Области возможного выполнения условий устойчивости равномерных вращений несимметричного твердого тела с полостью, наполненной жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Список лтератури

1 Бугаев В.П. Совершенствование организации ремонта вагонов. Системный подход. -М.: Транспорт. 1981. -151с.

2 Денисов А. А., Колесников Д.И. Теория больших систем управления. — Л.: Энергоиздат, 1982. — 288 с.

3 Мартынюк Н.Г, Ступин А.П., Кирилюк А.В., Райков Г.В. Этапы разработки и становления АСУ вагонным хозяйством. — М.: ЦНИИТЭИ МПС, сер. Вагоны и вагонное хозяйство, 1997. — 51 с.

4 Шмаров П.П., Никулина Н.А., Вовк А.А. Направление и этапы реформирования вагонного хозяйства ОАО РЖД // Экономика железных дорог/№7 -2004. С. 28-34.

УДК 531.384

Мосияш Т.А., к.ф.-м.н., доцент (ДонИЖТ) Коваль В.И., к.ф.-м.н., доцент (ДонНАСА)

ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ

НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, НАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

В работе [1] Румянцев В.В. проводит обзор работ, в которых задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку и эллипсоидальную полость, полностью заполненную идеальной несжимаемой жидкостью, решалась различными методами. Там же исследуется устойчивость невозмущенного движения твердого тела с жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Достаточные условия устойчивости равномерного вращения механической системы вокруг вертикали записаны в виде системы двух нелинейных условий, которые проанализированы в отдельных частных случаях. В данной статье проведен анализ условий, которые выделены из достаточных, и выполнение этих условий позволяет найти области изменения значений угловой скорости тела-носителя и вектора вихря, в которых содержатся значения угловых скоростей рассматриваемой механической системы, соответствующие устойчивому движению.

Исходные соотношения. Воспользуемся результатами и обозначениями работы [1]. Пусть Ох1 у1х1 - неподвижная прямоугольная система осей координат с началом в неподвижной точке О тела и вертикально вверх направленной осью Ох1, а Охух - подвижная система координат, оси которой совпадают с главными осями инерции твердого тела для точки О . Пусть идеальная несжимаемая однородная жидкость полностью заполняет эллипсоидальную полость тела, уравнение поверхности которой в системе координат Охух имеет вид

х2 а~2 + у2Ь~2 + (г - х0)2с"2 = 1, (1)

где - координата центра полости на оси Ох;

а, Ь, с - полуоси эллипсоида.

Обозначим через т1 - массу тела и т2 - массу жидкости; х10 = 0, у10 = 0, х10 Ф 0 - центр тяжести тела на оси Ох, тогда масса и координаты центра тяжести системы будут равны соответственно

М = т1 + т2, х0 = у0 = 0, х0 = (т1 х10 + т2х0)/М .

Дифференциальные уравнения движения системы тело-жидкость, отнесенные к системе координат Охух, имеют вид:

Ь = Ь хШ + (ух 70)0, (2)

Й = ЙхШ + (Й-У)у , (3)

у = ухШ, (4)

где у = - неподвижный в пространстве единичный вектор,

направленный из точки опоры О вертикально вверх;

Ш = {р, д, г} - вектор угловой скорости тела;

Ь = {Ар + А2й1 , Вд + В2Й2, Сг + С2Й3} (5)

- вектор мгновенного вращательного импульса;

2Й = го1у - вектор вихря;

О = - вес системы;

Я = Ох0 и (Яу2,-^^,0)- проекции на подвижные оси момента силы тяжести относительно точки О;

V - оператор Гамильтона.

