CC BY
107
К. В. Холшевников
О ТЕОРИИ ЛЯПУНОВА
ФИГУР РАВНОВЕСИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ*
Введение. Из пяти томов академического собрания сочинений А. М. Ляпунова три посвящены теории фигур равновесия небесных тел [2-10]. Эта тема была его первой и последней любовью: ей посвящены магистерская диссертация [2] и изданный посмертно труд [9]. Здесь полностью раскрылся его гений и кредо истинного математика, занимающегося проблемами есественных наук: поставленная математически строго задача «становится тогда проблемой чистого анализа и должна быть решаема как таковая » [5].
В настоящей статье мы постараемся показать, что принципиально нового внес Ляпунов в указанной области науки, какие важные побочные результаты были им получены, какое дальнейшее развитие получила теория. Обозначения Ляпунова мы по возможности сохраняем, но нередко будем отступать от этого правила.
В первой половине XIX века были уже четко поставлены четыре основных задачи теории фигур равновесия небесных тел, называемой сейчас классической.
1. Однородные фигуры. Пусть в пространстве имеется изолированное жидкое тело Т постоянной плотности д, ограниченное поверхностью Б и подверженное только силам давления и самогравитации. Пусть частицы жидкости покоятся в системе отсчета с началом в центре масс Т, вращающейся с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси г. Считаются заданными числа д > 0, ш ^ 0, объем и, следовательно, масса М тела, равно как и постоянная всемирного тяготения О. Поверхность Б предполагается гомеоморфной сфере.
Требуется найти все возможные фигуры равновесия, т. е. все возможные поверхности Б.
По известным теоремам гидростатики задача сводится к уравнению
справедливому на поверхности Б. Здесь С — произвольная постоянная, и — гравитационный потенциал Т, заданный во всем пространстве М3:
элемент объема Т.
2. Устойчивость однородных фигур. Требуется исследовать устойчивость решений уравнения (1) относительно малых начальных возмущений.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4929.2006.2), Аналитической ведомственной целевой программы Минобрнауки (РНП.2.1.1.5077) и РФФИ (грант №05-02-17408).
© К.В.Холшевников, 2007
м2
и+ т(х2+у2)=С,
(1)
(2)
где Ц(х, у, г) € М3, Ц'(х', у', гг) € Т, В(Ц, Ц') —расстояние между точками Ц, Ц', ¿т'
3. Неоднородные фигуры. В задаче 1 откажемся от условия однородности, заменив его следующим. Вместо одной поверхности Б введем семейство вложенных друг в друга и не имеющих общих точек поверхностей Б (а), Т = иБ (а). Параметр а пробегает отрезок А = [0, А]. За Б (А) принимаем поверхность Б тела Т, за Б (0) —точку наибольшей плотности Т. Плотность принимается постоянной на каждой из поверхностей Б (а), которые называют поверхностями уровня. Более того, плотность считается известной функцией д(а) > 0 от а.
Требуется найти все возможные фигуры равновесия, т. е. все возможные семейства
справедливому на каждой из поверхностей семейства |Б(а)|. Здесь С — произвольная функция от а. В выражении (2) для и необходимо теперь внести д под знак интеграла.
Замечание 1. Постоянная С и функция С (а) не заданы и получаются вместе с решением задачи. Физически (3) означает, что потенциал суммы гравитационных и центробежных сил постоянен на каждой поверхности уровня.
Замечание 2. Изучая тела разной структуры, на д(а), кроме интегрируемости, можно (но не обязательно) накладывать разные условия гладкости. Из физических соображений д(а) считается убывающей функцией с возможными участками постоянства (так что Б(Ь) при закрепленном Ь нельзя в общем случае определить уравнением д(а) = д(Ь)). Обычно добавляют условие ограниченности д, эквивалентное д(+0) < то, но достаточно считать конечной полную массу § дйг.
Замечание 3. Условие, по которому плотность д(а) считается заранее заданной, обычно называют условием несжимаемости жидкости. Это не совсем так: капли жидкости могут менять свою плотность, но так, что объем каждого слоя, выделенного неравенством д\ ^ д < д2, сохраняется. Ляпунов выражает это требованием равнове-ликости объемов Т(а) и шара радиусом а:
где Т(а) —часть Т, ограниченная поверхностью Б(а). В частности, объем Т равен объему шара радиусом А. Условие (4) вдобавок определяет смысл параметра а.
