CC BY
27
ВРАЩЕНИЕ ДЕФОРМИРУМОЙ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ, ОКОЛО НЕПОДВИЖНОГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ Л.П. Ильина, А.А. Панферов
Получены уравнения Эйлера, описывающие вращение деформируемой эллипсоидальной оболочки, заполненной вязкой сжимаемой жидкостью, около неподвижного центра тяжести, посредством дифференцирования по времени составляющих вращательного импульса S¿ = A¿ (t)&¿ (t), где Aj - моменты
инерции, шг- - угловые скорости.
Решение задачи о движении эллипсоидальной оболочки, заполненной вязкой сжимаемой жидкостью, позволяет продвинуть одну из классических задач небесной механики, состоящую в определении формы небесных тел, а также рассмотреть поведение выпуклых - не обязательно эллипсоидальных - оболочек конечной толщины при некоторых достаточно общих внешних воздействиях.
Задача об определении формы небесных тел, впервые сформулированная и решенная при некоторых приближениях И. Ньютоном в III книге «Principia» [1], была впоследствии продвинута целым рядом замечательных геометров, практически полный перечень которых с изложением достигнутых ими результатов содержится в монографиях И. Тодхантера, П. Пицетти, П. Аппеля [2-4], хотя исследования А.М. Ляпунова в последней изложены неполно. Но, как это ни странно, на всем протяжении более чем двухсотлетней истории развития этой области механики в подавляющем большинстве мемуаров, включая и таковые, написанные в XX столетии, ищутся устойчивые поверхности равновесия, ограничивающие несжимаемое жидкое тело, вращающееся около одной оси (см. [5], с. 206, 207), хотя реальные небесные тела вращаются относительно своих центров тяжести и, конечно, обладают сжимаемостью, т.е. в них рассматривается то же самое движение жидкого тела, которое рассматривал И. Ньютон.
Авторам известны лишь три мемуара, в которых изучается движение жидкого тела около неподвижного центра тяжести. Первый из них был написан Г.П. Дирихле незадолго до его кончины [6], второй, представляющий собой прямое развитие первого -Б. Риманом [7], а третий - А. Пуанкаре [8], основные уравнения в котором суть уравнения Римана. Примыкает к ним мемуар Н.Е. Жуковского, посвященный движению твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью [9]. К той же группе работ относится монография С.Чандрасекхара [10], толчком к написанию которой явилось знакомство автора с мемуаром Римана [7].
Мемуарам Дирихле и Римана посвящена глава в монографии П. Пицетти [3], более доступная для понимания, чем оригинальные тексты и монография С. Чандрасекхара. Однако, несмотря на целый ряд аналитических изысков, содержащихся в [7], основные уравнения движения бессодержательны, ибо описывают несуществующие процессы, так как Б. Риман вслед за Дирихле предполагал жидкость несжимаемой.
В работе [11] мы построили аналитическое описание движения жесткой эллипсоидальной оболочки, заполненной реальной жидкостью, около неподвижного центра тяжести. Такая постановка задачи эквивалентна постановке Дирихле, ибо он требует, чтобы во вращающемся около неподвижного центра тяжести жидком эллипсоиде существовало такое движение жидкости, которое компенсировало бы его деформации
В статье "Движение жёсткой эллипсоидальной оболочки, заполненной реальной жидкостью, около неподвижного центра тяжести" (см. [11]) допущена ошибка: после слова "бессодержательна" следует неверная формулировка "ввиду тавтологичности подстановки". В настоящей публикации в текст внесены исправления.
под действием центробежных сил, т.е. чтобы эллипсоид оставался недеформирован-ным, а также чтобы на его поверхности все время находились одни и те же частицы жидкости [3, 6, 7]. Допущение же сжимаемости жидкости является приближением задачи Дирихле к реальности и приводит к требуемому им движению жидкости внутри оболочки, которая движется вместе с жидкостью как небесное тело, т.е. с угловыми скоростями удовлетворяющими уравнениям Эйлера
А®; = агшуш^ , (1)
А, - А ,
где а; = —--, А, - моменты инерции.