Уравнения (2) - (4) выражают теорему об изменении кинетического момента, теорему Гельмгольца и условие постоянства вектора у в инерциальной системе координат. Моменты инерции А = А1 + А', В = В1 + В', С = С1 + С[, используемые в (5), представляют относительно подвижных осей суммы моментов инерций твердого тела А1, В1, С1 и эквивалентного тела

, т2(Ь2 - с2)2 , т2 (с2 - а2)2 , т2(а2 - Ь2)2

А = 2 У" -У В = 2^ ~ > С' =

1 г 1 2 . 2 ' 1 г- 2 . 2 '

5 Ь + с2 ' 1 5 с2 + а2 ' 1 5 а2 + Ь2 ' определяемой жидкостью, а величины

4 т2Ь2с2 В 4 т2с2а2 С 4 т2а2Ь2 (6)

А2 = 5 Ьчс7' В2 = 5 СТО7' С = 5 ~аГ+Ь2' (6)

где т2 = 4/3праЬс, задают разность моментов инерции жидкости и

эквивалентного тела.

Полная система девяти уравнений (2) - (4) допускает четыре первых интегралов:

интеграл энергии ¥1 = Ар2 + Вд2 + Сг2 + А202 + В202 + С20^ + 2Яу3 = к ; интеграл площадей У2 = (Ар + А201)у1 + (Вд + В20.2)у2 + (Сг + С203)у3 = к; геометрический интеграл У3 = у12 + у1 + у\ = 1; интеграл постоянства интенсивности вихря

ТГ 1 2 2 2, 2 2 2, 2т2 2 2

У4 = Ь с с1 + с а со2 + а Ь с3 =к .

Эти соотношения имеют место в общем случае при любых значениях моментов инерции А, В, С, полуосей а, Ь, с и компонент вектора

Сс = 0/2.

Уравнения (2) - (4) движения механической системы тело-жидкость допускают частное решение

р = д = 0, г = с, с1 = с2 = 0, с3 = О, у1 = у2 = 0, у3 = 1, (7)

описывающее равномерное вращение твердого тела вокруг расположенной вертикально оси Ох и относительное эллиптическое вращение жидкости вокруг той же оси с компонентами р' = д ' = 0, г' = 2(Й - ш)/(а2 + Ь2). Это движение исследуется по отношению к переменным р, д, г, ш1, ш2 , ш3 , у1, у2, у3 при имеющем практический интерес условии [1]

0<8<Й<Ш

(8)

Полагая в возмущенном движении г = ш + %, ш3 = Й + п, У3 = 1 + С, определяются уравнения возмущенного движения и их первые интегралы V I = 1, 2, 3, 4 и затем осуществляется построение функции Ляпунова методом Четаева в виде линейной связки этих интегралов

V = V - 2ш¥2 + ¡и¥ъ + Л¥4 + 0.25К32.

Условия положительной знакоопределенности трех квадратичных форм этой функции приводятся с использованием неравенств Сильвестра к виду

с2 ш

А2 + с2-{- -1)

а Й

с2 (ш

Ь(Й

В2 + С2-^{- -1)

[(С - А)Ш + С2шЙ - Я] - А22Ш > 0, (9)

[(С - В)Ш + С2шЙ - Я] - ВШ > 0. (10)

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости, эти соотношения являются достаточными условиями устойчивости возмущенного движения по отношению к переменным р, д, г, ш1, ш2, ш3, у1, у2, у3.

Прежде чем переходить к анализу совместного выполнения условий (9), (10) отметим, что уравнение (10) получается из (9) с помощью циклической перестановки символов А, В и а, Ь .В связи с этим полученные при анализе результаты одного из условий можно переносить на второе условие.

Потенциальное движение жидкости. Такое движение жидкости в полости тела выделил Н.Е.Жуковский при значении Й = 0, а устойчивость равномерных вращений вокруг вертикали системы тело-жидкость изучены Н.Г. Четаевым [1] . Условия устойчивости получены в виде

(С - А)Ш - Я > 0, (С - В )Ш - Я > 0. (11)

Величина Я > 0, когда центр масс системы х0 положительный и расположенный на вертикальной оси Ох выше точки опоры О . Неравенства (11) выполняются тогда, когда моменты инерции удовлетворяют условиям

С - А > 0, С - В > 0. (12)

В этом случае из (11) определяются критические значения угловой скорости ш:

Ш02А = Я /(С - А), ш02В = Я /(С - В). (13)

Из этих значений выбор критической угловой скорости ш0 = ш0В позволяет конкретизировать условие

В > А, (14)

что не исключает возможности рассмотрения противоположного неравенства В < А. Для значений ш> ш0 вращения системы будут устойчивыми и неустойчивыми в противном случае.