Замечание 4. Условия задач 1, 3 иногда модифицировались. Например, изучая кольца Сатурна, С. В. Ковалевская считала поверхность Б гомеоморфной тору. Тело Т предполагалось неизолированным (подверженным гравитационному полю планеты). Ляпунов придерживался сформулированной постановки, считая в задаче 3 плотность ограниченной.
4. Устойчивость неоднородных фигур. Требуется исследовать устойчивость решений уравнения (3) относительно малых начальных возмущений.
Четыре семейства точных решений. К началу научной деятельности Ляпунова было известно 4 семейства точных решений задач 1, 3. Собственно говоря, уравнения (1) и (3) не решались, а проверялись подстановкой найденных интуитивно решений. Приведем их.
и1
и + ~7^(х2 + У2) = С (а),
(3)
(4)
• Невращающийся шар, указанный еще И.Ньютоном. При ш = 0 и произвольной д(а) решением (3) будет тело сферической структуры: поверхности уровня S(a) суть сферы r = а.
• Фигуры Гюйгенса—Роша (сосредоточенная в центре масса, окруженная невесомой атмосферой). Здесь плотность с точностью до постоянного множителя равна односторонней ¿-функции Дирака на A. Семейство S(a) при 0 < а ^ A анали-тично за возможным исключением S(A): для максимальной угловой скорости ш поверхность S(A) имеет ребро на экваторе.
• Эллипсоиды Маклорена (семейство однородных сжатых эллипсоидов вращения заданной массы, зависящих от одного существенного параметра). За параметр можно взять эксцентриситет e £ [0,1) меридионального сечения S. С ростом e от 0 до ei = 0.92995 угловая скорость растет до предельного значения ш\, а затем начинает убывать. С приближением e к единице ш стремится к нулю, а S становится сколь угодно тонким и сколь угодно обширным в плоскости x,y «блином». Более важный в механике по сравнению с ш момент импульса J монотонно растет от нуля при e = 0 до бесконечности при e ^ 1.
• Эллипсоиды Якоби (семейство однородных трехосных эллипсоидов заданной массы, вращающихся вокруг наименьшей оси, зависящих от одного существенного параметра). За параметр можно взять эксцентриситет e £ [eo , 1) сечения S, проходящего через наименьшую и наибольшую оси эллипсоида; eo = 0.81267. При e = eo эллипсоид Якоби (единственный в семействе эллипсоид вращения) совпадает с одним из эллипсоидов Маклорена, отвечающего шо < Ш1. При e > eo эллипсоиды Якоби имеют различные полуоси ci > С2 > сз. С ростом e угловая скорость ш уменьшается, а момент J увеличивается. При стремлении e к единице ш ^ 0, J ^ ж, ci ^ ж, С2 , сз ^ 0, С2/С3 ^ 1, так что фигура становится бесконечно длинным и бесконечно тонким «веретеном», вращающимся вокруг наименьшей оси.
Преобразование интегральных уравнений. Интегральные уравнения (1) и (3) существенно нелинейны. Но главная их трудность заключается в другом. Область интегрирования T нам неизвестна и сама является разыскиваемой величиной. Теории таких уравнений, не использующей метода возмущений, до сих пор нет. Ляпунову принадлежит честь построения стройной теории решения уравнений вблизи известного решения (или семейства решений). Нельзя не отметить, что в то время в этом направлении работали такие корифеи, как Дж. Дарвин, П. Лежен-Дирихле, Ж. Лиувилль, А. Пуанкаре, Б. Риман, В. Томсон, П. Тэт и др. (см. [2]), но им не удалось продвинуться дальше первого или в лучшем случае второго приближения. Что касается теории П. С. Лапласа, то она является чисто формальной: о сходимости ее рядов до сих пор ничего не известно. Так что ни о существовании, ни тем более об устойчивости, она судить не может.