Наибольший интерес представляет - как с точки зрения чистой механики, так и с точки зрения реальных геодинамических процессов - описание движения деформируемой оболочки, заполненной реальной жидкостью.
Напомним основные результаты, полученные в работе [11]. Для построения уравнений Эйлера, описывающих движение такого тела около неподвижного центра тяжести, необходимо найти полные производные по времени не от угловых скоростей ш;, а от составляющих момента А;ш;, так как центробежные силы периодически изменяют моменты инерции тела ввиду сжимаемости жидкости, и пять произвольных постоянных, определяющих выражения угловых скоростей
ш1 = с^пи ш2 = е2^аы ш3 = с3спи (I) 1
ш1 = с1спы ш2 = С2Бпы ш3 = с3ёпы (II) ] '
и = ат Х(, - ,0)
зависят от моментов инерции А;, которые в рассматриваемом случае суть периодические функции времени
с, = с, [[), ), А3(()]
Х = Х[[),А2(г),Аъ(г)] I, (3)
е = е[[(О, А2(0, А3(0] , где 8 есть эксцентриситет кинематического эллипса, тригонометрические функции которого входят в выражения угловых скоростей (2), т.е. определить уравнения Эйлера, построив производные от моментов А,(см.[11]). Эти уравнения Эйлера имеют вид
(2)
а а % = -(а3 - а2 )ш 2 Ш3 - /х( о^ ах
А 8
28(1 -8 2)
+ А 1п с1 + (А 1п А1)
А, А 8 „2 , 1 ' -ОЫ ШХ + А!
А (1п X -1 и -28(1 -82) V 8 /
аыА,Шы = -(а - а3)ШХШ3 -/2(0^ аы
(
\
2 и
—|шы йи
V с12 0
А 8
8(1 -8 2)
Аы Ш1
А8
' -+а 1п с2 + (а 1п а2)
_ 28(1 -8 2)
ШЫ -
а2 а8 П2 ,
— а2 Шы + аы
А (1п X - — ы -28(1 -82) V 8 /
а3А,Ш3 =-(аы - а1)ш1шы - /,(0^ а.
(
\
2 и 2 8 -8 и--I ШЫ
-—1®2 йи
А 8
8(1 -8 2).
А Ш2
А8
^-+ Б, 1п с3 + (а, 1п а3)
28(1 -8 2)
А3 а 8 а 2Ш + а
--А Ш3 + А3
28(1 -8 2)
В, 1п X-
1
и+
8/
1 и
(1 -8 2)и--Г®Ы йи
ы 1
с3 0
А 8
8(1 -8 2)
А Ш3
(4)
где, соответственно, ш, - угловые скорости, определяющие вращение жидкости внутри
Ш1 -
с2 0
3
оболочки в неподвижной системе координат относительно движущихся осей, ш ^ - угловые скорости движения оболочки с реальной жидкостью, рассматриваемой как твердое тело (самой оболочки), Аг- - моменты инерции, е(, X, г определены выражениями
и
(3), |шг2ёи - величины, определяющие сопротивление жидкости, пропорциональные
о
первым степеням шг- (трение жидкости при обтекании оболочки и внутреннее трение), представляют собой эллиптические интегралы II рода, являющиеся квазипериодическими функциями времени, (^) есть функции времени, определенные свойствами жидкости.
Так как тело движется с угловыми скоростями удовлетворяющими уравнениям (1), ибо движение его как целого относительно неподвижного центра тяжести предполагается таким же, как и движение небесного тела, то правые части уравнений (4), за вычетом первых слагаемых, определяют составляющие момента сил, вращающих жидкость внутри эллипсоидальной оболочки относительно тех же движущихся (или неподвижных) осей, но в противоположные стороны, графическое представление которых, с точностью до амплитудных коэффициентов (см. (4)) имеет вид
Рис. 1. Общий характер поведения во времени составляющих момента сил, вращающего жидкость внутри оболочки
и
Третьи слагаемые, содержащие функции II рода |шг2 ёи , являющиеся квазиперио-
о
дическими, определяют необратимые изменения динамики и кинематики движущейся жидкости.