Пусть центр масс системы занимает на оси вращения относительно неподвижной точки низшее положение, тогда координата х0 и величина Я отрицательные. В этом случае условия (11) выполняются при любой угловой скорости вращения системы.

Рассмотрим теперь моменты инерции, удовлетворяющие системе (11), которые противоположны неравенствам (12), и получаем

Ш < Я /(А - С), Ш < Я /(В - С). (15)

Отсюда при условии (14) выделяется критическая угловая скорость ш0 =ш0В и интервал (0,ш0) изменения угловой скорости изучаемой механической системы.

Вихревое движение жидкости в случае ш = Й . При этом равенстве достаточные условия устойчивости исследуемого движения системы найдены С.Л. Соболевым [1]:

(С - А + С2 - А2)С - Я > 0, (С - В + С2 - В2)С - Я > 0. (16) Для величины Я > 0 они выполняются при условиях

С - А > А2 - С2, С - В > В2 - С2. (17)

В этом случае из (16) находим критические значения угловой скорости с тела-носителя

С2А = Я /(С - А + С2 - А2), сВ = Я /(С - В + С2 - В2). (18)

Со значениями (13) они связаны зависимостями

Я г* л Я Я Я

■ + Со А0 = , г + С. В0 = ■

2 2 2 2 * 2 2 2 2 '

С0А СА С0В СВ

а неравенства (16) принимают простейший вид с>сА, с>сВ. При соотношениях (6) разности моментов инерций А2 - С2, В2 - С2 выразим через полуоси эллипсоидальной полости

2\ 72 /„2 ъ2\2

А2 - С2 = 0.8т2 2(с 2 а 2)Ь 2 , В2 - С2 = 0.8т2 2(с 2 Ь 2а 2 . (19) 2 2 2 (Ь2 + с )(а2 + Ь ) 2 2 2 (а2 + с2)(а2 + Ь2) V У

Для полуосей Ь > с, а > с полость считается сплюснутой по оси вращения. Из (19) следует А2 < С2, В2 < С2 и неравенства (17) выполнены. Учитывая

(13), получаем соотношения между критическими угловыми скоростями сА < с0А, сВ < с0В . Сравнение значений с0А и сВ, показывает, что неравенство

(Ь2 - с2)а2 (а2 + с 2)(а2 + Ь2)

В - А > С2 - В2 = 0.8т. ^ 2 (20)

может выполняться, если верно условие С2 - В2 < (с-А -с-в)Я и тогда

с0 А <сВ. В противном случае, когда В - А < С2 - В2, имеем с0 А > сВ .

Таким образом, для сплюснутой эллипсоидальной полости найдены два вида неравенств расположения критических значений угловой скорости:

(0А < ( А <(В < (0 В и (0А <(В < (0 А < щ в.

(21)

Эти неравенства не зависят от того, что эллипсоидальная полость может быть вытянутой по оси Ох и тогда а > Ь или по оси Оу, что равносильно

условию Ь > а.

Пусть полость является вытянутой по оси вращения, что достигается условиями с > а, с > Ь. Тогда в (19) разности А2 - С2, В2 - С2 положительные. В этом случае неравенства (17) можно считать условиями на моменты инерции А, В, С при выбранных полуосях а, Ь, с. Наоборот, соотношения (17) можно полагать ограничениями на выбор полуосей эллипсоида (1) для известных моментов инерций А, В, С. Тогда из равенств (18) и (20) находим зависимость между критическими угловыми скоростями

(А <(А < (0 В < (В , (0 А < (0 В <(А < (В ,

(22)

при этом условию (0А < (0В соответствует неравенство

В - А > А2 - В 2 = 0.8^2/;2(Ь2- а У4 2,

(Ь2 + с 2)(с2 + а 2)

(23)

которое влечет еще одно ограничение на полуоси Ь > а.

Предположение о верности неравенства (ОА < (В приводит к соотношению на моменты инерции системы

(Ь2 - а2)с4 В - А > А2 - В2 = 0^—^—2—4— 2,

(Ь2 + с )(с2 + а2)

Оно выполняется всегда для полости вытянутой по оси Ох, когда а > Ь и

В2 > 4.

