Движение жесткой эллипсоидальной оболочки, заполненной реальной жидкостью, около неподвижного центра тяжести Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДВИЖЕНИЕ ЖЕСТКОЙ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ, ОКОЛО НЕПОДВИЖНОГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ Л.П. Ильина, К.В. Мануйлов, А.А. Панферов

Решение задачи о движении эллипсоидальной оболочки, заполненной реальной -сжимаемой - жидкостью, позволяет продвинуть одну из классических задач небесной механики, состоящую в определении формы небесных тел, а также рассмотреть поведение выпуклых - не обязательно эллипсоидальных - оболочек конечной толщины при некоторых достаточно общих внешних воздействиях.

Задача об определении формы небесных тел, впервые сформулированная и решенная при некоторых приближениях И. Ньютоном в III книге "Principia" [1], была впоследствии продвинута целым рядом замечательных геометров, практически полный перечень которых с изложением достигнутых ими результатов содержится в монографиях И. Тодхантера, П. Пицетти, П. Аппеля [2, 3, 4]. Однако, как это ни странно, на всем протяжении более чем двухсотлетней истории развития этой области механики в подавляющем большинстве мемуаров, включая и таковые, написанные в XX столетии, ищутся устойчивые поверхности равновесия, ограничивающие несжимаемое жидкое тело, вращающееся около одной оси (см. [5], с. 206, 207), т.е. в них рассматривается то же самое движение жидкого тела, которое рассматривал И. Ньютон, (хотя реальные небесные тела вращаются относительно своих центров тяжести и, конечно, обладают сжимаемостью).

Авторам известны лишь три мемуара, в которых изучается движение жидкого тела около неподвижного центра тяжести: первый из которых был написан Г.П. Дирихле незадолго до его кончины [6], второй, представляющий собой прямое развитие первого, - Б. Риманом [7], а третий - А. Пуанкаре [8], хотя в нём практически нет ничего нового в сравнении с мемуаром Б. Римана.

Этой теме посвящена глава в монографии П. Пицетти [3], более доступная для понимания, чем оригинальные тексты Дирихле и Римана, и монография С. Чандрасекхара [9].

Однако, несмотря на целый ряд аналитических изысков, содержащихся в [7], основные уравнения движения бессодержательны, ибо получены Б. Риманом тавтологической подстановкой, что не было обнаружено П. Пицетти и С. Чандрасекхаром.

В связи с этим мы построили аналитическое описание движения жесткой (это ограничение легко снимается) эллипсоидальной оболочки, заполненной реальной жидкостью, около неподвижного центра тяжести.

Такая постановка задачи эквивалентна постановке Дирихле, ибо он требует, чтобы во вращающемся около неподвижного центра тяжести жидком эллипсоиде существовало такое движение жидкости, которое компенсировало бы его деформации под действием центробежных сил, т.е. чтобы эллипсоид оставался недеформированным и на его поверхности все время находились одни и те же частицы жидкости [3, 6, 7]. Нетрудно установить, что наша постановка задачи эквивалентна постановке Дирихле.

Единственное отличие состоит в допущении сжимаемости жидкости, но оно является, на наш взгляд, приближением задачи Дирихле к реальности и приводит к требуемому им движению жидкости внутри оболочки, которая движется вместе с жидкостью как небесное тело, т.е. с угловыми скоростями шг-, удовлетворяющими уравнениям Эйлера

Dt&¡ = , (1)

где а, _

А] - А А

—-, А, - моменты инерции.

Построим уравнения Эйлера, описывающие движение такого тела около неподвижного центра тяжести.

Так как центробежные силы периодически изменяют моменты инерции тела ввиду сжимаемости жидкости, то для построения уравнений мы должны найти полные производные по времени не от угловых скоростей о,, а от составляющих момента А учитывая, что

о1 = с1ёпм о2 = с2$>пи о3 = с3ши (I) ] ш1 = с1спи о2 = с2Бпи о3 = с3ёпи (II) ) ' и = ат Х(г - г0)

(2)

с2 = 52 - АзИ с1 =-_

А1(А! - Аз)

с2 =

52 - А3И А2(А2 - Аз)

с32=

А1И - 5'

2

А3( А1 - Аз)