Поделив уравнения (4) на Аг-, отметим, что их правые части образованы из величин, являющихся интегрируемыми функциями времени, что позволяет, проинтегрировав эти уравнения, найти явные аналитические выражения угловых скоростей вращения жидкости внутри оболочки, определенных относительно движущихся осей шГ :
«т =
, = Х1(0[Фп Оп «1 + Ф12(1 -8 2)!П(С2 «3 - 'С3«2) + Ф13Е(п )ю1 ]+ С1 «Т2 = Х 2(^)[Ф21 Вп «2 +Ф22 8 2 П«2 +Ф2з1П(С1®3 + 8С3 «1) + Ф24Е(п )«2 ]+ ^2
Х 3(0[Ф3А «3 +Ф32(1 -8 2)п«3 +Ф33 1п(с2 «1 - гС1®2) + Ф34Е(п)®3 ]+ ^3
Ют =
где СI - постоянные интегрирования, с^ - см. (3), X1 ^) = •
т (¡Я
Точно так же нахо-
8 0и -
дятся скорости движения точек жидкости относительно осей неподвижных.
Если мы допустим, что тело движется по инерции, то оно через некоторое время остановится, что видно из уравнений
«г (8) = «г -«1,, (6) где «г- суть решения уравнений (1).
Угловые скорости, полученные в результате интегрирования, удовлетворяют уравнениям, определяющим нормированные линейные скорости точек жидкости внутри эллипсоидальной оболочки, полученным Б.Риманом (см. [7]).
д_ Ы
( V Л
= Ют
V а у
V ак У
- «т
а,
V 1 у
(7)
Однако эти скорости являются лишь «затравочными» - порождающими движение жидкости внутри эллипсоидальной оболочки, - ибо частицы жидкости, обтекающие внутреннюю поверхность эллипсоидальной оболочки, вращаются относительно осей, касающихся одной из эволютных поверхностей эллипсоида (см. рис.2, ось А, перпендикулярная плоскости чертежа). Таким образом, каждая частица жидкости, обтекающей внутреннюю поверхность оболочки, движется подобно циклоидальному маятнику в сопротивляющейся среде.
Ввиду сохранения полного момента количества движения эти же самые частицы с необходимостью вращаются и относительно осей им полярных, которые при условии, что первые оси являются гиперболическими - лежат вне эллипсоида и пересекают эллипсоид, если он сплющенный, в приэкваториальной области. (см. рис. 2, ось А') [12]
Рис. 2 Оси, относительно которых вращается жидкость
Движение же жидкости относительно сказанных осей определено угловыми скоростями «1, представляющими собой функции пяти переменных,
ш, =
в, в, (и19 и 2, к19 К 2, К з)
(8)
вв(«1, и 2, К1, К 2, к з)
и являющимися решениями уравнений Эйлера, имеющих вид
дш
4ЙК=( -А)Шк+>23(и)а2^гз + А ц 1пА + С
4^+а > '
./=1 /
/=1
с, сК /
ш -
I 2 дш
-4 > К2, Кз) ]ун -ц+1п ^ и2)ци,ш- + »'
1К ^^
ЦК "4>/2(К1,К2,Кз)]2У21 дЦШ^ + 2^22>Ц 1пв(Ц,
/к=1
сЦсЦ
ш
(9)
2 2 дШ з
"Т^Йт В^, + цк^ц)к,К;2(К^ +К2)
Цк/ -4 Й/зО^ ^ кз) |гз1
/к=1
2уз:
дш
+2Уз2Ц 1п ^ и2)ЦЦ2 Ш Йт У^К + ЦК КК'^К
в/(,+з)в/+з)и2 , КЪ К2, Кз) . . ...