Начнем с уравнения (1). Ему удовлетворяют семейства эллипсоидов Маклорена и Якоби, для которых S определяется параметрическими уравнениями
x = с1 sin в cos ф, y = с2 sin в sin ф, z = с3 cos в, (5)
где точка (в,ф) описывает единичную сферу S. Полуоси с1,с2,сз и угловую скорость ш можно считать фиксированными (и рассматривать одно опорное решение), а мож-
но считать принадлежащими однопараметрическому семейству (и рассматривать семейство опорных решений). Требуется найти все близкие решения, т. е. возмущенную поверхность при возмущенной угловой скорости. Проще всего заменить и!2 на и!2 + п и считать п возмущением. Однако предпочтительнее более общий случай п = п(а) с возможностью варьирования смысла малого параметра а. Для описания же возмущенной поверхности Б Ляпунов использует три способа, считая формулу (5) справедливой при замене ей на одну из величин л/саГ+С, с^у1 + С, с^(1 + С); а уравнение (1) —при замене и2 на и2 + п. Переменная ( служит искомой функцией ((а, Q) параметра а и точки Q = (в, ф) на сфере 8. По смыслу задачи п непрерывна на отрезке А = [0, ао] при некотором положительном ао, а С непрерывна на произведении А х 8, причем п(0) = С(0^) = 0. Поэтому существует непрерывная на А функция 1(а.) со свойствами: |С(а, Q)| < /(а), 1(0) = 0. Накладывается еще одно условие: функция £ должна удовлетворять на сфере условию Липшица
К(а^) - С(а^/)| <д(а)Б^М/) (6)
с непрерывной на А функцией д, д(0) = 0; под Б можно понимать любое расстояние между точками Q и Q/ сферы 8 как метрического пространства. Ляпунов выбирает за Б евклидово расстояние между точками сферы как точками М3.
Далее искусными приемами разложения в ряды по степеням £ уравнение (1) приводится к виду
с = В( + Я ^,(). (7)
Здесь В — линейный интегральный оператор
ВС№)=/ /)С(У) ¿о/ (8)
со слабосингулярным ядром В/) —симметричной функцией пары точек единичной сферы, по которой производится интегрирование; неоднородность Я£) является рядом по степеням С с известными коэффициентами (функциями на сфере) без линейного члена, и сходимость этого ряда при малых /, д удалось доказать.
Переход от (1) к (7) — главная заслуга Ляпунова в рассматриваемом вопросе. При известной Я интегральное уравнение (7) принадлежит к изученному классу линейных интегральных уравнений на компакте 8. Оно решается разложением £ по ортогональной системе функций Ламе, при этом автоматически решаются задачи существования и единственности решений. Скорее всего, математики конца XX века решали бы (7) по итерационной схеме
С"+1 = ВС”+1 + я ^,С). (9)
Ляпунов же представляет £ рядом
сМ) = £ Ш)ап (10)
п= 1
и находит последовательно все члены разложения из цепочки уравнений
Си = вСи + яп^,(1,...,(п-1). (11)
Поразительно, но устанавливается и сходимость разложения (10) при достаточно малых а.
Перейдем к уравнению (3). Метод возмущений работает в двух случаях.
1. Нулевым приближением по-прежнему является однородный эллипсоид Маклоре-на или Якоби, отвечающий угловой скорости и. Но допускается слабая неоднородность тела Т:
д = до + ар(а), (12)
где а — малый параметр, ф — заданная функция, причем а, как и выше, определяет поверхности уровня.
Уравнение (3) удается представить в виде (7), но теперь Q(a,в,ф) —точка трехмерного тела Т, £ = (^); слабосингулярный оператор В имеет вид (8), однако Q(a, в, ф) — точка Т, тогда как Q/(в/, ф/) —точка сферы 8, по которой по-прежнему осуществляется интегрирование. Для вычисления В( достаточно знать £(А, в, ф). Уравнение (11) по-прежнему имеет место и решается в два этапа. Считаем £1,..., £п-1 известными и, рассматривая уравнение (11) при а = А, возвращаемся к уже исследованному случаю. Подставляя найденное £п(А, в, ф) в правую часть (11), получаем сразу Сп(а, в, ф).
2. За нулевое приближение берется невращающийся шар с известным распределением плотности д = д(г). Малым параметром а служит квадрат угловой скорости, нормированный так, чтобы сделать а безразмерной величиной
и2А3
“=см- (13>
Решением задачи служит функция £ (а, а, в, ф), описывающая поверхности уровня: они задаются уравнением
г = а [1 + С (а, а, в, ф)] . (14)
По смыслу уровенных поверхностей плотность на каждой их них постоянна, заданной считается функция
в = в(a), (15)
не зависящая от параметров. Искомая функция £ по-прежнему представляется рядом (10), каждый член которого оказывается многочленом по полиномам Лежандра четных индексов
п
Сп ^ ^ гпт(а)Р2т(с°&в), (16)
т=0
так что медленно вращающаяся цепочка фигур, превращающихся в неподвижный шар
при а = 0, может состоять только из осесимметричных тел с экваториальной плоско-
стью в качестве плоскости симметрии.