Х _ (А - А2)(АИ - 52)

А1А2 А3

82 = (А1 - А2)( А2И - 52)

(А2 - Аз)( АИ - 52)

(3-1)

2 5 А3 И

с2 =

=

А2( А1 А2) (А2 - А3)(52 - А3 И)

А1 А 2 А3

е2 = (А - А3)(А2И - 52) (А2 - А3)(А И - 52)

(3-11)

где

£А,о2 = И, £А2о2 = 5^ ,=1 ,=1 т.е. построить производные, имеющие вид

йг

дА, . до, (ди ди дХЛ . до, дс, л до, дг -о, + А,—-1— +--| + А,—---- + А,- 1

дг

ди {дг дХ дг

дс, дг

дг дг

где

л

]

дг _ ¿11дА,, дг ,

д* (дс^ дА

дг дА, дг ] _1{ ]

дг _ ¿{дА, дг ,

(4)

А, - моменты инерции, а с,, Х, г определены выражениями (3).

Уравнения Эйлера, полученные в результате взятия производных (4) и описывающие движение такого тела, будут, таким образом, иметь вид (см. [9])

А1В,©1 + (А3 - А2 )©2©3 = -А1

В 8

^ + В, 1п С1 + (В, 1п 4)

2р(1 -р2) В, 1п х-1 > +

8(1 -р2)

АВ р а

В>1 + А1

2р(1 -р2) А2В,©2 + (А1 - А3 М©3 = -А2

А2В,р .

2 Г В>2 + А2

©1 -

Ви ©1

в, р

„„ 2ч + В 1пС2 + (В 1п А2 )

2р(1 -р2)

©2 -

2р(1 -р2) А3В,©3 + (А2 - А1 )®1®2 = -А3

В, 1п Х -1 \и +

Е (и )В, р

р; р(1 -р2)

Би ©2

в, р

+ Б, 1п Сз + (В, 1п Аз) 2р(1 -р2)

®з

А3В,р .

3 г -В>3 + А3

2р(1 -р2)

В, 1п Х -1 \и +

Е(и )В, р

р; р(1 -р2)

Ви ©3

(5)

или

А1ВГ©1 + (А3 - А2 )®2®3 = -А1

РВ,Р + В, 1п С1 + (В, 1п А)

(1 -Р2) '

©1

4вгр 3 , 2 1 2 ©1 + с12р(1 -р2)

+

В, 1п Х-1 \и + Е(иВ

р; р(1 -р2)

А2В,©2 + (А1 - А3 )©1©3 = -А2

(А2 - А3 )©2©3

гВ' Р + В, 1п с2 + (В, 1п А2) (1 -Р2) г 2 2

©2

А2 В,Р 3 , 2 2 , 2 ©2 + С22Р(1 -Р2)

+

В, 1п Х-1 \и+ЕЕ^иВ-

р; р(1 -р2)

А3В,©3 + (А2 - А1 )©1©2 = -А3

(А3 - А1)©1©3

В Р

^ + В, 1п С3 + (В, 1п А3)

Р(1 -Р2) г

©3

А3 В,Р 3 , 2 3 г 2 ©3 + С32Р(1 -Р2)

+

В, 1п Х-11и + Е^ р; р(1 -Р2).

(А1 - А2)©1©2

,(6)

где, соответственно, ©у - угловые скорости, Ау - моменты инерции, с1 , Х, р

определены выражениями (3), Е(и) - эллиптическая функция II рода, являющаяся квазипериодической.

Так как тело движется с угловыми скоростями ©¡, удовлетворяющими уравнениям (1), то правые части уравнений (5), (6) определяют составляющие момента сил, вращающие жидкость внутри эллипсоидальной оболочки относительно тех же осей, движущихся (или неподвижных), но в противоположные стороны.

Третьи слагаемые содержат функции II рода, являющиеся квазипериодическими, а потому определяющими необратимые изменения динамики и кинематики движущейся жидкости. (Если мы допустим, что тело движется по инерции, то оно через некоторое время остановится.)

Система (5), будучи записана в векторной форме

д^+£ д5 д^ _ ^++Г3А5 ,

дг дх, дг 1=1 1

где 5 _ ЛЙ, преобразуема к виду

д5 ^ д5 дх, - ^ - л.л. - , -

+ _ р15 + р2+ р3 [8гаё(ё1У5) - гс1(гс1 5)] .

