -£
92 с 2
22
' 2,1+3
19и+39 2
а 11а 12 =а 1ГО1ГО 2 + £в 123а11а12 1=1
(7)
Равенства (7), как мы отмечали в [3], не суть уравнения Эйлера, но лишь алгебраические выражения производных от нечетных тригонометрических функций алгебраической кривой рода 2. Для преобразования их в уравнения Эйлера, описывающие движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, необходимо переопределить постоянные в ] :
Р (Ъ - Ък)
в3]ка3]а3к Д Ъ Ъ а3] а3к Д ^ 0а3к Хк0а3] ) 1 ] к 1
(8)
2
где bj = Xj0 -a 3k , F - составляющая постоянной по направлению внешней силы, вклю-
mM
чающая периодически изменяющуюся силу тяжести Fg = -у-. Такое переопределение
7 2
Л^ТЗ
преобразует правые части уравнений (7) в правые части уравнений (1)(а) и (2), и уравнения (7) без учета внешних сил, кроме силы тяжести, совпадут с уравнениями (1)(а)
F
= а г и ]&к +-£- ( о а зк - хк0 а Ъз). (9)
4
Из этого переопределения следует неразрешимость уравнений (9) при постоянной силе тяжести, ибо если предположить, как это сделано практически во всех мемуарах, посвященных движению тяжелого твердого тела около неподвижной точки, кроме эйлеровых [6], что сила тяжести Fg является величиной постоянной, то мы обнаружим, что постоянными являются все направляющие косинусы а ^, (а, следовательно, и угловые
скорости и^ («с!)), что с необходимостью следует из системы уравнений
_ e2 c2 Fg
3(23)a32 a33 fl2 e2 24 34 a32a33 ■ = A
_ e2 c2 Fg
3(13)a31a33 = Q2 Q2 e14 e34 a31a33 FAg2
_ e2 c2 Fg g
3(12)a31a32 " e2 e2 14 24 A2
(X20a33 X30a32 )
X30a31 X10 a33,
. )
(10)
Если Fg = mg, Aj = const, то направляющие косинусы выражаются через xj0, Fg, p3jk и Aj. Отсюда с необходимостью следует, что a j суть постоянные, а, следовательно, сила тяжести должна быть периодической функцией времени. Таким образом, в результате переопределения уравнения Эйлера (7) представлены нами как уравнения вида
3 F (t)
j (xj 0 (t)a 3k - Xk0 (t)a 3j )
D&j =a j и j&k + Y -VXj 0
j,j,k=i A
3k - Xk0
(11)
с переменными коэффициентами, так как величины х1 и А1 представляют собой периодические или апериодические функции времени. Следовательно, все кинематические параметры являются периодическими функциями с периодически или апериодически изменяющимися периодами (в силу периодического изменения силы тяжести, как при постоянных хго так и при х^)).
Таким образом, уравнения (11) описывают движение твердого тела под действием общей системы сил, содержащей силы, сопротивляющиеся движению, а потому для построения уравнений Эйлера посредством дифференцирования кинематических параметров, в соответствии с Определением I, мы должны брать от них полные производные по переменным и, к1, к2 и к3, из коих и суть линейные функции времени, а к1 - квадратичные, выражающиеся через начальные условия (см. [3]). Эти уравнения имеют вид
A f+A ^=(( - A)
j=1 j
дкj
®j®k
3
"2ei23(M)ai2ai3 + A
1=1
D ta A + С Ц"4 Kj
1 j=1 j
и
- (12)
-Aк2,к,) j Гц +2ll2DUi Ь8(Ч, v2)D^ + 2Y13 Y»
jk=1
cUj
а*
3
YiUKi
+U2K2/1 K^
DK ^A][/2(K1,K2,K3) j2Y21 dUjdU +2y22YD t
и
Ui
jk=1
1=1
^ да, 3
К ^ ды1
Х(Ы1К14 + ^^К'2(К2 I - 4 Х^ К2' Кз)
¿/£=1
I ди+
131 дЫ1
2 2 ди
+2У32^Ы2 1П^ ^И + Т^ЗЗ Хд1 Х(Ы1К1Й+Ы2К2г)КК'2К^К
,=1
К,
К^ ды1
где а5 - направляющие косинусы, с, - коэффициенты, входящие в выражения угловых скоростей (3); у^ суть функции времени, определенные свойствами тяжелого тела; к, , , = 1,2,3, суть модули, выражающиеся через начальные условия;
К = К дКи - К дКи.
К-Ш 22 21
К = К
, 21 22
дк
дК
21
дк,
- К
дк
дК
К =- К дКи + К дК12 К,12 " 12 +Л11
22
дК,
К = - К
, 22 12
дк
дК
21
дк,
+ К
дк
дК
22
дк,
(13)
|К| = К11К22 - К12 К21,
где Ку суть полные абелевы интегралы I рода ранга два (см. [3, 7]). Слагаемые, стоящие в квадратных скобках в уравнениях (12), представляют собой квазипериодические функции времени, определяющие необратимые изменения движения, возникающие в результате деформируемости тела или действия внешних сил сопротивления (трение в точке опоры). Все постоянные, входящие в функции Ш и Пу и интегралы рода I ранга 2, определяющие их периоды, выражаются через кинематические и динамические начальные условия.