Этот случай проще предыдущего, ибо сводится к функциям на отрезке А. Для г = гпт(а), т ^ 2 из (11), (16) получается уравнение Клеро
Кг = а3Ш (а) (17)
с известной правой частью. Линейный интегральный оператор Клеро К зависит от индекса т ^ 2 и вида функции д(а)
Кг(а) = г (а) [ д(Ъ)Ъ2 ¿Ъ -[ д(Ь)Л^Ъ + ^ &-Jо 2т + 1 ] о йЬ
д{Ъ)----------—----------Л.
2т + 1 ,] а йЬ
Замечание. Мы не останавливались на влиянии С и С (а) на решение (1) и (3). Оно легко учитывается с помощью (4).
Существование фигур равновесия, близких к однородным эллипсоидам Маклорена и Якоби. Вопрос решен Ляпуновым полностью.
Сначала остановимся на случае однородной жидкости. Обозначим через Е(е) эллипсоид Маклорена эксцентриситета е. Существует возрастающая последовательность е(п) ^ 1 со следующими свойствами. При е = е(п) в окрестности Е(е) не существует фигур равновесия, отличных от эллипсоидов. При е = е(п) существует семейство неэллипсоидальных фигур равновесия Б (а), зависящее от параметра а € А, ответвляющееся от Е(е(п)), т.е. Б(0) = Е(е(п)). Первый критический эллипсоид Е(е(1)) лежит между эллипсоидом вращения Якоби и эллипсоидом Маклорена максимальной угловой скорости: ео < е(1) = 0.89926 < е1, остальные е(п) > е1.
Обозначим через Е(е) якобиев эллипсоид, сечение которого проходящей через наибольшую и наименьшую ось плоскостью имеет эксцентриситет е. Существует возрастающая последовательность е(п) ^ 1 со следующими свойствами. При е = е(п) в окрестности Е(е) не существует фигур равновесия, отличных от эллипсоидов. При е = е(п) существует семейство неэллипсоидальных фигур равновесия Б(а), зависящее от параметра а € А, ответвляющееся от Е(е(п)), т.е. <§(0) = Е(е(п)). Первый критический эллипсоид Якоби Е(е(1)) имеет эксцентриситет е(1) = 0.93858. От него ответвляется семейство грушевидных фигур равновесия, имеющих только две плоскости симметрии: ху и хг.
Перейдем к слабонеоднородной жидкости с плотностью (12). Выбор малого параметра а теперь не зависит от нашей воли. Как уже говорилось, решение задачи сводится к решению уравнения (7) для Сп(а, в, ф). Решение существует всегда, независимо от того, является ли исходный эллипсоид критическим или нет.
В обоих рассмотренных случаях решение £ является функцией, вещественно-аналитической при а € А, непрерывной и удовлетворяющей условию Липшица при (в,ф) € 8. Считая естественными первые два условия, Ляпунов полагал последнее из них искусственным, не относящимся к физике задачи, допуская, что интегральное уравнение (7) может иметь еще решения, не удовлетворяющие условию Липшица на 8. Но после многих лет поисков Ляпунов пришел к замечательному результату: решение (7) (т.е. функция £) аналитично на сфере 8 и может быть представлено регулярным рядом Лапласа. Таким образом, найдены все решения задачи при достаточно малых возмущениях.
Устойчивость фигур равновесия. Определение понятия устойчивости нетривиально и для системы с конечным числом степеней свободы. Когда же это число становится огромным или бесконечным (система с распределенными параметрами), возникают дополнительные трудности. Считать ли шаровое скопление устойчивым, если 2-3 звезды его покидают, а в остальном оно почти стационарно? Из всех своих современников только Ляпунов дал строгое математическое определение того, что понимается под устойчивостью фигуры равновесия [2]. Он же практически полностью решил вопрос об устойчивости эллипсоидальных и близких к ним фигур, сведя задачу к определению знака второй вариации некоторого функционала, зависящего только от положений, но не скоростей частиц тела Т.