Для эллипсоидальной полости с полуосями Ь > с > а из равенств (19) получаем А2 > С2 > В2, а из (18) следует о)А <(0А и щВ <(В . Учитывая условие щА < щВ, окончательно имеем

(А < (0 А < (0 В < (В

(24)

Вытянутой эллипсоидальной полости по оси Ох и одновременно сплюснутой по второй оси Оу с полуосями а > с > Ь соответствуют моменты инерции жидкости В2 > С2 > А2, а поэтому из (18) находим с0А <сА и сВ < с0В. Поскольку неравенство (23) выполнено и сА <сВ, то следует

С0А <СА <СВ < С0В . (25)

Расположенные в (21), (22), (24), (25) критические значения угловой скорости показывают, что форма эллиптической полости влияет на значения критических величин сА и сВ.

Критическая угловая скорость системы С =сВ > сА будет меньше критической угловой скорости с0В системы при потенциальном движении жидкости, когда полость является сплюснутой по третьей и второй координатной оси, и является большей величиной по сравнению с с0В, когда полость является вытянутой по оси вращения и по второй оси.

При условиях (17) и для значений Я < 0, когда центр масс находиться на оси вращения ниже точки подвеса, достаточные условия (16) устойчивости рассматриваемого движения системы тело-жидкость выполняются для любой угловой скорости тела-носителя.

Если сохранить прежнее положение центра масс, но заменить условия (17) противоположными соотношениями

А - С < С2 - А2, В - С < С2 - В2,

тогда критические значения угловой скорости будут такими

сА = Я /(А - С + А2 - С2), сВ = Я /(В - С + В2 - С2) (26)

и в зависимости от выполнения одного из неравенств А2 - В2 > В - А или А2 - В2 < В - А определяют значение критической угловой скорости с0 и интервал (0;с0) значений переменной с, соответствующие устойчивым равномерным вращениям исследуемой механической системы.

Предварительный анализ условий (9), (10). Он вызван тем, что достаточные условия устойчивости движения (9), (10) будут несовместными, если окажется не выполненным хотя бы одно из следующих неравенств

с2 с

А + С-(- -1)

а О

с2 с

Ь(О

В2 + С2-ъ{- -1)

[(С - А)с2 + С2сО- Я] > 0, [(С - В)с2 + С2сО- Я] > 0.

(27)

(28)

Полагая Оф 0 и приравнивая нулю каждую пару множителей, определяем зависимости

О = с(с"2 - сА)Я/С2, О = -с(с2 + Ь2)/(а2 - с2),

-2

О = с(с"2 - с-В)Я/С2, О = -с(а2 + с2)/(Ь2 - с2).

-2

(29)

(30)

Это все нечетные функции переменной с и разбиение их графиками координатной плоскости ОсО на области будем осуществлять на полуплоскости с > 0 для значений О > 0 .

Первые уравнения в (29), (30) описывают кривые О0А, О0В, которые

не имеют между собой точек пересечения. Каждая проходит через одну свою критическую точку с0А, с0В согласно условию с0А < с0В и при стремлении с ^ 0 сближаются с вертикальной осью координат ОО, при этом значения функций О(с) стремятся к + <ю, а при с ^ да значения

функций ограничены наклонными асимптотами п1, п2, представленные соответственно уравнениями

о = -сЯс0АА / С2,

О = -аЯа-В / С2.

(31)

Вторыми уравнениями в (29), (30) заданны прямые 11 и 12, имеющие

оооо оооо

угловые коэффициенты к1 =-(с +Ь)/(а -с) и к2 =-(с +а)/(Ь -с) соответственно, зависящие от выбранной формы полости.