. ' дх, дг

(70

Уравнение же (7') есть записанная в векторной форме система уравнения Эйлера -Стокса, описывающих движение реальной жидкости внутри оболочки в угловых скоростях.

Перенося слагаемые а,о]ок в (6) в правую часть, отметим, что вся она образована из величин, явно зависящих от времени, что позволяет, проинтегрировав выражения составляющих момента, найти явные аналитические выражения угловых скоростей вращения жидкости внутри оболочки, определенных относительно движущихся осей,

о^ _"ф11 Вио1 + Ф12(1 -г2)о; + ф131п(Х31о3 + Х2о2) + С1 +~14Е(и)о1

012 _ф21 Ви о 2 + ф22(1 -г 2 )о 2 +Ф231п(Х 32 о3 +Х1о1) + С2 + Ф 24Е(и)о 2 Г , (8)

013 _ ф31 Вио3 + Ф32(1 -г2)о3 +ф331п(Х13о1 + Х23о2) + С3 + ф34Е(и)о3

где С, - постоянные интегрирования, и, соответственно, скорости движения точек жидкости с учетом вращения оболочки с жидкостью, рассматриваемой как твердое тело, которые суть суммы

о, = о, + о^ . (9)

Точно так же находятся скорости движения точек жидкости относительно неподвижных осей.

Угловые скорости, полученные в результате интегрирования, должны, естественно, входить в уравнения, определяющие нормированные линейные скорости

точек жидкости, полученные Б. Риманом (см. [7]).

д( } ( } (х ^

д _ог ^ -оч . (10)

дг { а, ) ] { ак ) к { а] )

Однако эти скорости являются лишь "затравочными" - порождающими движение жидкости внутри эллипсоидальной оболочки, ибо частицы жидкости, обтекающие внутреннюю поверхность эллипсоидальной оболочки, вращаются относительно осей, касающихся одной из эволютных поверхностей эллипсоида, но ввиду сохранения полного момента количества движения они с необходимостью вращаются и относительно осей им полярных, которые при условии, что первые оси являются гиперболическими - лежат вне эллипсоида - пересекают эллипсоид, если он сплющенный, в приэкваториальной области (см. рис. 1, оси 4 и А).

Движение же жидкости относительно сказанных осей таково, что угловые скорости о 1 представляют собой функции пяти переменных:

б, б, и 2 , К 2 , К 3)

о, _ ■

ее^ и 2, К1, к 2, к 3)

являясь решениями уравнений Эйлера, имеющих вид

(11)

l=l

A1 Dt<1 + (A3 - A2 )ш 2<3 =Zßl23 (u)а12а13 - A1

д 2 Ш

-Z

3 K?Al

i2 2 2 .=12кг k 22 K*

+ U2 K2li )ki Ki2

- Z ^ D

cl i=1 дкi

2 2 до1

к.

ш1 -

2 + 2DUi\ne(Ul,u2)Dul<Dl + —Z

дu1 Ш i=i дul

Z (ul Klli +

i=l

Dt к i - Z

3 к i Al

22

+ 2ZDUi Ine(u,и2)Du¡<i +

ijk=i2k'2 k2k2k i дu1 дu2 i=1

2 Л дш1

1

1^1 i=i дul

Z (U1 Klli + U2 K2li )ki Ki2(K 2 +K2)

i=l

Dt к i - Z

A1 I д2 ш1

+

.=i2kiк'2 к2кI [ дu22

+ 2D„2 \ne(Ul,и2)Du2<1 + А¿ дЮ1

i=1 дu

3

A2 Dt <2 + ( A1 - A3)ol<3 =Zß ll3(U )а На 13 - A

Z (UlKlli + U2K 2li )ki Ki2 K 2K

Dt к.