Эллипсоиды Маклорена устойчивы при 0 ^ е ^ ео и неустойчивы при е > ео. Все неэллипсоидальные фигуры равновесия, ответвляющиеся от эллипсоидов Маклорена, неустойчивы.
Эллипсоиды Якоби устойчивы при ео ^ е < е(1). При е = е(1) эллипсоид Якоби и ответвляющиеся от него грушевидные фигуры равновесия неустойчивы.
При е > е(1) эллипсоиды Якоби, как и ответвляющиеся от эллипсоидов фигуры при е = е(п), неустойчивы.
Побочные результаты Разработка теории фигур равновесия потребовала новых идей и привела к открытию Ляпуновым новых результатов. Перечислим часть их, важную по нашему субъективному мнению, не касаясь теории интегральных уравнений вида (1) и (3), о которых говорилось выше.
Доказана полнота системы сферических, сфероидальных и эллипсоидальных функций точки на сфере, эллипсоиде вращения и трехосном эллипсоиде соответственно; получены соотношения между различными нормами этих функций [8].
Получен ряд формул для указанных функций. Для примера выпишем одну [8, с. 41]:
Г -^-2 №)]:2 {™%к)[ ,уР£(аЮкп(а),
.¡о а2 + х2 (2п + 1)(п — к)!
где Рп , Qn — присоединенные функции Лежандра первого и второго рода со стандартной нормировкой, «волна» означает переход к мнимому аргументу.
Получены коэффициенты разложения по сферическим функциям для потенциала простого слоя на эллипсоиде Е в точках, расположенных на поверхности подобного ему эллипсоида Е . Соответствующий ряд обрывается, если Е лежит внутри Е и является регулярным рядом Лапласа, если Е/ лежит вне Е [10, глава Об одной формуле анализа].
Тщательно исследовано уравнение Клеро (17). Доказано, что оператор К при минимальных ограничениях на в является сжимающим, что позволило установить теоремы существования и единственности [4].
Доказана теорема [1], [10, с. 465] о сходимости ряда
Е Рг (х)УГ,
|г|=о
где
х =(х1,...,хк), у = (У1,. ..,Уе), г = (п,...,Ге), уг = у1 ■■■ уг
в поликруге
|ж„|<р, \Ут | < (^1 +Р - \/2р + р2^
при следующих условиях: Рг — многочлены степени не выше /1Г1 + ... + /8г8, где /т — заданные неотрицательные числа; Рг равномерно ограничены при 0 ^ хп ^ 1; р — произвольное положительное число.
Развитие идей Ляпунова. Если идеи Ляпунова по общей теории устойчивости движения получили колоссальное развитие, то в теории фигур равновесия положение иное. Первое время исследования успешно продолжались его учеником В. А. Стекловым, впоследствии академиком.
Ряд его работ (см., например, [11]) посвящен изучению движения жидкой массы, сохраняющей форму эллипсоида. Разобран также случай твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки и имеющего внутри эллипсоидальную полость, заполненную несжимаемой жидкостью [12]. Найдены периодические решения и выяснена
возможность таких движений жидкости, которые вызывают малые периодические колебания жесткой оболочки. Эта задача связана с геофизическими изменениями широт пунктов на земной поверхности.
Отметим также работу Дж. Джинса [13], содержащую более простое доказательство теоремы Ляпунова о неустойчивости грушевидных фигур равновесия.
Недавние работы Б. П. Кондратьева [14] развивают, скорее, идеи Дирихле и Римана о жидкостях с внутренними течениями.
Упомянем еще фундаментальные исследования Л. Лихтенштейна [15]. Ляпунов доказал, что все исследованные им фигуры равновесия симметричны относительно экваториальной и по крайней мере одной из меридиональных плоскостей, и что поверхности тел аналитичны. Лихтенштейн установил, что все возможные фигуры равновесия симметричны относительно экваториальной плоскости, но существуют состоящие из трех изолированных тел фигуры, не обладающие дополнительными плоскостями симметрии. Обязательна ли меридиональная плоскость симметрии для гомеоморфных шару фигур, неизвестно и сейчас. Лихтенштейном доказана теорема о бесконечной гладкости поверхности произвольной фигуры равновесия за возможным исключением критической поверхности, хотя бы в одной точке которой сила тяжести (сумма гравитационной и центробежной сил) равна нулю — такова, например, критическая поверхность Роша. Вопрос об аналитичности поверхности остается открытым.