Таким образом, при наличии трения в точке опоры или при условии, что тело будет реально конечно деформируемым, а также при движении центра тяжести относительно неподвижной точки по неподвижной пространственной кривой, т.е. при
х,о = х,о() (см.[1]), его движение будет описываться уравнениями (12) и будет затухающим. В предположении упругости, реальной деформируемости или же сложного движения центра тяжести относительно неподвижной точки тело испытывает периодические колебания, геометрия которых определена системой поверхностей, подобных волновым, которые определены аналитическими выражениями коэффициентов уравнения степени шесть (см. [8]). Ввиду изменения модулей к, и периодов функций (4)-(5) все интегралы движения, кроме (5.1 % будут представлять собой величины, периодически изменяющиеся во времени. Для образования из них постоянных величин необходимо рассмотреть еще одно твердое тело, таким образом двигающееся около неподвижной точки, чтобы величины (5.1), (5.1') изменялись бы в противофазе с первыми, тогда их суммы будут строго постоянными.
Построим теперь геометрическое представление движения тяжелого тела относительно неподвижной точки аналогично геометрическому представлению движения твердого тела относительно неподвижного центра тяжести [9]. Аналитические выражения двух эллипсоидов Пуансо, дающих геометрическое представление движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, представляющих собой эллипсоиды с периодически изменяющимися полуосями, определенные равенствами
3 х 2 3 х 2
Х ^=1- Х ^=1
,=1 а,2 ,=1 а,
(14)
к +
а 2 =
3
2В (/)Х
Хо а3,
а2 =
Н2 + 2 В« )Х хюЕ, а3
,=1
4 ■ ' А2 ' <15>
Однако такое определение координат пульсирующих эллипсоидов Пуансо в общем случае может преобразовать их в поверхности более высокого порядка.
В заключение отметим, что решения уравнений Эйлера (11), (12) описывают:
1) движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, происходящее под действием периодически изменяющейся общей системы внешних сил;
2) движение этого тела при условии, что его центр тяжести движется около неподвижной точки по замкнутой пространственной кривой, лежащей на некоторой алгебраической (механической) поверхности, из чего следует, что кинематические параметры (4) -(5) дают точное аналитическое описание движения корабля на волнении (см. [1]);
3) точное аналитическое описание качения тяжелого твердого тела, ограниченного выпуклой алгебраической поверхностью
SN(x,y,z) = 0 , (16)
по плоскости [10] (обобщение движения Пуансо - см. [9]), при котором нуль-центр инерции вращающих сил описывает кривую, лежащую на одной из эволютных поверхностей поверхности (16);
4) движение вязкой сжимаемой жидкости, обтекающей поверхность (16), в виду того, что угловые скорости шг- входят в выражения составляющих линейных скоростей частиц жидкости, определенных равенствами
иx = ШJXk -&kXj , (17)
где ш j, шк суть решения уравнений (14), Xj, xk — координаты точки, лежащей на поверхности (16), дифференцированием которых могут быть получены уравнения Эйлера - Стокса, для чего необходимо и достаточно, приняв поверхность (16) за абсолютную поверхность, порождающую соответствующую проективную геометрию, а потому неподвижную (см. [11]), определить движения сплошной среды (пространства), оставляющие эту поверхность на месте, вращениями относительно двух систем осей и построить описывающие эти вращения уравнения Эйлера - Стокса и волновые уравнения посредством вычисления первой и второй субстанциональных производных от составляющих вектора линейной скорости жидкости (17).
Литература
1. Крылов А Н. Качка корабля. Собр. трудов, т. XI, М.-Л., ИАН СССР, 1951.
2. Мануйлов К.В. Конические сечения, теорема Абеля и нелинейные задачи математической физики. // Quaest. Phil. Nat. № 2-3. 1998-1999. С. 8-54.
3. Мануйлов К.В., Курбатов А.А.| Решение уравнений Эйлера, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем случае. // Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. №.9. С. 131-139.
4. Bobenko A.L., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. Kowalewski's Top 99 years later; Lax pair, generalization and explicite solution. Comm. in Math. Phys., 188, 1989, pp. 321-354.
5. Reynman A.G., Semenov-Tian-Shanski M.A. Group theoretical methods in the theory of finite dimensional Integrable systems. Dynamical systems VII. Encyclopedia of Math. Sc., Springer. V. 1994.
6. Euler L. Theoria motus corpurum solidorum seu rigidorum. V.II. Opera Omnia. Ser.Secunda, V.IV. Lipsiae et Berolini, Teubner. 1950. P.104-132.
7. Krause M. Die Transformation der Hyperelliptischen Functionen erster ordnung. Leipzig, Teubner, 1886.
8. Maschke H. Ueber die quaternäre endliche, lineare Substitutionsgruppe der Borchardt'-schen Moduln. Math. Ann., Bd. XXXIII, 1889, s. 317-323. (Русский перевод в Quaest. Phil. Nat. № 4-5. С.185-201. В печати).
9. Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation des corps. // Journ. math. pures et appliques, 1851. Т. XVI. Р. 9-129, 289-336.
10. Мануйлов К.В., Ильина Л.П., Панферов А.А. Качение тяжелого твердого тела, ограниченного известной алгебраической поверхностью по плоскости и обтекание этого тела потоком жидкости. / Материалы международной конференции «Четвертые Окуневских чтения». СПб, 2005. С. 100-105.
11. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936.