l=l

K 3 A2 д2 ш2

2к'2 к2к2k д^2

-Z

+ U2 K2li )ki Ki2

2 -Л дш2

2

1 3 дС

- Z ^ Dt

c 2 i=l дк. 2 Л дш-

t Ki

+ 2DUi \ne(Ul,U2)Dul<2 + —Z

l=1 дul

Z (ul Klli +

Dt к - - Z

3 к A |2 д2 ш 2 2

ijk=i2k'2 кг2к2k i дu1 дu2 -=1

+ 2ZDu¡ Ine(Ul,и2)DU1 ш2 +

1^1 i=i дul

Z (UlKlli + U2 K 2li )k iK'2(K 2 +K 2)

i =1

Dt к - - Z

д2 ш2

+

.=i2k-к'2 к2к¡:k I a^2

2 2 дш 2

+ 2D„2 \ne(Ul,U2)Du2ш2 + —Z

i=i дu

3

A3Dt<3 + (A2 - A1 )Ш1Ш2 = - A

Z (UlKlli + U2K2li )kiKi2K2K

Dt к.

l=l

1 ZDt к.

c3 i=l дк.-

-Z

KiA3 д2ш3

2 i2 2 2 2Ki Kij Kik дм^

2 2 дш3

■+2D„l\ne(Ul,U2)D„i<3 +—Z

i=i ди1

Z(ulKni+

+ U2K2li )KiK'2

2 2 дш3

Dt Ki -Z

3 K.A3 I д2<з 2

ijk=l 2k'2 K К I cUl U i=l

2-L.+2ZDKj lne(Ul,ü2)DBÍ<3 +

i=i дмl

,i=l

Z(UlKlli+ U2K2li)к- к'2(к2 +k2) 2 2 дш

D к. -Z

д2ш3

уИ 2Kiк'2 к2. 4

+

+2D„2\ne(Ul,U2)Du2<3 +—Z

i=i cUl

Z(UlKlli+ U2K2li )k-Ki2k2k;

i=l

■Dt Ki

(12)

где

ш2 -

2

2

3

3

22 Kj = VK2 - K2

K = K дК11 - K дК12 i11 22 21

K = к

i21 22

dKt

к

- к

21

dKt

к

dK,.

K =-к дк11 + к дк 12 Ki12 " к12 +к11

K = - к

i22 12

dKt

дк 21

+к

dKK

дк

, , дк ^ дк ^

где К суть полные абелевы интегралы I рода ранга два (см. [11]), т.е. уравнений, описывающих качение эллипсоида по плоскости или, что то же самое, уравнений Эйлера, описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости, вызванное движением в

6 Ут

2

>

-А -2 -2 2А

-А /

Рис.1. Эволюта плоского сечения эллипсоида и оси вращения

В рамках настоящей статьи мы не имеем возможности дать полное описание движения жидкости внутри жесткой эллипсоидальной оболочки, вращающейся около неподвижного центра тяжести, однако полученные нами уравнения дают возможность продемонстрировать степень сложности сказанного движения, а их решения -построить исчерпывающее его описание.

Литература

1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. / Собр. соч. A.H. Крылова, М-Л.: ИAHСССP. Т.7. 1936.

2. Тодхантер И. История математических теорий притяжения и фигуры Земли. М.: УРСС, 2002.

3. Пицетти П. Основы механической теории фигуры планет. М-Л.: ГТТИ, 1933.

4. Aппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. Л-М.: OHTH, 1936.

5. Пуанкаре A. Фигуры равновесия жидкой массы. Москва - Ижевск: РХД, 2000.

6. Dirichlet P.G. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik. Journ. für Reine und Angew. Math., Bd. LVIII, 1860. S. 181 - 216.

7. Риман Б. О движении жидкого однородного эллипсоида. Соч. М-Л: ГИТТЛ, 1948. С. 339-366.

1. Poincaré H. Sur la precession des corps déformable. Paris. Gauthier-Villars, t. VIII, pp.481-514.

9. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М: Мир, 1973.

10. Мануйлов К.В., Волкова О.В., Ильин ВА., Курбатов A.A. Движение тяжелого

твердого тела около неподвижной точки в общем случае. / В сб. "Проблемы пространства, времени, движения". РАН. ОАО СПб-ТЕХНОЛОГИЯ. Санкт-Петербург. 1997.С 203-258

1. Мануйлов К.В., Курбатов A.A.

Решение уравнений Эйлера, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем случае. (Настоящий номер Вестника).

A