Бурно развивавшаяся в астрофизике теория фигур газовых тел с внутренними источниками энергии [16] лишь в малой степени использует построения Ляпунова.
Возможная причина слабого продолжения работ Ляпунова состоит в том, что для теоретиков его исследования по существованию и устойчивости эллипсоидальных и близких к ним фигур равновесия фактически закрыли тему, а практикам его теория кажется слишком сложной. Между тем его алгоритмы сложны, но не катастрофически. Однако они трудноуловимы, растворяясь в гораздо более обширных доказательствах непрерывности, дифференцируемости, сходимости и т. п.
Остановимся подробнее на наиболее важной практически теории медленно вращающихся неоднородных фигур равновесия. До сих пор там используется, в основном, метод Лапласа, несмотря на его математическую некорректность. Между тем метод Ляпунова вполне поддается алгоритмизации с использованием средств компьютерной алгебры, а его сложность сравнима со сложностью метода Лапласа. Аппрксимируя д(а) многочленом или ступенчатой функцией, можно получить решение, сколь угодно близкое к точному [18, 19]. Для этих и некоторых других случаев найдено точное выражение обратного оператора Клеро К-1, в том числе и при неограниченной вблизи нуля плотности д(а) и даже для д(а) = Ы5(а).
В заключение остановимся на вопросе о сходимости ряда (10) для медленно вращающегося близкого к шару тела Т.
В пункте 9 мемуара [3] приводится теорема о сходимости ряда (10) по степеням пропорционального квадрату угловой скорости безразмерного малого параметра а, вводимого формулой (13). При единственном условии ограниченности и монотонности д(а) утверждается, что ряд сходится для
|а| < ао
при некоторой абсолютной константе ао. Последняя определяется с помощью системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными, решить которую без ЭВМ вряд ли
возможно. По нашим вычислениям [18, 19]
а0 = 3.70916 • 10-4,
что в согласии с оценками Ляпунова 0.3589 • 10-4 < «о < 19.30 • 10-4.
Однако вместо доказательства мы читаем в [3, с. 116]: «.Разумеется, оценка значения наибольшего возможного числа этого рода (т. е. радиуса сходимости ряда (10)) есть задача очень трудная, и я не старался ее решать: я ограничился лишь отысканием формул, позволяющих указать для этого наибольшего числа нижний предел — более или менее точный. К сожалению, мои формулы, хотя и много раз переделанные, еще недостаточно точны, чтобы можно было ими удовлетвориться. .. Поэтому я ограничусь в дальнейшем лишь указанием этих формул без их доказательства, откладывая полное опубликование своего анализа до времени получения более точных результатов.» Трагическая смерть помешала выполнить обещание. Я призываю специалистов в этой области математики вернуться к данному вопросу: восстановить доказательство Ляпунова и, возможно, получить более точные оценки, наложив разумные ограничения на функциональную зависимость плотности от расстояния.
Эта работа, разумеется, потребует значительных, но не запредельных усилий. Укажем на два недавно полученных результата [20-22]. Радиус сходимости ряда (10) найден в случае g = const
ai = 0.336998559 (18)
и в случае g = MS(0)
а2 = 0.541115598, (19)
причем сходимость имеет место и при а = ai, а = «2 соответственно. Эти результаты неожиданны для самих авторов и показывают чрезвычайно высокую эффективность метода Ляпунова. Действительно, число ai отвечает наибольшей угловой скорости вращения эллипсоидов Маклорена. Таким образом, метод рядов Ляпунова пригоден для всех эллипсоидов Маклорена с эксцентриситетами 0 ^ e ^ ei = 0.92995. Назвать эллипсоид эксцентриситета ei слабосжатым и медленно вращающимся как-то даже неудобно!
Что касается равенства (19), то оно относится к фигуре, распределение масс в которой в высшей степени сингулярно, и сам Ляпунов такие фигуры не рассматривал.
Тем не менее ряд Ляпунова пригоден для всех фигур Гюйгенса—Роша, вплоть до фигуры наибольшей угловой скорости с ребром на экваторе, где сила тяжести становится нулевой!