где а/ =—^——--, г, / = 1,2,з - направляющие косинусы, к,,
вв(«1, «2, К1, К 2, к з)
, = 1,2,з, суть модули, выражающиеся через начальные значения направляющих косинусов и моменты инерции
ц к,
к = К ^Ки - К К.
'Чп 22 21
к = к
, 21 22
дк,
к
дк,.
- к
21
дк,
К
дк
К =- К дК11 + К дК12 К,12 " К12 +КП
к = - К
N 22 12
дк,
дК 21
дк,,
+ К
дк, дК 22 дк,
(90
к/ =
^/к2 - К 2 , К = К11К22 - К12К2
-22 12 21 ■>
где К/ суть полные абелевы интегралы I рода ранга два (см. [11, 1 з]), т.е. уравнений, подобных уравнениям Эйлера, описывающим движение вязкой сжимаемой жидкости, вызванное поступательным движением в ней трехосного эллипсоида (см. [1з]).
Движения жидкости, аналитическое описание которого мы нашли, а именно, ее вращение относительно двух систем осей, порождает внутри жесткой оболочки колебания, геометрическое представление которых дается системой поверхностей, подобных волновым, аналитические выражения которых суть аналитические выражения коэффициентов уравнения шестой степени, полученного впервые Ковалевской при периодически изменяющихся величин его корней [1з]. Это позволяет, сняв требование жесткости, наложенное изначально нами на эллипсоидальную оболочку, поставить задачу о форме устойчивых поверхностей равновесия вращающейся жидкости, или, что то же самое, задачу о форме небесных тел с учетом реальных свойств жидкости. Для ее полного решения необходимо определить движение жидкости внутри оболочки составляющими линейной скорости
(10)
и X, =Ш/ Хк -ШкХ/
являющимися решениями гидродинамических уравнений Эйлера.
Хотя в рамках настоящей статьи мы не имеем возможности построить полное описание движения жидкости внутри деформируемой эллипсоидальной оболочки, однако полученные нами уравнения дают возможность продемонстрировать степень
сложности сказанного движения, а их решения - построить исчерпывающее его описание. В частности, из полученных нами уравнений движения жидкости и их решений следует, что условие устойчивости поверхностей равновесия в нашем случае отличаются от таковых, полученных в мемуарах [3, 4, 6, 7]. Кроме того, нами получено аналитическое описание составляющих момента сил, вращающих жидкость внутри реальных небесных тел, позволяющее определить один из источников внутренней энергии Земли.
Литература
1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Собр. соч. А.Н.Крылова, М-Л.: ИАНСССР, Т.7, 193б. С.531-541, 591-597.
2. Тодхантер И. История математических теорий притяжения и фигуры Земли. М.: УРСС, 2002.
3. Пицетти П. Основы механической теории фигуры планет. М-Л.: ГТТИ, 1933.
4. Аппель П. Фигуры равновесия, вращающейся однородной жидкости. Л-М.: ОНТИ, 193б.
5. Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. Москва - Ижевск: РХД, 2000.
6. Dirichlet P.G. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik. // Journ. für Reine und Angew. Math. 18б0. Bd. LVIII. S. 181 - 21б.
7. Риман Б. О движении жидкого однородного эллипсоида. Соч. М-Л: ГИТТЛ, 1948. С. 339 - 3бб.
8. Poincaré H. Sur la précessions des corps deformable. // Bull. Astron. 1910. 27. P.321-35б.
9. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Полное собр. соч. Т.Ш. М.-Л.: ОНТИ, 193б. С.20 -181.
10. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М: Мир, 1973.
11. Ильина Л.П., Мануйлов К.В., Панферов А. А. Движение жесткой эллипсоидальной оболочки, заполненной реальной жидкостью, около неподвижного центра тяжести. Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ), вып.9, СПб, 2003. С.121-12б.
12. Котельников А.П. Проективная теория векторов. Казань. Типо-Литография Императорского университета, 1899.
13. Мануйлов К.В, Курбатов А.А. Решение уравнений Эйлера, описывающих движе-
ние тяжелого твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил в общем случае. // Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. №9. С. 131-139.