Для сплюснутого по оси Ох эллипсоида (1), когда а > с и Ь > с, коэффициенты к1, к2 отрицательные и прямые 11 и 12 расположены в четвертой четверти. В формулах (29) значения О положительные на интервалах сое (0;с0 А) и сое (0;с0 В). В связи с этим неравенства (27), (28) выполнены при условиях

(С - А)с2 + С2сО - Я > 0, (С - В)с2 + С2сО - Я > 0,

(32)

которые примечательны тем, что они при стремлении величины 0^-0 переходят в условия (11). На рисунке 1 множество точек ((;О) выполнения первого неравенства ограничено осью О( и кривой 00А, а второе множество - кривой 00В и той же осью. Первая область

заштрихована горизонтальными линиями, а вторая - вертикальными, а тогда условия (32) выполняются совместно в области штрихованной линиями двух видов.

Рисунок 1 Рисунок 2, б

Качественно области на рисунке 1 не меняются, когда эллипсоидальная поверхность (1) станет поверхностью вращения вокруг второй координатной оси или первой. Выражения в первых квадратных скобках неравенств (27), (28) в каждом случае а = с или Ь = с упрощаются и остаются положительными, а в зависимости от условия а < Ь или а > Ь прямая 11 или 12 совпадает с осью ОО, при этом вторая прямая остается в четвертой четверти. Для поверхности вращения вокруг оси Ох, когда а = Ь, кривые 00А и 00В совмещаются и происходит это следующим

образом. Область выполнения неравенств (27), (28) будет прежней, если величина а ^ Ь. К увеличению области и сохранению кривой 00А

приводит уменьшение значения Ь до величины а .

Рисунок 2 соответствует полости с полуосями Ь > с > а, когда прямая 11 с угловым коэффициентом к1 > 1 окажется в первой четверти. На

координаты точек (щО), ранее найденной области на рисунке 3,

накладываются еще одно ограничение

О < ((с2 + Ь2)/(с2 -а2).

Границу новой области выполнения условий (27), (28) образуют ось О(, прямая 11 и кривая О0В, при этом последние имеют общую точку пересечения

-2 -2 с2 + Ь2 С,

(В =(0 В +•

с2 - а2 Я

Отметим еще, что прямые линии ( = 0, 11 и кривая 00А образуют границу другой области положительности неравенства (27), в которой значение каждого множителя в (27) отрицательное.

Вытянутую по вертикали полость будем иметь при полуосях с > Ь > а. Угловые коэффициенты прямых 11, 12 удовлетворяют условиям к2 > к1 > 1. Теперь каждая пара множителей в (27) и (28) может принимать одновременно значения как положительные, так и отрицательные. Этому случаю соответствует рисунок 3.

Поменяем очередность вхождения прямых 11, 12 в первую четверть,

что возможно и обеспечивается условием а > Ь. Наличие двух областей с двойной штриховкой на рисунке 4 отличает этот вариант от противоположно случая, показанного на рисунке 2.

О А а / 1

< 11

О = (

(

Рисунок 3

О °0 В

О = (

(

Рисунок 4

I

Также на штрихованную область различаются между собой рисунки 3 и 5. Находящиеся между кривыми О0А, О0А и прямыми 11, 12 криволинейные четырехугольные области (на рисунке 5 она заштрихована) стягиваются в точку пересечения линий системы уравнений (29) и (30), когда используемая вытянутая по вертикали поверхность (1) для полуосей с > Ь > а или с > а > Ь станет поверхностью вращения относительной этой вертикали. Это обстоятельство отражено на рисунке 6. Отметим, что на всех рисунках имеются области точек (с;О), координаты которых

удовлетворяют условию (8).

Рисунок 5 Рисунок 6

Таким образом, описанный процесс выявления областей совместного выполнения условий (27), (28) показывает наличие функциональной зависимости формирования этих областей от выбора полуосей а , Ь , с эллипсоидальной поверхности (1) и демонстрирует динамику их изменения, а так же указывает те множества точек (с; О), которые могут удовлетворять достаточным условиям (9), (10) устойчивости исследуемого движения (7). Полученные новые результаты о движении тела с жидкостью дополняют ранее известные [1] и могут быть использованы в тех в областях, в частности, на железной дороге, где учитывается влияние жидкого наполнения на емкости, в которых оно содержится.

Список литературы

1. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела// Прикл. математика и механика. - 1956. - 20, вып.1. - С.50-66.