Автор благодарен профессору В. А. Антонову за полезную дискуссию.
Summary
K. V. Kholshevnikov. On the Liapunov Theory of Equilibrium Figures of Celestial Bodies.
Works by A. M. Liapunov on the theory of equilibrium figures of celestial bodies are analysed. The main results are marked: determination of existence and uniquness sufficient conditions of solutions of complicated integral and integro-differential equations of the problem; solution of the problem on stability of Maclaurin and Jacobi ellipsoids; solution of the problem on existence and stability of branching from the ellipsoids figures; solution of the problem in case of a slow rotating heterogeneous body by means of series (called now Liapunov series) in powers of a small parameter, equal in the first approximation to the centrifugal—to—gravitational force ratio; estimation of convergence domain of Liapunov series. Further development of Liapunov ideas and several unsolved problems are discussed.
1. Ляпунов А. М. О рядах многочленов // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1954. Т. 1. С. 179-188.
2. Ляпунов А. М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1959. Т. 3. С. 5-113.
3. Ляпунов А. М. Исследования по теории фигуры небесных тел // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1959. Т. 3. С. 114-145.
4. Ляпунов А. М. Об уравннии Клеро и более общих уравнениях теории фигуры планет // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1959. Т. 3. С. 147-206.
5. Ляпунов А. М. Об одной задаче Чебышева // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1959. Т. 3. С. 207-236.
6. Ляпунов А. М. Задача минимума в одном вопросе об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1959. Т. 3. С. 237-360.
7. Ляпунов А. М. О форме небесных тел // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1959. Т. 3. С. 361-374.
8. Ляпунов А. М. О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов, вращающейся однородной жидкости // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1959. Т. 4. 646 с.
9. Ляпунов А. М. О некоторых рядах фигур равновесия неоднородной вращающейся жидкости // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1965. Т. 5. С. 7-378.
10. Ляпунов А. М. Новая теория фигур равновесия однородной жидкости // Собрание сочинений. М.: Изд. АН СССР. 1965. Т. 5. С. 387-494.
11. Stekloff W. (V. Steklov). Problème du mouvement d’une masse fluide incompressible de la forme ellipsoïdale dont les parties s’attirent suivant la loi de Newton (2 parties) // Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Superieure (AEN). 3-ieme Serie. 1908. T. 25. P. 469-528; 1909. T. 26. P. 275-336.
12. Stekloff W. (V. Steklov). Sur le mouvement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoïdale rempli par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes // Annales de la Faculte des Sciences de l’Universite de Toulouse (AFT). 3-ieme Serie. Paris, 1909. T. 1. P. 145-256.
13. Jeans J. The motion of tidally distorted masses // Memoirs Roy. Astr. Soc. V. 62. Part1. 1917.
14. Кондратьев Б. П. Теория потенциала и фигуры равновесия. М.; Ижевск: Изд. Инст. комп. иссл., 2003. 624 с.
15. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращаюшейся жидкости. М.: Наука, 1965. 252 с. (Репринтное издание: М.; Ижевск: РХД. 2004. 252 с.)
16. Чандрасекар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973. 288 с.
17. Антонов В. А. Фигуры равновесия // Итоги науки и техники. Астрономия. Т. 10. М.: Изд. ВИНИТИ, 1975. С. 7-60.
18. Заки С. Ф., Елькин А. В., Холшевников К. В. Форма и строение небесных тел: вслед за Ляпуновым // Астрон. Журн., 71, 5, 785-793, 1994.
19. Елькин А. В., Холшевников К. В. Определение фигур небесных тел методом Ляпунова // Tpyды AO СПбГУ, 45, 3-72, 2003.
20. Kholshevnikov K. V., Elkin A. V., Convergence of Liapunov series for Maclaurin ellipsoids
// Celest. Mech. Dyn. Astr., 84, 1, 57-63, 2002.
21. Kholshevnikov K. V., Convergence of Liapunov series for Maclaurin ellipsoids: real analysis
// Celest. Mech. Dyn. Astr., 87, 3, 257-262, 2003.
22. Kholshevnikov K. V., Kurdubov S. L., Convergence of Liapunov series for Huygens—Roche figures // Celest. Mech. Dyn. Astr., 89, 1, 83-96, 2004.
Статья поступила в редакцию 26 декабря 2006 г.
